Probabilità di uscita di ambo, terno, quaterna, cinquina su una ruota del lotto

[Gino Di Ruberto [GMAIL]]

(Una parte del contenuto di questo post è stata da me inserita nella pagina
di Wikipedia -da me creata-
"Probabilità nel gioco del lotto"
https://it.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A0_nel_gioco_del_lotto
versione del 23 luglio 2016)

Per comprendere meglio quanto scrivo in questo post, leggere prima il post
"Probabilità di uscita di un numero su una ruota del lotto"
https://groups.google.com/d/msg/infonapoli-newsletter/YHbxPsmsEw4/IsB_upiSAQAJ

Adesso, DIMOSTRIAMO CHE:

1- LA PROBABILITA' DI USCITA DI UN AMBO SU UNA RUOTA DEL LOTTO VALE
2/801

2- LA PROBABILITA' DI USCITA DI UN TERNO SU UNA RUOTA DEL LOTTO VALE
1/11.748

3- LA PROBABILITA' DI USCITA DI UNA QUATERNA SU UNA RUOTA DEL LOTTO VALE
1/511.038

4- LA PROBABILITA' DI USCITA DI UNA CINQUINA SU UNA RUOTA DEL LOTTO VALE
1/43.949.268


Dimostriamo la proposizione 1:
Faremmo molto piu' velocemente ad usare subito i coefficienti binomiali, ma
non lo facciamo per maggiore chiarezza.
Con ragionamenti del tutto analoghi a quelli fatti nel post "Probabilità di
uscita di un numero su una ruota del lotto", e' chiaro che
dei 90 X 89 X 88 X 87 X 86 casi possibili in totale,
quelli favorevoli, cioe' quelli in cui esce l'ambo considerato sono:
1 X 1 X 88 X 87 X 86 +
1 X 88 X 1 X 87 X 86 +
1 X 88 X 87 X 1 X 86 +
1 X 88 X 87 X 86 X 1 +
88 X 1 X 1 X 87 X 86 +
88 X 1 X 87 X 1 X 86 +
88 X 1 X 87 X 86 X 1 +
88 X 87 X 1 X 1 X 86 +
88 X 87 X 1 X 86 X 1 +
88 X 87 X 86 X 1 X 1 =
10 X 88 X 87 X 86 =
coeff.bin.(5 2) X 88 X 87 X 86

allora, la probabilita' che esca l'ambo e'
(10 X 88 X 87 X 86 ) / (90 X 89 X 88 X 87 X 86) =
10 / (90 X 89) = 1 / (9 X 89) = 1 / 801

Tuttavia, questa probabilita' così ottenuta, si riferisce ad un ambo
"ordinato", invece, noi dobbiamo tenere conto del fatto che, in base al
regolamento del lotto, l'ordine di uscita dei numeri non conta (se abbiamo
puntato su 23 e 54, vinciamo sia se esce prima 23 poi 54, sia se esce prima
54 poi 23); allora dobbiamo moltiplicare questa probabilita' per il numero
di ordinamenti (detto meglio, numero di permutazioni) possibili con 2
elementi. Questo numero e' 2!=2,

allora, la reale probabilita' che esca l'ambo e' 2 X 1 / 801 = 2 / 801


Dimostriamo la proposizione 2:
Adesso, sempre con ragionamenti del tutto analoghi a quelli fatti nel post
"Probabilità di uscita di un numero su una ruota del lotto", e' chiaro che
dei 90 X 89 X 88 X 87 X 86 casi possibili in totale,
quelli favorevoli, cioe' quelli in cui esce il terno considerato sono:
1 X 1 X 1 X 87 X 86 +
1 X 1 X 87 X 1 X 86 +
1 X 1 X 87 X 86 X 1 +
1 X 87 X 1 X 1 X 86 +
1 X 87 X 1 X 86 X 1 +
1 X 87 X 86 X 1 X 1 +
87 X 1 X 1 X 1 X 86 +
87 X 1 X 1 X 86 X 1 +
87 X 1 X 86 X 1 X 1 +
87 X 86 X 1 X 1 X 1 =
10 X 87 X 86 =
coeff.bin.(5 3) X 87 X 86

allora, la probabilita' che esca il terno e'
(10 X 87 X 86 ) / (90 X 89 X 88 X 87 X 86) =
10 / (90 X 89 X 88) = 1 / (9 X 89 X 88) = 1 / 70.488

Tuttavia, questa probabilita' così ottenuta, si riferisce ad un terno
"ordinato", invece, noi dobbiamo tenere conto del fatto che, in base al
regolamento del lotto, l'ordine di uscita dei numeri non conta; allora
dobbiamo moltiplicare questa probabilita' per il numero di ordinamenti
(detto meglio, numero di permutazioni) possibili con 3 elementi. Questo
numero e' 3!=6,

allora, la reale probabilita' che esca il terno e'
6 X 1 / 70.488 = 6 / 70.488 = 1 / 11.748


Dimostriamo la proposizione 3:
Adesso, e' chiaro che
dei 90 X 89 X 88 X 87 X 86 casi possibili in totale,
quelli favorevoli, cioe' quelli in cui esce la quaterna considerata sono:
1 X 1 X 1 X 1 X 86 +
1 X 1 X 1 X 86 X 1 +
1 X 1 X 86 X 1 X 1 +
1 X 86 X 1 X 1 X 1 +
86 X 1 X 1 X 1 X 1 =
5 X 86 =
coeff.bin.(5 4) X 86

allora, la probabilita' che esca la quaterna e'
(5 X 86 ) / (90 X 89 X 88 X 87 X 86) =
5 / (90 X 89 X 88 X 87) = 1 / (18 X 89 X 88 X 87) =
1 / 12.264.912

Tuttavia, questa probabilita' così ottenuta, si riferisce ad una quaterna
"ordinata", invece, noi dobbiamo tenere conto del fatto che, in base al
regolamento del lotto, l'ordine di uscita dei numeri non conta; allora
dobbiamo moltiplicare questa probabilita' per il numero di ordinamenti
(detto meglio, numero di permutazioni) possibili con 4 elementi. Questo
numero e' 4!=24,

allora, la reale probabilita' che esca la quaterna e'
24 X 1 / 12.264.912 = 24 / 12.264.912 = 1 / 511.038


Dimostriamo la proposizione 4:
Adesso, e' chiaro che
dei 90 X 89 X 88 X 87 X 86 casi possibili in totale,
quelli favorevoli, cioe' quelli in cui esce la cinquina considerata sono:
1 X 1 X 1 X 1 X 1

allora, banalmente, la probabilita' che esca la cinquina e'
1/(90 X 89 X 88 X 87 X 86) = 1/5.273.912.160

Tuttavia, questa probabilita' così ottenuta, si riferisce ad una
cinquina"ordinata", invece, noi dobbiamo tenere conto del fatto che, in base
al regolamento del lotto, l'ordine di uscita dei numeri non conta; allora
dobbiamo moltiplicare questa probabilita' per il numero di ordinamenti
(detto meglio, numero di permutazioni) possibili con 5 elementi. Questo
numero e' 5!=120,

allora, la reale probabilita' che esca la cinquina e'
120 X 1 / 5.273.912.160 = 120 / 5.273.912.160 =
1/43.949.268
__________________________________________
Esistono anche altri ragionamenti,
eccone, per esempio, un altro.

La probabilita' e' definita come il rapporto tra il numero di casi
favorevoli ed il numero totale di casi possibili.
Cominciamo a calcolare il numero totale di casi possibili, sia che siamo
interessati all'uscita di un numero singolo, sia di un ambo, sia di un
terno, sia di una quaterna, sia di una cinquina.
Poiche', con il gioco del lotto, per una ruota vengono effettuate 5
estrazioni, e' chiaro che, ogni volta si realizza una cinquina.
Pertanto, il numero totale di casi possibili corrisponde al numero totale di
cinquine che si possono ottenere da 90 numeri.
Il numero di cinquine è uguale a
90 X 89 X 88 X 87 X 86
(perche', alla prima estrazione ci sono 90 numeri disponibili; alla seconda,
escludendo il numero estratto alla prima, ce ne sono 89; alla terza,
escludendo i due numeri estratti alla prima e alla seconda estrazione, ce ne
sono 88 e così via.)
Questo pero' e' il numero totale di cinquine "ordinate". Analogamente con
quanto gia' affermato durante il ragionamento precedente, invece, noi
dobbiamo tenere conto del fatto che, in base al regolamento del lotto,
l'ordine di uscita dei numeri non conta, cioe' due cinquine che contengono
gli stessi numeri, pur con un diverso ordine di estrazione, sono considerate
equivalenti. Allora, se vogliamo realmente il numero totale di cinquine
possibili (contando una sola volta per piu' cinquine equivalenti), dobbiamo
dividere il numero ottenuto per il numero di ordinamenti (detto meglio,
numero di permutazioni) possibili con 5 elementi. Questo numero e' 5! = 120,

dunque il reale numero di cinquine possibili e'
(90 X 89 X 88 X 87 X 86) / 5! =
5.273.912.160 / 120 =
43.949.268 =
coeff.bin.(90 5)

Assodato questo, supponiamo per esempio di essere interessati all'uscita di
un ambo.
Dobbiamo calcolare il numero di casi favorevoli. In pratica, si tratta del
numero di cinquine contenenti l'ambo considerato.
Queste sono le cinquine che contengono i 2 numeri dell'ambo e altri 5 - 2 =
3 numeri qualunque fra tutti gli altri 90 - 2 = 88.
Visto, allora, che 2 numeri sono obbligati, in pratica, il numero di queste
cinquine è uguale al numero di terni (insiemi di 5 -2 = 3 numeri) che
possono essere ottenuti
da 88 (cioè 90 - 2) numeri.
Il numero di terni "ordinati" e' dato da
88 X 87 X 86
(perche', alla prima estrazione ci sono 88 numeri disponibili; alla seconda,
escludendo il numero estratto alla prima, ce ne sono 87; alla terza,
escludendo i due numeri estratti alla prima e alla seconda estrazione, ce ne
sono 86.)
Se, invece, vogliamo realmente il numero di terni possibili (contando una
sola volta per piu' terni equivalenti), dobbiamo dividere il numero ottenuto
per il numero di ordinamenti (detto meglio, numero di permutazioni)
possibili con 3 elementi. Questo numero e' 3! = 6,

dunque il reale numero di questi terni possibili, corrispondente al numero
totale di cinquine contenenti l'ambo considerato, e'
(88 X 87 X 86) / 3! =
658.416 / 6 =
109.736 =
coeff.bin.(88 3) =
coeff.bin.(90-2 5-2)

Abbiamo così ottenuto il numero di casi favorevoli.
Allora, la probabilità che esca l'ambo considerato e' data da

numero di casi favorevoli / numero totale di casi possibili =
coeff.bin.(88 3) / coeff.bin.(90 5) =
coeff.bin.(90-2 5-2) / coeff.bin.(90 5) =
109.736 / 43.949.268 =
2/801

Supponiamo adesso di essere interessati all'uscita di un terno.
Il numero totale di casi possibili, corrispondente al numero di cinquine
possibili, resta sempre lo stesso.

Dobbiamo calcolare, come prima, il numero di casi favorevoli. Questa volta,
si tratta del numero di cinquine contenenti il terno considerato. Queste
sono le cinquine che contengono i 3 numeri del terno e altri 5 - 3 = 2
numeri qualunque fra tutti gli altri 90 - 3 = 87.
Visto, allora, che 3 numeri sono obbligati, in pratica, il numero di queste
cinquine è uguale al numero di ambi (insiemi di 5 -3 = 2 numeri) che possono
essere ottenuti
da 87 (cioè 90 - 3) numeri.
Il numero di ambi "ordinati" e' dato da
87 X 86
(perche', alla prima estrazione ci sono 87 numeri disponibili; alla seconda,
escludendo il numero estratto alla prima, ce ne sono 86.)
Se, invece, vogliamo realmente il numero di ambi possibili (contando una
sola volta per piu' ambi equivalenti), dobbiamo dividere il numero ottenuto
per il numero di ordinamenti (detto meglio, numero di permutazioni)
possibili con 2 elementi. Questo numero e' 2! = 2,

dunque il reale numero di questi ambi possibili, corrispondente al numero
totale di cinquine contenenti il terno considerato, e'
(87 X 86) / 2! =
7.482 / 2 =
3.741 =
coeff.bin.(87 2) =
coeff.bin.(90-3 5-3)

Allora, la probabilità che esca il terno considerato e' data da

numero di casi favorevoli / numero totale di casi possibili =
coeff.bin.(87 2) / coeff.bin.(90 5) =
coeff.bin.(90-3 5-3) / coeff.bin.(90 5) =
3.741 / 43.949.268 =
1/11.748

Con procedimenti del tutto analoghi, si trova che

la probabilita' che esca una quaterna e' data da
[86 / 1] / [ (90 X 89 X 88 X 87 X 86) / 5! ] =
coeff.bin.(90-4 5-4) / coeff.bin.(90 5) =
1/511.038

la probabilita' che esca una cinquina e' data da
1 / [ (90 X 89 X 88 X 87 X 86) / 5! ] =
coeff.bin.(90-5 5-5) / coeff.bin.(90 5) =
1/43.949.268
come e' ovvio che sia perche' c'e' una sola cinquina favorevole e si deve
dividere 1 per il numero totale di cinquine.

Si ha anche che
la probabilita' che esca un numero singolo e' data da
[ (89 X 88 X 87 X 86) / 4! ] / [ (90 X 89 X 88 X 87 X 86) / 5! ] =
coeff.bin.(90-1 5-1) / coeff.bin.(90 5) =
1/18