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Delta di Dirac non e' quadrato integrabile
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BlueRay
Jun 18, 2015, 1:58:16 PM6/18/15
to
Questo e' cio' che viene affermato in un testo di MQ (aggiungendo l'aggettivo "ovviamente").
Pero' a me non sembra affatto ovvio perche' non si puo' usare la delta come funzione test: se si potesse, basterebbe usate la definizione:
Int[-oo,+oo]f(x)delta(x)dx = f(0) e usando delta(x) al posto di f(x) se ne dedurrebbe che Int[-oo,+oo]delta(x)delta(x)dx = delta(0) = +oo.
Ma evidentemente questa scrittura non ha molto senso.
Usando come rappresentazione della delta delle funzioni a rettangolo o a triangolo di area unitaria e base che tende a zero, si dimostra facilmente che l'integrale su tutto R di tali funzioni al quadrato diverge, ma naturalmente sto cercando una dimostrazione generale (indipendente dalla specifica rappresentazione).
--
BlueRay
Pero' a me non sembra affatto ovvio perche' non si puo' usare la delta come funzione test: se si potesse, basterebbe usate la definizione:
Int[-oo,+oo]f(x)delta(x)dx = f(0) e usando delta(x) al posto di f(x) se ne dedurrebbe che Int[-oo,+oo]delta(x)delta(x)dx = delta(0) = +oo.
Ma evidentemente questa scrittura non ha molto senso.
Usando come rappresentazione della delta delle funzioni a rettangolo o a triangolo di area unitaria e base che tende a zero, si dimostra facilmente che l'integrale su tutto R di tali funzioni al quadrato diverge, ma naturalmente sto cercando una dimostrazione generale (indipendente dalla specifica rappresentazione).
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BlueRay
BlueRay
Jun 18, 2015, 2:02:29 PM6/18/15
to
Preciso che quel testo di MQ non fa alcuna dimostrazione ne' fornisce alcun tipo di giustificazione di quella affermazione "la delta non e' ovviamente quadrato integrabile".
--
BlueRay
--
BlueRay
Giorgio Bibbiani
Jun 18, 2015, 2:43:47 PM6/18/15
to
BlueRay ha scritto:
http://physics.stackexchange.com/questions/47934/dont-understand-the-integral-over-the-square-of-the-dirac-delta-function
Premesso che spero riceverai anche risposte da chi se ne intende ;-),
io non so che senso dare a quell'affermazione, visto che la
delta e' una distribuzione e non una funzione...
Comunque *intuitivamente* si potrebbe (s)ragionare cosi':
la trasformata di Fourier della delta e' 1, per il teorema di
Plancherel se la delta fosse a quadrato sommabile allora anche
la funzione identicamente pari a 1 lo sarebbe, il che non e'.
Ovviamente quanto sopra *non* e' una dimostrazione...
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Questo e' cio' che viene affermato in un testo di MQ (aggiungendo
> l'aggettivo "ovviamente").
Immagino che ti interesserebbe:
> l'aggettivo "ovviamente").
http://physics.stackexchange.com/questions/47934/dont-understand-the-integral-over-the-square-of-the-dirac-delta-function
Premesso che spero riceverai anche risposte da chi se ne intende ;-),
io non so che senso dare a quell'affermazione, visto che la
delta e' una distribuzione e non una funzione...
Comunque *intuitivamente* si potrebbe (s)ragionare cosi':
la trasformata di Fourier della delta e' 1, per il teorema di
Plancherel se la delta fosse a quadrato sommabile allora anche
la funzione identicamente pari a 1 lo sarebbe, il che non e'.
Ovviamente quanto sopra *non* e' una dimostrazione...
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Davide Campagnari
Jun 18, 2015, 3:16:30 PM6/18/15
to
Am Donnerstag, 18. Juni 2015 19:58:16 UTC+2 schrieb BlueRay:
> [...] Ma evidentemente questa scrittura non ha molto senso.
Il che mi sembra esattamente quello che dice il libro con "la
delta non è quadrato integrabile". Non capisco quale sia il
tuo dubbio... oppure ho frainteso qualcosa?
D
> [...] Ma evidentemente questa scrittura non ha molto senso.
Il che mi sembra esattamente quello che dice il libro con "la
delta non è quadrato integrabile". Non capisco quale sia il
tuo dubbio... oppure ho frainteso qualcosa?
D
Giorgio Pastore
Jun 18, 2015, 4:01:06 PM6/18/15
to
Il 18/06/15 19:58, BlueRay ha scritto:
> Usando come rappresentazione della delta delle funzioni a rettangolo o a triangolo di area
> unitaria e base che tende a zero, si dimostra facilmente che l'integrale su tutto R di
> tali funzioni al quadrato diverge, ma naturalmente sto cercando una dimostrazione generale
> (indipendente dalla specifica rappresentazione).
La "delta" non e' una funzione. E' la prima cosa da imparare quando si
manipolano le distribuzioni. Come facciamo a saperlo?
Nessuna definizione sensata di integrale, che funzioni per le funzioni
oneste nel modo usuale, permette di dare un valore diverso da zero all'
integrale di una funzione diversa da zero su un insieme di misura nulla.
Quello che si fa, quando si vogliono fare le cose pulite e non "alla
maniera del fisico quadratico medio", e' di introdurre degli oggetti che
spesso vengono chiamati "funzioni generalizzate" (e gia' il nome
dovrebbe mettere sull' avviso che non hanno tutto quello che hanno le
vere funzioni), il cui scopo e' di consentire manipolazioni formali
delle corrispondenti distribuzioni. Le funzioni generalizzate, le cui
proprietà discendono dai funzionali che definiscono, condividono con le
funzioni alcune proprietà ma non tutte. In particolare la
moltiplicazione tra funzioni generalizzate e' estremamente problematica:
o non e' definita o, per definirla occorre rinunciare a qualche altra
proprietà fondamentale nell' aritmetica delle funzioni generalizzate.
Quello che il testo avrebbe dovuto sottolineare, ancora prima del non
essere la delta una funzione a quadrato integrabile e' che non e'
neanche una funzione!
Giorgio
> Questo e' cio' che viene affermato in un testo di MQ (aggiungendo l'aggettivo "ovviamente").
> Pero' a me non sembra affatto ovvio perche' non si puo' usare la delta come funzione test:
> se si potesse, basterebbe usate la definizione:
> Int[-oo,+oo]f(x)delta(x)dx = f(0) e usando delta(x) al posto di f(x) se ne dedurrebbe che
> Int[-oo,+oo]delta(x)delta(x)dx = delta(0) = +oo.
> Ma evidentemente questa scrittura non ha molto senso.
Appunto.
> Pero' a me non sembra affatto ovvio perche' non si puo' usare la delta come funzione test:
> se si potesse, basterebbe usate la definizione:
> Int[-oo,+oo]f(x)delta(x)dx = f(0) e usando delta(x) al posto di f(x) se ne dedurrebbe che
> Int[-oo,+oo]delta(x)delta(x)dx = delta(0) = +oo.
> Ma evidentemente questa scrittura non ha molto senso.
> Usando come rappresentazione della delta delle funzioni a rettangolo o a triangolo di area
> unitaria e base che tende a zero, si dimostra facilmente che l'integrale su tutto R di
> tali funzioni al quadrato diverge, ma naturalmente sto cercando una dimostrazione generale
> (indipendente dalla specifica rappresentazione).
manipolano le distribuzioni. Come facciamo a saperlo?
Nessuna definizione sensata di integrale, che funzioni per le funzioni
oneste nel modo usuale, permette di dare un valore diverso da zero all'
integrale di una funzione diversa da zero su un insieme di misura nulla.
Quello che si fa, quando si vogliono fare le cose pulite e non "alla
maniera del fisico quadratico medio", e' di introdurre degli oggetti che
spesso vengono chiamati "funzioni generalizzate" (e gia' il nome
dovrebbe mettere sull' avviso che non hanno tutto quello che hanno le
vere funzioni), il cui scopo e' di consentire manipolazioni formali
delle corrispondenti distribuzioni. Le funzioni generalizzate, le cui
proprietà discendono dai funzionali che definiscono, condividono con le
funzioni alcune proprietà ma non tutte. In particolare la
moltiplicazione tra funzioni generalizzate e' estremamente problematica:
o non e' definita o, per definirla occorre rinunciare a qualche altra
proprietà fondamentale nell' aritmetica delle funzioni generalizzate.
Quello che il testo avrebbe dovuto sottolineare, ancora prima del non
essere la delta una funzione a quadrato integrabile e' che non e'
neanche una funzione!
Giorgio
Giorgio Pastore
Jun 18, 2015, 4:06:38 PM6/18/15
to
Il 18/06/15 20:43, Giorgio Bibbiani ha scritto:
>...visto che la
il "qualcosa" c'e' chi lo chiama pseudofunzione, funzione generalizzata,
....
La differenza e' che una distribuzione e' un funzionale lineare continuo
definito su uno spazio di funzioni. Non sul dominio delle suddette
funzioni. La differenza dovrebbe essere non banale. Ma spesso in fisica
le questioni di dominio vengono viste come cose "non per veri fisici" ;-)
Giorgio
>...visto che la
> delta e' una distribuzione e non una funzione...
A stretto rigore e' qualcosa che serve a definire una distribuzione. Poi
il "qualcosa" c'e' chi lo chiama pseudofunzione, funzione generalizzata,
....
La differenza e' che una distribuzione e' un funzionale lineare continuo
definito su uno spazio di funzioni. Non sul dominio delle suddette
funzioni. La differenza dovrebbe essere non banale. Ma spesso in fisica
le questioni di dominio vengono viste come cose "non per veri fisici" ;-)
Giorgio
BlueRay
Jun 18, 2015, 4:28:29 PM6/18/15
to
Ciao.
--
BlueRay
BlueRay
Jun 18, 2015, 4:31:47 PM6/18/15
to
Ciao.
--
BlueRay
BlueRay
Jun 18, 2015, 5:04:51 PM6/18/15
to
Il giorno giovedì 18 giugno 2015 22:01:06 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
>
> La "delta" non e' una funzione. E' la prima cosa da imparare quando si
> manipolano le distribuzioni. Come facciamo a saperlo?
> Nessuna definizione sensata di integrale, che funzioni con le funzioni
>
> La "delta" non e' una funzione. E' la prima cosa da imparare quando si
> manipolano le distribuzioni. Come facciamo a saperlo?
> oneste nel modo usuale, permette di dare un valore diverso da zero all'
> integrale di una funzione diversa da zero su un insieme di misura nulla.
> Quello che si fa, quando si vogliono fare le cose pulite e non "alla
> maniera del fisico quadratico medio", e' di introdurre degli oggetti che
> spesso vengono chiamati "funzioni generalizzate" (e gia' il nome
> dovrebbe mettere sull' avviso che non hanno tutto quello che hanno le
> vere funzioni), il cui scopo e' di consentire manipolazioni formali
> delle corrispondenti distribuzioni. Le funzioni generalizzate, le cui
> proprietà discendono dai funzionali che definiscono, condividono con le
> funzioni alcune proprietà ma non tutte. In particolare la
> moltiplicazione tra funzioni generalizzate e' estremamente problematica:
> o non e' definita o, per definirla occorre rinunciare a qualche altra
> proprietà fondamentale nell' aritmetica delle funzioni generalizzate.
Ti credo sulla parola, comunque C. Rossetti, "Metodi Matematici per la Fisica", 1984, scrive che"il prodotto di due distribuzioni delta e' definito ed e' ancora una distribuzione", paragrafo 3.2 capitolo VI.
> integrale di una funzione diversa da zero su un insieme di misura nulla.
> Quello che si fa, quando si vogliono fare le cose pulite e non "alla
> maniera del fisico quadratico medio", e' di introdurre degli oggetti che
> spesso vengono chiamati "funzioni generalizzate" (e gia' il nome
> dovrebbe mettere sull' avviso che non hanno tutto quello che hanno le
> vere funzioni), il cui scopo e' di consentire manipolazioni formali
> delle corrispondenti distribuzioni. Le funzioni generalizzate, le cui
> proprietà discendono dai funzionali che definiscono, condividono con le
> funzioni alcune proprietà ma non tutte. In particolare la
> moltiplicazione tra funzioni generalizzate e' estremamente problematica:
> o non e' definita o, per definirla occorre rinunciare a qualche altra
> proprietà fondamentale nell' aritmetica delle funzioni generalizzate.
> Quello che il testo avrebbe dovuto sottolineare, ancora prima del non
> essere la delta una funzione a quadrato integrabile e' che non e'
> neanche una funzione!
Int[-oo,+oo]delta(x-y)delta(x-z)dx = delta(y-z).
--
BlueRay
Giorgio Pastore
Jun 18, 2015, 5:46:45 PM6/18/15
to
Il 18/06/15 23:04, BlueRay ha scritto:
....
Non ho il testo. Immagino che si riferisca alla relazione che permette
di esprimere il prodotto di convoluzione di due delta mediante un' unica
delta. Quello si puo' fare. Ma non e' lo stesso che definire il prodotto
di deue delta per qualsiasi valore dell' argomento.
...
fisici.
Giorgio
....
> Ti credo sulla parola, comunque C. Rossetti, "Metodi Matematici per la Fisica",
> 1984, scrive che"il prodotto di due distribuzioni delta e' definito ed e' ancora una
> distribuzione", paragrafo 3.2 capitolo VI.efinito
> 1984, scrive che"il prodotto di due distribuzioni delta e' definito ed e' ancora una
Non ho il testo. Immagino che si riferisca alla relazione che permette
di esprimere il prodotto di convoluzione di due delta mediante un' unica
delta. Quello si puo' fare. Ma non e' lo stesso che definire il prodotto
di deue delta per qualsiasi valore dell' argomento.
...
> Si, lo dice che non e' ina funzione e che e' una distribuzione.
Vedi commento a Bibiani sull' abuso usuale di nomenclatura tipico dei
fisici.
Giorgio
El Filibustero
Jun 18, 2015, 7:58:49 PM6/18/15
to
On Thu, 18 Jun 2015 10:58:15 -0700 (PDT), BlueRay wrote:
>Usando come rappresentazione della delta delle
>funzioni a rettangolo o a triangolo di area unitaria
>e base che tende a zero, si dimostra facilmente che
>l'integrale su tutto R di tali funzioni al quadrato diverge,
>ma naturalmente sto cercando una dimostrazione generale
>(indipendente dalla specifica rappresentazione).
Se, in generale, si vuole vedere delta come limite di una successione
>Usando come rappresentazione della delta delle
>funzioni a rettangolo o a triangolo di area unitaria
>e base che tende a zero, si dimostra facilmente che
>l'integrale su tutto R di tali funzioni al quadrato diverge,
>ma naturalmente sto cercando una dimostrazione generale
>(indipendente dalla specifica rappresentazione).
qualsiasi di funzioni f_n non negative con supporto un intorno I_n di
0 di misura infinitesima per n--> +inf e di integrale int f_n
unitario, la divergenza di int f_n^2 si puo' dimostrare ricordando
che, dato un qualunque insieme di numeri positivi, la somma dei loro
quadrati e' non inferiore alla loro somma moltiplicata per la loro
media: quindi
int f_n^2 >= int f_n * (media di f_n in I_n) =
= int f_n * int f_n / misura(I_n) = 1 / misura(I_n)
che e' un infinito, essendo misura(I_n) infinitesimo. Ergo int f_n^2
diverge. Ciao
Giorgio Bibbiani
Jun 19, 2015, 1:34:51 AM6/19/15
to
Giorgio Pastore ha scritto:
Sopra scrivendo concisamente"delta" intendevo la delta di Dirac,
intesa come distribuzione temperata, agente sullo spazio vettoriale
delle funzioni test complesse f (ad es. in una dimensione) C^oo(R)
a decrescenza rapida, si ha per definizione:
(1) Diracdelta(f) = f(0),
e ovviamente questo e' un funzionale lineare e continuo definito
sullo spazio delle funzioni test.
Chiaramente allora non avrebbe senso chiedersi se la delta fosse
a quadrato sommabile.
Probabilmente c'e' un equivoco, dovuto a mia insufficiente chiarezza,
infatti ho iniziato a ragionare sulla delta come distribuzione, scrivendo
giustamente che la sua trasformata di F. e' 1, poi ho applicato (scorrettamente)
il teorema di Plancherel alla delta (lo si sarebbe potuto applicare ad es.
alle funzioni L^2 di una successione tale che la successione delle distribuzioni
associate convergesse debolmente alla delta), comunque avevo esplicitato
che la "dimostrazione" non era in realta' tale ;-).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
intesa come distribuzione temperata, agente sullo spazio vettoriale
delle funzioni test complesse f (ad es. in una dimensione) C^oo(R)
a decrescenza rapida, si ha per definizione:
(1) Diracdelta(f) = f(0),
e ovviamente questo e' un funzionale lineare e continuo definito
sullo spazio delle funzioni test.
Chiaramente allora non avrebbe senso chiedersi se la delta fosse
a quadrato sommabile.
Probabilmente c'e' un equivoco, dovuto a mia insufficiente chiarezza,
infatti ho iniziato a ragionare sulla delta come distribuzione, scrivendo
giustamente che la sua trasformata di F. e' 1, poi ho applicato (scorrettamente)
il teorema di Plancherel alla delta (lo si sarebbe potuto applicare ad es.
alle funzioni L^2 di una successione tale che la successione delle distribuzioni
associate convergesse debolmente alla delta), comunque avevo esplicitato
che la "dimostrazione" non era in realta' tale ;-).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Archaeopteryx
Jun 19, 2015, 3:35:07 AM6/19/15
to
sacco di pezzi sconnessi che mi hanno sempre bloccato
nell'approcciare l'analisi... numerica eheh scherzo, ma
l'analisi funzionale è sempre stato uno dei tanti campi
che non sapevo né tuttora so da che lato attaccare.
BlueRay
Jun 19, 2015, 10:34:23 AM6/19/15
to
Il giorno venerdì 19 giugno 2015 01:58:49 UTC+2, El Filibustero ha scritto:
>
> Se, in generale, si vuole vedere delta come limite di una successione
> qualsiasi di funzioni f_n non negative con supporto un intorno I_n di
> 0 di misura infinitesima per n--> +inf e di integrale int f_n
> unitario, la divergenza di int f_n^2 si puo' dimostrare ricordando
> che, dato un qualunque insieme di numeri positivi, la somma dei loro
> quadrati e' non inferiore alla loro somma moltiplicata per la loro
> media
Come si dimostra?
>
> Se, in generale, si vuole vedere delta come limite di una successione
> qualsiasi di funzioni f_n non negative con supporto un intorno I_n di
> 0 di misura infinitesima per n--> +inf e di integrale int f_n
> unitario, la divergenza di int f_n^2 si puo' dimostrare ricordando
> che, dato un qualunque insieme di numeri positivi, la somma dei loro
> quadrati e' non inferiore alla loro somma moltiplicata per la loro
> media
> quindi
> int f_n^2 >= int f_n * (media di f_n in I_n) =
> = int f_n * int f_n / misura(I_n) = 1 / misura(I_n)
> che e' un infinito, essendo misura(I_n) infinitesimo. Ergo int f_n^2
> diverge. Ciao
Ciao.
--
BlueRay
El Filibustero
Jun 19, 2015, 11:26:36 AM6/19/15
to
On Fri, 19 Jun 2015 07:34:22 -0700 (PDT), BlueRay wrote:
>> dato un qualunque insieme di numeri positivi, la somma dei loro
>> quadrati e' non inferiore alla loro somma moltiplicata per la loro
>> media
>
>Come si dimostra?
Vale in generale, anche per numeri non necessariamente positivi.
>> dato un qualunque insieme di numeri positivi, la somma dei loro
>> quadrati e' non inferiore alla loro somma moltiplicata per la loro
>> media
>
>Come si dimostra?
Per un numero e' banale. Presi comunque n>=2 numeri x1...xn, per ogni
i,j da 1 a n, con i diverso da j, poiche' (xi-xj)^2 >= 0 si ha
xi^2 + xj^2 >= 2 xi xj
quindi
somma{i,j=1..n,i<j} xi^2 + xj^2 >= somma{i,j=1..n,i<j} 2 xi xj
ossia
(n-1) (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) >= somma{i,j=1..n,i<j} 2 xi xj.
Sommando ancora x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 a entrambi i membri,
n (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) >= x1^2 + x2^2 + ... + xn^2
+ somma{i,j=1..n,i<j} 2 xi xj
e a secondo membro c'e' il quadrato della somma x1+x2+...+xn.
Quindi
n (x1^2 + x2^2 + ... xn^2) >= (x1 + x2 + ... + xn)^2;
(x1^2 + x2^2 + ... xn^2) >= (x1 + x2 + ... + xn)^2 / n
cioe' somma quadrati >= somma * media. Ciao
Gattosilvestro
Jun 19, 2015, 1:19:20 PM6/19/15
to
delta(x) è =/ da zero solo per x compreso tra 0- e 0+;
Il primo integrale diventa : Int(0-, 0+)f(x)delta(x)dx con f(x) continua,
perciò f(x) = f(0), che si può portare fuori dall'integrale.
Il secondo integrale che hai scritto diventa Int(0-, 0+)delta(x)delta(x)dx ;
all'interno di questo intervallo , delta(x) prima sale da 0 a oo, poi ritorna a 0,
e non assume un valore preciso che si può portare fuori dall'integrale, come la f(x) dell'integrale precedente.
Giorgio Bibbiani
Jun 20, 2015, 3:09:30 AM6/20/15
to
Ho scritto:
alla funzione 1 (colloquialmente, e nella mente ragionante,
spesso si confondono le funzioni con le distribuzioni loro
associate, ma qui occorre distinguere, visto che il nocciolo
del discorso sono proprio le conseguenze di questa confusione
di significati).
--
Giorgio Bibbiani
> Probabilmente c'e' un equivoco, dovuto a mia insufficiente chiarezza,
> infatti ho iniziato a ragionare sulla delta come distribuzione,
> scrivendo giustamente che la sua trasformata di F. e' 1,
Correggo un'imprecisione, intendevo la distribuzione associata
> infatti ho iniziato a ragionare sulla delta come distribuzione,
> scrivendo giustamente che la sua trasformata di F. e' 1,
alla funzione 1 (colloquialmente, e nella mente ragionante,
spesso si confondono le funzioni con le distribuzioni loro
associate, ma qui occorre distinguere, visto che il nocciolo
del discorso sono proprio le conseguenze di questa confusione
di significati).
--
Giorgio Bibbiani
BlueRay
Jun 20, 2015, 3:12:58 AM6/20/15
to
Il giorno giovedì 18 giugno 2015 23:46:45 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 18/06/15 23:04, BlueRay ha scritto:
> ....
> > Ti credo sulla parola, comunque C. Rossetti, "Metodi Matematici per la
> > Fisica", 1984, scrive che"il prodotto di due distribuzioni delta e'
> > definito ed e' ancora una
> > distribuzione", paragrafo 3.2 capitolo VI.efinito
>
> Non ho il testo. Immagino che si riferisca alla relazione che permette
> di esprimere il prodotto di convoluzione di due delta mediante un' unica
> delta. Quello si puo' fare. Ma non e' lo stesso che definire il prodotto
> di deue delta per qualsiasi valore dell' argomento.
Il prodotto di convoluzione non lo ha ancora introdotto a quel punto li. Ma comunque lui all'inizio del capitolo da una definizione di distribuzione differente; la distribuzione "gamma" e' definita da:
> Il 18/06/15 23:04, BlueRay ha scritto:
> ....
> > Ti credo sulla parola, comunque C. Rossetti, "Metodi Matematici per la
> > Fisica", 1984, scrive che"il prodotto di due distribuzioni delta e'
> > definito ed e' ancora una
> > distribuzione", paragrafo 3.2 capitolo VI.efinito
>
> Non ho il testo. Immagino che si riferisca alla relazione che permette
> di esprimere il prodotto di convoluzione di due delta mediante un' unica
> delta. Quello si puo' fare. Ma non e' lo stesso che definire il prodotto
> di deue delta per qualsiasi valore dell' argomento.
Int[-oo,+oo]gamma(x)f(x)dx = lim[n-->oo] Int[-oo,+oo]g_n(x)f(x)dx
dove g_n(x) sono opportune funzioni e f(x) e' la funzione test.
Dice esplicitamente che il prodotto di due distribuzioni, gamma*gamma' non e' sempre definito in quanto g_n(x)*g_n'(x) potrebbe non esistere, pero' per la delta si.
E' un approccio probabilmente meno generale, ma che ha dei pregi secondo me.
Ciao.
--
BlueRay
BlueRay
Jun 20, 2015, 6:54:23 AM6/20/15
to
Una (presunta?) proprieta' interessante della delta di Dirac e' la seguente.
Calcolare Int[-oo,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx.
Int[-oo,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = Int[-oo,0]delta(x^2-9)f(x)dx + Int[0,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = (nel primo integrale sostituisco x = sqrt(u), nel secondo x = -sqrt(u)) =
=Int[0,+oo]delta(u-9)f(-sqrt(u)/2sqrt(u)) du +
+ Int[0,+oo]delta(u-9)f(sqrt(u)/2sqrt(u)) du = [f(-3) + f(3)]/6.
E' lecito questo calcolo?
--
BlueRay
Calcolare Int[-oo,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx.
Int[-oo,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = Int[-oo,0]delta(x^2-9)f(x)dx + Int[0,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = (nel primo integrale sostituisco x = sqrt(u), nel secondo x = -sqrt(u)) =
=Int[0,+oo]delta(u-9)f(-sqrt(u)/2sqrt(u)) du +
+ Int[0,+oo]delta(u-9)f(sqrt(u)/2sqrt(u)) du = [f(-3) + f(3)]/6.
E' lecito questo calcolo?
--
BlueRay
El Filibustero
Jun 20, 2015, 8:44:20 AM6/20/15
to
On Sat, 20 Jun 2015 03:54:22 -0700 (PDT), BlueRay wrote:
>Int[-oo,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = Int[-oo,0]delta(x^2-9)f(x)dx
>+ Int[0,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = (nel primo integrale sostituisco
>x = sqrt(u), nel secondo x = -sqrt(u)) =
>
>=Int[0,+oo]delta(u-9)f(-sqrt(u)/2sqrt(u)) du +
f(-sqrt(u))/2sqrt(u)
>Int[-oo,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = Int[-oo,0]delta(x^2-9)f(x)dx
>+ Int[0,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = (nel primo integrale sostituisco
>x = sqrt(u), nel secondo x = -sqrt(u)) =
>
>=Int[0,+oo]delta(u-9)f(-sqrt(u)/2sqrt(u)) du +
>+ Int[0,+oo]delta(u-9)f(sqrt(u)/2sqrt(u)) du = [f(-3) + f(3)]/6.
>E' lecito questo calcolo?
Giorgio Bibbiani
Jun 20, 2015, 9:05:03 AM6/20/15
to
BlueRay ha scritto:
> =Int[0,+oo]delta(u-9)f(-sqrt(u)/2sqrt(u)) du +
>
> + Int[0,+oo]delta(u-9)f(sqrt(u)/2sqrt(u)) du
Nei 2 integrali sopra l'ultima parentesi e' malposta.
> = [f(-3) + f(3)]/6.
OK.
> E' lecito questo calcolo?
*Direi* che piu' che altro sia conseguenza di una *definizione*, v.:
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function#Composition_with_a_function
questa definizione viene data per poter applicare formalmente la regola
di integrazione per sostituzione quando si compone la delta con un'altra
opportuna funzione, nota che le radici della funzione a cui delta viene
composta devono essere semplici.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Una (presunta?) proprieta' interessante della delta di Dirac e' la
> seguente.
> Calcolare Int[-oo,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx.
>
> Int[-oo,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = Int[-oo,0]delta(x^2-9)f(x)dx +
> Int[0,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = (nel primo integrale sostituisco x =
> sqrt(u), nel secondo x = -sqrt(u)) =
Hai scambiato "primo" con "secondo".
> seguente.
> Calcolare Int[-oo,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx.
>
> Int[-oo,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = Int[-oo,0]delta(x^2-9)f(x)dx +
> Int[0,+oo]delta(x^2-9)f(x)dx = (nel primo integrale sostituisco x =
> sqrt(u), nel secondo x = -sqrt(u)) =
> =Int[0,+oo]delta(u-9)f(-sqrt(u)/2sqrt(u)) du +
>
> + Int[0,+oo]delta(u-9)f(sqrt(u)/2sqrt(u)) du
> = [f(-3) + f(3)]/6.
> E' lecito questo calcolo?
*Direi* che piu' che altro sia conseguenza di una *definizione*, v.:
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function#Composition_with_a_function
questa definizione viene data per poter applicare formalmente la regola
di integrazione per sostituzione quando si compone la delta con un'altra
opportuna funzione, nota che le radici della funzione a cui delta viene
composta devono essere semplici.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
BlueRay
Jun 20, 2015, 9:45:43 AM6/20/15
to
Grazie.
--
BlueRay
--
BlueRay
Elio Fabri
Jun 22, 2015, 3:54:11 PM6/22/15
to
Giorgio Pastore ha scritto:
Per inciso, ho cercato un po' se e quando si possa definire la
convoluzione di due distribuzioni, e non ho trovato niente.
Ma mi sembra impossibile che la cosa non sia trattata...
Ci ho pensato un po', e direi che la convol. si può definire, tramite
la TdF, almeno nel caso in cui le TdF delle due distrib. di cui si
vuole definire la convoluzione sono funzioni C^inf che all'infinito non
crescono più rapidamente di un polinomio.
La cosa non è banalissima, perché bisogna prima definire la
traslazione di una distrib. e dimostrare qualche lemma...
Dato che la TdF della delta è una costante, siamo a posto.
Un'altra cosa mi è venuta in mente, ma non sono riuscito a documentarmi.
Ricordo che qualche testo di m.q. fa spuntare il quadrato di una
delta, forse nel calcolo della probabilità di decadimento.
Non mi riesce di ricostruire come viene aggiustato il pastrocchio.
Qualcuno lo sa?
> La differenza e' che una distribuzione e' un funzionale lineare
> continuo definito su uno spazio di funzioni. Non sul dominio delle
> suddette funzioni. La differenza dovrebbe essere non banale. Ma spesso
> in fisica le questioni di dominio vengono viste come cose "non per
> veri fisici" ;-)
Però mi sembra una questione diversa.
Un conto sono le questioni di dominio degli operatori in m.q., quele
che danno per es. i paradossi sul commutatore di variabili coniugate.
Ma qui non è questione di dominio, ma di *spazio di definizione*.
Una funzione sarà una mappa R-->C o qualcosa del genere.
Una distribuzione temperata (per es.) è una mappa S-->C (continua),
dove s è il solito spazio di funzioni di Schwartz: funzioni c^inf che
all'infinito vanno a zero più rapidamente di qualunque potenza.
Il punto essenziale sta nel capire che anche quando una distr. è
*pure* una funzione, come distr. ha senso solo in quanto integrale...
--
Elio Fabri
> Non ho il testo. Immagino che si riferisca alla relazione che permette
> di esprimere il prodotto di convoluzione di due delta mediante un'
> unica delta. Quello si puo' fare. Ma non e' lo stesso che definire il
> prodotto di deue delta per qualsiasi valore dell' argomento.
Sicuramente no: la convoluzione è tutt'altra cosa che il prodotto!
> di esprimere il prodotto di convoluzione di due delta mediante un'
> unica delta. Quello si puo' fare. Ma non e' lo stesso che definire il
> prodotto di deue delta per qualsiasi valore dell' argomento.
Per inciso, ho cercato un po' se e quando si possa definire la
convoluzione di due distribuzioni, e non ho trovato niente.
Ma mi sembra impossibile che la cosa non sia trattata...
Ci ho pensato un po', e direi che la convol. si può definire, tramite
la TdF, almeno nel caso in cui le TdF delle due distrib. di cui si
vuole definire la convoluzione sono funzioni C^inf che all'infinito non
crescono più rapidamente di un polinomio.
La cosa non è banalissima, perché bisogna prima definire la
traslazione di una distrib. e dimostrare qualche lemma...
Dato che la TdF della delta è una costante, siamo a posto.
Un'altra cosa mi è venuta in mente, ma non sono riuscito a documentarmi.
Ricordo che qualche testo di m.q. fa spuntare il quadrato di una
delta, forse nel calcolo della probabilità di decadimento.
Non mi riesce di ricostruire come viene aggiustato il pastrocchio.
Qualcuno lo sa?
> La differenza e' che una distribuzione e' un funzionale lineare
> continuo definito su uno spazio di funzioni. Non sul dominio delle
> suddette funzioni. La differenza dovrebbe essere non banale. Ma spesso
> in fisica le questioni di dominio vengono viste come cose "non per
> veri fisici" ;-)
Un conto sono le questioni di dominio degli operatori in m.q., quele
che danno per es. i paradossi sul commutatore di variabili coniugate.
Ma qui non è questione di dominio, ma di *spazio di definizione*.
Una funzione sarà una mappa R-->C o qualcosa del genere.
Una distribuzione temperata (per es.) è una mappa S-->C (continua),
dove s è il solito spazio di funzioni di Schwartz: funzioni c^inf che
all'infinito vanno a zero più rapidamente di qualunque potenza.
Il punto essenziale sta nel capire che anche quando una distr. è
*pure* una funzione, come distr. ha senso solo in quanto integrale...
--
Elio Fabri
Elio Fabri
Jun 22, 2015, 3:54:12 PM6/22/15
to
BlueRay ha scritto:
> Ma comunque lui all'inizio del capitolo da una definizione di
> distribuzione differente; la distribuzione "gamma" e' definita da:
>
> Int[-oo,+oo]gamma(x)f(x)dx = lim[n-->oo] Int[-oo,+oo]g_n(x)f(x)dx
>
> dove g_n(x) sono opportune funzioni e f(x) e' la funzione test.
Primo: la scrittura è priva di senso.
Come si deve intendere il limite?
Secondo: si dovrebbe dimostrare che detto limite non cambia scegliendo
diversamente le g_n, o almeno dirlo.
Insoma, anch'io il libro non lo conosco, ma insomma...
> Dice esplicitamente che il prodotto di due distribuzioni, gamma*gamma'
> non e' sempre definito in quanto g_n(x)*g_n'(x) potrebbe non
> esistere, pero' per la delta si.
Sei sicuro di aver letto bene?
Come fa a non esistere il prodotto delle due funzioni?
Forse non esiste l'integrale?
"Per la delta sì"? Davvero?
> E' un approccio probabilmente meno generale, ma che ha dei pregi
> secondo me.
Ora mi provochi uno scrupolo di coscienza...
Di sicuro insegnando FT non avrò potuto evitare la delta.
Come me la sarò cavata? :-)
Temo piuttosto male, visto anche che a quel tempo di distribuzioni
sapevo poco assai...
Comunque il subject di questo thread è di un'insensatezza unica...
--
Elio Fabri
> Il prodotto di convoluzione non lo ha ancora introdotto a quel punto
> li.
Poi lo introduce?
> li.
> Ma comunque lui all'inizio del capitolo da una definizione di
> distribuzione differente; la distribuzione "gamma" e' definita da:
>
> Int[-oo,+oo]gamma(x)f(x)dx = lim[n-->oo] Int[-oo,+oo]g_n(x)f(x)dx
>
> dove g_n(x) sono opportune funzioni e f(x) e' la funzione test.
Come si deve intendere il limite?
Secondo: si dovrebbe dimostrare che detto limite non cambia scegliendo
diversamente le g_n, o almeno dirlo.
Insoma, anch'io il libro non lo conosco, ma insomma...
> Dice esplicitamente che il prodotto di due distribuzioni, gamma*gamma'
> non e' sempre definito in quanto g_n(x)*g_n'(x) potrebbe non
> esistere, pero' per la delta si.
Come fa a non esistere il prodotto delle due funzioni?
Forse non esiste l'integrale?
"Per la delta sì"? Davvero?
> E' un approccio probabilmente meno generale, ma che ha dei pregi
> secondo me.
Di sicuro insegnando FT non avrò potuto evitare la delta.
Come me la sarò cavata? :-)
Temo piuttosto male, visto anche che a quel tempo di distribuzioni
sapevo poco assai...
Comunque il subject di questo thread è di un'insensatezza unica...
--
Elio Fabri
BlueRay
Jun 22, 2015, 5:00:33 PM6/22/15
to
Il giorno lunedì 22 giugno 2015 21:54:12 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> BlueRay ha scritto:
> > Il prodotto di convoluzione non lo ha ancora introdotto a quel punto
> > li.
> Poi lo introduce?
16 pagine dopo, al capitolo successivo (Cenni sulle trasformate di Fourier e di Laplace) quando mostra che la tr. di F. trasforma convoluzioni in prodotti e viceversa.
> BlueRay ha scritto:
> > Il prodotto di convoluzione non lo ha ancora introdotto a quel punto
> > li.
> Poi lo introduce?
>
> > Ma comunque lui all'inizio del capitolo da una definizione di
> > distribuzione differente; la distribuzione "gamma" e' definita da:
> > Int[-oo,+oo]gamma(x)f(x)dx = lim[n-->oo] Int[-oo,+oo]g_n(x)f(x)dx
> > dove g_n(x) sono opportune funzioni e f(x) e' la funzione test.
> Primo: la scrittura è priva di senso.
Ho sbagliato io: gli estremi di integrazione sono a e b in quella definizione.
> > Ma comunque lui all'inizio del capitolo da una definizione di
> > distribuzione differente; la distribuzione "gamma" e' definita da:
> > Int[-oo,+oo]gamma(x)f(x)dx = lim[n-->oo] Int[-oo,+oo]g_n(x)f(x)dx
> > dove g_n(x) sono opportune funzioni e f(x) e' la funzione test.
> Primo: la scrittura è priva di senso.
> Come si deve intendere il limite?
> Secondo: si dovrebbe dimostrare che detto limite non cambia scegliendo
> diversamente le g_n, o almeno dirlo.
g_n = (1/pi) sin(nx)/x
h_n(x) = (1/2pi*n) sin^2(nx/2) / (x/2)^2.
> Insoma, anch'io il libro non lo conosco, ma insomma...
>
> > Dice esplicitamente che il prodotto di due distribuzioni, gamma*gamma'
> > non e' sempre definito in quanto g_n(x)*g_n'(x) potrebbe non
> > esistere, pero' per la delta si.
> Sei sicuro di aver letto bene?
> Come fa a non esistere il prodotto delle due funzioni?
> Forse non esiste l'integrale?
> "Per la delta sì"? Davvero?
d(x-x')d(x-x") = d(x-x')d(x'-x")
dove "d" sta per delta.
A pag. 450 dice: "La (3.41) che, integrando in dx dopo aver moltiplicato per una funzione di prova f(x), si legge:
Integrale f(x)d(x-x')d(x-x")dx = f(x')d(x'-x")
mostra che il prodotto di due distribuzioni d e' definito ed e' ancora una distribuzione."
> > E' un approccio probabilmente meno generale, ma che ha dei pregi
> > secondo me.
> Ora mi provochi uno scrupolo di coscienza...
> Di sicuro insegnando FT non avrò potuto evitare la delta.
> Come me la sarò cavata? :-)
> Temo piuttosto male, visto anche che a quel tempo di distribuzioni
> sapevo poco assai...
--
BlueRay
BlueRay
Jun 22, 2015, 5:08:44 PM6/22/15
to
Il giorno lunedì 22 giugno 2015 23:00:33 UTC+2, BlueRay ha scritto:
>... non segue, in generale, lim integrale di g_n(x)h_n(x)f(x).
Leggi: "... non segue, in generale, l'esistenza del limite lim integrale di g_n(x)h_n(x)f(x)."
--
BlueRay
>... non segue, in generale, lim integrale di g_n(x)h_n(x)f(x).
Leggi: "... non segue, in generale, l'esistenza del limite lim integrale di g_n(x)h_n(x)f(x)."
--
BlueRay
Davide Campagnari
Jun 23, 2015, 4:33:13 AM6/23/15
to
Il giorno lunedì 22 giugno 2015 21:54:11 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> Un'altra cosa mi è venuta in mente, ma non sono riuscito a documentarmi.
> Ricordo che qualche testo di m.q. fa spuntare il quadrato di una
> delta, forse nel calcolo della probabilità di decadimento.
> Non mi riesce di ricostruire come viene aggiustato il pastrocchio.
> Qualcuno lo sa?
Dovrei avere qualcosa di simile in alcuni appunti: perturbazioni dipendenti
> Un'altra cosa mi è venuta in mente, ma non sono riuscito a documentarmi.
> Ricordo che qualche testo di m.q. fa spuntare il quadrato di una
> delta, forse nel calcolo della probabilità di decadimento.
> Non mi riesce di ricostruire come viene aggiustato il pastrocchio.
> Qualcuno lo sa?
dal tempo, se ricordo bene. Proverò a cercarli piú tardi.
Andando a memoria: occorre introdurre una nascent delta, tipo una gaussiana
o lorentziana con il classico parametro epsilon che *alla fine* va mandato
a zero: allora non ci sono problemi. Mi pare anche di ricordare che ci fosse
un punto preciso nel calcolo in cui si vedeva l'errore nel partire con una
delta "già fatta".
Davide C.
Elio Fabri
Jun 24, 2015, 3:52:21 PM6/24/15
to
Davide Campagnari ha scritto:
Sono andato a cercare nei libri che ho in casa (Schiff, Dirac, Landau).
In nesuno ho trovato la famigerata delta^2.
Anche se sono sicuro di non essermela sognata, nn so dire dove sta
scritta...
--
Elio Fabri
> Dovrei avere qualcosa di simile in alcuni appunti: perturbazioni
> dipendenti dal tempo, se ricordo bene. Proverò a cercarli più
> tardi.
>
> Andando a memoria: occorre introdurre una nascent delta, tipo una
> gaussiana o lorentziana con il classico parametro epsilon che *alla
> fine* va mandato a zero: allora non ci sono problemi. Mi pare anche di
> ricordare che ci fosse un punto preciso nel calcolo in cui si vedeva
> l'errore nel partire con una delta "già fatta".
Si probabilmente si tratta di questo.
>
> Andando a memoria: occorre introdurre una nascent delta, tipo una
> gaussiana o lorentziana con il classico parametro epsilon che *alla
> fine* va mandato a zero: allora non ci sono problemi. Mi pare anche di
> ricordare che ci fosse un punto preciso nel calcolo in cui si vedeva
> l'errore nel partire con una delta "già fatta".
Sono andato a cercare nei libri che ho in casa (Schiff, Dirac, Landau).
In nesuno ho trovato la famigerata delta^2.
Anche se sono sicuro di non essermela sognata, nn so dire dove sta
scritta...
--
Elio Fabri
BlueRay
Jun 25, 2015, 5:23:47 AM6/25/15
to
Tra le tante discussioni sulla delta di Dirac fatte in passato su questi ng, questa mi sembra interessante:
http://tinyurl.com/o2r3c2o
e dai post di Fabri di quel thread ho capito il suo commento che 3 post fa dichiaravo di non afferrare :-)
--
BlueRay
http://tinyurl.com/o2r3c2o
e dai post di Fabri di quel thread ho capito il suo commento che 3 post fa dichiaravo di non afferrare :-)
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BlueRay
BlueRay
Jun 25, 2015, 5:44:00 AM6/25/15
to
In questo documento:
http://tinyurl.com/puv2b4n
verrebbe trattata una sorta di Delta^2 ma non posso dire di capirci un gran che :-)
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BlueRay
http://tinyurl.com/puv2b4n
verrebbe trattata una sorta di Delta^2 ma non posso dire di capirci un gran che :-)
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BlueRay
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