[충격] 홀수 완전수 발견!!!

[박부성]

유즈넷에서 본 기사를 번역해 올립니다.
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Newsgroups: sci.math
From: apr...@math.ushepherd.edu (April Eins)
Subject: Found!!! Odd Perfect Number

아마도 존재하지 않을 것이라고
누구나 예상하던 홀수 완전수가 발견되었다.

University of Shepherd의 Padril O'Foslay가 박사 학위 논문에서 발표한
2^{2^14}+1이 바로 모든 수학자를 놀라게 한 문제의 수이다.

숫자의 형태를 보면 알겠지만,
O'Foslay는 원래 완전수가 아니라, 페르마 수를 연구하고 있었는데,
우연히 이런 꼴의 완전수 판정법을 찾아 내게 되었고,
그 결과 홀수 완전수라는 놀라운 결과를 얻게 되었다.
(페르마 수는 2^{2^n} + 1 꼴의 수를 뜻한다.)

이런 종류의 문제가 다 그렇듯이,
그의 판정법도 직접 인수를 찾는 것과는 거리가 멀다.

실제로 그는 이 수의 한 인수조차도 찾아 내지 못했다.
(그가 원래 하고 있던 일에서는 실패한 셈이다!)

그가 주목한 것은 14차의 치환군에서 다음과 같이 표현되는 치환이었다.

( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 )
( 2 1 4 5 6 9 10 7 12 11 8 3 13 14 )

(이 표기에 익숙지 않은 분을 위해 예를 들면 다음과 같습니다.

P E R F E C T N U M B E R !
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
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2 1 4 5 6 9 10 7 12 11 8 3 13 14
E P F E C U M T E B N R R !

PERFECT NUMBER!라는 마침 14 글자짜리인 문장이 이 치환으로
EPFECUMTEBNRR!로 바뀝니다.

친절한 역자의 주였습니다. ^^;)

이 치환의 독특한 성질을 이용해서 상당한 길이의 판정법을 거치면
이 수가 완전수임을 밝힐 수 있다.

만약 그가 14 아닌 다른 수를 선택했다면 거의 틀림없이 실패했겠지만,
우연인지 필연인지 14를 선택한 덕분에
절묘하고도 절묘한 과정을 통해 놀라운 결과를 얻을 수 있었다.

O'Foslay가 말하길,
"판정법은 간단한 과정이 아닙니다.
상당한 양의 계산도 해야 하고,
때에 따라서는 계산 자체가 거의 불가능한 경우도 있기 때문에
어떤 의미에서는 판정법으로는 거의 쓸모없다고도 할 수 있습니다.
이번 성공은 마침 치환을 잘 선택했기 때문에
비교적 쉽게 판정을 할 수 있었습니다.
한 마디로 운이 좋았지요."

그의 말에 따르면, 이 14차 치환의 선택이 마술과도 같은 작용을 해서
많은 계산을 쉽게 했을 뿐 아니라,
몇몇 복잡한 계산을 아예 불필요하게 만들었다고 한다.

한편, 더 작은 페르마 수가 이 판정법에 의해 완전수로 밝혀질 가능성도 있다.

O'Foslay도 14보다 작은 몇 개의 수에 대해 계산을 해 보았으나,
계산의 어려움 때문에 좋은 결과를 얻지는 못했다고 한다.

그가 정말로 운이 좋았던 것은,
14라는 별로 크지 않은 숫자에서 놀라운 결과를 얻을 수 있었다는 점이었다.

http://www.math.ushepherd.edu/~april1/odd_perfect.html
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다음은 제 감상입니다.

아마 많은 분들이 Padril O'Foslay가
필즈상을 받을 수 있을까 궁금해 하실 겁니다.

박사 학위 논문이라니 아마도 나이 제한에는 걸리지 않겠지만,
제 생각엔 필즈상까지는 무리가 아닐까 싶습니다.

하지만, 아마도 올해 귀라상은 따놓은 당상일 것입니다.
(귀라상은 Universite de Lazzi의 Parole de Gura 교수를 기념하여
1980년에 제정된 상으로, 젊은 수학자들을 격려하기 위해,
그 해 가장 독창적인 학위 논문에 주어지는 권위있는 상입니다.
일종의 신인상이라 할 수 있지요.)

박사 학위 논문에서, 2000년 이상 아무도 풀지 못한 채
부정적인 예상만을 하고 있던 문제를
성공적으로 해결했다는 건 누가 보아도 큰 업적이니까요.

그리고, 홈페이지에 Wolf 상의 유력한 후보라는 말도 있더군요.
(Wolf 상은 이스라엘의 Wolf 재단에서
수학을 비롯한 여러 분야에 주는 상입니다.)

실은, 위에 적힌 홈페이지에 가서 그 논문을 구해다 읽어 봤는데,
위 기사에서는 단순히 "운이 좋았다"라고 했지만,
문제의 14차 치환을 참으로 교묘하게 찾아 냈더군요.

판별법의 각 단계를 통과하도록 치환을 구성하면,
14차 치환의 경우 몇 개만 조사하면 됩니다.

이후로는, 약간은 단순 노가다에 가까운 작업이기도 하지만,
전체적으로 그 경우를 줄이는 방법이 대단히 교묘했습니다.

몇 부분을 빼고는 (사실 이런 부분들이 핵심이지만)
대체로 읽기 쉽게 쓴 논문인데다, 생각보다 논문 분량도 많지 않더군요.

스물세 장 짜리지만, 도입 부분과 레퍼런스, 단순 계산 부분을 빼면,
열 장을 약간 넘는 정도니까요.
(판별법의 증명이 약 다섯 장, 14차 치환을 찾는 과정이 약 일곱 장쯤 됩니다.)

혹시 보고 싶은 분이 있다면, TeX 파일을 보내 드리겠습니다.

그리고 조금 더 자세한 내용을 원하는 분은
http://plaza1.snu.ac.kr/~pomp/mathematics/essay/odd_perfect1.html
에 가 보세요.

[Oum Sang-il]

On Wed, 1 Apr 1998 08:25:30 +0900, "박부성" <su...@math.snu.ac.kr>
wrote:

>
> 유즈넷에서 본 기사를 번역해 올립니다.
> ------------------------------------------------------------------
>Newsgroups: sci.math
>From: apr...@math.ushepherd.edu (April Eins)
>Subject: Found!!! Odd Perfect Number
>
> 아마도 존재하지 않을 것이라고
> 누구나 예상하던 홀수 완전수가 발견되었다.

오늘은 만우절이죠? 박부성님께서 작년에 나우누리에 올려서 속았던
기억이 (박부성님 맞으신지 모르겠네요.) 선합니다...

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Oum Sang-il
한국과학기술원 수학문제연구회