Outra coisa que os gregos nos deixaram como legado foi a grande
sabedoria matemática de Pitágoras, Euclides, Arquimedes e Diofanto.
Conta a lenda que Pitágoras, ao olhar para o chão onde apareciam
desenhos verificou, por composição e decomposição de figuras, uma
propriedade de todos os triângulos retângulos:
A área de um quadrado construído sobre a hipotenusa (lado oposto ao
ângulo recto) de um triângulo rectângulo é igual à soma das áreas dos
quadrados construídos sobre os catetos (os outros dois lados).
Desta relação surgiu o Teorema de Pitágoras tal como o conhecemos
hoje:
Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos.
Atualmente, são conhecidas várias demonstrações do Teorema de
Pitágoras.
Curiosidades de Pitágoras
Pitágoras e os pitagóricos foram os primeiros a estabelecer a
demonstração com base num raciocínio dedutivo. A eles se deve também a
palavra Matemática que para eles significava "ciência por excelência".
A Escola Pitagórica, fundada em Crotona, admitia pessoas de ambos os
sexos. Aliás, Teano, a esposa de Pitágoras, foi provavelmente a
primeira matemática da história.
No entanto, os membros desta irmandade estavam sujeitos a normas muito
rigorosas pois tinham que viver castamente, seguir uma dieta rigorosa
e manter uma atitude contida e sossegada. Era proibido o riso e deviam
cultivar o hábito da autocrítica.Os alunos estavam divididos em dois
grupos, os externos e os internos.
Só os alunos internos tinham contacto directo com Pitágoras. Os alunos
externos viam Pitágoras apenas depois de quatro anos de curso, durante
os quais recebiam as suas lições escritas e autenticadas com a fórmula
"autos efa" que significa "o que ele disse", para dar a entender que
não existia discussão possível.
Convencidos de que estavam a formar uma sociedade selecta e
predestinada pelos deuses a pôr em ordem a vida dos homens comuns, os
pitagóricos decidiram fundar em Crotona, com base nas verdades
filosóficas elaboradas por "o mestre", a república ideal.
Conta a história que, em determinado momento, os habitantes de Crotona
deram-se conta de que todas as magistraturas estavam ocupadas por
pitagóricos e que estes estavam quase a converter a cidade naquilo em
que Pitágoras havia convertido a sua academia, uma espécie de prisão.
Então, dispostos a modificar esta situação, rodearam a academia.
Pitágoras fugiu, a meio da noite e em roupa interior, mas acabou por
ser alcançado e morto pela população em fúria.
Aos pitagóricos é atribuída a máxima " Tudo é número ", mas a noção
que eles tinham de número correspondia a números inteiros ou
fraccionários. Por isso, quando descobriram os irracionais mantiveram
essa descoberta secreta, para não porem em causa a sua própria teoria.
A grande obra de Euclides foi, "Os Elementos", que é constituída por
treze capítulos sobre Aritmética, Geometria e Álgebra. A obra foi uma
compilação do conhecimento geométrico que se tornou o centro do ensino
de Matemática por 2000 anos.
Na época de Arquimedes, "Os Elementos" era frequentemente adotado como
livro básico. Entre gregos e romanos, durante toda a Idade Média e até
o Renascimento, "Os Elementos" era considerado o livro por excelência
para o estudo da geometria.
"Os Elementos" divide-se em 13 capítulos onde:
No primeiro capitulo estuda-se o triângulo e desenvolve-se importantes
considerações sobre o teorema de Pitágoras. Inicia-se com vinte e três
definições, entre elas, "um ponto é o que não tem parte", "uma reta é
um comprimento sem largura" e "uma superfície é o que tem apenas
comprimento e largura" , que foram melhoradas mais tarde por Platão.
No segundo capitulo, trata-se das relações entre áreas dos quadrados e
dos retângulos.
No terceiro e quatro capitulo fala-se das principais propriedades dos
círculos.
No quinto e sexto capitulo Euclides apresenta a teoria das proporções
e aplica-a à geometria plana.
No capitulo sete enuncia regras fundamentais para a Teoria dos Números
como o conhecido "Algoritmo de Euclides", para achar o máximo divisor
comum entre dois números.
No oitavo e nono capitulo examina os números primos e estuda os
processos de fatorização.
O décimo capitulo, considerado o mais perfeito, contém os números
irracionais.
Os três últimos, dedicados à geometria no espaço, exemplo: cubos,
pirâmides, paralelepípedos, etc.
Curiosidades sobre ARQUIMEDES
Há uma célebre anedota relacionada com os estudos hidrostáticos de
Arquimedes. Trata-se do problema da coroa.
Hieron, rei de Siracusa, encomendou uma coroa em ouro puro a um
ourives. O rei desconfiado que este o tivesse enganado, fazendo uma
mistura de ouro com prata, pede a Arquimedes que com a sua
inteligência e astúcia provasse a fraude deste artesão.
Arquimedes descobre como havia de proceder, quando um dia, ao
entrar numa banheira completamente cheia de água, esta começa a
transbordar. Foi aí que ele percebeu que o volume total do líquido
derramado só poderia ser igual ao volume do corpo que se encontrava
nesse líquido. Assim, Arquimedes consegue saber o volume da coroa ao
mergulhá-la em água e medir o volume do liquido deslocado. Conhecido
esse valor, bastava compará-lo ao de uma peça de ouro de peso igual ao
da coroa. A diferença de valores entre essa peça e a coroa seria
devida a um material diferente contido no interior desta.
Com esta descoberta, Arquimedes ficou eufórico e saiu nú da banheira
gritando: Heureka! Heureka! (Achei! Achei!)
Em honra de Diofanto as equações com coeficientes inteiros cujas
soluções são também inteiras denomina-se equações diofantinas. Pela
ênfase dada em seu tratado à solução de problemas indeterminados, tal
tratado tornou-se conhecido como análise diofantina, em geral parte de
cursos de teoria dos números. Seu trabalho, contudo, não é suficiente
para lhe conferir o título de pai da Álgebra.
Parece ser que Diofanto sabia que nenhum número da forma 4n + 3 ou 4n
– 1 pode obter-se como soma de dois quadrados, nem nenhum número da
forma 24n + 7 pode obter-se como soma de 3 quadrados.
A obra de Diofanto diferencia-se com a álgebra numérica babilónica por
buscar soluções exactas, positivas e racionais de equações
determinadas e indeterminadas; por os seus números serem abstractas e
não se referir a medidas concretas como dimensões de campo ou unidades
monetárias. Nos seus seis livros há um uso sistemático de abreviaturas
para potências de números e para relações e operações.
A maioria dos problemas são equações lineares e quadráticas. Diofanto
considerou 3 tipos de equações de 2º grau:
ax2 + bx = c ; ax2 = bx + c ; ax2 + c
= bx
Por, naquela época, não existir o zero, nem os números negativos estas
equações são consideradas diferentes entre si.
Mas a contribuição (indireta) mais importante de Diofanto foi a partir
da tradução para latim dos seis primeiros livros com o nome de
Arithmética em 1621 por C. G. Bachet. Esta tradução foi a que inspirou
o verdadeiro pai da teoria dos números, Pierre Fermat.