편미분의 순서
OpenGL
결과는 같잖아요. 그걸 증명하려면 연속의 성질을 이용해야 한다는데 어떤
방식으로 접근해야 될까요?
Round^2 f /Round x Round y = Round^2 f /Round y Round x
(Round : 라운드 표시, ^2 : 제곱표시)
Kim Sung-bom
>
> 취미가 수학인 사람입니다. f(x,y)의 편미분에서 x, y의 편미분 순서에 관계없이
> 결과는 같잖아요. 그걸 증명하려면 연속의 성질을 이용해야 한다는데 어떤
> 방식으로 접근해야 될까요?
Round f(x,y) / Round x = D1 f(x,y)
Round f(x,y) / Round y = D2 f(x,y) 라고 일단 표기를 하기로 하고요,
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Lemma: 직사각형 a≤x≤b, c≤y≤d에서 정의된 연속함수 g(x,y)에 대하여
D2 g가 존재하고 연속일 때, φ(y)=∫(a:b) g(t,y) dt로 두면, φ는 미분
가능하고, dφ/dy = ∫(a:b) D2 g(t,y) dt 이다.
Proof: φ의 뉴턴 몫을 만들면
(φ(y+h) - φ(y)) / h = ∫(a:b) ((g(t,y+h) - g(t,y)) / h dt
평균값 정리에 의해서 y와 y+h 사이에
g(t, y+h) - g(t, y) = h D2 g(t, u)
인 u가 존재하고 따라서 뉴턴 몫은 ∫(a:b) D2 g(t,u) dt이다. 이제
D2 g(t,y)가 연속이므로 주어진 임의의 ε>0에 대하여,
| u - y | < δ ⇒ | D2 g(t,u) - D2 g(t,y) | < ε
인 δ가 존재한다.(연속함수의 고른 연속에 관한 성질) 따라서 |h|<|δ|이면
| (φ(y+h) - φ(y)) / h - ∫(a:b) D2 g(t,y) dt |
≤ ∫(a:b) | D2 g(t,u) - D2 g(t,y) | dt ≤ ε(b-a)
이다. 따라서,
lim(h→0) (φ(y+h) - φ(y)) / h = ∫(a:b) D2 g(t,y) dt
이다. (증명 끝)
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본 정리의 증명:
우선 f(x,y)의 정의역 U 속에 포함되는 직사각형 a≤x≤b, c≤y≤d를 고정
하고, g(x,y) = D1 f(x,y)로 두면, g는 연속이고, D2 g(x,y)도 연속이므로,
∫(a:x) D2 D1 f(t,y) dt = (Round / Round y)∫(a:x) D1 f(t,y) dt
= (Round / Round y) (f(x,y) - f(a,y))
이다. 한편, 왼쪽 항은 x에 대해 미분가능하므로, 오른쪽 항도 x에 대해
미분가능하고, 따라서 D2 D1 f(x,y) = D1 D2 f(x,y)를 얻는다. (증명 끝)
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옛날에 본 미적분학 책에 있는 내용인데, 오랜만에 보니 무슨 이야기인지
하나도 못 알아듣겠군요.. :) 아무튼 도움이 되었기를 바랍니다.
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김승범
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