무리수가 유리수보다 얼마나 많은가?

[존트라볼타]

무리수가 유리수보다 많아서, 수직선상의 한 점을 찍으면, 그 점이 무리수일
확률이 훨씬 높다는 것은 알고 있습니다만. 얼마나 더 많은지 알고 싶네요.
그래서, 생각해 본 방법이.
수직선 상에서 한 점을 찍는 것이 아니라, n차원 공간에서 한 점을 찍는 겁
니다. 그리고, n개의 성분이 모두 무리수일 확률은 n이 커질수록 작아질 테
니까, 그 확률이 1/2보다 작아질 n을 구하면, 얼마나 많은지를 나타낼 수 있
지 않을까요?
p^n>1/2, p^(n-1)<1/2 이니까,
(1/2)^(-(n-1)) < p < (1/2)^n
쩝, 이런, 꽤 정확한 수치를 구할 수 있네요. 아무래도, 무리수를 찍을 확률이
얼마다라고 들어 본 적이 없는 걸로 봐서는, n이 무한대일 것만 같은데, 그렇
다면, 증명 좀 해주세요.

------------------------------ exeunt

[Kim, Joonwoo]

실수선 상에 한 점을 찍었을 때, 그 점이 유리수일 확률은 0입니다.
같은 예를 들면, 0과 2사이에 점을 찍을 때, 우연히 1 위에 떨어질 확률과
동일합니다. 왜냐하면 유리수의 집합은 정수의 집합과 1대1로 대응하기
때문입니다.
말씀하신 n은 존재하지 않을 겁니다.
저는 단순히 직관으로 얘기할 뿐이고, 증명은 못 드려서 죄송합니다.

존트라볼타 이(가) <8oe8bu$fdu$1...@newsfeed.hitel.net> 메시지에서
작성하였습니다...

[임동현]

?????
제가 알기로 0과 2사이에 있는 유리수는 1뿐만이 아니라 무한대의 수를 가지고
있는 것으로 알고 있는데요....

물론, 무리수를 찍을 확률이 월등이 높다고 생각을 하지만, 꽤 많은 빈도로
유리수도 찍힐듯 싶네요.

"Kim, Joonwoo" <joo...@nexteye.com> wrote in message
news:8oevvd$4hr$1...@news1.kornet.net...

[박광석]

저도 그럴것 같아요.
(1과 2사이에 유리수는 무한개가 있을 거고, 무리수도 유리수보다 더 많은
무한개가 있을 것 같네요)

증명은 어떻게 할까요?

"임동현" <idh...@isu.co.kr> wrote in message
news:8ofifi$k2d$1...@news.nuri.net...

[Oum, Sang-il]

무리수가 뽑힐 확률= 1
유리수가 뽑힐 확률= 0

measure를 생각하시면 쉽게 이해가 되실 것입니다.

measure(무리수 in [0,1]) = 1
measure(유리수 in [0,1]) = 0

메져를 아직 잘 모르시는 분들은 아래와 같이 생각해보세요.

유리수는 countable하다는 것을 알고 계시죠. [0,1]사이의 모든 유리수를
r1, r2, r3, r4, ...
라고 나열해 봅니다.

그리고 나서,
(r1- a*(1/2)^1, r1+ a*(1/2)^1)
(r1- a*(1/2)^1, r1+ a*(1/2)^1)
(r1- a*(1/2)^1, r1+ a*(1/2)^1)
r2를 싸는

--
Oum Sang-il
Daou Tech, Inc. // Dep. of Mathematics, KAIST
Homepage: http://hugsvr.kaist.ac.kr/~sangil/

[Oum, Sang-il]

무리수가 뽑힐 확률= 1
유리수가 뽑힐 확률= 0

measure를 생각하시면 쉽게 이해가 되실 것입니다.

measure(무리수 in [0,1]) = 1
measure(유리수 in [0,1]) = 0

메져를 아직 잘 모르시는 분들은 아래와 같이 생각해보세요.

유리수는 countable하다는 것을 알고 계시죠. [0,1]사이의 모든 유리수를
r1, r2, r3, r4, ...
라고 나열해 봅니다.

그리고 나서,
(r1- a*(1/2)^1, r1+ a*(1/2)^1) (길이 a인 개구간)
(r2- a*(1/2)^2, r2+ a*(1/2)^2) (길이 a/2인 개구간)
(r3- a*(1/2)^3, r3+ a*(1/2)^3) (길이 a/4인 개구간)
(r4- a*(1/2)^4, r4+ a*(1/2)^4) ....
(r5- a*(1/2)^5, r5+ a*(1/2)^5)

위와 같은 개구간을 모두 합집합하면 어떻게 될까요? 그 집합을 X_a라고
해봅시다.
X_a는 당연히 [0,1]사이의 모든 유리수를 포함합니다.
그런데 X_a의 원소가 [0,1]에서 선택될 확률은
(r_k - a*(1/2)^k , r_k + a * (1/2)^k ) 길이 a/2^(k-1)
영역이 선택될 확률을 다 더한 것보다는 작거나 같지요...

따라서 0<=p(유리수 in [0,1]) <= p(X_a) <= a+ a/2 + a/4 + a/8 + ... = a

a->0으로 극한을 보내면 유리수를 택할 확률이 0이되지요.

따라서 무리수가 택해질 확률이 1이 되구요.

무한개의 경우의 수가 있을때 확률은 유한때에서의 직관과 일치하지 않으므로
주의하셔야 합니다.... 확률 0이라고 그런 경우가 없는 것이 아니라는
것이지요.

--

[존트라볼타]

"Oum, Sang-il" <san...@hugsvr.kaist.ac.kr> wrote in message
news:39AB530D...@hugsvr.kaist.ac.kr...

>
> 유리수는 countable하다는 것을 알고 계시죠. [0,1]사이의 모든 유리수를
> r1, r2, r3, r4, ...

여기가 무리수랑 다르군요. 무리수는 늘어놓을 수 없다.

> 라고 나열해 봅니다.
>
> 그리고 나서,
> (r1- a*(1/2)^1, r1+ a*(1/2)^1) (길이 a인 개구간)
> (r2- a*(1/2)^2, r2+ a*(1/2)^2) (길이 a/2인 개구간)
> (r3- a*(1/2)^3, r3+ a*(1/2)^3) (길이 a/4인 개구간)
> (r4- a*(1/2)^4, r4+ a*(1/2)^4) ....
> (r5- a*(1/2)^5, r5+ a*(1/2)^5)
>
> 위와 같은 개구간을 모두 합집합하면 어떻게 될까요? 그 집합을 X_a라고
> 해봅시다.
> X_a는 당연히 [0,1]사이의 모든 유리수를 포함합니다.
> 그런데 X_a의 원소가 [0,1]에서 선택될 확률은
> (r_k - a*(1/2)^k , r_k + a * (1/2)^k ) 길이 a/2^(k-1)
> 영역이 선택될 확률을 다 더한 것보다는 작거나 같지요...
>
> 따라서 0<=p(유리수 in [0,1]) <= p(X_a) <= a+ a/2 + a/4 + a/8 + ... = a
>
> a->0으로 극한을 보내면 유리수를 택할 확률이 0이되지요.
>
> 따라서 무리수가 택해질 확률이 1이 되구요.
>
> 무한개의 경우의 수가 있을때 확률은 유한때에서의 직관과 일치하지 않으므로
> 주의하셔야 합니다.... 확률 0이라고 그런 경우가 없는 것이 아니라는
> 것이지요.
>
>

> > > > 존트라볼타 이(가) <8oe8bu$fdu$1...@newsfeed.hitel.net> 메시지에서
> > > > 작성하였습니다...
> > > > >무리수가 유리수보다 많아서, 수직선상의 한 점을 찍으면, 그 점이
무리수일
> > > > >확률이 훨씬 높다는 것은 알고 있습니다만. 얼마나 더 많은지 알고
싶네요.
> > > > >그래서, 생각해 본 방법이.
> > > > >수직선 상에서 한 점을 찍는 것이 아니라, n차원 공간에서 한 점을 찍는
겁
> > > > >니다. 그리고, n개의 성분이 모두 무리수일 확률은 n이 커질수록 작아질
테
> > > > >니까, 그 확률이 1/2보다 작아질 n을 구하면, 얼마나 많은지를 나타낼
수 있
> > > > >지 않을까요?
> > > > >p^n>1/2, p^(n-1)<1/2 이니까,
> > > > >(1/2)^(-(n-1)) < p < (1/2)^n

여기 왕창 틀렸었는데.
(1/2)^[1/(n-1)] < p < (1/2)^(1/n)

> > > > >쩝, 이런, 꽤 정확한 수치를 구할 수 있네요. 아무래도, 무리수를 찍을
> > 확률이
> > > > >얼마다라고 들어 본 적이 없는 걸로 봐서는, n이 무한대일 것만 같은데,
> > 그렇
> > > > >다면, 증명 좀 해주세요.
> > > > >
> > > > >
> > > > >------------------------------ exeunt
>
> --
> Oum Sang-il
> Daou Tech, Inc. // Dep. of Mathematics, KAIST
> Homepage: http://hugsvr.kaist.ac.kr/~sangil/

음. 그렇군요. p=1이란 걸 증명해 버리고 말았군요. 신기합니다.
그럼, 무리수와 실수 사이에 1:1대응이 존재한다는 말인가요? 크기가 같다는
거죠?
그럼 1:1 대응이 존재해야 하는데, 어떻게 대응시킬 수 있나요?

그리고, 실수^n 순서쌍에서, (n은 유한한 정수)
A 모두 유리수인 원소의 집합
B 유리수가 1개인 원소의 집합
C 유리수가 2개인 원소의 집합

...
Ω 모두 무리수인 원소의 집합

이라고 하면, 각 집합의 크기는 몇가지 정도 나올까요?
A는 유리수랑 크기가 같을 것 같고.
B, C, D는 무리수랑 크기가 같을까요?
Ω는 실수^n이랑 크기가 같을 것 같네요.

짐작이 맞나요? 확인해 주세요.

--
Ｖａｌ·ｋｙｒ·ｉｅ n. Norse myth. any of the maidens of odin who conduct
the souls of heroes slain in battle to Valhalla

[Oum, Sang-il]

네.. 무리수와 실수 사이에는 1:1 대응이 존재합니다.

f:[0,1]사이의 무리수 -> 실수
인 1:1대응를 하나 만들어볼까요?

[0,1]에서 a+b sqrt(2)인 꼴만 모두 뽑아냅니다. (a,b는 정수이고 b!=0)
그러면 당연히 모두 무리수겠지요.
M={a+b*sqrt(2) | 0<= a+b*sqrt(2) <=1, b!=0 }
이라고 하면 [0,1] 사이의 무리수 집합은 M과 M아닌 것으로 분리될 수
있습니다.

x가 M에 속하지 않을 경우 f(x)=x 로 정의합니다.

이제 M -> M U ([0,1]사이 유리수)
인 일대일대응 찾으면 되지요? 이것은 간단한 것이, M은 countable,
[0,1]사이 유리수 역시 countable, 따라서 M U [0,1]사이 유리수 역시
countable이니 당연히 일대일대응이 존재합니다.
그것에 준해서 x가 M에 속할때 f(x)를 정의하면 되지요.

그리고 아래에 얘기하셨던 것은 좀 틀리신 것 같습니다.

편의상 I=[0,1]사이 무리수, Q를 [0,1]사이의 유리수라 하면...

Q*Q*Q*...*Q ~ Z 즉 Q*Q*Q*..*Q는 Z와 일대일대응이 됩니다... 명백하죠.
countable...

Q*I가 I과 일대일대응이라는 것은 이해하실 수 있지요? 그리고 I는 R이랑
일대일대응이지요.
Q를 q1,q2,.... 다 나열하면
R*{q1}은 [1/2,1]로 projection해버리고...
R*{q2}는 [1/4,1/2]으로 projection해버리고....
등등...

이걸 생각하면...
Q*Q*Q*I*I*I*...*I (I가 m개) 는 R^m과 일대일대응이랍니다.

아래에서 얘기하시던 B,C,D사이의 크기는 서로 다른 듯 하네요.
B ~ R^(n-1)
C ~ R^(n-2)
D ~ R~(n-3)

Ω~ R^n
이렇게 일대일대응이 성립하겠지요...

질문하신 대로 하면, 나열하신 모든 것의 크기가 서로 다르게 된답니다.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
R하고 R*R의 크기가 다르니까요(즉, 일대일대응이 존재하지 않으니까요..)

"존트라볼타" wrote:
>
> "Oum, Sang-il" <san...@hugsvr.kaist.ac.kr> wrote in message
> news:39AB530D...@hugsvr.kaist.ac.kr...
> >
> > 유리수는 countable하다는 것을 알고 계시죠. [0,1]사이의 모든 유리수를
> > r1, r2, r3, r4, ...
>
> 여기가 무리수랑 다르군요. 무리수는 늘어놓을 수 없다.
>

[중간 생략]

[Oum, Sang-il]

실제로는 서로 같습니다... 저의 실수였지요... 욱...

> B ~ R^(n-1)
> C ~ R^(n-2)
> D ~ R~(n-3)
>
> Ω~ R^n
> 이렇게 일대일대응이 성립하겠지요...
>

(역시 책을 확인해봐야 되겠더군요ㅠ.ㅠ)

R 과 R*R은 일대일대응이 존재합니다. 즉 크기가 같지요...

왜냐하면 R->R*R인 일대일함수가 존재하고,
반대로 R*R->R인 일대일함수도 존재하기 때문입니다. (ex. 0.r1r2...,
0.s1s2...인 경우
0.r1s1r2s2...로 대응시킴)

그러므로.... B, C, D, .... Ω의 크기(cardinality)는 모두 같습니다.
서로간에 일대일대응이 존재하지요.

물론 그 일대일대응을 실제 제시하기는 어렵습니다... 존재성은 알지만요.

[apollo]

무리수나 유리수나 둘다 무한대아닌가요
무리수는 소수점이하로 특정한 규칙이 없이 계속반복되는 수이고, 유리수는 분수로 나타낼수 있는 수니까, 0과 1사이에는 1/1 에서1/10000~~~~까지 무수히 많은 수의 유리수가 있고, 무리수또한 1/(무수히 많은 무리수)(이것또한 무리수)이므로 둘다 무수히 많으므로 어느것이 많다고 할수 없을 것같네요(제생각이 맞는지 생각해봐요. 유리수 무리수 배운지가 언 15쯤)

-------------- 인터넷 카리스마 KORNET -------------

[Kim, Joonwoo]

위의 여러 분들이 쓰신 글들이 맞는지 틀리는지 판단하고 싶으시다면,
"set theory" 에 관한 책을 한 권 사다 보시면 알 수 있습니다.
그러면 유리수,무리수의 정의는 물론 countable, cardinality, isomorphism 등이
어떤 뜻인지 아실 수 있습니다.

apollo 이(가) <8olpq6$qlf$1...@news1.kornet.net> 메시지에서 작성하였습니다...

[jh3397]

칸토르가 증명한것 중에 한변의 길이가 1인
정사각형 내부의 점과 수의 직선상에서 0과 1의 사이에 있는 점의 개수가 같다는
것이 있죠..
즉, 1대1 대응한다...는 말이죠..
또, 길이가 1cm인 선분상의 점의 개수와
길이가 2cm인 선분상의 점의 개수가 같다 라는 명제도 있죠.
증명하자면,두 개의 선분을 평행하게 위치시킨 후 이 두 선분의 양끝을 연결하는
직선 두개를 그리면 이 둘의 교차점 O가 존재하게 됩니다.
이때 O에서 1cm선분상의 임의의 점A를 잇는 직선을 그린 후 이 선을 2cm
선분상으로 연장하면 2cm 선분 상의 임의의 점과 A는 대응하게 됩니다.이것으로
선분상의 모든점이 1대1 대응한다는 결론이 나오죠...

"Oum, Sang-il" <san...@hugsvr.kaist.ac.kr> wrote in message

news:39AD9DAD...@hugsvr.kaist.ac.kr...