kpm
mistex
RJESAVANJE PROBLEMA - proces utvrdivanja razlike izmedu stvarnog i zeljenog
stanja, te poduzimanje akcija za uklanjanje tih razlika.
Ukljucuje 7 koraka:
? Utvrdivanje i definiranje problema
? Odredivanje skupa alternativnih rjesenja
? Odredivanje kriterija za vrednovanje ishoda svake
alternative-akcije i kriterija odlucivanja
? Izbor najbolje akcije
? Primjena odabrane akcije
? Mjerenje ucinka odabrane akcije (jeli postignuta zadovoljavajuca
razina zeljenog stanja)
DONOSENJE ODLUKE -proces koji obuhvaca prvih 5 koraka u procesu rjesavanja
problema
KMPU IMAJU SIROKU PRIMJENU- minimiziranje troskova transporta, rjesavanje
optimalne alokacije resursa, upravljanje zalihama, alokacija troskova,
uvodenje novog proizvoda, pracenje kvalitete rada i dr...
MODEL - pojednostavljena slika realnog fenomena ili procesa.
Dijeli se na :
? Verbalni
? Fizicki
? Geometrijski
? Algebarski - deterministicki i stohasticki / staticki, dinamicki
STATISTICKI MODELI ODLUCIVANJA - postoji veliki skup statistickih metoda i
modela. Mi izdavajamo samo manji broj.
Podjela prema vremenskoj dimmenziji : 1. Statistiki (stohasticki), 2.
dinamicki
Prema okolnostima u kojima se odlucivanje provodi razlikuju se modeli
odlucivanja u uvjetima:
? Izvjesnosti - sa sigurnoscu se mogu utvrditio kolnosti u kojima se
realiziraju odluke i efekti donesenih odluka, poznata stanja okoline, efekti
nasih odluka
? Rizika - poznata je struktura stanja okoline. Vjerojatnosti
njihova nastupanaj odreduju se na temelju empirijskih podataka ili
koristenjem teoretskih distribucija vjerojatnosti
? Neizvjesnosti - efekti odluka su neizvjesni i vjerojatnosti
nastupanaj stanja okoline se subjektivno procjenjuju
? Sukoba - neizvjesna situacija odlucivanja. Ishod pojedine akcije
je odreden odlukom konkurenta na trzistu ili poslovnog protivnika. Izucava
se u teroiji igara.Dio su u uvijetima neizvjesnosti
VJEROJATNOST- brojcana mjera nastupa nesugurnih dogadaja.
Dijeli se na:
? Vjerojatnost a priori- mora nam biti poznat broj povoljnih i
mogucih ishoda dogadaja, P(A)= m/n; m-br.povoljnih ishoda, n=br.mogucih
ishoda..
? Vjerojatnost a posteriori-vj. slucajnog dogadaja se definira kao
frekvencija (proporcija). P(A)=lim m/n; P(A)= m/n=p. Svojstva:
nenegativnost, norminarnost, aditivnost, multiplikativnost..
? Subjektivna vjerojatnost- definira se subjektivno, definira ju tim
strucnjaka za odredeno podrucje; zbroj vjerojatnosti svih mogucih dogadaja
jednak je 1.
SLUCAJNE VARIJABLE:
Dijele se na
? DISKRETNA - poprima konacan broj vrijednosti (cjelokupna); x; x1,
x2, ...,xk; p(x1), p (x2),..,p(xk), distribucija vj.diskretne slucajne
varijable; fja distribucije-kum.niz sastavljen iz vjerojatnosti
p(xi)=p(x=xi), F(xi)=P(x<_xi).. Parametri: ocek.vrijednost, varijanca,
standardna devijacija, koeficijent korelacije.
? KONTINUAIRANA- poprima vrijednosti na cijeloj realnoj osi ili na
jednom njenom dijelu, nije definirana vjer.u tocki nego u odredenom
intervalu; distribucija vjer.kont.sl.var.- je fja koja intervalima realne
osi s kontinuiranom sl.var. pridruzuje odredene vjerojatnosti. Svojstva:
f(x)>_0, , - vjeroj.da varijabla x bude od a do b.; fja distr.
F(x)=P(x<_xi). Parametri: isti + ..
? Numericke - diskretna i kontinuirana
TEORIJSKE DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI - dane su analiticki (formule) i tim
analitickim izrazima opisuju se varijacije sluc.varij., parametri su
unaprijed poznati.
Vrste:
? Teorijska distribucija vjerojatnosti diskretne sl.var.: binomna,
poissonova distr., hipergeometrijska, uniformna distr.
? Teorijska distribucija vjerojatnosti kontinuirane sl.var.:
Gaussova (normalna), Studentova, hi kvadrat, F distribucija.
BINOMNA DISTRIBUCIJA VJEROJATNOSTI - Dvoparametarska distribucija definirana
Bernulijevim pokusom koji se ponavlja n puta, a moze rezultirati s dva
moguca ishoda: "uspjeh" ili "neuspjeh". To je slucajni pokus. U svakom
ponavljanju vjerojatnost ishoda "uspjeh" oznacava se s p i ne mijenja se od
pokusaja do pokusaja; "neuspjeh" q; q=1-p. Pokusaji su neovisni. Oznake: n -
broj pokusaja (velicina uzorka), p - vjerojatnost ishoda "uspjeh", X -
slucajna varijabla. n i p moraju biti poznati. Analiticki oblik: X ~ B(n;p).
+ formule
NORMALNA (GAUSSOVA) DISTRIBUCIJA - To je teorijska distribucija
vjerojatnosti kontinuirane slucajne varijable. Dvoparametarska distribucija:
X ~ N(?;?2). Analiticki oblik ? u formulama. Svojstva: 1. simetricna ?3=0,
2. zvonolika ?4=3. Ocekivana vrijednost i standardna devijacija izrazene su
apsolutno (u istim mjernim jedinicama kao i varijabla). Da bi se iz analize
iskljucio utjecaj mjernih jedinica varijabla X se standardizira; preracunava
se u z. X?z, z = (x-?)/?, ?z=1. Za varijablu z se uvodi standardizirana ili
jedinicna normalna distribucija, Z ~ N(0;1). Jedinicna normalna distribucija
je tabelirana. Analiticki oblik ? u formulama.
STATISTICKI MODELI ODLUCIVANJA U UVJETIMA RIZIKA I NEIZVJESNOSTI -
Strukturirati problem odlucivanja u uvjetima neizvjesnosti znaci konkretno
definirati sve njegove elemente.
Elementi su: u strukturi procesa odlucivanja
? Donositelj odluke
? Akcije ili strategije (aj, j= 1, 2,...,n) su na kratki rok
kontrolirani elementi u procesu odlucivanja; pod utjecajem su donositelja
odluka; definirani kao medusobno iskljucivi iscrpni dogadaji.
a1?a2?...?aj?...an=R, P(a1?a2?...?aj?...an)=0, P(a1Ua2U...UajU...an)=1.
? Stanja okoline (si, i=1, 2,...,n) su nekontrolirani elementi
problema odlucivanja (donositelj odluke na nji ne moze kratkorocno utjecati,
a na dugi rok su podlozni utjecaju). Situacije u okruzenju su medusobno
iskljucivi i iscrpni dogadaji: s1?s2?...?si?...sm=R,
P(s1?s2?...?si?...sm)=0, P(s1 U s2 U...U si U...sm)=1.
? Vjerojatnost nastupanja stanja okoline p(si), i=1, 2,...,n.
p(si)?0, p(si)>0, ?p(si)=1. Najcesce su subjektivne procjene donositelja
odluke o nastupanju stanja okoline (subjektivne vjerojatnosti), ako se
odlucuje u uvjetima neizvjesnosti, a ako se odlucuje u uvjetima rizika tada
su vjerojatnosti nastupanja stanja okoline odredene objektivno
(vjerojatnosti a posteriori). Ovisno o izboru kriterija odlucivanja one mogu
ali i ne moraju biti ukljucene u proces odlucivanja.
? Varijabla cilja (kriterijska varijabla) je pokazatelj ili mjera
efekta za kombinacije stanja i akcija. Najcesce su to ukupni prihod, dobit,
ukupni trosak. Varijablu cilja odabire donositelj odluke.
? Ishodi akcija na dana stanja; cij-financijski efekt j-ote akcije
pri i-tom stanju okoline.
? Kriterij odlucivanja je pravilo za izbor najbolje akcije.
Svi ovi elementi se zapisuju u :
? tabeli odlucivanja i
? na stablu odlucivanja.
STABLO ODLUCIVANJA -koristi se za prikazivanje problema odlucivanja u
razlicitim vremenskim tockama problema koji rezultira nizom slijedom odluka
povezanih tako da ishod jedne akcije djeluje na ishod slijedece. Stablo
odlucivanja je struktura grana i cvorova, koji prikazuju kronoloski red.
-postoje dvije vrste cvorova- cvor odluke (iz njega izlaze grane
kontrolitranih varijabli problema odlucivanja)i cvor uvijeta ili prilike(iz
njega izlaze grane nekontroliranih varijabli (ishodi istrazivanja))
TABELA (MATRICA) ODLUCIVANJA - Skup vektora akcija, vektora stanja i vektora
vjerojatnosti stanja.
Vrste:
? Tabela financijskih efekata ? cij izrazeni u novcanim jedinicama;
predstavljaju stvarne ucinke akcije i stanja.
? Tabela propustenih dobiti (tabela oportunitetnih troskova) ?
formira se tako da se za svako stanje pronade najbolji financijski efekat i
od njega se oduzimaju svi ostali efekti, oij=(max cij)-cij.
NEDOZVOLJENA AKCIJA - ona akcija koja nepotrebno prosiruje problem
odlucivanja jer nikada nece biti izabrana kao najbolja. Na tabeli
financijskih efekata akcija aj dominira nad akcijom aj' ako su efekti akcije
aj za sva stanja okoline barem jednaki onima za akciju aj' i ako je za barem
edno stanje okoline efekat akcije aj povoljniji od onoga za aj' ? cij?cij'.
U tom slucaju akcija aj dominira nad akcijom aj' i onda je aj' nedozvoljena
akcija i treba je maknuti iz procesa odlucivanja. U tabeli propustenih
dobiti oij?oij'.
KRITERIJI ODLUCIVANJA:
R NEPROBABILISTICKI(deterministicki)
? MAXIMIN-primjenjiv na obje tabele odluka: ak; max ( min cij ) =min
cik ; trazimo max od minimuma
? MAXIMAX-primjenjiv na obje tabele odluka: ak; max ( max cij ) =max
cik ; trazimo max od maximuma
? MINIMAX-primjenjuje se samo na tabeli propustenih dobiti odluka:
ak; min ( max oij ) =max oik ;
? Hurwitzov kriterij - koeficijent optimizma k ili alfa o ? k ?1
odluka: ak; (maxcij?k + mincij?(1-k))
? MINIMIN-ne primjeniti na tabeli prop.dobiti
R PROBABILISTICKI( statisticki, stohasticki)
? Kriterij ocekivane novcane vrijednosti primjenjuje se isto kao i
Laplaceov k., jedino se vjerojatnosti utvrduju subjektivno, kao vj. a
posteriori ili pomocu terorijskih distribucija vjerojatnosti
EV(aj)=?cij?p(si)
? Kriterij ocekivane korisnosti uij = korisnost j-te akcije pri
i-tom stanju okoline cij ? uij; 3 tipicna oblika funkcije korisnosti-osoba
neutralna prema riziku, osoba sklona riziku i osoba nesklona riziku
? Laplaceov kriterij.-sva stanja okoline su jednako vjerojatna
p(s1)=p(s2)=....p(si)=....p(sn)=1/m npr. m=5 p(si)=0.2 EV(aj)=?p(si)?cij
odluka: ak; maxEV(aj)=EV(ak) - kod tabele oport.troskova trazimo min,a ne
max
? Kriterij najvece vjerojatnosti naci stanje okoline koje je najvise
vjerojatno i tu izabrati najbolju akciju za si s najvecom p(si) ?ak; max
cij=cik
BAYESOVA TEORIJA ODLUCIVANJA - nepotpune inf. upotpunjuju se subjektivnim
procjenama, a vjeroj.stanja okoline revidiraju se na temelju
pretpostavljenih rezultata istrazivanja, a uz pomoc Bayesova teorema.
Osnovna prednost primjene ove teorije odlucivanja je prije samog postupka
odlucivanja utvrditi smislenost i fin.opravdanost dodatnog istraz.
PREDNOSTI I NEDOSTATCI PRIMJENE BAYESOVE ANALIZE U POSLOVNOM ODLUCIVANJU-
Prednosti se odnose na cinjenicu da prijevremeno dobivamo odgovore na
relevantna pitanja, dali je istrazivanje koje provodimo uopce smisleno te
jeli ono financijski opravdano. Nedostatak je subjektivnost i nedostatak
informacija na temelju kojih se donose prethodni zakljucci, i upravo taj dio
Bayesove analize pridonio je mnogo kritika od strane raznih strucnjaka.
Kod rjesavanja zadatka moramo:
? utvrditi elemente u strukturi odlucivanja
? napraviti tabelu fin.efekata (tab.prop.dobiti)
? Bayesova analiza:
1. PRETHODNA (PRIOR ) FAZA ODLUCIVANJA - analiza unaprijed poznatih
podataka, , utvrduje se ocekivana vrijednost svake akcije i po kriteriju
ocekivane novcane vrijednoti odabire se najbolja max EV, zatim se izracunava
ocekivana vrijednost potpune informacije EVPI
provodi se prije stvarnog provodenja istrazivanja. Pri tome se utvrduje
ocekivana vrijednost informacije iz istrazivanja sa troskovima provodenja
istrazivanja. Tako se utvrduje financijska opravdanost istrazivanja.
EV(aj)=?p(si)?cij
EOL(aj)=?p(si)?oij - ocekivana vrijednost iz tabele
propustenih dobiti
EVPI=EVUC-maxEV(aj) ili EVPI=minEOL(aj);
EVPI-ocekivana vrijednost potpune Informacije
EVUC=?max(cij)?p(si); EVUC-ocek.vrijednost u uvjetima izvjesnosti
2. POSTERIORNA ANALIZA ODLUCIVANJA (Naknadna) - Provodi se pomocu
informacija o mogucim ishodima istrazivanja ali prije samog istrazivanja.
Cilj provodenja ove faze je odredivanje Bayesove strategije - to znaci da
se za svaki moguci ishod istrazivanja izabire najbolja akcija. Zbog problema
financijske opravdanosti i smislenosti istrazivanja pretpostavljaju se
moguci ishodi i provodi se posteriorna analiza. Osnovni je problem u praksi
unaprijed utvrditi moguce ishode istrazivanja i uvjetne vjerojatnosti
njihova nastupa pri danom stanju okoline. Za izracunavanje se koriste
revidirane vjerojatnosti.
//p (Si / Ij) = p (Ij / Si) X p (Si) / ? p (Ij / Si) X p (Si) za P(I )> 0
Bayesova foruma sa stanjem i ishodom
Naposljetku se za svaki ishod istrazivanja izracunavaju ocekivane
vrijednosti svake akcije:
// EV(aj)=?cij x p (Si / Ij) EOL(aj)= ?cij x p (Si / Ij)
Krajnji rezultat posteriorne analize je definiranje zavrsne Bayesove
strategije
3. PREPOSTERIORNA ANALIZA ODLUCIVANJA- Provodi se prije stvarnog
provodenja istrazivanja . Pri tome se utvrduje ocekivana vrijednost
informacije iz istrazivanja i usporeduje sa troskovima provodenja
istrazivanja. Tako se utvrduje financijska opravdanost istrazivanja.
Ocjenjuje se smislenost i financijska opravdanost istrazivanja i definira se
Bayesova strategija na temelju pokazatelja OTEP, EVSI, E i ENGS.
EVSI = I OTEP - EVo (aj) I rEVSI je najveca ocekivana vrijednost informacije
iz uzorka
E=(EVSI/EVPI)*100 r ovim istrazivanjem se moze ukloniti x % neizvjesnosti.
ENGSI=EVSI-CS r Ocekivana neto dobit iz istrazivanja
OTEP je krajnji ocekivani financijski efekat istrazivanja
Da li je istrazivanje smisleno? Istrazivanje je smisleno ako se odluka
mijenja o ishodu istrazivanja, a nije smisleno ako se nemjenja ovisno o
ishodu istrazivanja. Npr. ako I1 - a1, I2 - a2 - istrazivanje je
opravdano. Da li je istarazivanje financijski (ekonomski) opravdano?
ENGS < CS istrazivanje nije financijski opravdano, a ako je
ENGS > CS istrazivanje je financijski opravdano.
ZAVRSNA BAYESOVA ANALIZA:
a.. Bez istarzivanja - koju smo odluku donjeli
b.. Dali je istarzivanje smisleni ili nije
c.. Istrazivanje je / nije opravdano
d.. Provesti / neprovesti istrazivanje
POSLOVNO PROGNOZIRANJE
Klasifikacije prognoza:
R PREMA PROGNOSTICKOM HORIZONTU ? - tau = broj razdoblja za koje se
provodi prognoziranje;
? KRATKOROCNO (do 1god ),
? SREDNJOROCNO ( od 1-5god)
? DUGOROCNO (od 5god).
R PREMA RAZINI AGREGIRANOSTI GOSPODARSKE AKTIVNOSTI
? MIKROEKONOMSKE PROGNOZE (na razini dijela gospodarstva)
? MAKROEKONOMSKE PROGNOZE (na razini cijelog gospodarstva)
R PREMA PREDMETU PROGNOZIRANJA
? PROGNOZE DOGADAJA
? PROGNOZE VREMENA OSTVARIVANJA NEKOG DOGADAJA
R PREMA KONDICIONALNOSTI
? KONDICIONALNE PROGNOZE- ako se vrijednost varijable pomocu kojih
se prognozira nisu poznate sa sigurnoscu i
? NEKONDICIONALNE PROGNOZE - ako su vrijednosti varijable pomocu
kojih se prognozira poznate sa sigurnoscu
R KVALITATIVNE PROGNOZE - karakteristika subjektivnog prognoziranja i
R KVANTITATIVNE PROGNOZE - metode i modeli koji se zapisuju jednadzbama
ili skupinama jednadzbi 1. deterministicki modeli i metode (matematicki), 2.
stohasticki prognosticki modeli i meiode (statisticki) - imaju slucajnu
varijablu ( modeli prognoze na bazi vremenskih serija i kazualni
regresijski modeli)
VREMENSKI NIZ - klasicna dekompozicija (rasclamba) vremenske serije -
pokusava na nekoj vremenskoj seriji izluciti 4 osnovne komponente :
? uvijek prisutna slucajna komponenta,
? trend komponenta opisuje osnovnu tendenciju razvoja vrem. serije,
? sezonska komponenta opisuje obnavljanje pojave u periodima od 1
god
? ciklicka komponenta opisuje obnavljanje pojave u periodima duzim
od 1 god.
MODELI VREMENSKE SERIJE :
1. Aditivni- komponente se zbrajaju yt = Tt + C t + S t + I t
2. Multiplikativni - komponente se moze - yt = Tt * C t *S t *I t .
PROGNOSTICKI MODELI NA BAZI VREMENSKE SERIJE -
1. Naivni prognostici modeli,
2. Modeli izgladivanja,
3. Ekstrapolacija pomocu trend modela
4. Modeli stacionarnih stihastickih modela
? NAIVNI PROGNOSTICKI MODELI -
? NAIVNI MODEL 1 (MODEL STATUS QUO)-vrlo jednostavni i neformalne
prirode za pojave s horizontalnim tijekom, koristi se kao baza slozenijih
progn. modela.
? - pretpostavka njegove primjene je da se pojava ne mjenja s
vremenom odnosno nema sistemskih komponenti vec ima samo slucajnu
komponentu; stoga je po ovom modelu razina pojave nakon tekuceg razdoblja
(t+1) jednaka razini pojave tekuceg razdoblja t .OPCA FORMULA: FT+1= yt ,
FT+? = yt ? = 1,2 - prognoza za ? razdoblja unaprijed.
-Yt -razina pojave u tekucem razdoblju t, FT+1 -prognozirana vrijednost
pojave za jedno razdoblje unaprijed
? NAIVNI MODEL 2 (MODEL STATUS QUO DIFERENCIJE) -jednostavan
kratkorocan model, pretpostavka njegove primjene je da pojava s vremenom
povecava ili smanjuje za priblizno isti apsolutni iznos, odnosno da su joj
prve diferencije priblizno priblizno konstantne ( pored slucajne varijable
ima i linearni trend), prognozira se tako da je razina pojave u vremenu
nakon tekuceg razdoblja (t+1) jednaka vrijednosti pojave u tekucem razdoblju
uvecanog za razliku tekuceg i prethodnog razdoblja. FT+1= yt + (yt - yt -1)
, , FT+? = yt + ? (yt - yt -1).
? NAIVNI MODEL 2A ( MODEL STATUS QUO STOPE) - pretpostavka njegove
primjene je da se pojava s vremenom povecava ili smanjuje za priblizno isti
relativni iznos, odnosno da su stope promjena priblizno konstantne (pored
slucajne komponente ima i eksponencijalni trend), prognosticka vrijednost za
razdoblje nakon tekuceg (t+1) utvrduje se tako da se razina pojave u tekuce
razdoblju pomnozi s omjerom razine pojave u tekucem i prethodnom razdoblju
.
? F ? +1= yt ( yt / yt -1) , prognoza za ? razdoblja //
.
F t +1= yt ( yt / yt -1) , prognoza za 1 razdoblje unaprijed
Poopcenje modela je prognoza na bazi prosjecne stope promjene. Karakterizira
ga eksponencijalni trend.
ü PROGNOZA NA BAZI PROSJECNE STOPE PROMJENE smije se primjeniti samo
ako serija nema velike varijacije u vremenu jer se stopa utvrduje samo
pomocu zadnje i prve vrijednosti tj. ima malu disperziju.Temelji se na samo
dva podatka u nizu
//S = (G-1)x100 ,, G=n-1 ?Yn/Y1
? MODELI IZGLADIVANJA-
R Jednostavni POMICNI PROSJECI - Pomicnim prosjecima se procjenjuje
razina pojave u odredenoj vremenskoj tocki pomocu jednostavne ili vagane
aritmeticke sredine frekvencija u okolini te tocke. Primjenom pomicnih
prosjeka vremenska serija se izgladuje, izgladena serija ima manju varijancu
tj. manju disperziju.
Postoje dvije vrste pomicnih prosjeka:
? JEDNOSTAVNI POMICNI PROSJECI- prikladni za pojave koje nemaju
sistemskih komponenata, vec samo slucajnu komponentu; odnosno za pojave koje
imaju horizontalni tijek
Opci oblik modela:
// F t +1= yt+ yt -1 +...+ yt -M+1 / M
-prva prognosticka vrijednost je za razdoblje (M+1)
? POMICNI PROSJECI POMICNIH PROSJEKA (DVOSTRUKI,
LINEARNI) -prikladni za vremenske serije koje karakterizira linearni trend
// F t +1= at+ bt
Prognoza za T (tao) razdoblja unaprijed
// F t + ? = a ? + ? b ?
Kod pomicnih prosjeka svi su ponderi jednaki
// S t'= yt+ yt -1 +...+ yt -M+1 / M
-izgladivanje se radi tako da se pomocu p.p. procjenjuje razina pojave u
odredenoj vrem. Tocki pomocu jdnostavne ili vagane aritmeticke sredine
frekvencija u okolini te tockr.
-br cl. P.p. je manji ako vremenska serija nema velike varjacije u vremenu
i obrnuto te oscilacije su uzrokovane slucajnom varijablom
Prva prognosticka vrijednost je za razdoblje (2M-1)
R MODELI EKSPONENCIJALNOG IZGLADIVANJA - Primjenom ovih modela
formiraju se prognosticke vrijednosti na bazi ponderiranih frekvencija
vremenske serije. Ponderi nemaju istu vrijednost (frekvencija koja je
kronoloski najaktualnija ima najveci ponder). Utjecaj frekvencija na
prognosticku vrijednost je manji sto je ona udaljenija od vremena
prognoziranja-EFEKT ZABORAVA PROSLOSTI
? MODEL JEDNOSTAVNOG EKSPONENCIJALNOG IZGLADIVANJA - ovaj se model
upotrebljava za kratkorocno prognoziranje pojava koje karakterizira
horizontalni tijek. Prognosticke vrijednosti formiraju se na bazi
ponderiranih frekvencija vremenske serije, ponderi nemaju istu vrijednost,
frekvencija koja je najaktualnija ima najveci ponder.
Opci oblik:
//
yt - tekuca vrijednost ; Ft - prognoza u tekucem razdoblju
Prognoza za T (tao) razdoblja unaprijed
//
a.. Prva prognosticka vrijednosr najcesce je jednaka prvoj stvarnoj
vrijednosti ili aritmetickoj sredini cijelog niza
//
a.. Buduci da je ? broj iz intervala od 0 do 1, najveci ponder je Wo,
zatim W1...vriujednost pondera se eksponencijalno smanjuje i utjecaj njemu
pripadajuce frekvencije
? BROWNOV MODEL LINEARNOG EKSPONENCIJALNOG IZGLADIVANJA
Ako pojava ima linearan trend tada se ta njena sistemska komponenta
izgladuje primjenom Brownovog modela eksp. izgladivanja
//
? HOLT - WINTERSOW MODEL EKSPONENCIJALNOG IZGLADIVANJA
Primjenjuje se ako se pojava uz slucajnu komponentu i linearni trend ima i
sezonsku komponentu i tada se ta sistemska komponenta izgladuje pomocu ovog
modela
v TREND MODELI
PROGNOZIRANJE POJAVA TRENDOM - Modelima trenda statisticki se opisuje
dugorocna kovarijanca pojave s vremenom. U praksi je relativno cesta
upotreba linearnog i eksponencijalnog trenda. Njihova statisticka analiza
provodi se metodama regresijske analize. Numericka analiza modela trenda
obuhvaca procjenu nepoznatih parametara odredivanje pokazatelja
reprezentativnosti i ispitivanja kakvoce modela. Pretpostavimo li da ce
trend biti postojan i u prognostickom horizontu, model s procjenjenim
parametrima moze se koristiti i u prognosticke svrhe. Graficki prikaz pojave
trenda:
? EKSTRAPOLACIJA NA BAZI OCIJENJENOG MODELA LINEARNOG TRENDA - Imamo
model linearnog trenda s procijenjenim parametrima ? i ? (sve kapa) koji je
reprezentativan. yt= ? + ?xt +et. Pretpostavimo li da ce taj trend biti
postojan i u prognostickom horizontu, model s procijenjenim parametrima moze
se iskoristiti u prognosticke svrhe. Pomocu jednadzbe trenda s procjenjenim
parametrima i vrijednosti varijable vrijeme izracunavaju se vrijednosti
trenda (yt kapa) unutar serije. Za razdoblje n + tao na temelju
ekstrapolacije na bazi ocijenjenog modela linearnog trenda dobivamo procjenu
vrijednosti pojave jednim brojem. Na temelju oblika normalne distribucije uz
danu razinu signifikantnosti procjenjuje se razina pojave intervalom
KOEFICIJENT DETERMINACIJE r2 - pokazuje udio protumacene sume u ukupnoj sumi
kvadrata r r2 = SP/ST rovim modelom smo protumacili xx %odstupanja
KOEFICIJENT JEDNOSTAVNE (LINEARNE) KORELACIJE r - govori kolika je jakost
i smjer veze izmedu pojave i vremena r predznak r = predznaku beta kapa
r2 r
0 0
nema povezanosti
0-0,25 0-0,5 slaba
povezanost
0,25-0,64 0,5-0,8 umjerena
povezanost
0,64-1 0,8-1 jaka
povezanost
1 1
savrsena (funkcionalna) povezanost
? EKSTRAPOLACIJA NA BAZI OCIJENJENOG MODELA EKSPONENCIJANOG TRENDA -
na temelju grafickog prikaza serije zakljucimo da pojava ima eksponencijalni
trend
-model eksponencijanog trenda se svodi na model lineranog trenda
logaritamskom transormacijom, a u lineariziranom modelu se umjesto
originalnih vrijednosti rabe njihovi logaritmi //
-dakle, imamo model s procijenjenim parametrima i varijable vrijeme
izracunavaju se trend vrijednosti unutar serije. Za razdoblje n+tau
primjenom ektrapolacije na bazi ocijenjenog modela eksp.trenda dobivamo
procjenu vrijednosti jednim brojem. Na temelju oblika Norm. Ditribucije uz
danu razinu signifikantnosti razina pojave se procjenjuje intervalom
v REGRESIJSKI MODELI
? PROGNOZIRANJE NA BAZI OCIJENJENOG REGRESIJSKOG MODELA - model s
procijenjenim parametrima dan izrazom ^y = alfa kapa + beta kapa X
alfa kapa = konstantni clan, beta kapa = regresijski koeficijent. Linearna
regresijska jednadzba izrazava odnos medu pojavama u smislu prosjeka
Alfa kapa - nema konkretnog znacenja, nema smislenu
interpretaciju
Beta kapa - pokazuje za koliko se u prosjeku mijenja vrijednost zavisne
varijable, ako se nezavisna varijabla promijeni za jednu jedinicu
Regresijske vrijednosti su procjene ocekivane vrijednosti zavisne varijable
za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Rrezidualna odstupanja = razlike vrijednosti zavisne varijable y i
regresijskih vrijednosti
Rezidualna odstupanja su osnova za izracunavanje varijance, st. dev. i koef.
varijacije regresije (na temelju kojih se utvrduje reprezentativnost modela)
Specifican pokazatelj reprezentativnosti regresije je koef determinacije r2=
SP/ST, sto je r2 blize 1 to je model reprezentativniji
*kod regresije crtamo DIJAGRAM RASIPANJA i zakljucujemo:
1. da li postoji povezanost imedu varijabli x i y
2. kojeg je oblika veza = linijska ili krivolinearna
3. smjer - pozitivan (porastom x dolazi do porasta y)
- negativan (poratsom x dolazi do smanjenja
y)
- Jakost veze - cvrsta(jaka) veza (tockice
su blizu zamisljenog pravca)
? MODEL VISESTRUKE REGRESIJE- Modelom visestruke regresije opisuje
se kovarijacija jedna numerske varijable pomocu dviju ili vise numerickih
varijabli. Opci linearni regresijski model osnovnog skupa ima oblik
- alfa kapa = konst. Clan
- beta kapa --- j = 1,2,....K=regresijski koeficijenti
Pokazuje za koliko se linearno u prosjeku mijenja vrijednost zavisne
varijable ako se varijabla xj poveca za 1, uz uvjet da se ne mijenjaju
vrijednosti ostalih nezav varijabli
Rregresijske vrijednosti su procjene ocekivane vrijednosti zavisne varijable
za dane vrijednosti nezav varijabli
Rrezidualna odstupanja = razlike stvarne vrijednosti zavisne varijable i
regresijskih vrijednosti
Rezidualna odstupanja su temelj za izracunavanje varijance, st dev i koef
varijacije regresije (na temelju kojih se utvrduje reprezentativnost modela)
Specifican pokazatelj reprezentativnosti regresije je koef multiple
determinacije R2= SP/ST (udio protumacene u ukupnoj sumi kvadrata).
Racuna se i korigirani koeficijent determinacije , a njime se nastoji
ublaziti porast R2-ta uslijed dodavanja nove neovisne varijable.
Interpretira se kao koeficijent determinacije.
PROGNOSTICKE POGRESKE - Prognosticke su pogreske zapravo mjera tocnosti
prognostickih vrijednosti. Pojedinacne prognosticke pogreske izracunavaju se
kao razlika stvarnog stanja i prognoziranog.
Prosjecne pogreske kao ME, MPE, MAD, RMSE, MSE, MAPE racunaju se za cijelu
seriju te na temelju njih izvodimo generalne zakljucke o kvaliteti modela
ü Prosjecna pogreska
ü Prosjecna postotna pogreska
ü Srednja apsolutna pogreska
ü Srednja apsolutna postotna pogreska
ü Srednja kvadratna pogreska
ü Korijen srednje kvadratne pogreske
ü Koeficijent linearne korelacije
M A T E M A T I C K I D I O
v TRANSPORTNI PROBLEM
? ZATVORENI PROBLEM TRANSPORTA
Homogeni proizvod smjesten je u m ishodista ili centara ponude i treba ga
prevesti u n odredista ili centara potraznje. Poznata je ponuda svakog
ishodista, potraznja svakog odredista te jedinicni troskovi transporta iz
svakog u svako odrediste. Ako je ukupna ponuda jednaka ukupnoj potraznji,
problem zovemo zatvoreni. Ako je ukupna ponuda razlicita od ukupne
potraznje, problem zovemo otvoreni i rjesavamo ga na nacin da ga svodimo na
zatvoreni problem. Cilj je naci onaj program transporta robe u kojem ce se
iscrpiti ponuda svakog ishodista, zadovoljiti potraznja svakog odredista
tako da ukupni troskovi transporta budu najmanji
ü oznake za parametre modela: ai=ponuda i-tog ishodista; i=1,..,m ;
bj=potraznja j-tog odredista; j=1,..,n; cij=jedinicni trosak transporta iz
ishodista i u odrediste j (irj)
ü varijabla odluke: xij=kolicina robe koja ce se prevesti iz ishodista
i u odrediste j
ü pretpostavke: 1.roba se salje direktno iz irj, 2.troskovi su
proporcionalni kolicini robe koja se prevozi 3. Homogenost tereta
ü Matematicki model: f.cilja: ukupni troskovi transporta:
T(x)=??cijxij=c11x11+c12x12+...+cmnxmn rmin
ü ogranicenja: za ishodiste i: xi1+xi2+...+xin=ai ; i=1,2,..,m, a
odrediste j: x1j+x2j+...+xjm=bj ; j=1,2,..,n xij?0
? OTVORENI PROBLEM TRANSPORTA
Problem transporta u kojem je ukupna ponuda razlicita od ukupne potraznje.
Rjesava se uvodenjem fiktivnog ishodista ili odredista na taj nacin da se
problem zatvori. Ako je uk.ponuda>uk.potraznje (?ai > ?bj), uvodimo fiktivno
odrediste, koje ce imati potraznju bn+1=?ai -?bj. Jedinicni troskovi
prijevoza robe u fiktivno odrediste jednaki su nuli; ci,n+1=o
? DEGENERATIVNI PROBLEM TRANSPORTA
? Slucaj kada imamo manje od m+n-1 bazicnih varijabli. Tada ne znamo
u kojoj se bazi nalazimo pa ne znamo testirati rjesenje na optimalnost. Do
degeneracije ce doci ako pri konstrukciji PBMR istodobno zadovoljimo
odgovarajuci redak i odgovarajuci stupac prije posljednjeg popunjavanja.
Cim dodemo do degeneracije prekidamo s postupkom, a nastavljamo s postupkom
za izbjegavanje degeneracije (postupak preturbacije). Pri odredivanju
poljednje bazicne varijable (koja nam fali) treba ju izabrati tako da cuva
linearnu nezavisnost. U slucaju degeneracije ce vrijediti: ?'ai=?'bj. Time
smo narusili jednakost varijabilnih suma, tj. nema vise degeneracije. Na
kraju kada dobijemo opt.rjesenje s preturbiranim podacima, stavimo E=0 i
tako dobijamo optimalno rjesenje zadanog problema
ü postpak preturbacije: ai r ai+E, i=1,..,m ; bj r bj ; j=1,..,n-1
; bn r bn+m*E , E>0, po volji mali broj
v VOGELOVA METODA - metoda za konstrukciju pocetnog bazicnog moguceg
rjesenja
ü 1. Racunaju se kazne za svako ishodiste i svako odrediste za
nekoristenje najjeftinijeg puta. Kazna za i-to ishodiste je razlika izmedu
dva najmanja troska u i-tom retku matrice jedinicnih troskova. Kazna za
j-to odrediste je razlika izmedu dva najmanja troska u j-tom stupcu matrice
jedinicnih troskova. Kazne su po dogovoru nenegativne.
ü 2. Odabere se redak ili stupac s najvecom kaznom i u njemu najmanji
trosak. Na pripadano polje (i,j) stavlja se varijabla xij=min{ai,bj} tj.
time cemo iscrpiti ili ponudu i-tog ishodista ili zadovoljiti potraznju
j-tog odredista.
ü 3. Postavljanjem kamena odredili smo varijable ili u i-tom retku ili
u j-tom stupcu pa odgovarajuci redak ili stupac izostavljamo u matrici
jedinicnih troskova. Za preostalu matricu ponavljamo postupak. Ako se
pojave 2 jednake najvece kazne, trazeno polje ce biti ono u kojem je
najmanji trosak retka ujedno i najmanji trosak stupca.
v ASIGNACIJA
To je problem raspodjele n radnika na n radnih mjesta. Poznata je
individualna efikasnost svakog radnika na svakom radnom mjestu. Cilj je
rasporediti radnike na radna mjesta tako da njihova ukupna efikasnost bude
optimalna. Problem asignacije rjesava se madarskom metodom. Dva su nacina
izracuna, ovisno o tome dali je rijec o min ili max. Postupak je isti osim
kod prvog koraka kada iz matrice izdvajamo M (maksimalni element) i od njega
oduzimamo sve elemente matrice. Kod raspisivanja matematickog modela vodimo
racuna da upisemo max.
v MADARSKA METODA
Prvo pogledamo radi li se o max ili min. Kod min izdvajamo najmanji element
u retku od svakog elementa u retku. Zatim najmanji u stupcu oduzimamo od
matrice koju smo dobili oduzimanjem najmanjih u retku. Kada smo to
izracunali krecemo s postupkom asigniranja. Trazimo jedinu 0 u retku, nju
asigniramo (uokvirimo) a sve ostale 0 u tom stupcu prekrizimo. Tako radimo
za svaki redak. Ako nemamo 0 u retku idemo u stupcu, s tim da krizamo sve 0
u retku. U retku u kojem nemamo 0 stavljamo marker i u tom retku trazimo
prekrizeno 0. Taj stupac markiramo i trazimo asigniranu 0. Redak u kojem je
asignirana 0 markiramo i trazimo prekrizeno 0. Ako je nema postupak je
gotov, a ko ima postupak nastavljamo na isti nacin. Kada smo to zavrsili
krizamo redak koji nema i stupac koji ima marker. Minimalni element koji
nalazimo u dijelu matrice koji nije prekrizen dodajemo min u retku, a
oduzimamo min u stupcu u matrici Cij - Nn. Ovaj se postupak nastavlja dok ne
dobijemo po jednu asigniranu 0 u svakom retku/stupcu. Kada dobijemo to onda
smo optimalno rasporedili radnike na strojeve, te raspisujemo matematicki
model i to tako da je svakom radniku pridruzen 1 posao i svakom poslu 1
radnik. Zbrojimo optimalna rjesenja svakog radnika i dobivamo rjesenje
primala. Rjesenje duala dobijemo kao zbroj u+v pri cemu zbrajamo i oduzimamo
min elemente s min elementima koje smo dopisivali. Ui V kod max se
razlikuju. U kapica =M-u, V kapica = -V
v TRGOVACKI PUTNIK
U problemu su zadane direktne udaljenosti izmedu gradova. Putnik mora obici
n gradova u kruznom putu, vodeci racuna o tome da svaki grad mora obici samo
jednom, ne smije izostaviti niti jedan grad, mora se vratiti u grad iz
kojega je krenuo i pri tome svemu napraviti najmanji broj kilometara.
Problem trgovackog putnika rjesava se metodom grananja i ogradivanja. Ideja
ove metode je da se skup svih svih mogucih kruznih puteva dijeli na dva
skupa (disjunktna) i za svaki od njih se racuna donja granica na duljinu
kruznog puta. Podskup s manjom donjom ogradom dijeli se na da manja
disjunktna podskupa i proces particije se nastavlja dook ne dodemo do
kruznog puta cija je donja ograda (granica) manja ili jednaka od donjih
ograda svih ostalih kruznih puteva. Skupovi kruznih puteva prikazani su kao
cvorovi stabala, a proces dijeljenja kao grananje. Objasni proces rjesavanja
zadataka.
v SIMPLEKS METODA
Osnovna ideja ove metode proizlazi iz toga da ako optimalno rjesenje
problema linearnog programiranja postoji, ono se nalazi u barem jednom vrhu
skupa mogucih rjesenja. Ideja je krenuti iz pocetne ekstremne tocke i
izracunati vrijednost funkcije cilja i poboljsati vrijednost prijelazom u
susjednu ekstremnu tocku. Kad se stigne u susjednu ekstremnu tocku koja ne
dopusta poboljsanje imamo optimalno rjesenje. Kod prijelaza tocka ne smije
izaci iz skupa i mora se poboljsati ili ostati ista vrijednost funkcije
cilja. Transformacija simpleks tablice radi se pomocu Gauss-Jordanovih
eliminacija.
S={x:Ax?A0, x?0}
max {c'x: xeS} s?0
1.kanditat: vrh
2.pocetni vrh u smjeru rasta funkcije cilja prelazi u susjedni vrh.. sve dok
ne dode do zaustavljanja nakon konacnog broja iteracija
postupak se zaustavlja u 2 slucaja: 1.nasli smo optimalni vrh u kojem je
najveca vrijednost f.cilja ili 2.da metoda dode u vrh iz kojeg vidi da
optimalno rjesenje ne postoji u konacnosti, tj.f.cilja neograniceno raste na
tom skupu
max c'x ; Ax?A0 ; x?0
ü KANONSKI OBLIK PROBLEMA -sustav linearnih nejednadzbi Ax?A0 zapisat
cemo kao sustav linearnih jednadzbi uvodenjem dodatnih varijabli koje cemo
oznaciti sa u
max c'x ; Ax+u = A0 ; x?0, u?0
ü OPTIMALNO RJESENJE -kada su sve ocjene vece ili jednake nuli (kod
max), to znaci da se nalazimo u vrhu u kojem nema vise smjera rasta
ü KRITERIJ ZAUSTAVLJANJA -kada vise nema smjerova rasta (za problem
max)
? DUALNI PROBLEM
ü Teorem 1: ako je x moguce rjesenje primala, y moguce rjesenje duala,
onda je vrijednost funkc.cilja primala manja ili jednaka vrijednosti f.cilja
duala (zp?zd)
ü Teorem 2: kriterij optimalnosti: Ako je x* MRP i y* MRD i ako su
c'x*=A0'y, onda je x* ORP i y* ORD
ü Teorem 3: osnovni teorem dualnosti: Ako primal ima MR anda oba
problema imaju OR i opt.vrijednost f.cilja im se podudaraju
Ako (P) nema MR onda (D) nema OR ; Ako (D) nema MR onda (P) nema OR
? CHARNESOV M POSTUPAK; ovaj postupak se jos zove i dvofazna simplex
metoda
ü 1.odredivanje jednog moguceg rjesenja (ubacivanjem dodatne varijable
w s koeficijentom M) ako ono postoji. Ako moguce rjesenje ne postoji,
postupak staje u 1.fazi i kazemo da optimalno rjesenje ne postoji
ü 2.generiramo bazicno moguce rjesenje (vrhove skupa S) dok ne dodemo u
optimalni vrh ili konstatiramo da optimalno rjesenje ne postoji u konacnosti
v ANALIZA OSJETLJIVOSTI
ü Pri promjeni jednog parametra u f-ji cilja
Pitamo se koliko se smije promjeniti pojedini parametar u f-ji cilja tako da
optimalno rjesenje ostane isto. Krecemo od rjesenja problema (P) max (C'x:
Ax < Ao ; x>o) - manje ili jednako i vece ili jednako. Promatramo za koliko
se moze promjeniti jedan parametar u f-ji cilja tako da optimalno rjesenje
ostane nepromijenjeno. U opt. Tablicu uvodimo promjene u f-ji cilja
1.
2. racunamo ocjene Zj-Cj=(Zj-Cj) ( )
3. rjesavamo sustav linearnih jednadzbi
Kao rjesenje tih nejednadzbi dobivamo dozvoljeni interval za . Ako je
promjena parametra unutar tog intervala optimalna vrijednost f-ja cilja nece
se promjeniti.
ü Pri promjeni jednog parametra s desne strane ogranicenja
Zelimo postici da nam baza ostane ista i optimalna tocka duala ostane
ista
v PRINCIP OSLABLJENE KOMPLEMENTARNOSTI
Neka je X moguce rjesenje primala i neka je y moguce rjesenje duala uz
u=Ao-Ax
V=A'y-c
Tada je x optimalno rjesenje primala i y optimalno rjesenje duala ako i samo
ako vrijedi :
Y'u + v'x =0
Umnozak optimalne vrijednosti str. var. duala i optimalne vrijednosti
odgovarajuce dodatne varijable primala jednak je 0 !! yi'*ui'=0