4 dimenzija
Pero Koka
shrek
"Pero Koka" <robert-zor...@zg.htnet.hr> wrote in message
news:cc4ftn$sbb$1...@ls219.htnet.hr...
> Znam što je 2D i 3D...Ali 4D??
>
cal...@fly.srk.fer.hr
> Znam što je 2D i 3D...Ali 4D??
Vrijeme se smatra 4. dimenzijom... Malo tesko za shvatiti sustinu stvari,
iako mnogi uzmu zdravo za gotovo...
--
Zeljeo podriguje pod krevetom sretan neboderu rascvjetavu
za svaku Novu Godinu ? By runf
Damir Lukic, cal...@fly.srk.fer.hr
a member of hr.comp.hardver FAQ-team
Lewis
>Znam što je 2D i 3D...Ali 4D??
>
>
pa to ti je monitor - "Adi 4D" :))) ;).
--
------------ Lewis ----------
http://www.lewis.tomsoft.hr
ICQ : 7128177
-----------------------------
Bullfrog
> Znam što je 2D i 3D...Ali 4D??
preko Google-a se moze doci do mnostva zanimljivih stranica na temu cetvrte
dimenzije, no kad vec pitas ovdje :-)
Da bi shvatio koncept cetvrte _prostorne_ dimenzije, te da bi dobio
kakvu-takvu predodzbu o njoj, najbolje se posluziti nekolicinom analogija.
Cetvrta dimenzija, pojednostavljeno receno, se odnosi prema
trodimenzionalnoj stvarnosti koju mi percipiramo, kao sto se treca dimenzija
odnosi prema dvodimenzionalnom svijetu.
Zamisli potpuno ravan komad papira, koji je beskonacno tanak. Preciznije je,
zapravo, govoriti o (dvodimenzionalnoj, nezakrivljenoj) ravnini. E sad,
zamisli da na toj ravnini zive bica koja imaju samo dvije dimenzije. Mozes
ta bica zvati Sesterokuti, Trokuti, Pentagrami, a kuce u kojoj zive i ulice
kojima se oni krecu Kvadrati, Pravokutnici, Pravci, Krivulje, Lukovi...
Takvim, dvodimenzionalnim, bicima je potpuno neintuitivan koncept Trece
Dimenzije. Kada bi uzeo nesto trodimenzionalno, poput stosca naprimjer, i
njega stao provlaciti kroz tu ravninu (okomito na nju), stanovnici Flatlanda
ce percipirati samo krugove koji su sve veci i veci, sve dok ne nestanu.
(Jer presjek stosca i ravnine koja je paralelna sa njegovom bazom je krug.)
Zamisli kako bi u takvom Flatlandu izgledala banka. To bi mogao biti kvadrat
zatvoren na sve cetiri strane i nitko od dvodimenzionalnih bica ne bi mogao
uci unutra, osim ako ne pomakne jednu stranicu tog kvadrata, za sto ce mu
trebati poseban dvodimenzionalni kljuc. Zamisli da je taj svijet pred tobom.
Ti vidis sve sto je u banci jer ju gledas iz zraka, dok nitko iz 2D svijeta,
koji je izvan tog kvadrata, ne moze vidjeti ono sto ti vidis. A ono sto ti
vidis u banci je, recimo, 2D hrpa jako dragocjenih poligona. Kako si ti u
visoj dimenziji od one u kojoj su zastitni zidovi trezora, ti ces samo
posegnuti, i, na sok i nevjericu cuvara trezora, koji ce biti (gotovo)
bespomocni da ista naprave, to blago ce pred njima jednostavno nestati, kao
da ga nikad nije ni bilo.
Idemo sada prenijeti ovu analogiju jedan stupanj, tj. jednu dimenziju vise,
gdje promatramo svijet u kojem zivimo, a kojeg percipiramo kao
trodimenzionalni.
Zamisli najcuvaniji i najsigurniji trezor na planetu. Sa svih strana od
temperiranog celika debljine 32 cm, dodatno armiranog i legiranog smjesom
ciji tocan sastav zna samo NASA. Recimo da je u tom trezoru zlatna poluga.
E sad, nase hipotetsko cetverodimenzionalno bice ce doci, vidjeti sve sto je
u trezoru (iako nitko od nas, tko je izvan trezora, nikako ne moze vidjeti
sto je unutra) - upravo kao sto si ti vidio sve sto je u trezoru
dvodimenzionalnih bica i jednostavno uzeti polugu, "dignuti" je u cetvrtu
dimenziju, i kasnije opet ispustiti, iz cetvrte dimenzije, na nas
trodimenzionalni trg. Na primjer.
Jesam li jasan? Moze li se ovo pratiti?
Kao sto ti u istoj sekundi mozes sagledati 2D svijet i vidjeti sto je iza
_ovog_ kvadrata ili unutar _onog_ kruga, tako i cetverodimenzionalno bice
moze u istoj sekundi sagledati nas 3D svijet.
Kad bi 2D bice htjelo vidjeti sto je iza ovog kvadrata ili unutar onog
kruga, ono to nece moci sagledati u jednoj sekundi, nego ce mu trebati
VRIJEME, kao sto i tebi treba vrijeme da vidis sto je iza onog tamo valjka,
ili pokraj one piramide, ili unutar onog kvadra. Zato se mogu cuti
objasnjenja o vremenu kao cetvrtoj dimenziji, o necemu unutar cijeg
proticanja to spoznajes nizedimenzionalni svijet. No to je tocno samo sto se
tice _percepcije_ tog svijeta (obilaska, hodanja). 3. dim je 3. dim, bez
obzira na to sto 2D bice kretanjem i kroz vrijeme i kroz prostor moze
vidjeti sto je ono tamo iza.
No evo i geometrijske podloge.
Zamisli da imas pravac (jednodimenzionalan (!!) skup tocaka). Sad, _okomito_
(!) na svaku tocku tog pravca polozi jos jedan pravac. Sto si dobio?
Dobio si dvodimenzionalan (!!) skup tocaka - ravninu. E sad, kroz svaku
tocku te ravnine polozi pravac koji je na nju okomit. Sto si pak sad dobio?
Sad si dobio trodimenzionalan (!!) skup tocaka - "prostor" (ili E, u
matematici).
I sad dolazimo do kljucne stvari: OKOMITO na na sve tri koordinatne osi
istovremeno (x,y,z) povuci pravce kroz svaku tocku PROSTORA. Novi skup
tocaka koji si dobio je cetverodimenzionalni prostor.
Neki grcki matematicar je dokazao da postoje samo tri dimenzije tako sto je
rekao da, ako stavi tri stapa koji su (svi) medjusobno okomiti (analogija u
vektorskom prostoru: i, j, k), KAKO GOD POKUSAVAO, nece moci postaviti
cetvrti stap tako, da bude ISTOVREMENO okomit na prethodna tri. Zamisli se
nad ovim.
Kako bilo, moguce je (!) postojanje stapa koji je okomit na prethodna tri,
stovise, postoji ih beskonacno mnogo, no ...
TEK KAD IH SE STAVI U VISU DIMENZIJU.
To je kljuc cijele price. Zemes stap, "gurnes" ga u visu (cetvrtu ili
kojuvec) D i rijesen problem.
Ispricavam se, verzali nisu deranje vec simulacija infleksije kod verbalnog
objasnjavanja.
Kakva geometrijska tijela nastanjuju cetverodimenzionalni prostor? Idemo
opet analogijom.
Kada 3D kuglu "guras" kroz ravninu Flatlanda, 2D bica vide prvo tocku, pa
mali krug koji se sve vise povecava do ekvatorijalnog presjeka, nakon kojeg
se smanjuje da bi opet zavrsio u tocki koja nestane.
Kada bi uzeo neko cetverodimenzionalno tijelo poput hiperkugle (potrazi na
googleu za druga hipertijela; kao sto su teserakta (tesseract), hiperkocka
(hypercube) i druga), i nju stao provlaciti kroz nas, 3D prostor, sto bi
vidio?
Prvo bi vidio tocku, koja bi se povecala u kuglu, ciji ce radijus povecavati
sve do jednog trenutka kada ce poceti napustati nas prostor i u potpunosti
opet biti u svojoj dimenziji (u kojoj je cijelo vrijeme, ali govorim o
presjeku).
Je li ista od ovoga jasno?
Tema je jako zanimljiva, no treba uloziti malo truda da bi se uslo u sve
njene cari. Ako te zanima, u Algoritmu su imali (davno, davno prije) izvrsnu
knjigu (koju sam procitao) ciji je autor Michio Kaku, a naslov je
"Hyperspace". Vele u Algoritmu da ce je i prevesti u onoj njihovoj
novopokrenutoj popularnoznanstvenoj biblioteci.
Zanimljivo ime u polju cetvrte dimenzije je i Charles Hinton, koji je
napisao i knjigu "vjezbi" popmocu kojih ljudi mogu "vidjeti" cetvrtu
dimenziju.
Eto, ovo gore je mozda vise "pop-culture" objasnjenje, no svakako valja
napomenuti da implementacija visih dimenzija ima jako vazno mjesto i u
znanosti. Spomenimo samo jedanaestodimenzionalni prostor unutar teorije
struna, kao i odusevljenje znanstvenika koji rade na "unificirajucoj
teoriji" ili "teoriji svega" (pokusaj da se jednom jednadzbom obuhvate
cetiri glavne sile u svemiru (fisija, fuzija, gravitacija,
elektromagnetizam) sto je jos i Einstein pokusavao), kada su vidjeli da se
kompleksnost jednadzbi visestruko smanjuje sto se problem izrazava u visim
dimenzijama...
Ma mogao bih tako do sutra, negdje ipak treba stavtiti tocku.
Pozdrav,
B.
CroArmy
critical.mechanism
"Bullfrog" <bullf...@hotmail.com> wrote in message
news:cc5c5i$re1$1...@ls219.htnet.hr...
> Pozdrav,
>
> > Znam što je 2D i 3D...Ali 4D??
>
trazio na netu objasnjenje za takvo nesto naisao sam na "hypercube" , dakle
hiper kocka, netko ju je nacrtao, dakle oni su pomocu formula kao za 2d
kvadrat za 3d kocku napravili forumulu za 4d objekt i nacrtali ga, izgledalo
je previse komplicirano da bih pratio (bio sam 1. srednje), uglavnom tada
sam ja razmisljao na nacin, ne bas slicno ovom kao sto si ti napisao (jaaako
dobra interpretacija), nego kao tipa recimo, ako gledas prema visem, recimo
1D (nezamislivo, tocka npr.) moze stati beskonacno u 2D, jel ? A kad bih
isao prostorno stavljati 2D oblike u 3D prostor, koliko ih stane ?
Beskonacno, dakle kada bih prostor (3D) isao stavljati u 4D trebalo bih
zadovoljavati uvjet da ih isto tako stane beskonacno, i tako dolazimo do
"VREMENA" u koje stane beskonacno mnogo 3D, bar sam dotle ja dosao u
samostalnom razmisljanju, no, vise RAZLICITIH teorija sam bio vidio na
netu...ali matematika mi vise nije toliko zabavna kao prije, pa se vise ne
zamaram takvim stvarima
critical.mechanism
>
> > Znam što je 2D i 3D...Ali 4D??
>
4D jer kao sto si rekao oni likovi u 2D prostoru su bili ograniceni i bilo
im je nemoguce objasniti 3D isto kao i nama 4D jer smo na isti nacin
ograniceni, 4D nemora biti ni prostor ni vrijeme, uglavnom nemoguce je
znati....
cal...@fly.srk.fer.hr
> Kako bilo, moguce je (!) postojanje stapa koji je okomit na prethodna tri,
> stovise, postoji ih beskonacno mnogo, no ...
Mijesas matematicke i fizicke dimenzije... Matematicka dimenzija je to o
cemu pricas, fizicki gledano, dimenzija je nesto potpuno drugo... Kad
rastezes prostor u matematici, onda to radis tako da koristis n nezavisnih
jedinicnih vektora, i imas lijep uvjet za to... Medjutim, fizikalno gledano,
3 dimenzije su sirina, visina i duljina... Cetvrta dimenzija je vrijeme,
iako ja imam jednu svoju teoriju to tome (mozda i nije moja, al ja sam sam
doso do nje, no treba sad sjest i to prvo sam sebi objasnit, a tek onda
drugima)... :)))
--
"Naklonjens li sprajtu farbu ?" upita slono tuce Bakicaog volija.
"Ne znam ja nista !" rece televizijaa ubija "Ja samo grobu kopu trijezanm !" By runf
NNSK
>
Ili po definiciji: Dimenzija vektorskog prostora definira se kao minimalni
broj linearno nezavisnih vektora koji cine bazu toga vektorskog prostora.
Hoces li vrijeme staviti kao 4-ti vektor ili neki prostorni vektor nama
nedokuciv, stvar je tvojih potreba.
U svakom slucaju, ako budes zelio vidjeti kako izgleda rotacija TESERACA (4
D kocke) oko 6 osi rotacije u 4D prostoru javi. Napisao sam to u Flashu i
izgleda sasvim O.K.
Ima negdje na internetu i JAVA applet. Ili pitaj nasega omiljenog zokija
graffa. Njemu su te kocke parale mozak mjesecima.
NNSK
NNSK
NNSK
> Quaternioni su 4D vektori :) koji služe za 3D rotacije tijela...
>
moze biti okrenuta u bilo kojem pravcu (a time se definira pomocu 3
vektora), ima i jos jednu dimenziju KUTA.
Ako tako gledamo, onda imas u prostoru 6 dimenzija. 3 translacije (X,Y,Z) i
3 rotacije (oznacavaju se jednako tako X,Y,Z, jer se os rotacije definira
kao normala na povrsinu u kojoj se tocke rotiraju).
Andrej
Osnovni problem je što mi zapravo vidimo u 2D. Dobijamo dvije
dvodimenzionalne slike, tj. stereogram koji u mozgu tumačimo kao
trodimenzionalnu. Tu nam pomaže osvjetljenje, iskustvo, stereo prikaz
zbog dva razdvojena oka i paralaksa zbog pomicanja glave, a
posjedujemo i jedan dosta ograničen z-buffer koji nazivamo
fokusiranjem oka.
Ali zapravo ne vidimo pravu 3d sliku prostora oko sebe - ne vidimo iza
zida, ne vidimo svoju utrobu niti ispod koje kutije šibica se nalazi
novčić. Sve to vidimo unutarnjim okom, tj. u mozgu imamo potpunu
rekonstrukciju prostora oko sebe, ali ona ne mora biti točna.
Kad proširimo to na 4 dimenzije, stvar se još više zakomplicira. Onda
se 4 dimenzije projiciraju na samo dvije i gubi se jako puno
informacija. Kompjuterska simulacija 4d prostora lako se napravi i ako
bismo pustili čovjeka da dovoljno dugo živi u takvom prostoru,
vremenom bi se u njemu razvila sposobnost da se pristojno snalazi i
kreće u takvom okruženju. Naravno, to bi bio potpuno perverzan
eksperiment kojem ne vidim drugog smisla osim da dokaže moju gornju
tvrdnju. ;o)
A matematičarima je opet svejedno je li dvije, tri, pet ili sto
dimenzija jer je kod njih sve to apstrahirano na jednu neiskustvenu
razinu.
A.
Andrej
>Quaternioni su 4D vektori :) koji služe za 3D rotacije tijela...
>
Za 3D rotaciju dovoljni su i 3D vektori. Kvaternioni se koriste jer su
zgodniji za kodiranje i s njima se izbjegavaju neki problemi koji se
pojave npr. kod Eulerovih kuteva.
A.
NNSK
>
napraviti duuugacki thread sa svih mogucih aspekata. Ovako, mogu ti
odgovoriti ja i eventualno neki zalutali matematicar.
Dimenzija vektorskog prostora (a to je apstraktna kategorija koja ima samo
analogije sa nasim geometrijskim prostorom koji se inace naziva E3,
euklidski prostor dimenzije 3) definira se kao maksimalni broj linearno
nezavisnih vektora koji se mogu u tom prostoru nalaziti. Svi vektori nekog
vektorskog prostora mogu se opisati odredjenim brojem vektora. Najmanji broj
vektora koji opisuju sve vektore vektorskog prostora cine BAZU vektorskog
prostora.
Matematicke definicije glase ovako:
Dimenzija konacnodimenzionalnog vektorskog prostora V je kardinalni broj
baze vektorskog prostora.
Skup izvodnica vektorskog prostora je skup vektora pomocu kojih se svaki
vektor iz V moze prikazati. Baza vektorskog prostora je podskup izvodnice
vektorskog prostora takav da vrijedi:
a) baza je skup izvodnica za vektorski prostor V
b) baza je linearno neazvisan skup
Za neki skup S vektorskog prostora V kazemo da je linearno nezavisan ako
linearna kombinacija vektora iz S moze biti jednaka nul vektoru samo tako da
svi koeficijenti budu jednaki nuli.
Linearna kombinacija vektora se definira kao
alpha1*A1+alpha2*A2+alpha3*A3+...+alphan*An.
Prevedeno laicki: svaki vektor u nekom prostoru moze se izraziti nekim
skupom vektora iz tog prostora. Najmanji takav skup naziva se BAZA
vektorskog prostora. Broj vektora koji cine takvu bazu naziva se kardinalnim
brojom baze vektorskog prostora ili DIMENZIJOM.
Primjer: u nase euklidskom E3, imas na primjer bazu koja se sastoji od 3
vektora, x, y, z. No ona nije jedina moguca. Mozes koristiti i polarne
koordinate: theta, fi, r(azimut, elevacija, radijus) ili cilindricne
koordinate: azimut, kota i daljina. No ovijek imas minimalno 3 vektora.
Sirina, duzina visina, ili zemljopisna sirina, zemljopisna duzina i visina
(meridijani, paralele i kote su ti polarne koordinate).
4D prostor bio bi takav u kojem bi postojala 4 linearno nezavisna vektora.
Postoje u fizici mnogi prostori koji opisuju neke pojave a dimenzije su im
vece od 3. Recimo, fazni prostor je dimenzije 6, jer se sastoji od 3 vektora
polozaja (tijelo moze biti bilo gdje u 3D prostoru opisanom sa 3 vektora) i
3 vektora impulsa (tijelo se moze kretati bilo kojim pravcem opisanim sa 3
vektora).
No ovo na sto ti ciljas svodi se na dvije mogucnosti. Ili ces uzeti VRIJEME
kao 4-tu dimenziju, a sto proizlazi iz einsteinove teorije relativnosti i
Lorentzovih transformacija kod kojih se zapaza da se pri tranformacijama
vektori prostora i vremena medjusobno mijesaju dajuci nove prostorno
vremenske koordinate. Zato se to naziva prostorno-vremenski kontinuum, a
kako bi 4-ta dimenzija imala istu dimenziju (metar) kao i ostale 3,
vremenski se vektor mnozi sa brzinom svjetlosti, dakle, vremenska os ima
dimenziju ct (dimenzionalna analiza: [m/s][s]=[m]).
Ako pak zelis 4-tu PROSTORNU dimenziju, onda izlazis iz podrucja fizike.
Matematicki to je svejedno. Racunati vektorski prostor proizvoljne dimenzije
jednako je kao i racunati 3-dimenzionalni prostor. No u svijetu fizike, imao
bi 6 osi rotacija, (jer se rotacija definira nad potprostorom dimenzije 2, a
kombinacija 4D koordinata koje daju potprostore dimenzije 2 ima 6 tj. xy,
xz, xw, yz, yw, zw), imao bi problema sa valnom frontom svjetlosti. Trebao
bi, za vidjenje takvog prostora imati hiperfotone koji imaju
trodimenzionalnu valnu frontu, kao sto i nas prostor ima dvodimenzionalnu
valnu frontu koju kada zabiljezimo dobijemo fotografiju. Da bi vidio 3D
valnu frontu, tvoje bi oko moralo biti dimenzije 4. Ako pak ti kao 3D tijelo
dodjes u prostor dimenzije 4, i ako je svijetlo ipak 3D, onda bi za vidjenje
4D prostora morao imati posredno projiciranje. Mogao bi gledati samo
projekciju projekcije i to upravo rade programi za vizualizaciju teseraca
(4D kocki).
Problem nastaje i sa kiralnim efektom. U 2D prostoru ne mozes nikakvom
rotacijom iz raznostranicnog trokuta dobiti trokut koji bi bio jednak
njegovoj zrcalnoj slici. Ali ako ga okrenes u 3D, onda mozes. Lijevi trokut
postaje desni.
Jednako tako, nikakvom rotacijom ne mozes okrenuti tijelo u 3D prostoru tako
da dobijes isto tijelo koje nalikuje njegovoj zrcalnoj, kiralnoj slici.
(Kiros, ruka, lijeva i desna, da sad ne objasnjavam).
No u 4D, kada bi te netko preokrenuo, moglo bi se dogoditi da postanes
jednak svojoj kiralnoj slici. Povratkom u 3D prostor, tvoje bi srce bilo na
desnoj strani, tvoja bi DNK bila zavinuta u drugu stranu, glukoza u krvi
postala bi fruktoza i obrnuto (pozdrav Tomislavu D. Matkovicu ako ovo prati)
a i spinovi atoma i jezgri bi se okrenuli.
Drugim rijecima, to ne bi prezivio pri srazu sa materijom.
Za sada sve fizikalne sile pokazuju da nemaju potrebe za jos jednom
dimenzijom. Ali zanimljivo je mastati o hipersilama, hiperfotonima,
hiperslikama i hiperprojekcijama.
Pa, ako te takve stvari fasciniraju, odi na hr.sci.fizika i netko ce se s
tobom zasigurno dopisivati. Tu gdje se ljudi bave zaradjivanjem za jogurt i
kruh i mlijeko, crncenjem po svakojakim Croatia Filmovima i inim njima
slicnim firmama...ti si u svakom slucaju visak.
Jest, postoje i tu neki koji kupuju casopise, gledaju Star Treek i znaju
brbljati o fizici, ali vjeruj mi, to nemas razloga slusati.
NNSK
> se 4 dimenzije projiciraju na samo dvije i gubi se jako puno
> informacija. Kompjuterska simulacija 4d prostora lako se napravi i ako
> vremenom bi se u njemu razvila sposobnost da se pristojno snalazi i
> eksperiment kojem ne vidim drugog smisla osim da dokaľe moju gornju
> tvrdnju. ;o)
Problem predstavlja i to sto imamo 3D misice. Jednostavno nas fizikalni
vehikl, nase tijelo, je trodimenzionalno (naravno ako zanemarimo astralna i
druga tijela iz ezotericke teorije i prakse), nasi misici ne mogu ostvariti
4D pokret, 4D rotacije, nasi zglobovi to ne mogu, i ukratko: cak i kada
bismo imali mozak koji bi shvatio 4D prostor, oci koje bi ga vidjele i
svjetlo koje bi ga obasjavalo, ne bismo mogli pokretati misice. Bili bismo
kao flash animacija naspram pune trodimenzionalnosti.
NNSK
> iako mnogi uzmu zdravo za gotovo...
>
vremenskim koordinatama, zapaza se da one ravnopravno sudjeluju. Nove,
transformirane prostorne koordinate dobivaju se miksanjem prostornih i
vremenskih, a jednako vrijedi i za vremenske. Ukratko, po svemu, one se
ponasaju kao da su koordinate istog prostora. Zato se takav prostor naziva
prostorno vremenski kontinuum, a njegove koordinate su x, y, z i ct.
Andrej
>No u 4D, kada bi te netko preokrenuo, moglo bi se dogoditi da postanes
>jednak svojoj kiralnoj slici. Povratkom u 3D prostor, tvoje bi srce bilo na
>desnoj strani, tvoja bi DNK bila zavinuta u drugu stranu, glukoza u krvi
>postala bi fruktoza i obrnuto (pozdrav Tomislavu D. Matkovicu ako ovo prati)
>a i spinovi atoma i jezgri bi se okrenuli.
>Drugim rijecima, to ne bi prezivio pri srazu sa materijom.
Bi, ali ne bi imao što za jesti.
A.
Andrej
>Problem predstavlja i to sto imamo 3D misice. Jednostavno nas fizikalni
>vehikl, nase tijelo, je trodimenzionalno (naravno ako zanemarimo astralna i
>druga tijela iz ezotericke teorije i prakse), nasi misici ne mogu ostvariti
>4D pokret, 4D rotacije, nasi zglobovi to ne mogu, i ukratko: cak i kada
>bismo imali mozak koji bi shvatio 4D prostor, oci koje bi ga vidjele i
>svjetlo koje bi ga obasjavalo, ne bismo mogli pokretati misice. Bili bismo
>kao flash animacija naspram pune trodimenzionalnosti.
Mišići su 1D - imaju samo skupljanje i opuštanje. Orijentacijom i
konfiguracijom mišića određuju se smjerovi. To je tako ako insistiraš
na nekom totalnom presliku 3d u 4d. Ali inače je dovoljno koristiti
normalno 3d kretanje za potprostor od 4d i još neke dodatne kontrole,
npr. micanje ušima za reorijentaciju unutar 4d. ;)
Zato ne vidim neki problem u svemu tome, a osim toga ja sam pričao o
simulaciji, a ne realnom svijetu pošto svi dobro znamo da realan
svijet nije 4-dimenzionalan (molim bez spominjanja vremena u raspravi
o prostoru).
A.
cal...@fly.srk.fer.hr
> Zbog Lorenzovih tranformacija. Kada se izvode transformacije nad prostorno
> vremenskim koordinatama, zapaza se da one ravnopravno sudjeluju. Nove,
> transformirane prostorne koordinate dobivaju se miksanjem prostornih i
> vremenskih, a jednako vrijedi i za vremenske. Ukratko, po svemu, one se
> ponasaju kao da su koordinate istog prostora. Zato se takav prostor naziva
> prostorno vremenski kontinuum, a njegove koordinate su x, y, z i ct.
Nije to bas samo tako... Ako uzimas gradijent temperature, eto ti 4.
dimenzije, samo dodaj malo boja u prostor...
Vrijeme je nesto drugo... Smatramo da tece u jednom smjeru... I to je ono
sto nije lako za shvatiti...
--
Na krovu frizidero sere Madjarski skupstinau ubiju popodne ?
cal...@fly.srk.fer.hr
> Ako tako gledamo, onda imas u prostoru 6 dimenzija. 3 translacije (X,Y,Z) i
> 3 rotacije (oznacavaju se jednako tako X,Y,Z, jer se os rotacije definira
> kao normala na povrsinu u kojoj se tocke rotiraju).
Jok, kod rotacija se koriste fi, theta i psi...
--
Poglavicaa cupa bijesan u umobolnici kaktusu spavu jucer.
Andrej
>NNSK <nn...@zg.htnet.hr> kenjka:
>> Zbog Lorenzovih tranformacija. Kada se izvode transformacije nad prostorno
>> vremenskim koordinatama, zapaza se da one ravnopravno sudjeluju. Nove,
>> transformirane prostorne koordinate dobivaju se miksanjem prostornih i
>> vremenskih, a jednako vrijedi i za vremenske. Ukratko, po svemu, one se
>> ponasaju kao da su koordinate istog prostora. Zato se takav prostor naziva
>> prostorno vremenski kontinuum, a njegove koordinate su x, y, z i ct.
>
>Nije to bas samo tako... Ako uzimas gradijent temperature, eto ti 4.
>dimenzije, samo dodaj malo boja u prostor...
Ja ovdje nisam ništa shvatio, osim da želiš životu dodat malo boje.
>Vrijeme je nesto drugo... Smatramo da tece u jednom smjeru... I to je ono
>sto nije lako za shvatiti...
Što nije lako za shvatiti? Osim tvojeg teksta.
A.
NNSK
> konfiguracijom miąića određuju se smjerovi. To je tako ako insistiraą
> na nekom totalnom presliku 3d u 4d.
Osi rotacija u zglobovima i hvatista sila tih misica nisu 1D. A ja nista ne
inzistiram. Sto se sad ljutis?
>
> Zato ne vidim neki problem u svemu tome, a osim toga ja sam pričao o
> simulaciji, a ne realnom svijetu poąto svi dobro znamo da realan
> svijet nije 4-dimenzionalan (molim bez spominjanja vremena u raspravi
> o prostoru).
>
Ja vidim taj i mnoge druge probleme. Cak i u simulaciji.
NNSK
>
to bas i nisi pretjerano ucio ne?
NNSK
> Nije to bas samo tako... Ako uzimas gradijent temperature, eto ti 4.
> dimenzije, samo dodaj malo boja u prostor...
O cemu ti pricas? Lorentzove transformacije i gradijent temperature? Sto
hoces reci? Hajde, pojasni svoju misao.
NNSK
> Bi, ali ne bi imao što za jesti.
>
NNSK
je
> 4D jer kao sto si rekao oni likovi u 2D prostoru su bili ograniceni i bilo
> im je nemoguce objasniti 3D isto kao i nama 4D jer smo na isti nacin
> ograniceni, 4D nemora biti ni prostor ni vrijeme, uglavnom nemoguce je
> znati....
>
Recimo politop 2,21 je 6-dimenzionalni, a pri njegovoj projekciji u 3D
prostor dobijes Schläfli double-six.
Inace, ovo o cemu ti pricas sa smjestajem tocaka, povrsina, tijela, to
upraco tako i funkcionira. I potpuno si u pravu. Ljudi mogu shvatiti vise
dimenzije samo kroz ekstrapoliciju poznatog 3D iskustva. Ili jednostavnijim
rijecima, onako kako se 3D odnosi prema 2D, a 2D prema 1D (sto nam je lagano
shvatiti) tako se i 4D odnosi prema 3D. Koristili mi 4-tu koordinatu za opis
vremena ili neceg drugog, ne mijenja na stvari. Ja obozavam na to gledati
geometrijski.
Recimo, politopi. To su tijela omedjena jednakim celijama dimenzije za jedan
manje.
Politop je istostranican trokut jer je omedjen jednakim celijama, a to su
stranice koje imaju za jedan manju dimenziju od njega. On je 2D, stranice su
mu 1D.
Ima beskonacno mnogo 2D politopa, i zato svaki umjetnik i "umjetnik" moze
raditi sto zeli na papiru.
U 3D sva tijela omedjena jednakim stranicama su politopi. To su platonova
tijela. Heksaedar (kocka), tetraedar, ikozaedar, oktaedar i dodekaedar.
To su tijela, dakle 3D, omedjena 2D celijama (dodekaedar pentagonima,
ikozaedar, tetraedar i oktaedar trokutima a heksaedar kvadratima).
Nema beskonacno mnogo politopa, pa ne moze svaki "umjetnik" raditi sto
pozeli. Zato izrada 3D tijela od papira i frustrira neke ljude koji bi sve
radili "odokativno".
U 4D bi politopi bili 4D tijela omedjena trodimenzionalnim celijama koje bi
bile jednake.
Jedan od njih je i hiperkocka ili teserac. Omedjena je sa 8 kocaka. Najcesce
ga poznajemo kroz njegovu 2D projekciju projekcije i izgleda kao kocka u
kocki, gdje se stranice vanjske povezane sa stranicama unutarnje i opet
kockama. Unutarnja i vanjska, i 6 poveznica, to su 8 kocaka kao celije toga
politopa.
Kao sto vidis jednostavno je.
Imas i jos jedan zanimljiv detalj.
Dimenzija nula je tocka. Imas jednu tocku. Najjednostavnija celija je
tocka. 1 1
Dimenzija 1 je pravac. Najjednostavnija celija je duzina. Definirana sa
dvije tocke. 1 2 1
Dimenzija 2 je ravnina. Najjednostavnija celija je trokut, definiran sa 3
tocke, tri duzine. 1 3 3 1
Dimenzija 3 je "prostor", najjednostavnija celija je tetraedar, definiran sa
4 tocke, 6 duzina, 4 troukuta 1 4 6 4 1
Dimenzija 4 je "hiperprostor", najjednostavnija celija je hipertetraedar,
definiran sa 5 tocaka, 10 duzina, 10 trokuta, 5 tetraedra 1 5 10 10 5 1
Dimenzija 5 je.... najjednostavnija celija je 5D
tetraedar, definiran sa 6 tocaka, 15 duzina, 20 trokuta, 15 tetraedara, 6
hipertetraedara 1 6 15 20 15 6 1
Neces vjerovati ali trokut
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
ti je jedan oblik Pascalovog trokuta koji sadrzi binomne koeficijente.
Binomni koeficijenti su ti koeficijenti pri racunanju izraza (x+y) na n-tu
Probaj:
(x+y) na prvu je x na prvu + y na prvu 1 1
(x+y) na drugu je x na kvadrat + 2* xy + y na kvadrat 1 2 1
(x+y) na trecu je x na trecu + 3*x na kvadrat puta y + 3* x puta y na
kvadrat + y na trecu 1 3 3 1
(x+y) na cetvrtu je x na cetvrtu + 4*x na trecu * y +6* x na kvadrat*y na
kvadrat + 4*x*y na trecu + y na cetvrtu 1 4 6 4 1
(x+y) na petu je x na petu + 5*x na cetvrtu*y+10* x na trecu*y na
kvadrat+10* x na kvadrat * y na trecu+5* x * y na cetvrtu+y na petu 1 5 10
10 5 1
To ti se inace matematicki (binomni koeficijenti) pise kao zagrada u kojoj
je gore n a dolje k i izgovara n povrh k a izracunava se kao n faktorijela
kroz (n-k faktorijela puta k faktorijela).
Kao sto vidis, matematika vrlo lako racuna sa bilo kojim dimenzijama. Ja se
osobno bavim time, i izradjujem modele 3D projekcija visedimenzionalnih
politopa. I bas mi je zabavno.
Svojevremeno sam u flashu napravio rotaciju teseraca, i 5D kocke i mogu
reci, nije uopce problem. Naime, najlakse ces vidjeti koje je kocka
dimenzije ako pogledas koliko ima stranica koje izlaze iz pojedinog vrha.
Kod 3D kocke iz svakog vrha izlazi 3 brida. To je direktno vezano za bazu
vektorskog prostora, odnosno broj linearno nezavisnih vektora, a kod kocke
oni su ortogonalni.
Za 4D kocku, iz svakog vrha izlaze 4 brida, a za 5D kocku izlazi 5 bridova.
Kao sto postoji pascalov trokut za trokute i tetraedre, slican trokut
postoji i za kocke.
Dimenzija 0 je tocka. 1
Dimenzija 1 je pravac, celija je duzina, omedjena sa dvije tocke. 1 2
Dimenzija 2 je povrsina, celija je kvadrat, omedjen sa 4 tocke, i 4 brida 1
4 4
Dimenzija 3 je prostor, celija je kocka, omedjena sa 8 tocaka, 12 bridova i
6 kvadrata 1 8 12 6
Dimenzija 4 je hiperprostor, celija je teserak, omedjena sa 16 tocaka, 32
brida, 24 kvadrata i 8 kocaka 1 16 32 24 8
Dimenzija 5 je ... , celija je hiperteserac, omedjena sa 32
tocke, 80 bridova, 80 kvadrata, 40 kocaka, 10 teseraca 1 32 80 80 10
(molim, ako sam negdje napravio gresku nemojte me pretjerano pljuvati).
Pa ako jednog dana pozelis programirati rotaciju 5D kocke kao sto sam ja
uprilicio jednom u CF-u (pitaj graffiusa), znaj da ces morati iscrtati 80
linija da bi ju dobio, a ako radis u open GL-u i zelis osjencati istu,
trebat ce ti samo za nju 80 poligona. Nije puno, kompjuter iscrta k'o od
sale, ali problem u 5D je sto imas 10 osi rotacija.
Pa, kao sto vidis, uz pljuvanje po CF-u imam i zabavnijeg posla. Sto kazes
na multidimenzionalnu geometriju?
atom
"Pero Koka" <robert-zor...@zg.htnet.hr> wrote in message
news:cc4ftn$sbb$1...@ls219.htnet.hr...
> Znam ąto je 2D i 3D...Ali 4D??
>
>
4D je komad od nekog imena programa (cinema - mislim da se zove).
Mnogi ga hvale, a ja ga nikada nisam niti vidio.
Radi i nekakve proračune sa zrakama svjetlosti (nije bas moj teren).
Mislim da sam pročitao da su ga razvili Njemci, a oni kada neąto naprave to
mora da je dobro.
NNSK
> Mislim da sam pročitao da su ga razvili Njemci, a oni kada neąto naprave
to
> mora da je dobro.
>
cal...@fly.srk.fer.hr
>>Nije to bas samo tako... Ako uzimas gradijent temperature, eto ti 4.
>>dimenzije, samo dodaj malo boja u prostor...
> Ja ovdje nisam ništa shvatio, osim da želiš životu dodat malo boje.
Fizikalno si prikazes 4. dimenziju tako sto u 3D prostor dodas boje...
Gradijent temperature... U svakoj tocki prostora temperatura je drukcija, i
eto ti 4. dimenzije kad pobojas taj prostor...
Kuzis, 4D vektor... v=[x y z T]'
>>Vrijeme je nesto drugo... Smatramo da tece u jednom smjeru... I to je ono
>>sto nije lako za shvatiti...
Gle, lako je za primjetiti da vrijeme tece samo u jednom smjeru... Tesko je
za shvatiti... To se uzima zdravo za gotovo...
Kuzis... Po svim prostornim koordinatama ti mozes odredjivati gdje ces se
nalaziti, osim po vremenu... Vrijeme tece u jednom smjeru, ne postoji
negativno vrijeme (ustvari, mi ga ne mozemo shvatiti)... Isto tako,
negativna frekvencija i slicno...
--
U ormaru dostavljac mrcvari optuzen drugaro umire
svakih 15 minuta ? By runf
cal...@fly.srk.fer.hr
>> Jok, kod rotacija se koriste fi, theta i psi...
> Za kuteve. A kada racunas vektore rotacija, ne racunas theta, psi i fi. Ti
> to bas i nisi pretjerano ucio ne?
U robotici imas ovo sto sam naveo... S obzirom da se robotika i animacija 3D
objekata jako nadopunjuju (ustvari se baziraju na istim teorijama), eto, fi,
theta i psi se koriste kod rotacija... Ilitiga, valjanje, poniranje i
zakretanje...
--
"Blesavs li frizideru pipu ?" upita Norvezankao mase konobaro umire.
"Nisam ja nikog bombardiro !" rece mackao umire "Ja samo planinarog trcija celavm !" By runf
NNSK
> Gradijent temperature... U svakoj tocki prostora temperatura je drukcija,
i
> eto ti 4. dimenzije kad pobojas taj prostor...
>
> Kuzis, 4D vektor... v=[x y z T]'
>
dimenzionalni i beskonacno diemnzionalni vektorski prostori.
To sam i ja napisao u jednom postu (pogledaj malo nize) ali to nije poanta
onoga sto se zeli raspraviti:
Zasto se uvelo vrijeme kao jos jedna dimenzija koja pored prostornih cini 4D
kontinuum? Odgovor: zato sto Lorentzove transformacije ravnopravno mijesaju
vremenske i prostorne koordinate i stvaraju nove vremenske i prostorne
koordinate. Drugim rijecima, Lorentzove transformacije ravnopravno tretiraju
prostorne i vremenske koordinate, gotovo da ne prave razliku (necemo sad u
detalje i u simetrije, stoga, molim, najte me vuci za jezik, ovo nije grupa
za Einsteinovu teoriju relativnosti).
Ovo sto ti sad hoces dodati druge fizikalne dimenzije kako bi pokazao da
fizika barata sa videdimenzionalnim prostorima...pa dao sam ti primjere
faznog prostora, imas hilbertov prostor u kvantnoj fizici, termodinamika ti
je krcata takvim stvarima, a i same galilejeve transformacije koriste 9
koordinata. Prema tome, nije to sporno niti ima veze sa ovim sto se zeli
reci: prostor i vrijeme medjusobno se "rotiraju" kao da pripadaju jednom
istom prostoru.
To sto postoji kauzalnost i sto se nas sustav krece u vremenskoj koordinati
(a smjer toga vektora moze se analizirati pomocu entropije, ak' kuzis sto je
to) je druga stvar.
Ovdje ipak pokusavamo vise sa matematickog aspekta dokuciti sto je to
geometrijska 4-ta dimenzija. I kakav bi bio svijet da ima 4 prostorne
dimenzije kroz koje se mozes slobodno kretati (kroz vrijeme se ne mozes
slobodno kretati cak i kad imas vremenski stroj).
Pero Koka
fizici i matematici, pa mi treba malo vise vremena da skuzim sve sta se
napisalo, al svejedno fala.. Sad mi je pomalo i zao sto nisam bio
zainteresiraniji za fiziku i matisu kad sam imao priliku..
NNSK
NNSK
Ti
> > to bas i nisi pretjerano ucio ne?
>
> U robotici imas ovo sto sam naveo... S obzirom da se robotika i animacija
3D
> objekata jako nadopunjuju (ustvari se baziraju na istim teorijama), eto,
fi,
> theta i psi se koriste kod rotacija... Ilitiga, valjanje, poniranje i
> zakretanje...
Reci mi, kad analiziras kretanje ziroskopa, racunas li za rotaciju kuteve
ili imas vektore rotacije?
Svaki takav kut je skalar. Vektor rotacije je, ocito vektor. I mora imati
svoj smjer, orjentaciju i iznos. Iznos mu je kutna brzina, derivacija kuta o
kojem ti govoris pa vremenu
(jedan od fi, theta i psi) ali smjer i orjentacija?
Evo da te poducim: ako imas neko tijelo koje se rotira u nekoj ravnini, onda
se vektor rotacije definira kao vektor paralelan sa normalom na tu ravninu,
orjentacija mu je po pravilu desne ruke (desnog vijka) a iznos mu je
proporcionalan kutnoj brzini. Jer mi ovdje ne govorimo o zakretima vec o
rotacijama, a tu su bitne kutne brzine.
Nisi nikad u vektorskim analizama vidio one silne omege? Pogledaj npr. kako
se analizira dinamika giroskopa. Pravilo N.E. Zukovskog i tako to...
NNSK
> zainteresiraniji za fiziku i matisu kad sam imao priliku..
>
Posudi npr. jednu groznu knjigu, tesko shvatljivu na prvi pogled, ali kako
ju budes citao, cak ne moras ni po redu, postupno ces poceti razumijevati...
Matila Ghika: Filozofija i mistika broja.
Andrej
>> Mišići su 1D - imaju samo skupljanje i opuštanje. Orijentacijom i
>> konfiguracijom mišića određuju se smjerovi. To je tako ako insistiraš
>> na nekom totalnom presliku 3d u 4d.
>
>Osi rotacija u zglobovima i hvatista sila tih misica nisu 1D. A ja nista ne
>inzistiram. Sto se sad ljutis?
>
>>
>> Zato ne vidim neki problem u svemu tome, a osim toga ja sam pričao o
>> simulaciji, a ne realnom svijetu pošto svi dobro znamo da realan
>> svijet nije 4-dimenzionalan (molim bez spominjanja vremena u raspravi
>> o prostoru).
>>
>Ja vidim taj i mnoge druge probleme. Cak i u simulaciji.
>
Ne ljutim se, zašti bih se ljutio?? Ali i dalje tvrdim da gore
navedeno ograničenje ne postoji. Ne želim upilati off topic raspravom,
ali razmisli dobro (i ponovno) kako točno mišići rade i kako se
njihovo stezanje pretvara u razne oblike rotacije. Prvo pogledaj kako
to radi u 2d. Gornjom logikom, ispasti će da u 3d ne mogu tako raditi.
A potom pogledaj kako rade u 3d...
A simulaciju ne zanimaju mišići, problemi koji tamo postoje su jedino
odabir najintuitivnijeg oblika projekcije za prikaz, te orijentacije i
translacije u dimenziji viška.
A.
Andrej
>Fizikalno si prikazes 4. dimenziju tako sto u 3D prostor dodas boje...
>Gradijent temperature... U svakoj tocki prostora temperatura je drukcija, i
>eto ti 4. dimenzije kad pobojas taj prostor...
>
>Kuzis, 4D vektor... v=[x y z T]'
Ne zanimaju me prostori bez metrike i rotacije.
I sat s 4 kazaljke čini 4d prostor, i svako tijelo s 4 stupnja
slobode, svaka jednadžba s 4 parametra, i svaka uređena četvorka
brojeva...
>>>Vrijeme je nesto drugo... Smatramo da tece u jednom smjeru... I to je ono
>>>sto nije lako za shvatiti...
>
>Gle, lako je za primjetiti da vrijeme tece samo u jednom smjeru... Tesko je
>za shvatiti... To se uzima zdravo za gotovo...
>
>Kuzis... Po svim prostornim koordinatama ti mozes odredjivati gdje ces se
>nalaziti, osim po vremenu... Vrijeme tece u jednom smjeru, ne postoji
>negativno vrijeme (ustvari, mi ga ne mozemo shvatiti)... Isto tako,
>negativna frekvencija i slicno...
Ne bih ulazio dublje u raspravu o strelici vremena jer to zaista ne
spada na ovu grupu. Ali negativne frekvencije i negativno vrijeme nisu
nikakve apstrakcije, kao što nije ni negativni bankovni saldo.
A.
NNSK
> navedeno ograničenje ne postoji. Ne ľelim upilati off topic raspravom,
> ali razmisli dobro (i ponovno) kako točno miąići rade i kako se
> njihovo stezanje pretvara u razne oblike rotacije. Prvo pogledaj kako
> to radi u 2d. Gornjom logikom, ispasti će da u 3d ne mogu tako raditi.
> A potom pogledaj kako rade u 3d...
Ma slazem se ja s tobom. Kada bi misici bili postavljeni na nacin da mogu
pokretati kosti i u jos nekim stupnjevima slobode, onda zaista ne bi bilo
vazno. Ali oni nisu tako postavljeni. Ako si gledao moj post, ja tvrdim da
je tijelo 3D vehikl. Nisam nista rekao o misicima, iako i oni imaju mnogo
stupnjeva slobode. Nisu svi misici fleksori. Neki sluze i za rotacije.
Ako ti zglob nema dodatne stupnjeve slobode, ti ne moze pokrenuti ruku u taj
smjer. Da bi zglob to mogao u 4D, morao bi umjesto sfere biti u obliku
hipersfere, a on to, koliko je meni poznati, dozvoljavam da grijesim i da
postoje neshvatljive stvari, nije.
> A simulaciju ne zanimaju miąići, problemi koji tamo postoje su jedino
> odabir najintuitivnijeg oblika projekcije za prikaz, te orijentacije i
> translacije u dimenziji viąka.
>
Sve 5. Ali simulacije ljudi obicno rade na osnovu poznatog modela. Kada bi
napravio 4D simulaciju, i simulirao 4D tijelo, to vise ne bi ni nalikovalo
na covjeka. No pustimo, u pravu si. Sve se moze simulirati, ta i ja sam
radio 5D simulacije.
Andrej
>Ma slazem se ja s tobom. Kada bi misici bili postavljeni na nacin da mogu
>pokretati kosti i u jos nekim stupnjevima slobode, onda zaista ne bi bilo
>vazno. Ali oni nisu tako postavljeni. Ako si gledao moj post, ja tvrdim da
>je tijelo 3D vehikl. Nisam nista rekao o misicima, iako i oni imaju mnogo
>stupnjeva slobode. Nisu svi misici fleksori. Neki sluze i za rotacije.
>Ako ti zglob nema dodatne stupnjeve slobode, ti ne moze pokrenuti ruku u taj
>smjer. Da bi zglob to mogao u 4D, morao bi umjesto sfere biti u obliku
>hipersfere, a on to, koliko je meni poznati, dozvoljavam da grijesim i da
>postoje neshvatljive stvari, nije.
Ako si već pretpostavio da se čovjek nalazi u 3d prostoru, onda možeš
uzeti i da je zglob hipersfera, ili hyperwhatever. U paketu dolaze i
dodatni stupnjevi slobode. Nakon toga, sve je lako.
Glede flexora, savijanje i rotacije su više-manje ista stvar.
A.
CroArmy
grafici. Jer izbjegavaju Gimbal Lock kao kod eulerovih kuteva iako su
eulerovi meni lakąi i draľi.... ti ta 3 eulerova kuta moą nazvat (fi, theta
i psi), (ľnj, ľlj i ľb) ili (x,y,z) ili (pitch,yaw,roll) -
poniranje,zakretanje,valjanje,
sve je isto.
a ovo je OT.
NNSK
theta
> i psi), (žnj, žlj i žb) ili (x,y,z) ili (pitch,yaw,roll) -
> poniranje,zakretanje,valjanje,
> sve je isto.
> a ovo je OT.
>
vektor.
NNSK
> uzeti i da je zglob hipersfera, ili hyperwhatever. U paketu dolaze i
> dodatni stupnjevi slobode. Nakon toga, sve je lako.
Ali tada to nije covjek.
> Glede flexora, savijanje i rotacije su viąe-manje ista stvar.
>
Dobro, ne mogu ti objasnjavati. U pravu si.
Andrej
>> Ako si već pretpostavio da se čovjek nalazi u 3d prostoru, onda možeš
>> uzeti i da je zglob hipersfera, ili hyperwhatever. U paketu dolaze i
>> dodatni stupnjevi slobode. Nakon toga, sve je lako.
>
>Ali tada to nije covjek.
Ovo je već diskriminacija. I 4d-ljudi su ljudi. ;)
A.
CroArmy
VREMENU. a rotacija nije kutna brzina... može se na 100 načina objasnit...
Ili možda griješim, jer ja ovo gledam s 3d programerske perspektive...
Socrates Scipion
>
Mrzim rasizam kao prljavog hipermana.
NNSK
>