[질문]원과 타원의 교점....
jblee
두원이 만나는 교점은 비교적 쉽게 구할 수 있는데..
한원과 다른 한 타원의 교점의 좌표를 구하고 싶습니다...
원과 타원이 만날 때 그 교점의 좌표는??.......
아시는 분은 꼭 가르쳐 주십시오..
Kim Sung-bom
기본적으로 두 도형의 교점을 구하는 것은 똑같지 않습니까?
두 도형의 방정식을 연립해서 푸세요. 그 이후에는 방정식 푸는 문제지요.
예를 들어,
x²+ y²= r² … ㉠
x²/a²+ y²/b²= 1 … ㉡
두 도형이라고 하면, ㉠-㉡×a²를 하면 x를 소거할 수 있겠죠.
--
김승범
jblee
Kim Sung-bom 작성:
위의 경우는 원의 중심이 원점에 고정되어 있고, 타원의 중심도 원점에
있는 경우인데...
이것은 극히 제한된 경우라 할수 있죠...
보다 일반적으로...
타원이 고정되고 원이 움직인다던가....
아니면..원이 고정되고 타원이 좌표상을 움직이는 경우에는 어떻게
풀수 있죠...
예를 들면 다음의 경우에...
- (x-p)^2 +(y-q)^2 = 1 과
- x²/a²+ y²/b²= 1 인 경우...
- 어떻게 되죠...
Kim,Young-Jae
jblee <jb...@optics.snu.ac.kr>이(가) 아래 메시지를 news:37C34493...@optics.snu.ac.kr에 게시하였습니다.
Lee, Gee Man
Kim,Young-Jae <pota...@sarang.net>이(가)
<cleanqp.PekXCM27#GA...@news.thrunet.com> 기사에서 작성했습니다...
> 쩝...조금만 더 생각하셔서 일반형으로 표현하셨으면 금방 알 수 있었을
텐데요...
> 원, 타원, 쌍곡선 등의 이차곡선의 일반형은 다음과 같습니다.
> Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0
> 여기서,
> (1) A=B : 원(물론, AB<>0)
> (2) A<>B, AB>0 : 타원
> (3) AB<0 : 쌍곡선
> 그러므로, 원의 방정식(Eq.1)과 타원의 방정식(Eq.2)을 써 본 다음...풀어
버리면 될 듯하군요...음.
> (Eq.1) A1 * x^2 + B1 * y^2 + C1 * x + D1 * y + E1 = 0
> (Eq.2) A2 * x^2 + B2 * y^2 + C2 * x + D2 * y + E2 = 0
> 흠...그런데 풀기 쉽지 않을 듯... :-)
>
(1)과 (2)식을 이용하여 y^2 항을 삭제한 후 정리하면
(Eq.3) y = A3 x^2 + C3 x + E3
(3)식을 식(1)이나 (2)에 대입하여 풀면 그 근이 만나는 점이 됩니다.
4차 방정식이니 4점까지 가능하겠군요.
(** 그런데 이런 방법이 high order system of linear equation 에서도
가능한가요?
1st order는 가능하고 high order도 가능할것 같긴한데.... :)
Jinwook Kim
써보시죠.
두 타원이 다음과 같이 생겼다고 가정하겠습니다.
a_1 x^2 + b_1 x + c_1 y^2 + d_1 y + e_1 = 0 -- (1)
a_2 x^2 + b_2 x + c_2 y^2 + d_2 y + e_2 = 0 -- (2)
[스텝1] 식 1, 2 에서 변수 x를 소거합니다.
우선 f_1=c_1 y^2 + d_1 y + e_1, f_2=c_2 y^2 + d_2 y + e_2라고 새로운 변수를
정의합니다.
그리고 식 (1)*x, (1), (2)*x, (2) 를 변수 x에 대해서 정리하면, 다음과
같습니다.
MX=0 -- (3)
,여기서 M,X는 다음과 같습니다.
M = [ a_1, b_1, f_1, 0 ;
0, a_1, b_1, f_1 ;
a_2, b_2, f_2, 0 ;
0, a_2, b_2, f_2
];
X = [ x^3 ; x^2; x; 1]
이제 식 (3)에서 보면 행렬 M은 변수 y만의 함수이므로, 식(3)이 해를 갖기위한
조건은
det(M)=0 -- (4)
이라는 것을 알수있읍니다.
[스텝2] 식 (4)의 근을 구합니다.
det(M)=0 을 정리하면 변수 y만의 4차다항식이 나옵니다.
물로 손으로도 할수있겠지만 너무 복잡하고, 매스매티카나 매틀랩 심볼릭툴박스를
써서 계산할수도 있습니다. 이도저도 아니고 조금 효율적으로 구하는 방법에
대해서는 메일주세요.
식(4)를 정리하면 다음과 같이 나옵니다.
y^4 + c_1 y^3 + c_2 y^2 + c_3 y^1 + c_4 = 0 -- (5)
4차다항식의 근을 구하는 방법은 해석적인 방법도 있는것으로 알고있지만
무척어렵다더군요.
수치적으로 구하는 방법은 여러가지가 있읍니다만, 가장 쉽게구현할수있는 방법은
다항식의 동반행렬(companion matrix)의 고유값(eigen value)를 구하는 것입니다.
식 (5)의 동반행렬은 다음과 같습니다.
N = [ 0, 1, 0, 0 ;
0, 0, 1, 0 ;
0, 0, 0, 1 ;
-c_4, -c_3, -c_2, -c_1 ];
행렬 N의 고유값이 식(4)의 해죠.
[스텝3] 구한 해중 실근만을 고릅니다. 구한 y을 식(1)이나 (2)에 대입하면 x값
역시 구할 수 있죠.
이상이었습니다.
_____________________________________________
사족 - 위에서 행렬의 M을 구하는 부분이있는데,
보다 효율적으로 M을 구하고자 한다면,(사실 2차다항식정도는 손으로도 할수있죠.
그러나 4차 이상 되면... 아마 매스매티카로 결과를 뽑으면
수백페이지나올겁니다.)
해를 구하는 프로그램을 짠다면 더더군다나 매스매티카나 매틀랩을 쓸수없죠.
효율적으로 det(M)의 계수만을 구하는 방법이 있습니다.
jblee
Jinwook Kim wrote:
보내주신 자료는 잘 보았습니다...
이렇게 빠르게 답변을 해 주셔서 고맙습니다...
그런데 궁금한 점이 너무 만뮌�있어 이렇게 부탁을 드립니다...
저도 이 문제를 풀면 4차 방정식이 나온다는 사실을 알고 있습니다.
그런데 2차방정식처럼 4차 방정식도 일반해가 존재 하는지 궁금합니다.
그리고 행렬을 이용해서 풀 수 있다고 하셨는데...
그 방법은 구체적으로 어떻게 되는지요.. 즉 M을 구하는 방법 말입니다...
그리고 이에 관한 자료는 어디서 구할 수 있는지요...
어째든 감사드립니다...
한규진
>> Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0
타원이 좌표축에 대해 기울어져 있으면 Fxy항이 추가된다는 것을 말씀드리고
싶군요......
jblee
"한규진" wrote:
그것은 타원의 중심을 원점으로 보내는 회전변한과 수평이동에 의해 없앨 수
있습니다...
한규진
jblee 이(가) <37C77168...@optics.snu.ac.kr> 메시지에서
작성하였습니다...
그렇군요......
하지만, 질문이 "타원과 타원의 교점..."이었다면, 그 변환과 이동을 이떻게
하겠습니까?
"일반형"이란 모든 타원을 표현할 수 있어야 하겠지요......
Lee, Gee Man
>
> 그렇군요......
> 하지만, 질문이 "타원과 타원의 교점..."이었다면, 그 변환과 이동을 이떻게
> 하겠습니까?
> "일반형"이란 모든 타원을 표현할 수 있어야 하겠지요......
>
이런 경우는 대수적으로 못 푸는 것 아닌가요?
다른 분이 말씀하신 dialytic elemination 으로도
역시 어렵겠군요.
혹, 이런 내용을 증명한 것은 없나요?
5차 이상 방정식의 일반해는 대수적으로 못 푼다고 증명을 했다던데...
2원 2차는 풀리는지? 아님 안 풀리는지?
한규진
Lee, Gee Man 이(가) <01bef5c3$a94323d0$bf5385a5@narak> 메시지에서
작성하였습니다...
>
>> "일반형"이란 모든 타원을 표현할 수 있어야 하겠지요......
>>
>
>이런 경우는 대수적으로 못 푸는 것 아닌가요?
>
풉니다.
4차식으로 바꾸어서...... 대수적으로......
그 방법을 잘 설명하는 paper가 있는데 당장은 찾을 수가 없군요(미안^_^)......