Postnikovsky seminar 30.04.2025

[Dmitry V. Gugnin]

Уважаемые коллеги!

В среду, 30 апреля, состоится очередное заседание Постниковского семинара.

 

Семинар пройдет на мехмате очно, время и аудитория:

 

Среда, 18:30-20:05, ауд. 14-14 ГЗ МГУ.

 

Андрей Владимирович Ершов (МФТИ)

 

"Об обобщении топологической группы Брауэра"

 

С уважением,
Дмитрий Гугнин

 

P.S. Если Вы хотите прийти на данный семинар, но у Вас нет пропуска в МГУ, то напишите мне Ваши полные ФИО и научную аффилиацию (студент, аспирант, научный сотрудник, преподаватель вуза) НЕ позднее 11:00  28 апреля (понедельник).   

 

Аннотация. В докладе планируется рассказать об одном обобщении топологической группы Брауэра $Br(X)$ пространства $X$ – группы классов изоморфизма локально тривиальных расслоений на матричные алгебры над $X$ по модулю расслоений, являющихся эндоморфизмами векторных. Согласно классическому результату А. Гротендика и Ж.-П. Серра, $Br(X)$ естественно изоморфна подгруппе кручения в $H^3(X;\mathbb{Z})$ (в случае компактного $X$).

Для того, чтобы получить обобщение $Br(X)$, мы рассматриваем так называемые рыхлые расслоения алгебр. К этому понятию можно прийти следующим образом.

Пусть $A_{kl^n}\rightarrow X$ -- локально тривиальное расслоение со слоем матричная алгебра $M_{kl^n}(\mathbb{C})$ (для нас будет важен случай, когда $(k,l)=1$).

Пусть $\{ U_\alpha\}$ --- достаточно мелкое покрытие $X$, чтобы над каждым $U_\alpha$ можно было выбрать подрасслоение $A_\alpha$ в $A_{kl^n}$ со слоем $M_k(\mathbb{C})$. Тогда над попарными пересечениями $U_{\alpha \beta}$ расслоения $A_\alpha$ и $A_\beta$ содержатся в некотором

подрасслоении $A_{\alpha \beta}$ в $A_{kl^n}$ с ``промежуточным’’ слоем $M_{kl^{n_{\alpha \beta}}}$ и т.д. Возникает некоторый набор данных, состоящий из расслоений над всевозможными пересечениями элементов покрытия вместе с вложениями их ограничений в расслоения с бОльшими слоями над пересечениями бОльшей кратности. Такой набор данных (не обязательно происходящий 

из некоторого глобального расслоения $A_{kl^n}$ как выше) мы и называем ``рыхлым расслоением’’. На рыхлых расслоениях естественным образом определяется некоторое отношение эквивалентности.

Возникают следующие вопросы: 1) верно ли, что любое рыхлое расслоение происходит из глобального расслоения алгебр как описано выше?

2) если рыхлое расслоение происходит из расслоения алгебр, то с точностью до чего второе по нему восстанавливается? 

3) нельзя ли классы эквивалентности рыхлых расслоений описать как классы изоморфизма локально тривиальных расслоений с некоторой структурной группой? 

В докладе мы постраемся ответить на эти вопросы а также покажем, что функтор, сопоставляющий базе множество классов эквивалентности рыхлых расслоений, гомотопически инвариантен и представИм (для конечных $CW$-комплексов) 

и дадим некоторое описание представляющего пространства. Доклад основан на препринте https://arxiv.org/abs/2004.05710