[질문]선형과 비선형의 공학적 의미
김종순
nog...@hotmail.com
f(ax+by) = af(x) + bf(y) 면 linear고
아니면 nonlinear고... 그런거 아닌가요?
김종순
>
>아니면 nonlinear고... 그런거 아닌가요?
nog...@hotmail.com
외력의 존재여부는 선형/비선형과는 관계가 없습니다.
진동문제에서 지배방정식(반드시 미방일 필요는 없습니다)의
오른쪽이 0이냐 아니냐는 계의 거동을 나타내는 지배방정식이
선형이냐 비선형이냐에는 아무런 관계가 없습니다.
Chun Ho Sung
L 을 미분 operator 라고 하면
어떤 함수 f 에 다한 미분방정식은 Lf=0 으로 쓸수 있습니다.
이때 선형이란
L(af+bg) = aLf+bLg 로 나타나는 것이고
비선형이란 요렇게 쓸수 없는 것이죠.
진동계를 아신다면 기계과이실걸로 생각되는데
응수 혹은 공업수학 배우면 다 나오지 않나요?
Sang-won Shin
김종순 이(가) <6c81b4$q74$2...@news.kren.nm.kr> 메시지에서 작성하였습니다...
간단하게 이야기 한다면 말이죠.... 선형과 비선형의 차이는 억지냐 아니면 억지가 아니냐 라는 차이라 볼수 있을 겁니다.물리적으로 선형이라면 이상적으로 시뮬레이트 된 상태에서 이루어지는 운동을 이야기 한다고 보면 될겁니다. 자연계의 현상이란 모든게 비선형이죠.... 헐....다시 이야기하면, 선형이란 가역성을 내포하고 있는 물리계를 의미합니다. 뉴턴이 세운 3가지 운동법칙을 만족하는 공간이지요.비선형이란 가역성이 존재할 수 없습니다. 운동이란 시간의 흐름에 따라 일어나는 것으로 단지 공간뿐만이 아닌 시간의 지배를 받기 때문에, 과거의 운동을 되돌릴 수는 없는 것이죠. 그리고, 같은 실험을 한다고 해서 똑같은 결과를 얻을 수도 없는 것입니다. 그것이 방정식에서 비선형 항으로 나타나게 된느 것이고요.너무 추상적인 이야기 인가요? 쩝....
nog...@hotmail.com
> </DIV>
> <DIV>�/DIV>
> <DIV><FONT size=2>간단하게 이야기 한다면 말이죠.... 선형과 비선형의 차이는 억지냐 아니면 억지가 아니냐 라는 차이라
> 볼수 있을 겁니다.</FONT></DIV>
> <DIV><FONT size=2></FONT>�/DIV>
> <DIV><FONT size=2>물리적으로 선형이라면 이상적으로 시뮬레이트 된 상태에서 이루어지는 운동을 이야기 한다고 보면
> 될겁니다.�자연계의 현상이란 모든게 비선형이죠.... 헐....</FONT></DIV>
> <DIV><FONT size=2></FONT>�/DIV>
> <DIV><FONT size=2>다시 이야기하면, 선형이란 가역성을 내포하고 있는 물리계를 의미합니다.�뉴턴이 세운 3가지
> 운동법칙을 만족하는 공간이지요.</FONT></DIV>
> <DIV><FONT size=2></FONT>�/DIV>
> <DIV><FONT size=2>비선형이란 가역성이 존재할 수 없습니다.�운동이란 시간의 흐름에 따라 일어나는 것으로 단지
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> <DIV><FONT size=2>너무 추상적인 이야기 인가요? 쩝....</FONT></DIV></BLOCKQUOTE></BODY></HTML>
>
>------=_NextPart_000_003D_01BD3B50.512BF660--
>
선형/비선형과 가역/비가역과는 아무런 상관이 없는데요.
뉴턴역학의 삼체운동이나 단진자운동(진폭이 큰경우)도
비선형인데????
농담하신거겠죠?
김종순
제가 의미전달을 잘 못한 모양이군요.
물론, 외력의 존재여부는 선형이냐 비선형이냐와는 관계가 없습니다.
제차냐 비제차냐를 구분하는데는 그런 차이점이 있다는 것을 예로 든것입니다.
죄송하군요.
nog...@hotmail.com 이(가) <6c98so$oh8$1...@news.netple.com> 메시지에서
작성하였습니다...
김종순
물론, 그렇게 간단하게 표현할 수 있겠죠?
그럼, 제가 왜 포스팅을 했겠습니까?
저는 선형과 비선형의 차이를 수학적 표현이 아닌 공학적 의미의 차이로
알고 싶었을 뿐입니다.
제나름대로의 생각은 규칙성이 부여되느냐 그렇지않고 불규칙적이냐 이렇게 할
수도 있을 것 같거든요. 그런데, 일반적으로 자연계의 모든 물리현상은
비선형이라고
들 하는데, 또 그걸 선형화해서 우리가 이용한다고 하더라구요.
어쨌든, 제가 궁금한 것은 위와 같습니다.
조언 감사합니다.
Chun Ho Sung 이(가) <6c9on6$flc$2...@usenet.kreonet.re.kr> 메시지에서
작성하였습니다...
>nog...@hotmail.com wrote:
>> 외력의 존재여부는 선형/비선형과는 관계가 없습니다.
>
>> 진동문제에서 지배방정식(반드시 미방일 필요는 없습니다)의
>> 오른쪽이 0이냐 아니냐는 계의 거동을 나타내는 지배방정식이
>> 선형이냐 비선형이냐에는 아무런 관계가 없습니다.
>
박종대
김종순 <us...@woongbi.pknu.ac.kr> wrote:
: 저는 선형과 비선형의 차이를 수학적 표현이 아닌 공학적 의미의 차이로
: 알고 싶었을 뿐입니다.
선형인 경우엔 오차의 누적도 선형입니다.
즉, 측정이나 계산시에 오차가 e 만큼 발생하면, 계산을 k번 반복해도
오차가 k*e 정도 누적됩니다.
비선형일 경우엔 오차의 누적도 비선형적입니다.
k번 반복되는 경우엔 오차가 지수함수로 증가한다고 보시면 됩니다.
아주아주 간단한 예를 들자면...
초기값이
a[0] = p
일때와
a[0] = p+e (물론 e는 아주아주 작은 값)
일때,
1) a[i] = a[i-1] + a[0]
2) a[i] = a[i-1] + a[i-1]
3) a[i] = a[i-1] * a[i-1]
위의 계산을 n회 반복해 a[n] 값을 얻었다고 합시다.
1의 경우엔 값의 차이가 n*e 정도죠.
2의 경우엔 좀 커져서 e*(2^n) 쯤 되겠죠?
3의 경우엔??
위의 예는 초기 오차만 고려한 겁니다.
계산 중간에 유효숫자 등의 이유로 계속 오차가 누적될 경우엔 더 큰 차이를
보이겠죠.
--
박종대
-- ' C-language Edition
#define cdpark /* KAIST, CSDept, Theory of Computation Lab. */
#include <signature.h> /* the Hitchhiker's Guide to the Internet?? */
Chun Ho Sung
> 알고 싶었을 뿐입니다.
> 수도 있을 것 같거든요. 그런데, 일반적으로 자연계의 모든 물리현상은
> 비선형이라고
> 들 하는데, 또 그걸 선형화해서 우리가 이용한다고 하더라구요.
> 어쨌든, 제가 궁금한 것은 위와 같습니다.
> 조언 감사합니다.
비선형계에서도 공학적으로 의미있는 규칙성은 자주 찾을 수 있습니다.
물론 이것이 비선형임에도 불구하고 생기는 것인지 아님
비선형성이 적어서 생기는 것인지는 잘 모르지만.
비선형계에서의 규칙성을 연구하는 분야가 한때 인기있던 chaos 라는데
저는 그쪽은 잘 모르겠군요.
어쨌든 완전한 비선형계인 유동장도 많은 규칙성이 있습니다.
Jungshik Shin
In <6c845m$rcp$1...@news.kren.nm.kr>, 김종순 wrote:
: nog...@hotmail.com 이(가) <6c82qq$paq$1...@news.netple.com> 메시지에서 작성하였습니다...
:>f(ax+by) = af(x) + bf(y) 면 linear고
:>
:>아니면 nonlinear고... 그런거 아닌가요?
: 제가 수학을 전공하는 사람이 아니라서, 답변해주신 내용의 의미를
: 잘 모르겠습니다.
: 예를 들면, 제가 알기로는 제차(동차, homogeneous)와 비제차의 차이는 물리적인 진
: 동계(vibration system)에서 이런 차이가 있습니다.
homogeneous와 inhomogeneous를 제차/동차, 비제차라고 한다는 것을 오늘
생전 처음 알았습니다. 그런데, 이것은 아무래도 너무 낯설어서
도저히 쓰기 힘들 것 같고(저한테만 낯선지도?) 좋은 우리말을 찾아야할
것 같군요. 차라리 '외력 없는', '외력 있는'이라고 하거나,
'균질/비균질'이라고 하는 것이 더 낫지 않을까요? 이것도 별로군요.
어쨌든, '제차/비제차'는 너무 심한 듯 합니다.
: 그런데, 선형과 비선형의 차이는 뭘까하는 게 항상 궁금했죠.
위에서 다른 분이 답하신 수식에 사실 선형의 정의는 잘 드러나 있습니다.
가장 간단한 조화 진자의 운동 방정식을 생각해 봅시다. 가장 간단하다고
했지만, 자연 현상의 대부분은(입자 물리학에서부터 그네의 운동, 용수철
진자의 운동,빛과 물질의 상호 작용, 레이저,반도체 내의 전자와 정공의
움직임, 전기 회로, 바이올린과 가야금의 아름다운 소리.......) 단진자만
제대로 이해하면 대강의 설명이 가능합니다. 그 까닭은 안정적 평형
근처에서는 항상 위치 에너지 곡선을 2차 함수로 (아래로 볼록인) 근사할
수 있기 때문입니다. (안정적 평형이므로 위치 에너지의 1차 도함수는
평형점에서 0이고 2차 도함수는 양수입니다)
mx"(t) + b x'(t) - w^2 x(t) = F_ext(t)
이 미방은 선형이라고 합니다. 독립 변수인 x나 그 도함수의 차수가 모두
1차인 미방을 선형 미방이라고 하고, 독립 변수나 그 도함수의
차수가 1이 아닌 경우를 비선형 미방이라고 합니다.
선형 미방은 다음과 같은 성질(중첩 원리 : superposition principle)을
만족합니다. 서로 다른 두 가지의 외력 F1_ext(t)와 F2_ext(t)가 각각
가해진 경우의 해가 x_1(t)와 x_2(t)라고 하면, F_ext(t) = F1_ext + F2_ext
가 가해진 경우의 해는 두 경우의 해의 합 (x(t) = x_1(t) + x_2(t))로
주어집니다. 이 경우를 좀더 일반적인 경우로 확장해 보면
맨 처음에 다른 분이 주신 식의 의미를 좀더 명확히 아시겠지요?
또, 비선형 미방은 이런 성질을 만족하지 않는다는 것은 쉽게 아시겠지요?
자, 이제 좀더 다른 각도에서 바라 봅시다. 위에 적은 미방이 용수철
진자나 그네의 운동을 나타낸다고 합시다. 이 미방은 그네나 용수철 진자의
진폭이 작을 때에는 아주 좋은 근사입니다. 하지만, 진폭이 커지면 비선형
항이(위치 에너지 곡선에서 3차 이상의 항) 중요한 몫을 하기 시작하고, 더
이상 무시할 수 없습니다. 이렇게 무시할 수 없는 (외력이 아주 큰 경우나
단진자의 경우에 "진폭" x가 큰 경우) 비선형 항이 자연을 훨씬 다양하고
풍요롭게 해 줍니다. 진자의 정확한 운동 방정식은
theta'' + w^2 sin(theta) = 0 임을 생각하면, 왜 비선형 항이 나오는지
이해할 수 있을 것입니다.
비선형 항이 들어가면 그 해에는 외력의 주파수 w 이외에 다른 성분이
나타납니다. 2w, 3w 성분(harmonics, 배음) 등이 나옵니다. 또, 두 개의 서로
다른 주파수를 가진 외력이 작용할 경우에 w1, w2 성분 이외에 w1-w2, w1+w2,
2w1-w2 성분 등 다양한 성분이 나옵니다. 위의 물질 속의 전자를 예로 들면
보통 세기의 빛 대신에 아주 강력한 레이저 빔을 비추면(이것은 용수철을
조금만 그 평형점에서 당길 때에는 후크의 법칙이 잘 성립하지만, 용수철을
많이 늘이면 더 이상 후크의 법칙이 성립하지 않는 것과 비슷합니다. 그런
식으로도 훌륭하게 비선형 광학 현상을 설명할 수 있습니다) 비선형 항이
중요해집니다. 그래서, 빨간 레이저 빛을 비추었는데 주파수가 그 2배인
자외선이 나오기도 하고, 빨간 레이저와 녹색 레이저를 같이 비추면 둘의
주파수의 차(합)에 해당하는 적외선(자외선)이 나오기도 하는 등 다양한
현상이 생깁니다.
사람의 귀도 비선형 시스템의 훌륭한 보기입니다. 외부에서 두 개의 다른
주파수를 가진 음이 귀를 때리면 비선형 반응을 하는 귀는 진동을 일으킨
주파수 뿐 아니라 이들의 배음과 두 주파수의 합, 차를 가지는 소리도
인지합니다. 아무데서나 볼 수 있는 라디오에서도 이런 원리는 쓰이고
있습니다. AM 라디오의 경우 실어 나르고자 하는 음파(w1)를 전기 신호로
바꾼 뒤에 주파수가 w2인 반송파(음파보다 훨씬 주파수가 큰)를 이 신호로
변조(modulation)합니다. 이 변조 과정은 선형 회로만으로는 가능하지
않습니다. 왜냐하면, 선형 회로는 w1과 w2 성분을 결코 "섞지 않고", 그냥
각각의 성분을 단순히 더하기만 하기 때문입니다. 트랜지스터와 같은 비션형
회로 요소를 써야만 w1,w2 이외에 w2+w1과 w2-w1의 새로운 주파수 성분
(side band)이 나타납니다. 이제 이것이 w2(반송파) w2가 중앙 주파수인 대역
통과 필터(band pass filter)를 거치면 w2, w2+w1, w2-w1만 남고, w2+w1과
w2-w1 성분이 신호(w1 성분)를 실어 나릅니다. 수신하는 측에서는 w2+w1
성분과 w2-w1 성분에서 w1 주파수의 신호를 재생해 냅니다. 광섬유를 통해
음성 신호나 다른 신호를 전달할 때도 빛을 반송파로 해서 신호를 이
반송파에 실어나르는 것이므로 역시 비선형 요소를 써야 합니다. (변조
방법은 물론 다른 방법을 씁니다.)
아마 질문하신 분은 '혼돈 현상과 비선형성' 사이의 연관 관계를
알고 싶으셨는지도 모르겠습니다. 물론, 당연히 연관 관계가 있고,
이 설명의 연장선 상에서 그 얘기를 할 수 있습니다. 하지만, 저는
여기서 그칩니다. 그 다음은 비선형 역학 전문가인 '꼬마'(이 글을
볼 것으로 믿으며. 못 했다고 욕하지 말기를...)가 해 주기를 바라면서 :-)
신정식
Min-Joon Kim
Jungshik Shin wrote:
> In <6c845m$rcp$1...@news.kren.nm.kr>, 김종순 wrote:
>
> : nog...@hotmail.com 이(가) <6c82qq$paq$1...@news.netple.com> 메시지에서 작성하였습니다...
> :>f(ax+by) = af(x) + bf(y) 면 linear고
> :>
> :>아니면 nonlinear고... 그런거 아닌가요?
쉽게 설명해보죠. 자동판매기를 생각해봅시다.
500원짜리를 하나 넣으면, 국산 음료수 캔이 하나 나오고, 1달러를 넣으면,
미제 음료수캔이 하나 나오는 희한한 자동판매기가 있다고 생각해봅시다.
그럼, 500원짜리 3개하고, 1달러짜리 5개를 넣으면 뭐가 나올까요 ?
쉽죠 ? 국산 음료수 3개하고, 미제 음료수 5개가 나오겠죠.
수식으로 써보죠. 자동판매기의 역할을 하는 함수를 f 라고 한다면,
f(500원) = 국산 음료수 1개
f(1달러) = 미제 음료수 1개
=>
f(3*500원 + 5*1달러) = 3*f(500원) + 5*f(1달러)
= 국산 음료수 3개 + 미제 음료수 5개
이게 선형 시스템의 예입니다. 넣은 것에 비례해서 나온다는 것이죠.
>
>
> 선형 미방은 다음과 같은 성질(중첩 원리 : superposition principle)을
> 만족합니다. 서로 다른 두 가지의 외력 F1_ext(t)와 F2_ext(t)가 각각
> 가해진 경우의 해가 x_1(t)와 x_2(t)라고 하면, F_ext(t) = F1_ext + F2_ext
> 가 가해진 경우의 해는 두 경우의 해의 합 (x(t) = x_1(t) + x_2(t))로
> 주어집니다. 이 경우를 좀더 일반적인 경우로 확장해 보면
> 맨 처음에 다른 분이 주신 식의 의미를 좀더 명확히 아시겠지요?
> 또, 비선형 미방은 이런 성질을 만족하지 않는다는 것은 쉽게 아시겠지요?
>
중첨의 원리가 만족된다는 것이 선형시스템의 가장 큰 특징이죠.
첫 단락에서의 수식에서 쉽게 볼 수 있습니다.
> 비선형 항이 들어가면 그 해에는 외력의 주파수 w 이외에 다른 성분이
> 나타납니다. 2w, 3w 성분(harmonics, 배음) 등이 나옵니다. 또, 두 개의 서로
> 다른 주파수를 가진 외력이 작용할 경우에 w1, w2 성분 이외에 w1-w2, w1+w2,
> 2w1-w2 성분 등 다양한 성분이 나옵니다. 위의 물질 속의 전자를 예로 들면
> 보통 세기의 빛 대신에 아주 강력한 레이저 빔을 비추면(이것은 용수철을
> 조금만 그 평형점에서 당길 때에는 후크의 법칙이 잘 성립하지만, 용수철을
> 많이 늘이면 더 이상 후크의 법칙이 성립하지 않는 것과 비슷합니다. 그런
> 식으로도 훌륭하게 비선형 광학 현상을 설명할 수 있습니다) 비선형 항이
> 중요해집니다. 그래서, 빨간 레이저 빛을 비추었는데 주파수가 그 2배인
> 자외선이 나오기도 하고, 빨간 레이저와 녹색 레이저를 같이 비추면 둘의
> 주파수의 차(합)에 해당하는 적외선(자외선)이 나오기도 하는 등 다양한
> 현상이 생깁니다.
>
그렇다면, 비선형 시스템의 한 예로, f(x) = x^2
을 생각해봅시다. cos x를 넣으면, cos^2 x , 즉 cos 2x 항이 형성되죠.
(수학적인 엄밀성이 결여됐다고 생각되지만, 그냥 넘어가주세요)
좀 더 수학적인 것은 푸리에 시리즈로 전개해서 생각해보면 이해가 되실
겁니다.
>
>
> 아마 질문하신 분은 '혼돈 현상과 비선형성' 사이의 연관 관계를
> 알고 싶으셨는지도 모르겠습니다. 물론, 당연히 연관 관계가 있고,
> 이 설명의 연장선 상에서 그 얘기를 할 수 있습니다. 하지만, 저는
> 여기서 그칩니다. 그 다음은 비선형 역학 전문가인 '꼬마'(이 글을
> 볼 것으로 믿으며. 못 했다고 욕하지 말기를...)가 해 주기를 바라면서 :-)
>
> 신정식
왜 저를 걸고 넘어지는지 모르겠지만(han.sci.math보드는 안 보는데,
han.sci.physics 보드에까지 넘겨가지고 설라무네...).
비선형성과 혼돈 현상을 자세히 이야기하려면
아마 책을 써야할 것이고요. 간단한 설명은
http://phya.yonsei.ac.kr/~gang/lab/chaos/chaos.html
에 있네요.
어느 분이 말씀하셨듯이,
(
> 박종대 <cdp...@jupiter.kaist.ac.kr> wrote:
>
> 선형인 경우엔 오차의 누적도 선형입니다.
> 즉, 측정이나 계산시에 오차가 e 만큼 발생하면, 계산을 k번 반복해도
> 오차가 k*e 정도 누적됩니다.
>
> 비선형일 경우엔 오차의 누적도 비선형적입니다.
> k번 반복되는 경우엔 오차가 지수함수로 증가한다고 보시면 됩니다.
)
오차도 비선형적으로 반응합니다.
그렇다고 항상 증가만 하는 것은 아니고요. 지수함수로 감소할 수도 있죠.
좀 더 복잡한 비선형 반응을 보이는 경우에는, 어떤 지역에서는 지수함수로
증가하고, 어떤 지역에서는 지수함수로 감소할 수도 있고요.
쉬운 예로 짜장면을 만들어보죠.
국수를 뽑기 위해서, 늘렸다가(stretch) 접었다가(fold)를 반복하는 것을
많이 보셨을 것입니다(물론 침도 뱉고, 내려치기도 하지만).
이런 경우, 늘리는 동작은 지수함수적인 증가를, 접는 경우에는 감소와
대응됩니다. 그래서, 밀가루 덩어리가 멀리 날라가지 않고,
제자리에 있기는 한데, 밀가루 하나하나를 본다면 어떻게 될까요 ?
흰 밀가루 안에 옆에서 볶던 짜장이 좀 튀었다고 합시다.
밀가루 늘렸다 접기를 반복하면 짜장 튄 자리는 어떻게 될까요 ?
나중에는 어디 있는지 안 보이겠죠 ?
(손에 묻어서 그렇다고 하시는 분은 밉죠.)
짜장은 분면히 밀가루 반죽 안에 있는데, 뭉쳐 있지 않고,
사방에 흩어져서 눈에 보이지 않는 것입니다.
다시 말해서, 분명히 비슷한 위치에 있었던 짜장들이
여러 번 늘리고 접기를 반복하면, 서로 전혀 다른 위치에 있다는
것입니다.
이것을 혼돈 현상의 정의로 많이 언급되는 "초기조건에의 민감성
(sensitivity to initial condition)"이라고 합니다.
그리고, 제가 예로 든 밀가루 반죽 늘리고 접기를
Baker's transformation이라고 하죠.
제가 먼저 발견했으면, "중국집 행위"라고 했을지도
모릅니다(용어가 좀 야한가 ?)
하옇든, 이런 혼돈 현상은 비선형 시스템에서만 나타날 수 있고요.
그렇다고, 비선형 시스템에서도 날이면 날마다 나타나는 것은 아닙니다.
나타나는 영역이 있죠. 보통 선형 분석으로 시스템을 예측할 때는
이러한 혼돈 현상이 나타나지 않는 영역에서만, 그 현상을
이야기합니다. 그리고는, 그 영역이 아닌 경우에는
어떻게 하느냐 ?
"몰러~ 어떻게 되겠지..."
"그 영역에서는 안 쓰면 되잖아..."
이렇게 하죠. 요즈음 혼돈 영역에서도 어떻게 해보려는 노력들이
있긴 한데, 제 개인적인 생각으로는 별로 전망이 밝아보이지는
^^^^^^^^
않습니다.
쓰다보니, 엄청 길어졌네요. 여기까지 읽으시느라
수고하셨습니다.
김민준.
Sang-won Shin
nog...@hotmail.com 이(가) <6cambb$skp$1...@news.netple.com> 메시지에서
작성하였습니다...
>
>선형/비선형과 가역/비가역과는 아무런 상관이 없는데요.
>뉴턴역학의 삼체운동이나 단진자운동(진폭이 큰경우)도
>비선형인데????
>
>농담하신거겠죠?
뉴턴의 삼체운동이나... 단진자의 운동경우 단지 경로를 되돌아 간다고 해서....
예전에 지나온 시간대로 돌아가는게 아니요?
제가 말한 가역성에 대해 오해가 있었던듯....
하지먼 선형이라는 가정은 시간의 축 선상에서 (+)방향으로의 일방이 아닌
(-)방향으로의 회귀를 답고 있는 이야기라는 뜻이었습니다.
선형적인 운동.... 시간의 되감음을 허용하도록 하는 기술이라는 것이죠....
하지만 실제 물리적 현상에서 시간을 되감을수는 없으니....
흠... 제가 방향을 잘못 잡았다면 모르지만... 농담은 아녔습니다.
Min-Joon Kim
Sang-won Shin wrote:
>
> 간단하게 이야기 한다면 말이죠.... 선형과 비선형의 차이는 억지냐 아니면 억지가
> 아니냐 라는 차이라 볼수 있을 겁니다.
>
> 물리적으로 선형이라면 이상적으로 시뮬레이트 된 상태에서 이루어지는 운동을
> 이야기 한다고 보면
> 될겁니다. 자연계의 현상이란 모든게 비선형이죠.... 헐....
>
> 다시 이야기하면, 선형이란 가역성을 내포하고 있는 물리계를 의미합니다. 뉴턴이
> 세운 3가지
> 운동법칙을 만족하는 공간이지요.
>
비선형 시스템도 뉴턴의 3가지 운동법칙에 위배되지 않습니다.비선형적인 효과는
주로 다체(many particle)의 경우를 장(field)의 개념으로 표현할 때,
주로 나타납니다. 다시 말해서, 각각의 물체에 작용하는 힘이 선형이라도,
다체 문제로 가다보면, 비선형효과가 들어가게 되는거죠.
다른 예로 진자를 생각해봐도 마찬가지입니다. 진자의 운동방정식은 뉴턴 방정식에서
온 것이지만, 비선형입니다.
>
> 비선형이란 가역성이 존재할 수 없습니다. 운동이란 시간의 흐름에 따라 일어나는
> 것으로 단지
> 공간뿐만이 아닌 시간의 지배를 받기 때문에, 과거의 운동을 되돌릴 수는 없는
> 것이죠. 그리고, 같은
> 실험을 한다고 해서 똑같은 결과를 얻을 수도 없는 것입니다. 그것이 방정식에서
> 비선형 항으로 나타나게
> 된느 것이고요.
>
> 너무 추상적인 이야기 인가요? 쩝....
비선형 시스템을 대상으로 같은 실험을 하면 같은 결과를 얻을 수 없다고요
???꺼이꺼이~ 과학의 기반 중에 하나인 "결정론"을 미워하시는군요.
"결정론"과 "혼돈 현상"에 대한 논의는 "혼돈 현상"에 대한 많은 책에서
찾아볼 수 있습니다. 철학적인 쪽으로는 일리아 프리고진의 "Order out of Chaos"를
들 수 있습니다.
혼돈 현상에서 말하는 "나비 효과"니 하는 것에서 같은 실험을 해도 같은 결과를
얻을 수 없다고 생각하기 쉬운데요. 그것의 정확한 의미는
"똑같아 보이는 실험을 해도 같은 결과를 얻지 못 한다." 입니다.
^^^^^^
눈에 안 보이는 효과일지라도 굉장히 큰 차이를 만들어낼 수 있다는 것입니다.
>
>
> >
> >선형/비선형과 가역/비가역과는 아무런 상관이 없는데요.
> >뉴턴역학의 삼체운동이나 단진자운동(진폭이 큰경우)도
> >비선형인데????
> >
> >농담하신거겠죠?
>
> 뉴턴의 삼체운동이나... 단진자의 운동경우 단지 경로를 되돌아 간다고 해서....
> 예전에 지나온 시간대로 돌아가는게 아니요?
> 제가 말한 가역성에 대해 오해가 있었던듯....
>
> 하지먼 선형이라는 가정은 시간의 축 선상에서 (+)방향으로의 일방이 아닌
> (-)방향으로의 회귀를 답고 있는 이야기라는 뜻이었습니다.
> 선형적인 운동.... 시간의 되감음을 허용하도록 하는 기술이라는 것이죠....
> 하지만 실제 물리적 현상에서 시간을 되감을수는 없으니....
>
> 흠... 제가 방향을 잘못 잡았다면 모르지만... 농담은 아녔습니다.
가역성이라는 것은 "시간을 거꾸로 흘린다면 원래 상태로 가겠느냐 ?"의 문제입니다.
^^^^^^^^
원래 상태라는 것은 위치, 속도 등의 모든 면에서 다 말하는 것이고요.
좀 더 설명하자면, 시스템을 기술하는 위상공간의 같은 위치로 가느냐는 것입니다.
그리고, 가역성은 비선형성과 관계가 없습니다.
오히려 가역성과 밀접한 관계가 있는 것은, 에너지라던가 위상공간에서의 부피,
운동 방정식을 나타내는 맵의 자코비안 등이겠죠.
김민준.
Min-Joon Kim
에고... 밑줄 친 것들이 제자리로 안 가는 군요.
"보이는"에 밑줄 쫙.
"흘린다면"에 밑줄 쫙.
입니다.
김민준.
Seong-won Han
제발!!! 동문서답 하지 맙시다.
__________________________
憫쓴?이(가) <6cbg0b$vou$4...@green.kreonet.re.kr> 메시지에서 작성하였습니다...
>김종순 <us...@woongbi.pknu.ac.kr> wrote:
>: 저는 선형과 비선형의 차이를 수학적 표현이 아닌 공학적 의미의 차이로
>: 알고 싶었을 뿐입니다.
>
>선형인 경우엔 오차의 누적도 선형입니다.
>즉, 측정이나 계산시에 오차가 e 만큼 발생하면, 계산을 k번 반복해도
>오차가 k*e 정도 누적됩니다.
>
>비선형일 경우엔 오차의 누적도 비선형적입니다.
>k번 반복되는 경우엔 오차가 지수함수로 증가한다고 보시면 됩니다.
>
....
Yong-Seok Lee
제가 하고 있는 씨스템에 한해서는,
어떤 함수가 여러 개의 독립변수들과 다른 함수들의 연립방정식
혹은 연립미분방정식의 형태로 주어져서 각각의 함수가 서로 다른 함수값에
영향을 주어 충분히 넓은 범위에 있는 각각의 독립변수에 대한 함수 값을
내삽 및 외삽으로 예측하기가 어려울 때, 이러한 함수는 비선형성을 가진다
라고 말합니다
--
Dr Yong-Seok Lee
Korea Research Institute of Bioscience and Biotechnology
Applied Microbiology Research Division
PO Box 115, Yusong, Taejon 305-600, Korea.
Fax: 042 860 4594, Phone: 042 860 4456
mailto:ysl...@chollian.net
http://come.to/yslee or http://www.chollian.net/~yslee89
Min-Joon Kim
Yong-Seok Lee wrote:
> 제가 하고 있는 씨스템에 한해서는,
> 어떤 함수가 여러 개의 독립변수들과 다른 함수들의 연립방정식
> 혹은 연립미분방정식의 형태로 주어져서
꼭 연립방정식이나 미분방정식의 형태로 주어질 필요는 없습니다.
비선형성의 본질적인 성질이라기보다는 표현쪽에 가까운 것이라고 생각됩니다.
> 각각의 함수가 서로 다른 함수값에
> 영향을 주어
가장 중요한, 필수적인 요소죠.
> 충분히 넓은 범위에 있는 각각의 독립변수에 대한 함수 값을
> 내삽 및 외삽으로 예측하기가 어려울 때,
비선형 시스템이라고 해서 언제나 내삽, 외삽이 안 되는 것은 아닙니다.
선형시스템 -> 내삽, 외삽 가능 : "참"
역, 이(맞나 ? 용어가 ?) : 참 ???
> 이러한 함수는 비선형성을 가진다
> 라고 말합니다
비선형적인 효과가 크다고 말하는게 좀 더 적합하겠네요.
다시 말해서, 비선형성을 반드시 고려해야한다는 것이죠.
--
김민준
소듐기반기술실험
한국원자력연구소
전화: 042-868-2069
E-mail: ko...@hplmr01.kaeri.re.kr ko...@vortex.kaist.ac.kr
chang min lee
> 쉬운 예로 짜장면을 만들어보죠.
> 국수를 뽑기 위해서, 늘렸다가(stretch) 접었다가(fold)를 반복하는 것을
> 많이 보셨을 것입니다(물론 침도 뱉고, 내려치기도 하지만).
> 이런 경우, 늘리는 동작은 지수함수적인 증가를, 접는 경우에는 감소와
> 대응됩니다. 그래서, 밀가루 덩어리가 멀리 날라가지 않고,
> 제자리에 있기는 한데, 밀가루 하나하나를 본다면 어떻게 될까요 ?
> 흰 밀가루 안에 옆에서 볶던 짜장이 좀 튀었다고 합시다.
> 밀가루 늘렸다 접기를 반복하면 짜장 튄 자리는 어떻게 될까요 ?
> 나중에는 어디 있는지 안 보이겠죠 ?
> (손에 묻어서 그렇다고 하시는 분은 밉죠.)
> 짜장은 분면히 밀가루 반죽 안에 있는데, 뭉쳐 있지 않고,
> 사방에 흩어져서 눈에 보이지 않는 것입니다.
> 다시 말해서, 분명히 비슷한 위치에 있었던 짜장들이
> 여러 번 늘리고 접기를 반복하면, 서로 전혀 다른 위치에 있다는
> 것입니다.
> 이것을 혼돈 현상의 정의로 많이 언급되는 "초기조건에의 민감성
> (sensitivity to initial condition)"이라고 합니다.
> 그리고, 제가 예로 든 밀가루 반죽 늘리고 접기를
> Baker's transformation이라고 하죠.
> 제가 먼저 발견했으면, "중국집 행위"라고 했을지도
> 모릅니다(용어가 좀 야한가 ?)
"중국집행위"에 대해서 좀 더 부연 설명을 부탁합니다. (이상하게 생각지 마시고요, 제말은
Baker's transformation 를 말하는 거죠 .)
짜장면 만들기 말고 뭐 다른 방법으로 설명 할 수 없나요 ? 그리고 이러한 이론이 쓰이는 곳 즉
응용이 되는 곳은 어디인지 ?(역시 중국집 인가요 .! ?)
Min-Joon Kim
chang min lee wrote:
> "중국집행위"에 대해서 좀 더 부연 설명을 부탁합니다. (이상하게 생각지 마시고요, 제말은
> Baker's transformation 를 말하는 거죠 .)
> 짜장면 만들기 말고 뭐 다른 방법으로 설명 할 수 없나요 ? 그리고 이러한 이론이 쓰이는 곳 즉
> 응용이 되는 곳은 어디인지 ?(역시 중국집 인가요 .! ?)
Baker's transformation에 대한 어느 정도의 부연설명을 원하시는지 잘 모르겠지만,
"중국집 행위"는 2차원 평면을 2차원 평면으로 보내는 map으로 생각하시면,
수학적으로 정의를 하실 수 있습니다. 원래 면적과 변환 후의 면적이 같다면,
Hamiltonian system이 되고요, 그렇지 않고, 줄어들면, dissipative system이
되는데, 두 가지 경우에 대해서 약간 다른 형태의 접근, 또는 이론들이 있습니다.
보통 많이 알고 있는 period doubling은 dissipative system의 경우이죠.
실제로 많이 나타나는 경우도 dissipative system이고요.
비행기를 타고 태백산맥으로 가봅시다. 산 위에 형성되어 있는 구름에
누가 몸에 안 좋은 물질들을 뿌렸다는군요. 조사를 해보니, 어떤 영역에만
그 물질들이 존재하고, 다른 영역에는 없었습니다. 조사를 하러간 민준이와 정식이가
다투고 있네요.
민준: 비행기 연료도 다 떨어져 가고, 조금 있다가 처리하자. 배도 고프고...
정식: 안 돼 ! 지금 해야돼.
민준: 그냥 냅두면 어디 가겠니 ? 밥 먹으로 가자.
정식: 비가 오면 어떻게 해 ?
민준: 비가 온다고 별 일 있겠니 ? 다시 구름이 형성이 되면, 어딘가에는 뭉쳐 있겠지.
정식: 아니야. 아니야. 저 물질이 비가 되어 내린다고 생각해봐.
비가 되서 내리다가 산 정상 서쪽에 떨어지는 빗방울은 서해로 가고,
동쪽에 떨어지는 빗방울은 동해로 가니까, 다시 구름이 되면 두 개의 덩어리가
형성되겠지. 그 다음에 또 비로 되어 내리면, 4개가 되고...
계속 되면, 끝내는 구름 전체로 퍼진단말야. 그 때는 수거할 수 없어.
민준: 그렇구나. 할 수 없군.
재미있는 예가 되었는지 모르겠네요.
현재 혼돈 이론의 응용성은 그리 많지 않습니다. 일단은 어떤 현상의 분석 방법으로 사용되고
있고요. 현재 이 것이 가장 큰 응용이죠. 1980년대 말, 90년대 초부터 사람들이 "chaos
control"이란
것을 생각하게 됐죠. chaotic한 영역에서, 제어를 통해 뭔가 원하는 신호를 얻겠다는 것이죠.
여러 가지 방법이 개발되고 했으나, 현재는 약간 주춤하고 있습니다(개인적인 의견으로는
별로 희망적이지 않은 것 같습니다. 현재의 방법은).
얼마 전에 "카오스 세탁기"니 뭐니... 하는 것들이 많이 나왔섰죠. 그러나, 그런 제품들은
실제로 카오스를 응용한 것은 아닙니다. 거의 이름만 붙였다고 할 수 있죠.
다른 응용 예로는, "혼돈 이론을 응용한 암호화"가 있습니다. 혼돈한 물리계의
"sensitivity to initial condition"이라는 것을 응용한 것이죠. seed, 혹은 key 값으로
초기조건과 매개변수 값을 사용하여 암호화하는 것으로, 초기조건을 조금만 다른 값으로
넣어도 암호를 풀 수 없죠. 이런 형태의 암호화는 기존의 방법보다 아주 쉽게 구현할 수
있습니다. 그러나, 아직까지는 연구중일 것입니다.
어느 정도 대답이 되었는지 모르겠네요.
그럼 이만,
김민준.
--
Kim, Min-Joon, Dr.
KALIMER Sodium Experimental Technology Development
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