serie di fourier (sviluppo di (senx)^2)

[christopher]

Salve prof,
mi sono bloccato su un esercizio di serie di fourier (per chi avesse
il libro moschini-schianchi pag.26 n32):
mi chiede la serie di four. di f=(senx)^2.
mi blocco perchè dice: integ.(tra pi e -pi) di (sen(2x)*sen(nx))dx è
diverso da 0 se e solo se n=2, perchè?
io ho verificato che se n=2 l'integrale viene diverso da zero, ma chi
mi dice che per n=3 o un altro numero viene uguale a zero?

(c'è per caso un modo + compatto di scrivere gli integrali, ovvero un
qualche cosa per scrivere il segno di integrale..)
grazie

[Mikhail Maslennikov]

E' facile!

 

Dalla formula del coseno della differenza di due angoli cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) si ha che (a=2x e b=nx)

 

cos (2x-nx) = cos[ (2-n) x] = cos(2x)cos(nx)+sin(2x)sin(nx).

 

Ne segue che 

 

f(x) = sin(2x)sin(nx) = cos[(2-n)x] - cos(2x)cos(nx).

 

Trova una primitiva F di f applicando l'integrazione per parti al secondo addendo dell'ultima uguaglianza e osservando che l'integrale che se ne ricava a meno di una costante coincide con l'integrale indefinito di partenza (in alternativa, trascurando la scorciatoia del coseno della differenza, applica due volte l'integrazione per parti).

 

In definitiva avrai F(x) = 1 / (1 + (2/n) ) { sin[(2-n)x] / [2-n] - [cos(2x)sin(nx)]/n} se n è diverso da 2. 

 

Per ogni n diverso da 2 (caso da studiare a parte e lo hai fatto) avrai F(pi)-F(pi) = 0. Convincetene. E' facile - tutta "colpa" dei seni.

 

M.

 

 

 

 

 

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Da: christopher <chri...@gmail.com>
A: ingegneriameccanica2011 <ingegneriam...@googlegroups.com>
Inviato: Dom 12 giugno 2011, 16:52:36
Oggetto: serie di fourier (sviluppo di (senx)^2)