Eq. di Lagrange e forze vincolari

[ngs]

La formulazione lagrangiana ignora le forze vincolari, ma se vogliamo
determinare tali forze dobbiamo riaggiungerle:
d/dt (@L/@q'_j) - @L/@q_j =
sum_k lambda_k @C_k/@q_j j=1,...,n
dove i vincoli (olonomi) sono
C_1(q_1,...,q_n) = 0
...
C_m(q_1,...,q_n) = 0
e le forze vincolari sono perpendicolari alle superfici (di livello 0)
dei vincoli, cioè sono proporzionali ai gradienti:
F_k = lambda_k @C_k/@q k=1,...,m

In tal caso mi pare che l'unico vantaggio rimanente sia quello di poter
usare velocità anziché accelerazioni, giusto?

Kiuhnm

[ngs]

On 6/2/2019 21:27, ngs wrote:
> La formulazione lagrangiana ignora le forze vincolari, ma se vogliamo
> determinare tali forze dobbiamo riaggiungerle:
>   d/dt (@L/@q'_j) - @L/@q_j =
>     sum_k lambda_k @C_k/@q_j       j=1,...,n
> dove i vincoli (olonomi) sono
>   C_1(q_1,...,q_n) = 0
>   ...
>   C_m(q_1,...,q_n) = 0
> e le forze vincolari sono perpendicolari alle superfici (di livello 0)
> dei vincoli, cioè sono proporzionali ai gradienti:
>   F_k = lambda_k @C_k/@q      k=1,...,m

Ovviamente vi sono tanti q quanti sono i DoF ignorando i vincoli.
Quindi, i vincoli stessi vanno aggiunti al sistema di equazioni per un
totale di n+m equazioni.

Kiuhnm

[Archaeopteryx]

> La formulazione lagrangiana ignora le forze vincolari,
> ma se vogliamo determinare tali forze dobbiamo
> riaggiungerle:

Solo ora rifletto sul fatto che le eq. di Lagrangia
(giusto per ricollegarmi al post sull'origine familiare
dei grandi della fisica) incorporano automaticamente i
vincoli. E su due piedi non so come si potrebbero
calcolare le reazioni vincolari restando nella
formulazione lagrangiana. Non ditemelo, voglio dormirci
sopra e magari domattina avrò il colpo di fulmine :D


--
- Tesoro, un pene piccolo non può certo mettere
in crisi la nostra relazione!
- Lo so cara, ma preferirei che tu non lo avessi
proprio.

[JTS]

Am 06.02.2019 um 22:05 schrieb Archaeopteryx:
> Non ditemelo, voglio dormirci
> sopra e magari domattina avrò il colpo di fulmine :D
>
>

Invece ci puoi arrivare subito :-)

[ngs]

On 6/2/2019 22:05, Archaeopteryx wrote:
>> La formulazione lagrangiana ignora le forze vincolari, ma se vogliamo
>> determinare tali forze dobbiamo riaggiungerle:
>
> Solo ora rifletto sul fatto che le eq. di Lagrangia
> (giusto per ricollegarmi al post sull'origine familiare
> dei grandi della fisica) incorporano automaticamente i
> vincoli. E su due piedi non so come si potrebbero
> calcolare le reazioni vincolari restando nella
> formulazione lagrangiana. Non ditemelo, voglio dormirci
> sopra e magari domattina avrò il colpo di fulmine :D

Aggiungo solo che in realtà esistono una miriade di varianti della
formulazione lagrangiana. Se hai forze non conservative, puoi
aggiungerle, se hai vincoli olonomi e non (con limitazioni) puoi
aggiungerli... e lo stesso vale per le forze vincolari, come ho scritto
nel post.
Se hai letto il mio post per intero hai già la risposta :(

Kiuhnm

[JTS]

Am 06.02.2019 um 21:34 schrieb ngs:

>> dove i vincoli (olonomi) sono
>>    C_1(q_1,...,q_n) = 0
>>    ...
>>    C_m(q_1,...,q_n) = 0

Non ho capito come fai a scrivere i vincoli come equazioni nelle
coordinate dei vincoli. Un esempio semplice di quello che ho in mente e'
il piano z = 0 espresso come un'equazione in x e y ... non e' possibile.
Oppure cosa intendi?

[ngs]

Singola massa di coordinate (x,y,z).
Scelgo q1 = x, q2 = y e q3 = z.
Vincolo C1(q1,q2,q3) = q3 = 0.

Metodo I)
Uso C1 per eliminare q3 algebricamente. Poiché q3=0, q3 è una costante e
quindi rimango con le 2 coordinate q1=x, q2=y.

Metodo II)
Mi tengo q1, q2, q3 e aggiungo la forza normale (al piano)
lambda (grad C1) = lambda q3^
ottenendo
d/dt @L/@q1' - @L/@q1 = 0
d/dt @L/@q2' - @L/@q2 = 0
d/dt @L/@q3' - @L/@q3 = lambda
q3 = 0
poiché la forza ha componenti (0,0,lambda) in q1^,q2^,q3^.
Abbiamo 4 equazioni in 4 incognite.

Kiuhnm

[JTS]

Almeno approssimativamente credo di avere capito. Ma (ovviamente) tre di
queste equazioni si possono risolvere senza considerare la quarta ;-)

[ngs]

L'esempio è banale, ovviamente :)
Comunque bisogna anche aggiungere la forza di gravità (che finisce nella
L sotto forma di potenziale) che prima ignoravamo, altrimenti troveremmo
una forza vincolare pari a zero!

Provo a convincerti del tutto in modo ultra-conciso.
1. Lavoro virtuale, equilibrio statico:
sum_i F_i dot dr_i = 0
cioè il lavoro virtuale totale delle masse è 0
2. Principio d'Alembert, equilibrio dinamico:
sum_i (F_i - m_i a_i) dot dr_i = 0 (1)
3. Usando coordinate generalizzate:
r_i = r_i(q_1,...,q_n)
e quindi
dr_i = sum_j @r_i/@q_j dr_j
e sostituendo nella (1) si ha facilmente
sum_j [sum_i (F_i-m_i a_i) dot @r_i/@q_j] dr_j = 0
I dr_j sono arbitrari. Se sono anche indipendenti (cioè non legati
tra di loro da vincoli), possiamo sceglierli tutti 0 tranne uno a
piacere e quindi bisogna avere
sum_i (F_i-m_i a_i) dot @r_i/@q_j = 0 j=1,...,n (2)
4. La (2) si può riscrivere come
sum_i m_i a_i dot @r_i/@q_j = (3a)
sum_i F_i dot @r_i/@q_j (3b)
5. Si può dimostrare che la (3a) è equivalente a
d/dt @T/@q'_j - @T/@q_j
dove T è la somma delle energie cinetiche delle masse.
6. Se le forze sono conservative, allora
F_i = -@V_i/@dr_i
dove V_i è un potenziale e la (3b) diventa
-sum_i @V_i/@dr_i dot @r_i/@q_j =
-sum_i @V_i/@q_j = -@V/@q_j.
7. Mettendo tutto insieme, abbiamo:
d/dt @T/@q'_j - @T/@q_j = -@V/@q_j
cioè
d/dt @T/@q'_j - @(T-V)/@q_j = 0
Visto che V dipende (per def. di potenziale) solo dalle posizioni q e
non dalle velocità q', allora possiamo scrivere
d/dt @(T-V)/@q'_j - @(T-V)/@q_j = 0
cioè
d/dt @L/@q'_j - @L/@q_j = 0, L = T-V.
8. Se vi sono forze non conservative, allora rimane un residuo della (3b):
d/dt @L/@q'_j - @L/@q_j = sum_i F_i dot @r_i/@q_j
Praticamente la (3b) si spezza in 2 parti. La parte conservativa
finisce nella L e l'altra parte rimane dov'era.
Ovviamente nessuno ci costringe a spostare le forze conservative nella
L, ma così facendo si semplificano i calcoli. Non possiamo però spostare
quelle non conservative.
9. Le forze vincolari sono sempre perpendicolari ai vincoli e i vincoli
sono conosciuti, quindi di queste forze ignoriamo solo l'intensità che
chiamiamo lambda.
Visto che il gradiente di un vincolo dà un vettore perpendicolare alla
superficie da esso rappresentata, allora la forza vincolare relativa a
tale vincolo è semplicemente
lambda (grad vincolo).
10. In definitiva si ha
d/dt @L/@q'_j - @L/@q_j = forze vincolari
cioè
d/dt @L/@q'_j - @L/@q_j = sum_k lambda_k (grad vincolo_k)

Kiuhnm

[ngs]

On 7/2/2019 02:10, ngs wrote:
> 3. Usando coordinate generalizzate:
>     r_i = r_i(q_1,...,q_n)
>   e quindi
>     dr_i = sum_j @r_i/@q_j dr_j

L'ultimo termine è dq_j, ovviamente.

Kiuhnm

[ngs]

On 7/2/2019 02:10, ngs wrote:

> 3. Usando coordinate generalizzate:
>     r_i = r_i(q_1,...,q_n)
>   e quindi
>     dr_i = sum_j @r_i/@q_j dr_j
>   e sostituendo nella (1) si ha facilmente
>     sum_j [sum_i (F_i-m_i a_i) dot @r_i/@q_j] dr_j = 0
>   I dr_j sono arbitrari. Se sono anche indipendenti (cioè non legati
> tra di loro da vincoli), possiamo sceglierli tutti 0 tranne uno a
> piacere e quindi bisogna avere
>     sum_i (F_i-m_i a_i) dot @r_i/@q_j = 0     j=1,...,n     (2)

Mi piacerebbe fare finta di niente, ma in effetti nel punto 3. dico che
i dq_j (non dr_j!) devono essere indipendenti, ma per determinare le
forze vincolari dobbiamo usare delle q ridondanti (q ridondanti => dq
ridondanti). Per es. usiamo x,y,z sebbene si abbia z=0. E' chiaro che
non possiamo porre dx=dy=0 e dz=1 (z costante => dz=0) per dire che il
coeff. relativo a dz, cioè
[sum_i (F_i-m_i a_i) dot @r_i/@z]
è anch'esso 0.
In realtà ci viene in aiuto il lambda (introdotto con la forza
vincolare) che ci permette di azzerare il termine con la z.
Insomma, quando si vanno a spiegare/dimostrare le cose salta sempre
fuori qualcosa a complicare tutto :(

Kiuhnm

[JTS]

Mi leggo tutto con calma (tuo post precedente), cmq. mi e' venuto in
mente che (e forse e' collegato con quello che dici) se vuoi introdurre
le forze vincolari le equazioni non le puoi piu' separare in gruppi da
risolvere separatamente - non ho le cose in mente in maniera precisa, ma
il punto dovrebbe essere che per considerare le forze vincolari devi
considerare possibili moti al di fuori del vincolo, e se consideri i
possibili moti al di fuori del vincolo, allora le equazioni "per soli
moti che soddisfano il vincolo" non le risolvi piu' da sole.

Esposizione confusa ma forse si puo' rendere precisa.

[JTS]

Se trovo il tempo (ma non posso promettere) provo a pensare nel
dettaglio all'intiero ragionamento perche' mi sembra un buon modo per
capire cosa "fanno" le equazioni di Lagrange.

[JTS]

Nella d/dt (@L/@q'_j) le accelerazioni ti devono saltare fuori.

Quindi non rimane nessun vantaggio secondo me.

[M.]

Ci sono decine di esempi (quanti ne vuoi in pratica) o chiamiamoli esercizi che se vuoi ottenere le equazioni pure di moto usando le equazioni di Lagrange fai una certa fatica e se invece ci arrivi con le equazioni cardinali nei fai ben altra. Il vantaggio pratico è ben evidente a chiunque sia passato per questo. Concettualmente pure, per esempio capisci che c'è una unica funzione (la Lagrangiana) che cattura l'essenza del sistema meccanico. E poi gli integrali dei momenti cinetici, quando ci sono. E non solo questo.

Non è che sono insegnate per motivi storici, assolutamente no.

[JTS]

Dicevo per la "formulazione di Kiuhnm", quella in cui ci vuoi mettere anche le forze vincolari. Allora, se ho capito bene, perdi tutto il vantaggio della formulazione di Lagrange, che hai invece se usi solo le coordinate sul vincolo.

[JTS]

Per esempio che io sappia la dinamica Lagrangiana e' usata per risolvere problemi di moto di satelliti (per esempio nella mia immaginazione con parti azionabili, mettiamo un braccio "prensile").

[Archaeopteryx]

> Se hai letto il mio post per intero hai già la risposta :(

SI'! :D

[ngs]

Quello che ho scritto è corretto al 100% perché è il metodo standard
usato nei libri e nel corso che sto guardando online. Se vuoi conoscere
le forze vincolari le aggiungi come ho fatto vedere. Devi anche
aggiungere le altre forze, tipo la gravità, che prima trascuravi,
ovviamente.
Anche la giustificazione è corretta al 99.99%. Il prof. ha completamente
ignorato il problema da me evidenziato.

Le equazioni non sono separate in gruppi nella formulazione lagrangiana.
In quella vettoriale newtoniana hai sempre gruppi da 3 o da 2 perché
lavori con vettori, mentre in quella lagrangiana hai sempre eq. scalari
perché proietti su una q_j alla volta. Forse non capisco quello che intendi.

La pecca nell'argomentazione che ho proposto è legata ai moltiplicatori
di Lagrange. Sebbene vi sia l'interpretazione di lambda = intensità
della forza, poi rimane il "problema" della ridondanza dei q_j, ma solo
a livello di giustificazione.
Il problema si risolve riconoscendo che aggiungere le forze vincolari
equivale ad aggiungere vincoli usando i moltiplicatori di Lagrange.
In effetti, possiamo sempre aggiungere all'eq. di lagrange vincoli
lineari nelle velocità, cioè della forma
sum_j a_j(q_1,...,q_n) q'_j + b_j(q_1,...,q_n) = 0
In letteratura sono noti come vincoli Pfaffiani.
I vincoli olonomi possono essere portati in tale forma semplicemente
derivando rispetto al tempo:
p(q_1,...,q_n) = 0 ===> sum_j @p/@q_j q'_j = 0
Le equazioni di Lagrange diventano
d/dt (..) - (..) = lambda @p/@q_j j=1,...,n
(Ovviamente, si ha un lambda per ogni vincolo. Qui ho aggiunto un solo
vincolo.)
Il Goldstein giustifica il lambda passando per i moltiplicatori di
Lagrange e poi osserva che il termine a destra rappresenta una forza
vincolare. Il prof. del corso invece fa l'opposto, cioè parte dalla
forza vincolare, il che rende tutto più intuitivo, ma c'è la piccola
pecca dei dq_j. La giustificazione formale richiede i moltiplicatori di
Lagrange o qualcosa di equivalente.

Ci si può arrivare anche passando per il calcolo delle variazioni (che
studierò a breve) e il principio di minima azione di Hamilton.

Kiuhnm

[ngs]

On 7/2/2019 10:42, JTS wrote:
> Dicevo per la "formulazione di Kiuhnm", quella in cui ci vuoi mettere anche le forze vincolari. Allora, se ho capito bene, perdi tutto il vantaggio della formulazione di Lagrange, che hai invece se usi solo le coordinate sul vincolo.
>

La formulazione è "standard", non mia, eh!
Non è colpa mia se è poco insegnata nei corsi :)

Le eq. di Lagrange sono divise in 2 parti:
LHS = RHS j=1,...,n
La parte sinistra resta "bella" perché coinvolge solo velocità e la
parte destra contiene solo forze.
Penso che un lieve vantaggio rimanga.

Perdi il vantaggio della riduzione del numero di eq. e delle forze da
considerare. Che poi questo sia il 99% del vantaggio, può essere...

Kiuhnm

[ngs]

On 6/2/2019 22:25, ngs wrote:
> On 6/2/2019 22:05, Archaeopteryx wrote:
>>> La formulazione lagrangiana ignora le forze vincolari, ma se vogliamo
>>> determinare tali forze dobbiamo riaggiungerle:
>>
>> Solo ora rifletto sul fatto che le eq. di Lagrangia
>> (giusto per ricollegarmi al post sull'origine familiare
>> dei grandi della fisica) incorporano automaticamente i
>> vincoli. E su due piedi non so come si potrebbero
>> calcolare le reazioni vincolari restando nella
>> formulazione lagrangiana. Non ditemelo, voglio dormirci
>> sopra e magari domattina avrò il colpo di fulmine :D
>
> Aggiungo solo che in realtà esistono una miriade di varianti della
> formulazione lagrangiana.

Ho appena visto che funziona anche con i corpi rigidi! Basta aggiungere
l'energia cinetica "rotazionale" alla lagrangiana L e una componente
angolare alle eventuali forze non conservative.

Kiuhnm

[JTS]

Intendo (ma posso sbagliare) che se vuoi determinare subito le forze vincolari (cioe' come risultato automatico della soluzione) devi tenerti tutte le equazioni per tutti i gradi di liberta'. Se invece ti va bene risolvere solo per il moto allora puoi risolvere solo le equazioni per i gradi di liberta' compatibili con il vincolo.
Pero' per essere sicuro di quello che dico devo controllare i calcoli in dettaglio e non lo ho ancora fatto.

Piuttosto: per determinare le forze vincolari puoi 1) calcolare il moto 2) esprimere il moto con le coordinate dell'intero spazio (non solo le coordinate compatibili con il vincolo) 3) Calcolare la forza totale derivando due volte 4) sottrarre le forze note.

Non so se questo sia equivalente a quello che hai scritto tu.

[M.]

"Hai appena visto che funziona anche con i corpi rigidi...." Scusa, ma forse prima di avanzare tutte queste osservazioni e critiche non sarebbe meglio che tu assorbissi le idee fino in fondo con calma? Mi sembri un po' precipitoso....

Stai seguendo un corso online (ho capito male?) oppure c'è anche qualcuno in carne e ossa con cui puoi parlare (giusto per curiosità)?

[JTS]

On Thursday, February 7, 2019 at 3:23:58 PM UTC+1, ngs wrote:

>
> Le eq. di Lagrange sono divise in 2 parti:
> LHS = RHS j=1,...,n
> La parte sinistra resta "bella" perché coinvolge solo velocità

Sicuro? A me sembra contengano le derivate prime della velocita'.

Ho anche un po' vilmente controllato esempi gia' sviluppati in rete ;-)

[JTS]

E anche pensare che un corpo rigido e' un corpo normale con molti vincoli ;-)

[Archaeopteryx]

> "Hai appena visto che funziona anche con i corpi
> rigidi...." Scusa, ma forse prima di avanzare tutte
> queste osservazioni e critiche non sarebbe meglio che
> tu assorbissi le idee fino in fondo con calma? Mi
> sembri un po' precipitoso....

Io lo capisco; quando "scopro" qualche bello strumento
matematico o fisico credo di provare le stesse cose, mi
metto più che bene nei suoi panni. Ancora oggi pur sapendo
cosa c'è sotto il cofano la formulazione di Lagrange mi
pare un miracolo ogni volta che mi capita(va) di usarla.
Sembra che la soluzione giusta nasca da sé anche se
ovviamente c'è un motivo.

[ngs]

On 7/2/2019 15:39, JTS wrote:
> Intendo (ma posso sbagliare) che se vuoi determinare subito le forze vincolari (cioe' come risultato automatico della soluzione) devi tenerti tutte le equazioni per tutti i gradi di liberta'. Se invece ti va bene risolvere solo per il moto allora puoi risolvere solo le equazioni per i gradi di liberta' compatibili con il vincolo.

Certo. Se i vincoli sono olonomi (cioè sulle posizioni) puoi usarli
subito per trovare i gradi di libertà ammissibili e trovare dei
q1,...,qn "minimi"... e questo di solito si fa a occhio. Le forze
vincolari vengono ignorate. Questo è il grosso vantaggio della
formulazione lagrangiana.
Se invece ti tieni tutti i q, devi aggiungere i vincoli al sistema di
equazioni. In questo caso però i q non sono più minimi e i dq non sono
più arbitrari (v. punto 3. in uno dei miei post precedenti) perché
devono anche soddisfare i vincoli aggiunti al sistema.
Il tutto continua a funzionare perfettamente, ma la giustificazione è
più complicata e ha a che fare con i moltiplicatori di lagrange.

> Piuttosto: per determinare le forze vincolari puoi 1) calcolare il moto 2) esprimere il moto con le coordinate dell'intero spazio (non solo le coordinate compatibili con il vincolo) 3) Calcolare la forza totale derivando due volte 4) sottrarre le forze note.
>
> Non so se questo sia equivalente a quello che hai scritto tu.

Quello che ho scritto io è più diretto perché usa direttamente la
lagrangiana. La lagrangiana supporta tranquillamente vincoli olonomi che
quindi possono essere aggiunti usando i moltiplicatori di Lagrange.
L'interpretazione è che i moltiplicatori di Lagrange sono le intensità
delle forze vincolari e le derivate parziali dei vincoli sono le
componenti delle normali alle superfici dei vincoli.

Kiuhnm

[ngs]

On 7/2/2019 15:43, JTS wrote:
> On Thursday, February 7, 2019 at 3:23:58 PM UTC+1, ngs wrote:
>
>>
>> Le eq. di Lagrange sono divise in 2 parti:
>> LHS = RHS j=1,...,n
>> La parte sinistra resta "bella" perché coinvolge solo velocità
>
> Sicuro? A me sembra contengano le derivate prime della velocita'.

Sì, ma i calcoli rimangono semplici.
Il termine incriminato è
d/dt (@T/@q'_j)
T è della forma
f1(q) q1'^2 + ... + fn(q) qn'^2
@T/@qj' diventa
2 fj(q) qj'
e d/dt (@T/@qj') diventa
2 fj(q)' qj' + 2 fj(q) qj''
Come vedi, le derivate seconde nascono in modo banale:
qj' -> qj''

Kiuhnm

[ngs]

On 7/2/2019 15:45, JTS wrote:
> E anche pensare che un corpo rigido e' un corpo normale con molti vincoli ;-)

Quello che intendevo dire è che la formulazione lagrangiana rimane
elegante e semplice anche per i corpi rigidi. Non era per niente scontato.
Infatti, si può ripartire dal principio d'Alembert in coordinate
generalizzate e aggiungere i termini mancanti e quindi ricavare
nuovamente le eq. di Lagrange.
Non è una bella fortuna che l'energia cinetica si scinda in parte
"traslatoria" e "rotatoria" e che quest'ultima sia semplicemente 1/2 w^T
I w, dove I è la matrice o tensore d'inerzia?
Chiedo scusa se mi eccito per così poco...

Kiuhnm

[JTS]

Al resto ti ripondo dopo, ma qui non credo tu abbia ragione: sono le stesse derivate che vengono fuori con tutti gli altri metodi se si usano le posizioni come variabili dinamiche.

[JTS]

Am 07.02.2019 um 19:18 schrieb ngs:

>
> Quello che ho scritto io è più diretto perché usa direttamente la
> lagrangiana. La lagrangiana supporta tranquillamente vincoli olonomi che
> quindi possono essere aggiunti usando i moltiplicatori di Lagrange.
> L'interpretazione è che i moltiplicatori di Lagrange sono le intensità
> delle forze vincolari e le derivate parziali dei vincoli sono le
> componenti delle normali alle superfici dei vincoli.
>
> Kiuhnm

Non sono ancora riuscito a pensare ad un esempio che sia risolubile
analiticamente con le solite eq. di Lagrange ma nel quale i "tuoi"
moltiplicatori di Lagrange non siano calcolabili immediatamente.

Ho provato il pendolo per piccole oscillazioni ma questo e' troppo
facile. Scrivo i calcoli perche' cosi' puoi dirmi se interpreto bene i
calcoli che hai scritto.

Fisso il centro di oscillazione nell'origine. Il vincolo e'

x^2 + y^2 = L^2

Uso come coordinate x e y

Le componenti della forza vincolare che devo mettere nelle eq. di L. sono

2 * lambda * x

2 * lambda * y

per x e y rispettivamente

Le equazioni di L. come le hai scritte tu sono

m x'' = 2 * lambda * x

m y'' + m*g = 2 * lambda * y

x^2 + y^2 = L^2

Per piccole oscillazioni y = -L costante (questo lo vedo perche' cosi'
mi tornano bene le equazioni ...) e da qui ricavo lambda dalla equazione
per y'', lo sostituisco nella eq. per x'' e ottengo

m x'' = - (m*g/L) x

Ma appunto e' troppo facile, perche' risolvo subito per un moto. l'idea
e' trovare l'esempio nel quale risolvere per il moto diventi troppo
difficile fatto cosi', mentre sia invece semplice con Lagrange "solito".

Pero' i calcoli sono quelli che hai scritto in generale, giusto?

[ngs]

On 7/2/2019 20:06, JTS wrote:
> Al resto ti ripondo dopo, ma qui non credo tu abbia ragione: sono le stesse derivate che vengono fuori con tutti gli altri metodi se si usano le posizioni come variabili dinamiche.

Dall'Analytical Mechanics of Space Systems di Schaub & Junkins, sezione
5.4 - Lagrangian Dynamics:
"As presented in the preceding discussion, d'Alembert's principle
offers a fundamental advantage over Newton's second law in that the
internal forces and all other virtually nonworking constraint forces can
be simply ignored in
developing the equations of motion. On the other hand, the vector
kinematic algebraic overhead associated with Newton's second law and
d'Alembert's principle is essentially identical, because both require
vector kinematics to be taken through the acceleration level. In this
section, we develop the first of several classical formulations
(Lagrange's equations) that require only velocity-level vector
kinematics. For the developments so far in this chapter, we use the
system of particles model for the system; these developments will
subsequently be generalized to accommodate rigid bodies, systems of
rigid bodies, and general collections of particles, rigid bodies, and
distributed parameter systems."

Kiuhnm

[ngs]

On 7/2/2019 22:46, JTS wrote:
> Pero' i calcoli sono quelli che hai scritto in generale, giusto?

Sì.

Kiuhnm

[JTS]

Non sono ancora convinto, pero' potrebbe esserci qualcosa di importante
che mi sfugge: cioe' che calcolare

d/dt(@L/@q')

sia piu' semplice che proiettare l'accelerazione sul vincolo.

[JTS]

Guarda, non sono convinto neanche qui.

Le equazioni di Lagrange, scritte cosi', sono le equazioni di Newton con
delle forze non note. Per un motivo extra-scientifico, cioe' che se
fossero migliori le eq. di Newton non si investirebbe il proprio tempo a
insegnare le eq. di Lagrange, mi aspetto che gli esempi in cui L.
funziona piu' facilmente di N. esistano e siano anzi comuni.

Ripensandoci, e' quello che ha scritto M. (messaggio delle 10.20 di ieri).

[Wakinian Tanka]

E' normale: kiuhnm non ha (ancora?) dovuto risolvere complessi problemi di meccanica.

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Quando ho scritto questo ero ancora addormentato :-) La parte "proiettare l'accelerazione sul vincolo" non c'entra. Se scrivi le equazioni "tenendo conto del vincolo con le forze incognite" allora nel semplice caso in cui le q sono coordinate cartesiane

d/dt(@L/@q') = m x ''

quindi non hai fatto nessun progresso rispetto alle eq. di Newton;
*forse* potrebbero esserci casi in cui sia possibile risolvere contemporaneamente per le equazioni del moto e i vincoli sia semplice (magari usando delle coordinate che rendono questo semplice), ma mi pare complicare piuttosto che semplificare.

[ngs]

Io ti ripeto solo che il principio d'Alembert in coordinate
generalizzate elimina già le forze vincolari e interne, quindi questo
non è il principale vantaggio della formulazione di Lagrange. Il
principale vantaggio è che coinvolge velocità anziché accelerazioni,
semplificando la parte cinematica, come sottolinea lo Schaub & Junkins.
Ho anche detto che alle eq. di Lagrange si possono aggiungere forze non
conservative e vincoli, il che permette, volendo, di ricavare le forze
vincolari come ho mostrato.
Trovi tutte queste cose sullo Schaub & Junkins e anche sul Goldstein che
però è meno esplicito.
Se capisci l'inglese, puoi vederti le lezioni 6-9 qui:
http://taha.eng.uci.edu/Lagrangian_Mechanics_Course.html
Tutto quello che ho detto (e molto di più) è lì.
Il prof. ha una padronanza della materia incredibile. Mi piacerebbe
vedere anche le sue lezioni di aerodinamica (sempre disponibili online),
ma purtroppo mi porterebbe fuori dal seminato.

Kiuhnm

[JTS]

Am Freitag, 8. Februar 2019 15:31:16 UTC+1 schrieb ngs:
> On 8/2/2019 07:54, JTS wrote:
> > Am 08.02.2019 um 02:09 schrieb ngs:
> >> On 7/2/2019 22:46, JTS wrote:
> >>> Pero' i calcoli sono quelli che hai scritto in generale, giusto?
> >>
> >> Sì.
> >>
> >> Kiuhnm
> >
> >
> > Guarda, non sono convinto neanche qui.
> >
> > Le equazioni di Lagrange, scritte cosi', sono le equazioni di Newton con
> > delle forze non note. Per un motivo extra-scientifico, cioe' che se
> > fossero migliori le eq. di Newton non si investirebbe il proprio tempo a
> > insegnare le eq. di Lagrange, mi aspetto che gli esempi in cui L.
> > funziona piu' facilmente di N. esistano e siano anzi comuni.
> >
> > Ripensandoci, e' quello che ha scritto M. (messaggio delle 10.20 di ieri).
>
> Io ti ripeto solo che il principio d'Alembert in coordinate
> generalizzate elimina già le forze vincolari e interne, quindi questo
> non è il principale vantaggio della formulazione di Lagrange. Il
> principale vantaggio è che coinvolge velocità anziché accelerazioni,
> semplificando la parte cinematica, come sottolinea lo Schaub & Junkins.
> Ho anche detto che alle eq. di Lagrange si possono aggiungere forze non
> conservative e vincoli, il che permette, volendo, di ricavare le forze
> vincolari come ho mostrato.
> Trovi tutte queste cose sullo Schaub & Junkins e anche sul Goldstein che
> però è meno esplicito.

Ok, provo a rivedermelo, ma tu hai visto le equazioni che ottengo per il pendolo semplice - sono le equazioni di Newton!

Al massimo potrei venire convinto (ma non lo sono ancora) che la parte cinematica si semplifica quando scrivi le equazioni sulla superficie del vincolo, ma non credo che potrei venire convinto della semplificazione se vuoi tenere conto del vincolo come hai fatto vedere nel tuo post iniziale (quindi piu' semplice rispetto al principio di D'Alembert). Finora quello che vedo e' che sono le eq. di Newton con delle forze incognite, e credo che sia proprio cosi'.

[JTS]

Puo' darsi che debba ritrattare quasi del tutto anche per il caso in cui si vogliano includere le reazioni vincolari nelle equazioni. Ho usato le coordinate cartesiane; se le equazioni per i vincoli si esprimono meglio in altre coordinate, allora conviene la forma di Lagrange proprio perche' non si devono scrivere le accelerazioni nelle coordinate curvilinee scelte. Mi sono riscritto l'esempio del pendolo semplice per convincermi. Sonp partito dall'esempio 5.9 dello Schaub & Junkins, che credo sia sottile perche' include un vincolo dipendente dal tempo ma facilmente semplificabile, e poi mi sono accorto che potevo riutilizzare l'esempio del pendolo semplice.

Adesso c'e' una cosa che vorrei ancora capire e una cosa di quello che hai scritto che non mi convince ancora.

La cosa che vorrei ancora capire:

le equazioni che includono anche le reazioni vincolari sono le equazioni di Newton (come le si sia ottenute non credo importi); partire dalla forma di Lagrange pare evitare il calcolo delle accelerazioni in coordinate curvilinee, pero' poi queste accelerazioni pare vengano date "con poca fatica" dalle d/dt(@L@q').

Dove e' il trucco? Forse appaiono "mescolate assieme" nelle equazioni finali cosicche' fare le derivate e' sempre piu' semplici del calcolo delle accelerazioni e poi loro successivo "mescolamento" (cioe' combinazione lineare), cosa che si dovrebbe fare partendo da F = ma? Forse dovrei ripercorrere i passaggi della derivazione delle eq. di L. per capirlo.

La cosa di cui non sono ancora convinto e' che inserire le reazioni vincolari nelle eq. di L. sia d'aiuto in generale. Forse sempre meglio prima risolvere senza reazioni vincolari e poi sostituire.

Per questo devo risolvermi un paio di esempi e forse avro' le idee piu' chiare, ma credo la cosa chiave sia trovare esempi che siano semplici con Lagrange "standard" ma complicati con Lagrange "con reazioni vincolari".

[ngs]

On 8/2/2019 17:44, JTS wrote:
> Puo' darsi che debba ritrattare quasi del tutto anche per il caso in cui si vogliano includere le reazioni vincolari nelle equazioni. Ho usato le coordinate cartesiane; se le equazioni per i vincoli si esprimono meglio in altre coordinate, allora conviene la forma di Lagrange proprio perche' non si devono scrivere le accelerazioni nelle coordinate curvilinee scelte. Mi sono riscritto l'esempio del pendolo semplice per convincermi. Sonp partito dall'esempio 5.9 dello Schaub & Junkins, che credo sia sottile perche' include un vincolo dipendente dal tempo ma facilmente semplificabile, e poi mi sono accorto che potevo riutilizzare l'esempio del pendolo semplice.

Lo Schaub & Junkins introduce sistemi di riferimento locali e poi usa il
teorema del trasporto (transport theorem) per calcolare le derivate
inerziali senza lasciare il riferimento locale. Questo riduce i calcoli
notevolmente e una derivata in più si sente parecchio perché gli assi
non sono fissi. Se fai tutto in coordinate cartesiane, invece, derivare
una volta in più è molto più semplice perché gli assi sono fissi e
quindi basta derivare le componenti della velocità.
Non avevo pensato a questa cosa perché io, seguendo il prof. e il libro,
non faccio (quasi) mai cinematica in coordinate cartesiane.

> Adesso c'e' una cosa che vorrei ancora capire e una cosa di quello che hai scritto che non mi convince ancora.
>
> La cosa che vorrei ancora capire:
>
> le equazioni che includono anche le reazioni vincolari sono le equazioni di Newton (come le si sia ottenute non credo importi); partire dalla forma di Lagrange pare evitare il calcolo delle accelerazioni in coordinate curvilinee, pero' poi queste accelerazioni pare vengano date "con poca fatica" dalle d/dt(@L@q').
>
> Dove e' il trucco? Forse appaiono "mescolate assieme" nelle equazioni finali cosicche' fare le derivate e' sempre piu' semplici del calcolo delle accelerazioni e poi loro successivo "mescolamento" (cioe' combinazione lineare), cosa che si dovrebbe fare partendo da F = ma? Forse dovrei ripercorrere i passaggi della derivazione delle eq. di L. per capirlo.
>
> La cosa di cui non sono ancora convinto e' che inserire le reazioni vincolari nelle eq. di L. sia d'aiuto in generale. Forse sempre meglio prima risolvere senza reazioni vincolari e poi sostituire.
>
> Per questo devo risolvermi un paio di esempi e forse avro' le idee piu' chiare, ma credo la cosa chiave sia trovare esempi che siano semplici con Lagrange "standard" ma complicati con Lagrange "con reazioni vincolari".

Credo che le eq. di Lagrange (EqL) compiano una semplificazione simile a
quella del potenziale per le forze conservative.
Non è un caso che compaia L = T-V.

Il principio d'Alembert (generalizzato) dice che
sum_i m_i a_i dot @v_i/q'_j =
sum_i F_i dot @v_i/q'_j j=1,...,n
Nota la simmetria tra LHS (parte sinistra, sopra) e RHS (parte destra,
sotto).
1. La proiezione (dot) permette di eliminare forze vincolari e
dimensioni irrilevanti riducendo quindi di fatto il numero di equazioni.
Se reintroduciamo (o non eliminiamo, insomma) le forze vincolari,
riotteniamo le classiche eq. del moto di Newton e quindi il principio
d'Alembert diventa inutile.
In effetti il principio d'Alembert equivale a proiettare le eq. del moto
di Newton lungo le direzioni interessanti (su un manifold).
Potremmo dire che sono ancora le eq. del moto di Newton, così come
eliminiamo un'eq. da un problema 3D che si svolge su un piano 2D e
continuiamo a parlare ancora di eq. di Newton.
2a. La semplificazione portata dalle EqL è duplice. Se le F_i sono
conservative, allora F_i = -@V_i/@r_i e quindi la RHS, diventa
sum_i F_i dot @v_i/@q'_j =
sum_i F_i dot @r_i/@q_j =
- sum_i @V_i/@r_i dot @r_i/@q_j =
- sum_i @V_i/@q_j = -V/@q_j
che è più semplice.
Il passaggio dalla prima alla seconda riga si ottiene derivando r_i
rispetto al tempo
r'_i = sum_k @r_i/@q_k q'_k + @r_i/@t
e notando che quindi @r'_i/@q'_j = @r_i/@q_j.
Praticamente la RHS è diventata una singola funzione scalare V che
"monogenera" tutte le forze conservative.
2b. In modo simile (la derivazione non è importante) la LHS viene
riespressa come
d/dt @T/@q'_j - @T/@q_j T = energia cinetica
Il secondo termine ricorda l'energia potenziale e infatti, se T è solo
funzione delle posizioni q_j, allora è l'unico termine che rimane.
Il primo termine deriva invece dalla dipendenza di T dalle "velocità" q'_j.

In conclusione, reintroducendo tutte le forze vincolari rimarrebbe solo
il vantaggio 2b.
Ma alla fine dov'è il trucco? Ce ne sono 2:
(i) il tutto viene espresso da una singola funzione scalare T, o L=T-V
per completezza, dalla quale estraiamo tutto quello che ci serve
derivando rispetto a q_j o rispetto a q'_j e quindi derivando rispetto
al tempo.
(ii) portiamo fuori il dt dalla proiezione:
d/dt @T/@q'_j
cioè prima proiettiamo e soltanto DOPO deriviamo rispetto al tempo.
Vantaggio? Non dobbiamo derivare rispetto al tempo le parti che non
c'interessano.

Riaggiungendo tutte le forze vincolari dobbiamo considerare tutte le
direzioni q_j quindi direi che il vantaggio (ii) scompare del tutto.
Quindi di tutto questo rimane il solo vantaggio (i) cioè l'aver
ricondotto tutto a un'unica funzione scalare, analogamente a quanto si
fa col potenziale per le forze conservative.

Però nota che potremmo voler conoscere una sola forza vincolare e
ignorare tutte le altre. In questo caso le EqL mantengono praticamente
tutti i vantaggi.

In definitiva ti do parzialmente ragione, cioè la situazione è meno
bella di quanto pensassi io e un po' più bella di quanto pensassi tu :)

Il tutto IMHO, ovviamente.

Kiuhnm

[ngs]

On 8/2/2019 17:44, JTS wrote:

> La cosa di cui non sono ancora convinto e' che inserire le reazioni vincolari nelle eq. di L. sia d'aiuto in generale.

Giusto per chiarire, non ho mai sostenuto che aggiungere le forze
vincolari aiuti: è vero il contrario!
Ho detto che se proprio si vogliono determinare le forze vincolari, si
possono comunque usare le eq. di Lagrange perché rimane il vantaggio di
usare la funzione scalare L.
Se le forze vincolari non servono, aggiungerle è masochismo!
Lo stesso vale per i vincoli in generale. Se sono olonomi è bene
eliminarli fin da subito!
Se questo era chiaro, allora ignora pure il post.

Kiuhnm

[JTS]

Hmmm pero' insisto che se servono le forze vincolari e' piu' facile
risolvere per il moto prima (senza forze vincolari) e calcolare queste a
partire dal moto poi. Devo solo trovare l'esempio giusto per convincere.

[ngs]

On 9/2/2019 18:28, JTS wrote:
> Hmmm pero' insisto che se servono le forze vincolari e' piu' facile
> risolvere per il moto prima (senza forze vincolari) e calcolare queste a
> partire dal moto poi. Devo solo trovare l'esempio giusto per convincere.

Se ho capito bene, tu proponi:
1. x = ...
2. derivazione: x' = ...
3. Lagrange: x'' = ...
4. integrazione: x = ...
5. x' = ...
6. F_vinc = m x'' - F_note

Mi pare che con Lagrange + vincoli ti eviti i punti 5 e 6. Forse puoi
sfruttare i primi 3 punti per salvare dei calcoli in 5 e 6, ma complichi
le cose.
In effetti, ieri sfogliavo un libro di robotica e per particolari
problemi la formulazione di Newton è superiore a quella di Lagrange.
Questo accade perché quando algoritmizzi tutto puoi fare semplificazioni
che a mano non ti sogneresti mai.

Kiuhnm

[JTS]

Am 09.02.2019 um 18:40 schrieb ngs:
> On 9/2/2019 18:28, JTS wrote:
>> Hmmm pero' insisto che se servono le forze vincolari e' piu' facile
>> risolvere per il moto prima (senza forze vincolari) e calcolare queste
>> a partire dal moto poi. Devo solo trovare l'esempio giusto per
>> convincere.
>
> Se ho capito bene, tu proponi:
> 1. x = ...
> 2. derivazione: x' = ...
> 3. Lagrange: x'' = ...
> 4. integrazione: x = ...
> 5. x' = ...
> 6. F_vinc = m x'' - F_note
>
> Mi pare che con Lagrange + vincoli ti eviti i punti 5 e 6.

Pero' voglio vederti a fare il punto 4

[ngs]

Beh, in pratica, come ben sai, si fa tutto numericamente perché non
esistono quasi mai soluzioni simboliche.

Kiuhnm

[JTS]

Il punto 4 mi sembra difficile anche numericamente. Devi aggiungere le
forze giuste perche' il moto resti dentro il vincolo, non so se qualcuno
abbia sviluppato un algoritmo che fa questo bene.

[JTS]

Am 09.02.2019 um 19:08 schrieb JTS:

>>
>
> Il punto 4 mi sembra difficile anche numericamente. Devi aggiungere le
> forze giuste perche' il moto resti dentro il vincolo, non so se qualcuno
> abbia sviluppato un algoritmo che fa questo bene.
>

Forse ad ogni passo trovare la componente del moto perpendicolare al
vincolo ed annullarla con la "lambda" del vincolo, ma mi pare un
approccio pericoloso ;-)

[Giorgio Pastore]

Il 09/02/19 19:19, JTS ha scritto:

Neanche un po'. Funziona magnificamente bene.

[JTS]

Ok, allora devo ritrattare tutte le cose che ho detto.

Non ho ancora capito pero' perche' la Lagrangiana e' piu' brava di me a
fare le derivate seconde, devo rifare i calcoli per capirlo.

[ngs]

On 9/2/2019 22:50, JTS wrote:
> Non ho ancora capito pero' perche' la Lagrangiana e' piu' brava di me a
> fare le derivate seconde, devo rifare i calcoli per capirlo.

Ripensandoci, è probabilmente perché in alcuni casi @L/@q_j = 0, cioè
l'eq. del moto non dipende dalla posizione q_j, ma solo dalla velocità
q'_j. Inoltre, se non vi sono forze generalizzate lungo la direzione
q_j, cioè Q_j = 0, allora q_j è ciclica, @L/@q'_j si conserva e q_j può
addirittura essere eliminata dalla lagrangiana usando la routhiana.

Kiuhnm