Probabilità di uscita di un numero su una ruota del lotto

[Gino Di Ruberto [GMAIL]]

(Una parte del contenuto di questo post è stata da me inserita nella pagina
di Wikipedia -da me creata-
"Probabilità nel gioco del lotto"
https://it.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A0_nel_gioco_del_lotto
versione del 23 luglio 2016)

Questo gruppo e' dedicato a Napoli. Dal momento che a Napoli si gioca molto
al lotto, questo post e' in tema con il gruppo.

DIMOSTRIAMO CHE LA PROBABILITA' DI USCITA DI UN NUMERO SU UNA RUOTA DEL
LOTTO VALE 1/18:

(La dimostrazione corretta inizia piu' avanti, dopo la linea continua
_______ .)
Osservazione:
Un primo ragionamento, sbagliatissimo, che potrebbe venire in mente e' il
seguente: ad ogni estrazione, la probabilita' di uscita di un numero e'
1/90; allora, poiche' per ogni ruota avvengono 5 estrazioni, la probabilita'
di uscita di un numero sulla ruota e'
5 X (1/90) = 1/18
Come dicevo, questo ragionamento e' SBAGLIATISSIMO, tanto per cominciare,
perche', solo alla prima delle 5 estrazioni ci sono 90 numeri che possono
uscire, mentre, invece, alla seconda ce ne sono 89 perche' e' stato tolto un
numero, alla terza 88, ecc. Quindi, se consideriamo le estrazioni
singolarmente, la probabilita' di uscita vale 1/90 solo alla prima
estrazione, mentre alla seconda vale 1/89 (supponendo che il numero non sia
gia' uscito alla prima estrazione), alla terza vale 1/88 (supponendo che il
numero non sia gia' uscito alle prime due estrazioni), ecc. Ma poi, anche se
i numeri estratti non venissero tolti, per cui la probabilita' restasse 1/90
ad ogni estrazione ed un numero potesse uscire piu' di una volta sulla
stessa ruota, questo ragionamento sarebbe ugualmente sbagliato; infatti,
supponiamo, per esempio, che, per ogni ruota avvenissero 90 estrazioni
invece di 5, allora, poiche' supponiamo che i numeri usciti alle varie
estrazioni non vengono tolti, un certo numero potrebbe non uscire per tutte
le 90 volte, allora NON E' VERO che, in queste ipotesi, la probabilita' di
uscita di un numero su una ruota sarebbe
90 X (1/90) = 1
che e' la probabilita' di un evento certo! In queste particolari ipotesi,
quindi, NON E' CORRETTO moltiplicare banalmente la probabilita' di uscita ad
ogni singola estrazione per il numero di estrazioni!
(In realta, in queste ipotesi, correttamente, bisognerebbe seguire un
procedimento piu' complesso applicando il cosiddetto "schema di Bernoulli" e
considerando la cosiddetta "probabilita' binomiale").
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Passiamo allora alla DIMOSTRAZIONE CORRETTA.

La prima cosa da notare e' che, come gia' accennato prima, ad ognuna delle 5
estrazioni che avvengono su una ruota, viente tolto un numero. Di
conseguenza, alla prima estrazione, ci sono 90 diverse possibilita' di
estrazione, alla seconda ce ne sono 89, alla terza 88, alla quarta 87 e alla
quinta 86.
Dunque, ci sono, in totale,
90 X 89 X 88 X 87 X 86
casi possibili.
Quanti di questi casi possili in totale sono favorevoli, cioe' corrispondono
all'uscita di un certo numero che ci interessa?
Dobbiamo considerare i casi possibili nei i quali il numero esce alla prima
estrazione + i casi possibili nei quali il numero esce alla seconda
estrazione + .......... + i casi possibili nei quali il numero esce alla
quinta estrazione.
Punto 1)
Dei 90 X 89 X 88 X 87 X 86 casi possibili in totale, quelli nei quali il
numero interessato esce alla prima estrazione sono
1 X 89 X 88 X 87 X 86
perche', alla prima estrazione, c'e' una sola possibilita', dato che
sappiamo che esce proprio il numero giusto, mentre, alle estrazioni
successive, non importa quali numeri escano e, precisamente, alla seconda
estrazione ci sono 89 possibilita' essendo stato gia' tolto un numero, alla
terza ce ne sono 88 essendo stati gia' tolti due numeri, alla quarta 87,
alla quinta 86.
Punto 2)
Dei 90 X 89 X 88 X 87 X 86 casi possibili in totale, quelli nei quali il
numero interessato esce alla seconda estrazione sono
89 X 1 X 88 X 87 X 86
poiche', alla prima estrazione, ci sono 89 possibilita' essendo stata
esclusa la possibilita' che esca il numero giusto; alla seconda estrazione
c'e' una sola possibilita', dato che sappiamo che esce proprio il numero
giusto, mentre, alle estrazioni successive, non importa quali numeri escano
e, precisamente, alla terza estrazione ci sono 88 possibilita' essendo stati
gia' tolti due numeri, alla quarta ce ne sono 87 essendo stati gia' tolti
tre numeri, alla quinta 86.
Punto 3)
Dei 90 X 89 X 88 X 87 X 86 casi possibili in totale, quelli nei quali il
numero interessato esce alla terza estrazione sono
89 X 88 X 1 X 87 X 86
poiche', alla prima estrazione, ci sono 89 possibilita' essendo stata
esclusa la possibilita' che esca il numero giusto; alla seconda estrazione
ci sono 88 possibilita' essendo stata esclusa la possibilita' che esca il
numero giusto ed essendo stato gia' tolto un numero; alla terza estrazione
c'e' una sola possibilita', dato che sappiamo che esce proprio il numero
giusto, mentre, alle estrazioni successive, non importa quali numeri escano
e, precisamente, alla quarta estrazione ci sono 87 possibilita' essendo
stati gia' tolti tre numeri, alla quinta ce ne sono 86 essendo stati gia'
tolti quattro numeri.
Analogamente
Punto 4)
Dei 90 X 89 X 88 X 87 X 86 casi possibili in totale, quelli nei quali il
numero interessato esce alla quarta estrazione sono
89 X 88 X 87 X 1 X 86
Punto 5)
Dei 90 X 89 X 88 X 87 X 86 casi possibili in totale, quelli nei quali il
numero interessato esce alla quinta estrazione sono
89 X 88 X 87 X 86 X 1

In sintesi:
Dei 90 X 89 X 88 X 87 X 86 casi possibili in totale, quelli favorevoli,
cioe' quelli in cui esce il numero considerato, sono
1 X 89 X 88 X 87 X 86 +
89 X 1 X 88 X 87 X 86 +
89 X 88 X 1 X 87 X 86 +
89 X 88 X 87 X 1 X 86 +
89 X 88 X 87 X 86 X 1 =
5 X 89 X 88 X 87 X 86

Allora, la probabilita' che esca il numero giusto e'
(5 X 89 X 88 X 87 X 86) / (90 X 89 X 88 X 87 X 86) =
5 / 90 = 1 / 18

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Esistono anche altre dimostrazioni, ma quella ora vista si presta facilmente
ad essere generalizzata per calcolare anche le probabilita' di uscita di
ambo, terno, quaterna, cinquina.

Vediamo pero' due di questi ragionamenti:

Primo ragionamento)
Probabilita' di non estrazione =
(89/90) X (88/89) X (87/88) X (86/87) X (85/86) =
85/90 =
17/18

(perche': alla prima estrazione, escludendo il numero considerato, dei 90
numeri disponibili, ne restano 89; alla seconda estrazione, escludendo il
numero considerato, degli 89 numeri disponibili considerando che quello
estratto alla prima non lo e' piu', ne restano 88; alla terza estrazione,
escludendo il numero considerato, degli 88 numeri disponibili considerando
che quelli estratti alla prima e alla seconda non lo sono piu', ne restano
87; e così via....)

Probabilita' di estrazione =
1 - probabilita' di non estrazione =
1-17/18 = 1/18

Secondo ragionamento)

L'estrazione del numero considerato comprende i seguenti casi:

(sì alla Iª estraz.) +
(no alla Iª, sì alla IIª) +
(no alla Iª,IIª, sì alla IIIª) +
(no alla Iª,IIª,IIIª, sì alla IVª) +
(no alla Iª,IIª,IIIª,IVª, sì alla Vª)

Cio', in termini di probabilita', significa:
1/90 +
(89/90) X (1/89) +
(89/90) X (88/89) X (1/88) +
(89/90) X (88/89) X (87/88) X (1/87) +
(89/90) X (88/89) X (87/88) X (86/87) X (1/86) =

1/90 + 1/90 + 1/90 + 1/90 + 1/90 =
5/90 = 1/18.