Vincoli anolonomi
Archaeopteryx
Il mio "antico" testo di meccanica razionale liquidava i
vincoli anolonomi esattamente come fa wikipedia in questa
pagina:
http://it.wikipedia.org/wiki/Vincolo
e, sbagliando, all'epoca non volli approfondire.
Successivamente, nelle applicazioni pratiche non mi sono
mai imbattuto in vincoli che non fossero olonomi.
Adesso sto cercando di rimediare e cercando di capire
questa roba qua:
http://yfrog.com/e8phis01j
http://yfrog.com/5mphis02j
http://yfrog.com/e0phis03j
http://yfrog.com/b5phis04j
Le mie perplessità sono nella seconda pagina, in
corrispondenza delle barre verticali laterali che ho
aggiunto. Il resto è per contestualizzare il testo e
l'ultima pagina contiene la figura che viene richiamata
all'inizio.
L'esempio cui mi riferirò, sempreché abbia capito bene è:
disco che rotola senza strisciare col punto di contatto
appartenente a una curva in un piano. Se la proiezione sul
piano dell'asse di rotazione coincide con la normale alla
curva, il vincolo è olonomo, altrimenti no.
Le mie domande sono queste ma credo vi si possa rispondere
se esistesse un buon "ultimo punto".
1) Perché (prima barretta pag 10) il numero di GDL e di
coordinate generalizzate dovrebbero differire?
Nell'esempio, in caso di vincolo anolonomo basterebbe
aggiungere l'angolo tra la proiezione dell'asse di
rotazione e la normale alla curva.
2) Esiste un'interpretazione meccanica della non
integrabilità della relazione di vincolo? Forse questo mi
aiuterebbe a capire la richiesta che l'equazione di
vincolo debba essere un differenziale esatto.
3) Nel caso esista un fattore integrante, ha un
significato meccanico più o meno "visualizzabile"?
4) Perché si parla di "accessibilità" nello spazio delle
configurazioni? (pag. 10 in basso) Intuitivamente mi pare
che se anche il numero di GDL differisce dal numero di
coordinate generalizzate e se le varie funzioni sono
continue, etc. si potrà sempre trovare un percorso nello
spazio delle configurazioni (la cui dimensione potrà
essere superiore al numero di GDL) che porti da una a
un'altra...
5) Il testo fa un esempio quasi incomprensibile per me. Ho
capito bene che nel sistema dei due punti materiali
all'estremità di una barretta si introducono come due
piccoli binari perpendicolari alla barretta e tali per cui
i due punti materiali possono avere velocità solo lungo
quei due "binari"?
Ovviamente se ci fosse qualche introduzione "for dummies"
potrei prima guardarmi quella e nel caso ri-chiedere
quanto non avessi capito. Ma in rete non ne ho trovate.
Thankssss
Apx.
PS - sono stressato da cento cose, telefoni e cose
simili... potrei essermi espresso in modo barbino, scusatemi.
--
Tutti gli uomini sono mortali
il gatto è un animale
quindi Socrate ha la coda.
cometa_luminosa
<cor.bonukFANCULOSPAM@libero_NOMAIL_.it> wrote:
> Ciao NG,
> Il mio "antico" testo di meccanica razionale liquidava i
> vincoli anolonomi esattamente come fa wikipedia in questa
> pagina:
> http://it.wikipedia.org/wiki/Vincolo
> e, sbagliando, all'epoca non volli approfondire.
> Successivamente, nelle applicazioni pratiche non mi sono
> mai imbattuto in vincoli che non fossero olonomi.
> Adesso sto cercando di rimediare e cercando di capire
> questa roba qua:
>
>
> Le mie perplessità sono nella seconda pagina, in
> corrispondenza delle barre verticali laterali che ho
> aggiunto. Il resto è per contestualizzare il testo e
> l'ultima pagina contiene la figura che viene richiamata
> all'inizio.
> L'esempio cui mi riferirò, sempreché abbia capito bene è:
> disco che rotola senza strisciare col punto di contatto
> appartenente a una curva in un piano. Se la proiezione sul
> piano dell'asse di rotazione coincide con la normale alla
> curva, il vincolo è olonomo, altrimenti no.
> Le mie domande sono queste ma credo vi si possa rispondere
> se esistesse un buon "ultimo punto".
Ti rispondo perche' tento di ragionarci, non che abbia chiaro le
risposte.
> 1) Perché (prima barretta pag 10) il numero di GDL e di
> coordinate generalizzate dovrebbero differire?
Le coordinate sono di piu' dei gdl perche' il vincolo anolonomo non ti
permette di eliminare coordinate analiticamente. Detto in altro modo:
ci sono delle coordinate "di troppo" che pero' non riesci ad
eliminare.
> Nell'esempio, in caso di vincolo anolonomo basterebbe
> aggiungere l'angolo tra la proiezione dell'asse di
> rotazione e la normale alla curva.
Ma il problema e' che tu non puoi conoscere tale angolo "a priori"
cioe' prima di aver trovato il moto!
> 2) Esiste un'interpretazione meccanica della non
> integrabilità della relazione di vincolo? Forse questo mi
> aiuterebbe a capire la richiesta che l'equazione di
> vincolo debba essere un differenziale esatto.
> 3) Nel caso esista un fattore integrante, ha un
> significato meccanico più o meno "visualizzabile"?
Don't know.
> 4) Perché si parla di "accessibilità" nello spazio delle
> configurazioni? (pag. 10 in basso) Intuitivamente mi pare
> che se anche il numero di GDL differisce dal numero di
> coordinate generalizzate e se le varie funzioni sono
> continue, etc. si potrà sempre trovare un percorso nello
> spazio delle configurazioni (la cui dimensione potrà
> essere superiore al numero di GDL) che porti da una a
> un'altra...
Quello che "vagamente" penso di aver capito e' che in questo caso sei
libero di scegliere la traiettoria del punto di contatto e quindi di
accedere a tutte le oo^4 configurazioni possibili, nonostante i gdl
siano solo 2.
> 5) Il testo fa un esempio quasi incomprensibile per me. Ho
> capito bene che nel sistema dei due punti materiali
> all'estremità di una barretta si introducono come due
> piccoli binari perpendicolari alla barretta e tali per cui
> i due punti materiali possono avere velocità solo lungo
> quei due "binari"?
Cosi' ho capito anch'io, ma non e' molto chiaro perche' la fig. 2-6 e'
praticamente la stessa della 1-2...
Che libro e'?
Archaeopteryx
> Cosi' ho capito anch'io, ma non e' molto chiaro
> perche' la fig. 2-6 e' praticamente la stessa della
> 1-2... Che libro e'?
Anzitutto grazie, secondo poi, nel mentre che rifletto su
quanto mi hai risposto, il libro è "Classical Dynamics" di
Greenwood. E le figure in realtà differiscono. Nella
seconda sono stati disegnati due piccoli tratti in
corrispondenza dei punti materiali, che dovrebbero
rappresentare il vincolo sulle velocità. Ci ho messo
qualche quarto d'ora ad accorgermene :D
Giovanni Ruggieri
> 1) Perché (prima barretta pag 10) il numero di GDL e di
> coordinate generalizzate dovrebbero differire?
> Nell'esempio, in caso di vincolo anolonomo basterebbe
> aggiungere l'angolo tra la proiezione dell'asse di
> rotazione e la normale alla curva.
Anche io sto iniziando a studiare dal Goldstein e nei prossimi giorni
dovevo cercare di studiare questi argomenti.
Ne ho approfittato per iniziare e, quindi dopo una lettura delle
pagine da te segnalate provo a rispondere, anche se limitatamente al
punto 1.
Non penso che si affermi che il numero di GDL differisca da quelle
delle coordinate generalizzate ma che siccome, in caso di vincolo
anolonomo, ci troviamo di fronte ad un equazione differenziale non
integrabile, non è possibile conoscere la funzione nella forma
f(x,y,...n)=0 in modo da applicare l'equazione dei vincoli per dedurre
il numero di GDL. Siccome le coordinate generalizzate risultano da una
trasformazione della funzione delle coordinate (cartesiane) in modo da
includere i vincoli nella stessa, e no potendo conoscere la funzione
dell coordinate non si hanno le coordinate generalizzate.
Purtroppo non ho una conoscenza approfondita della matematica perchè
la sto ristudiando da poco e sicuramente in quello che ho scritto ci
saranno degli errori. Questo vuole essere un tentativo di aprtecipare
un pò più attivamente alle discussioni.
Saluti
Giovanni Ruggieri
>Siccome le coordinate generalizzate risultano da una
> trasformazione della funzione delle coordinate (cartesiane) in modo da
> includere i vincoli nella stessa, e no potendo conoscere la funzione
> dell coordinate non si hanno le coordinate generalizzate.
Intendevo scrivere Siccome le coordinate generalizzate risultano da
una trasformazione della funzione delle coordinate (cartesiane) in
modo da includere i vincoli nella stessa, e non potendo conoscere la
funzione dei vincoli (e non delle coordinate) non si hanno le
coordinate generalizzate.
cometa_luminosa
Ma secondo me non lo hai detto bene. Le coordinate generalizzate ce
le hai, solo che non sono tutte indipendenti e quello che non riesci a
fare a priori, ovvero prima di aver risolto il problema, e' di
ottenere un set minimale di coordinate.
Giovanni Ruggieri
> Ma secondo me non lo hai detto bene. Le coordinate generalizzate ce
> le hai, solo che non sono tutte indipendenti e quello che non riesci a
> fare a priori, ovvero prima di aver risolto il problema, e' di
> ottenere un set minimale di coordinate.
Si forse ho capito dove sbagliamo nei miei ragionamenti. Certo che
sono un pò arrugginito, sembra sempre che le spiegazioni del libro non
siano esaurienti ma la verità è che ormai faccio uno sforzo immane per
capire i concetti illustrati.
Ora tocca rispondere agli altri quesiti. In bocca al lupo. ;-)
cometa_luminosa
> On 29 Apr, 17:12, cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
>
> > Ma secondo me non lo hai detto bene. Le coordinate generalizzate ce
> > le hai, solo che non sono tutte indipendenti e quello che non riesci a
> > fare a priori, ovvero prima di aver risolto il problema, e' di
> > ottenere un set minimale di coordinate.
>
> Si forse ho capito dove sbagliamo nei miei ragionamenti. Certo che
> sono un pò arrugginito, sembra sempre che le spiegazioni del libro non
> siano esaurienti ma la verità è che ormai faccio uno sforzo immane per
> capire i concetti illustrati.
In effetti non sono concetti cosi' banali e i testi non sempre (anzi,
quasi mai :-) ) fanno esempi veramente esplicativi. Sul Goldstein ho
trovato questo esempio della non integrabilita' del vincolo di
rotolamento nel caso del disco verticale che rotola su piano
orizzontale (le parole esatte non sono queste, le ho riadattate): "
non si puo' stabilire una relazione a priori tra l'angolo fi di
rotazione del disco attorno al suo asse e il punto (x,y) di contatto
del disco con il piano, in quanto si potrebbe, ad esempio, far
compiere al disco una traiettoria circolare tale che alla fine il
disco si trovi esattamente nello stesso punto del piano, ma l'angolo
fi sarebbe ovviamente maggiore di una quantita' 2 pi R/r (R = raggio
della traiettoria circolare, r = raggio del disco)".
Per le altre questioni, spero che intervenga qualcuno piu' ferrato in
materia...
Ciao.
Archaeopteryx
> Ciao NG,
grazie mille a tutti!
Valter Moretti
> 1) Perché (prima barretta pag 10) il numero di GDL e di
> coordinate generalizzate dovrebbero differire?
> Nell'esempio, in caso di vincolo anolonomo basterebbe
> aggiungere l'angolo tra la proiezione dell'asse di
> rotazione e la normale alla curva.
>
Ciao, mi pare che quello sia un discorso "con le mani" da non prendere
rigorosamente. Il punto è che quando imponi vincoli cinetici
(anolonomi) non integrabili la situazione cambia drasticamente e non
ha più tanto senso parlare di gradi di libertà nello stesso modo in
cui ne parlavi quando hai solo vincoli olonomi. Supponi di avere
"risolto" tutti i vincoli olonomi ed avere trovato le coordinate
libere q^1,...q^n.
Se ci sono ancora vincoli cinetici nonintegrabili, significa che in
realtà queste coordinate non sono indipendenti, ma la loro dipendenza
tira in causa non solo le q^1,...,q^n, ma anche le q'^1,...,q'^n, cioè
le velocità.
In questo modo accade che tu puoi a volte, comunque arrivare da una
configurazione q^1,...,q^n ad un'altra configurazione
q_1^1,...,q_n^n, ma se descrivi la procedura per arrivarci nello
"spazio degli atti di moto"
in cui le coordinate sono 2n: q^1,...,q^n, q'^1,...,q'^n scopri che
per andare da una configurazione all'altra sei costretto a seguire
certe particolari curve in questo spazio esteso: le curve permesse dai
vincoli cinentici (o anolonomi).
Infatti i vincoli cinetici lavorano, non nello spazio delle
configurazioni a n dimensioni, ma in quello degli atti di moto a 2n
dimensioni. Le equazioni del moto le devi imporre in questo spazio più
grande e pertanto i vincoli cinetici sono vincoli sui moti possibili
includendo le velocità.
Quello che uno potrebbe fare è di cercare di ridurre le 2n coordinate
nello spazio degli atti di moto individuando un numero minore di
coordinate z^1,..., z^k con k<= 2n
rispetto alle quali coordinate i vincoli cinetici sono risolti. Il
problema è che questo fa a pugni con la struttura naturale dello
spazio degli atti di moto in cui le seconde n coordinate sono le
velocità delle prime n su ogni moto del sistema. Per esempio potrebbe
saltare fuori che le k coordinate finali sono in numero dispari!
La cosa non è impossibile, ma bisogna cambiare la struttura in modo
fondamentale cambiando la forma delle equazioni di Eulero-Lagrange e
lavorare con un approccio più generale.
Un caso elementare di vincolo anolonomo lo conosci bene: quando sei in
auto. In quel caso, puoi raggiungere ogni posizione con la macchina,
ma a volte (parcheggi) devi fare una fatica enorme perchè c'è il
vincolo cinetico di rotolamento delle ruote, che ti permette di
raggiungere ogni configurazione, ma solo seguendo determinate "strade"
nello spazio degli atti di moto (per esempio i punti di contatto delle
ruote con il terreno devono sempre e comunque avere velocità
istantanea nulla...)
Dire che un vincolo anolonomo è integrabile significa essenzialmente
che lo puoi ridurre ad un vincolo olonomo senza casini nello spazio
degli atti di moto, buttando via le coordinate q e q' a coppie.
Per esempio una ruota che rotola lungo una retta. A priori hai 2
coordinate libere: la distanza del centro della ruota da un punto di
riferimento (alla stessa quota del centro) e l'angolo di rotazione
rispetto ad una retta veriticale che pass aper il centro della ruota.
Il vincolo di rotolamento dice che la velocità del punto di contatto
con il terreno è sempre nulla. Questo equivale a dire che la velocità
del centro della ruota è uguale a R volte la velocità angolare della
ruota, dove R è il raggio della ruota. Questo vincolo lo puoi
integrare dicendo che, a meno di una costante additiva (che conosci se
conosci le condizioni iniziali), la distanza percorsa dalla ruota è
uguale a quella percorsa dal centro della ruota... Questo è un vincolo
in forma chiusa e puoi scriverti l'angolo della ruota in funzione
della distanza percorsa dal centro della ruota rispetto ad un fissato
punto. A questo punto puoi usare come coordinata libera solo l'angolo
oppure la distanza del centro dal punto di riferimento.
Nel caso generale non riesci a fare ciò perché per risolvere il
vincolo e scrivere una coordinata in funzione delle altre devi avere
già risolto il moto, che è invece l'incognita del problema...Hai in
questo modo, nello spazio degli atti di moto buttato via due
coordinate legate tra di loro, per esempio l'angolo e la sua velocità.
> 2) Esiste un'interpretazione meccanica della non
> integrabilità della relazione di vincolo? Forse questo mi
> aiuterebbe a capire la richiesta che l'equazione di
> vincolo debba essere un differenziale esatto.
>
Probabilmente c'è dato che queste cose sono antiche, ma io non la
conosco.
> 3) Nel caso esista un fattore integrante, ha un
> significato meccanico più o meno "visualizzabile"?
>
idem come sopra.
> 4) Perché si parla di "accessibilità" nello spazio delle
> configurazioni?
> (pag. 10 in basso) Intuitivamente mi pare
> che se anche il numero di GDL differisce dal numero di
> coordinate generalizzate e se le varie funzioni sono
> continue, etc. si potrà sempre trovare un percorso nello
> spazio delle configurazioni (la cui dimensione potrà
> essere superiore al numero di GDL) che porti da una a
> un'altra...
>
non è mica detto. Devi vedere il problema nello spazio a 2n dimensioni
e poi deve accadere che comunque
fissi due configurazioni nello spazio a n dimensioni (le q) ci sia
una curva nello spazio a 2n dimensioni, di quelle *permesse dai
vincoli anolonomi*, che proiettata nello spazio a n dimensioni
connette le due configurazioni.
Mi aspetto che non sia sempre vero.
> 5) Il testo fa un esempio quasi incomprensibile per me. Ho
> capito bene che nel sistema dei due punti materiali
> all'estremità di una barretta si introducono come due
> piccoli binari perpendicolari alla barretta e tali per cui
> i due punti materiali possono avere velocità solo lungo
> quei due "binari"?
Ora non ho tempo per leggere. Spero di averti dato comunque qualche
idea.
Ciao, Valter
Valter Moretti
> Nel caso generale non riesci a fare ciò perché per risolvere il
> vincolo e scrivere una coordinata in funzione delle altre devi avere
> già risolto il moto, che è invece l'incognita del problema...Hai in
> questo modo, nello spazio degli atti di moto buttato via due
> coordinate legate tra di loro, per esempio l'angolo e la sua velocità.
doveva essere:
> ...Hai in
> questo modo, nello spazio degli atti di moto buttato via due
> coordinate legate tra di loro, per esempio l'angolo e la sua velocità.
> Nel caso generale non riesci a fare ciò perché per risolvere il
> vincolo e scrivere una coordinata in funzione delle altre devi avere
> già risolto il moto, che è invece l'incognita del problema..
ciao, Valter
Archaeopteryx
> ciao, Valter
Grazie mille! L'ho stampato e me lo studierò come merita.
ciao!
Apx.
--
Marito alla moglie: "Se tu imparassi a cucinare,
io potrei licenziare il cuoco". Lei: "E se tu
imparassi a tr...e, io potrei licenziare l'autista".
Tommaso Russo, Trieste
> On 28 Apr, 13:01, Archaeopteryx wrote:
>> 2) Esiste un'interpretazione meccanica della non
>> integrabilità della relazione di vincolo? Forse questo mi
>> aiuterebbe a capire la richiesta che l'equazione di
>> vincolo debba essere un differenziale esatto.
>
> Probabilmente c'è dato che queste cose sono antiche, ma io non la
> conosco.
E' "antiquariato" della Matematica (Ascoli le sue teneva conferenze
attorno al 1947, l'anno in cui sono nato :-)
Date un'occhiata a questa applicazione pratica:
http://web.math.unifi.it/users/mathesis/conferenze/files-presentazioni/0809/Ricci.ppt
(diapositive 3, 6-14. E' un power point, ma si vede benissimo, anche le
animazioni, anche con Open Office.)
Nella slide 23 proprio la considerazione che risponde alla 2):
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Nella conclusione della sua conferenza, Ascoli fa osservare che
l'ingrediente chiave del funzionamento del planimetro (o di ogni altro
"integratore" meccanico) è la presenza di un elemento (la rotella)
soggetta a un vincolo anolonomo:
quando P ha terminato il "giro" del contorno, le aste sono tornate nella
stessa configuarazione iniziale (perché soggette a vincoli olonomi),
ma la rotella NO: la sua posizione finale dipende dal percorso che si è
effettuto per far tornare le aste alla configurazione iniziale.
Tuttavia la rotella non può muoversi arbitrariamente, anzi la sua
"velocità" è completamente determinata dalla velocità di P. Questo
legame però non è "integrabile", ovvero è legato allo spostamento
infinitesimo (dx,dy) tramite una forma differenziale NON ESATTA (e
neppure “chiusa”).
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TRu-TS