teorema di lagrange

[tir...@libero.it]

 

 

 

Scusi professore ma allora, se sono rispettate le ipotesi del teorema di Lagrange e se un punto (x_o,y_o) è punto stazionario per la Lagrangiana non è detto che questo punto sia di max-min vincolato per f(x,y), ne deduco quindi che porre il gradiente di L(x,y,λ)=0 rappresenta una condizione solo necessaria ma non sufficiente, come dimostrato anche dall’esempio.

Il libro afferma infatti che i max-min vincolati a F(x,y)=0 sono da ricercarsi tra le soluzioni di L(x,y,λ)=0, sottintendendo forse che, se esistono,  questi punti si possono trovare tra le soluzioni del sistema e che non tutte le soluzioni del sistema sono, in generale, punti di max-min.

 

Un saluto,                                                                                  

                                                                                                                                   Lorenzo

[Mikhail Maslennikov]

Ciao Lorenzo,

 

esatto! Ma gli esercizi che ti vengono assegnati sono costruiti in modo tale che il vincolo descritto implicitamente dall'equazione F(x,y)=0 sia un chiuso e limitato e la funzione di cui si cercano i max e min vincolati sia continua. Dunque per Weierstrass il max e min assoluti della f vincolata esistono e vanno cercati tra gli estremi relativi della f vincolata ovvero tra i punti critici della lagrangiana. Trovati tutti i punti critici della funzione di Lagrange associata a f e F, valuti la f in tali punti e il valore massimo (minimo) ti fornisce necesariamente il massimo (minimo) assoluto della f vincolata.

 

I problemi sorgono se l'equazione F(x,y)=0 (che rappresenta un chiuso di R^2 se la F è continua) non descrive un insieme limitato di R^2 (come nell'esempio che ti ho mandato). In questo caso max e min della f vincolata potrebbero non esistere (Weierstrass infatti non vale). E allora i punti della lagrangiana esprimono solo candidature per max e min relativi della f vincolata.

 

Misha

 

 

 

  

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Da: "tir...@libero.it" <tir...@libero.it>
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Inviato: Lun 20 giugno 2011, 13:05:04
Oggetto: teorema di lagrange