"θ=arctan(y/x)" notation에 대해
Kim Sung-bom
θ = arctan(y/x)
하지만 (x,y) 점이 위치할 수 있는 곳은 전체 R^2 평면이지만,
위와 같은 notation에 의하면 θ의 영역은 arctan 함수의 치역인
(-pi/2, pi/2)로 제한되지 않습니까? 즉 R^2 평면의 왼쪽에 해당되는
부분은 제대로 표현할 수 없다는 이야기이지요.
아, 또한 x=0일 경우를 제대로 나타내지 못한다는 문제도 있군요.
(예) (x,y)=(-1,-1)이라면 θ=-4pi/3이 되겠지만 위의 식에 의하면
arctan 1=pi/4가 됩니다.
고등학교 때부터 지금껏 그저 그러려니 하고 써 왔던 식이지만,
수학과 같이 엄밀함을 요구하는 분야에서 이처럼 겉으로 표현된
의미와 실제 속뜻이 다른 표현을 어떻게 거리낌 없이 쓰고 있는지
궁금하네요.
박종대
> 고등학교 때부터 지금껏 그저 그러려니 하고 써 왔던 식이지만,
> 수학과 같이 엄밀함을 요구하는 분야에서 이처럼 겉으로 표현된
> 의미와 실제 속뜻이 다른 표현을 어떻게 거리낌 없이 쓰고 있는지
> 궁금하네요.
x와 y의 부호를 알면 어느 사분면에 있는지는 간단히 알 수 있지 않나요?
arctan의 결과를 보정하는 건 어렵지 않습니다.
--
박종대
-- ' C-language Edition
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#include <signature.h> /* the Hitchhiker's Guide to the Internet?? */
Aaram Yun
이루는 각으로 arctan을 정의하고 싶으시다는 뜻이겠죠? 하지만 이쯤 되면
이건 겉으로 표현된 의미가 아니라 엄청 복잡한 희망사항입니다. :)
arctan은 arctan(y,x)로 된 2변수 함수가 아니라 1변수 함수 arctan(t)입니다.
무한급수로 매우 엄밀하게 정의할 수 있습니다: arctan(t)를 미분하면 1/(1+t^2)
이 되니까, 그것을 풀어서 -t^2의 모든 거듭제곱들의 합으로 나타내고, 그것을
다시 적분해서 급수를 얻을 수 있습니다. 이제 거꾸로 그렇게 얻어진 급수를
arctan의 정의로 간주합니다.
물론 arctan이 tan의 역함수라는 것을 잊은 것은 아닙니다. 하지만 tan의
역함수로 정의한다고 해도 엄밀히 정의하기 위해서는 염두에 두어야 할
일이 두 가지가 있습니다:
1) tan이 일대일 함수가 아니므로 모든 곳에서 역함수 관계를 만드는 것이
불가능합니다. 구간을 제한해서 tan을 일대일 함수로 만들어 주고 난 뒤에
그 역함수를 생각해야 합니다.
2) 진짜로 엄밀하게 정의하기 위해서는 어디에선가는 최소한 정의할 때는
기하와의 연결을 끊어야 합니다. 심지어 분명히 기하적인 의미를 가지고
있는 삼각함수 같은 함수라도 그렇습니다. 먼저 각을 그린 뒤에 직각삼각형을
작도해서 변의 길이의 비로 삼각함수를 정의하는 것은 매우 직관적이지만
정당화해야 할 단계들이 숙제로 많이 남아있습니다. 일단 이 모든 작도 과정은
100%의 정밀도로 이루어져야 할 텐데 그것은 실제적이지 않고, 이런 접근에서
진짜로 엄밀함을 추구하려면 대체 각이란 무엇인지부터 이야기가 되어야 합니다.
삼각함수를 엄밀하게 도입하는 제일 경제적인 방법은 속편하게 무한급수를
쓰는 것입니다. sin, cos의 무한급수는 미적분학에 나옵니다. 그것을
sin과 cos의 정의로 간주하고, 무한급수를 다루는 테크닉들로부터 sin과 cos
의 성질들을 증명합니다: 배각공식, 반각공식, 무엇이 되었건 증명할 수
있습니다. 그 다음에 거꾸로 그렇게 완전히 기하를 떠나서 정의된 대상들이
평면기하와 관련이 있다는 것을 증명합니다.
하여튼 다시 원래 얘기로 돌아가자면, arctan은 얼마든지 엄밀하게
정의되어 있습니다. x=cos(t), y=sin(t)일 때 진짜로 매우 진지하게
t = arctan(y/x)라고 썼다면, 저자가 그것을 정의로 생각하고 썼든
증명 과정에서 썼든 정의구간에 대한 언급이 곧장 뒤따르거나
선행되어라야 할 것입니다.
아니면 암묵적으로 미리 약속한 정의구역을 생각하고 있을 수도
있겠고요(교과서라면 처음에 이런 얘기들을 언급하고 넘어갔었거나, 아니면
속편하게 처음부터 t의 범위를 제한된 범위 내에서 생각했었겠죠).
그렇지 않다면 책에 문제가 있는 거지 '수학같은 엄밀한 학문'에 문제가
있는 것은 아닙니다.
Kim, Sung-bom
Aaram Yun wrote:
>
> (생략)
>
> 하여튼 다시 원래 얘기로 돌아가자면, arctan은 얼마든지 엄밀하게
> 정의되어 있습니다. x=cos(t), y=sin(t)일 때 진짜로 매우 진지하게
> t = arctan(y/x)라고 썼다면, 저자가 그것을 정의로 생각하고 썼든
> 증명 과정에서 썼든 정의구간에 대한 언급이 곧장 뒤따르거나
> 선행되어라야 할 것입니다.
> 아니면 암묵적으로 미리 약속한 정의구역을 생각하고 있을 수도
> 있겠고요(교과서라면 처음에 이런 얘기들을 언급하고 넘어갔었거나, 아니면
> 속편하게 처음부터 t의 범위를 제한된 범위 내에서 생각했었겠죠).
> 그렇지 않다면 책에 문제가 있는 거지 '수학같은 엄밀한 학문'에 문제가
> 있는 것은 아닙니다.
그렇게 미리 제한된 범위를 설정하고 이야기를 했다면 제가 그리 이상하게
생각하지 않았을 것입니다. 그런데 제가 대학에 와서 보는 많은 책에서는
범위에 대한 아무런 언급 없이
θ = arctan(y/x)
또는
z(t) = f(t) cos(ωt) + g(t) sin(ωt) = r cos(ωt+φ), where
r = sqrt(f(t)^2 + g(t)^2)
φ = arctan(g(t)/f(t))
(삼각함수의 합성 공식이네요.)
와 같은 식을 쓰고 있었습니다. 어느 책만 그런 것도 아니고, 사실 이런
경우에 각의 범위를 따로 제한한 책을 본 기억이 없군요. 그래서 쉽게
받아들이기 어려워 질문을 드렸던 것입니다.
제가 보기에는 흔히 등장하는 경우이기 때문에, 일일이 범위를 제한하거나
cosθ=x/r, sinθ=y/r과 같이 두 식으로 θ를 지정하기가 번거로우니까
θ의 범위에 대해서는 암묵적으로 동의를 하고 간편함을 좇아서 tanθ=y/x
와 같은 표기법을 사용하는 것 같습니다만...
'잘못된 관행'이라고 해야 할까요?