Ti chiedo scusa, una promessa e' una promessa, e tu hai dimostrato pazienza.
> Leggero' con la massima attenzione ogni possibile chiarimento sugli
> "effetti relativistici" (contrazione delle distanze e dilatazione
> del tempo) utilizzati o testati negli acceleratori, e non mi spaventa
> dover studiare qualche strumento matematico in piu'.
Non sono strumenti semplici. Nel seguito *non* cerchero' di *ricavare*
le trasformazioni che ti espongo (facendo uso solo delle quattro
operazioni? :-), perche' questo vorrebbe dire cercare di insegnarti
(male) lo strumento contemporaneamente ad una sua applicazione.
Dal postulato base della RR si ricavano le trasformazioni di Lorentz. I
problemi che hai posto fin qui riguardavano praticamente solo la
cinematica, e richiedevano il calcolo delle trasformazioni per
intervalli di tempo e di spazio fra eventi diversi. Ma le misure di
grandezze che danno risultati diversi in riferimenti in moto fra loro
sono anche altre:
In primo luogo, i rapporti fra un intervallo di spazio e un intervallo
di tempo, cioe' le velocita'. La velocita' di una particella rispetto a
un riferimento S' risulta diversa se misurata in S' o se misurata in S.
Nel secondo caso, tale velocita' rappresenta l'incremento da *sommare*
alla velocita' di S' per ottenere la velocita' della particella. Anche
in RR le velocita' si compongono sommandole, solo che *prima* devono
essere trasformate in uno stesso riferimento. E' questa trasformazione
preliminare che fa si' che, poi, la loro somma non possa superare c.
Poi, logicamente, il rapporto fra la variazione di una velocita' e il
(brevissimo) intervallo di tempo in cui accade, ossia l'accelerazione.
Per una particella che in S si muove lungo l'asse x con velocita' v, se
nel riferimento S' in cui la sua velocita' istantanea e' nulla essa
viene accelerata con accelerazione a', in S la sua accelerazione risulta
(1.1) ax = a'x/gamma^3 = a'x sqrt(1-v^2/c^2)^3
(1.1) ay = a'y/gamma^2 = a'y (1-v^2/c^2)
(1.3) az = a'z/gamma^2 = a'z (1-v^2/c^2)
Queste formule vengono ricavate in parecchi libri e dispense
universitarie che trattano la dinamica relativistica, per esempio questa:
<
https://www.mat.unical.it/~nistico/dispense/TR2.pdf>
a pag. 17 (formule 3.15).
Altre grandezze fisiche che vengono trasformate passando da un
riferimento all'altro sono i campi elettrico E e magnetico B. Le leggi
di Maxwell legano fra di loro rapidita' di variazione spaziale e
velocita' di variazione nel tempo di queste grandezze. Avrai sentito
dire che le equazioni di Maxwell sono invarianti (come devono essere
tutte le leggi fisiche, per il primo postulato) per trasformazioni di
Lorentz, ma non le grandezze E e B.
Nella stessa dispensa di cui sopra, al capitolo 4, vengono ricavate le
trasformazioni di E e B passando da S ad S': capitolo 4.5, pagina 35;
formule 4.33, 4.38 e sinossi alla fine di pag. 38.
I campi che interessano gli acceleratori sono:
quello elettrico parallelo al moto delle particelle, e lui, in S e in
S', rimane sempre lo stesso:
(2.1) E'x = Ex.
Quello magnetico ortogonale al piano dove le particelle curvano, che, in
S', da' luogo a un campo elettrico:
(2.1) E'y = gamma v Bz
che causa in S' un'accelerazione, che fa appunto curvare le particelle.
In S, dove Ey non e' presente, l'accelerazione si calcola invece con la
forza di Lorentz.
Le (1) e le (2) vengono dimostrate, nella dispensa, nelle pagine
che precedono. Non credo proprio che tu sia in grado di affrontarle. Ti
dico solo che si tratta di teoremi puramente matematici, in cui non
viene fatta altra ipotesi fisica oltre ai due postulati della RR.
Ora, assumiamo che una particella di massa m e carica q si muova con
velocita' v parallelamente ad un campo elettrico uniforme E da cui viene
accelerata: nel riferimento S' in cui la particella e' istantaneamente a
riposo,
(3) a'x = q/m E'x = q/m Ex
mentre nel riferimento S si misura, per la (1.1),
(4) ax = q/m Ex sqrt(1-vx^2/c^2)^3 .
Dato che ad ogni istante vx viene modificato proprio da ax, per trovare
la velocita' che ha la particella dopo aver percorso un tratto lungo Dx
che aveva iniziato con velocita' nulla bisogna usare un altro strumento
matematico che non credo tu conosca, un integrale. Di nuovo, si usa solo
la Matematica, senza introdurre altre ipotesi. Il risultato e'
(5) v = c*sqrt( [(q E Dx)^2 + 2q E Dx m c^2] / [q E Dx + m c^2]^4 ).
E*Dx e' la differenza di potenziale V fra la fine e l'inizio del tratto
Dx, e q*E*Dx = q*V e' l'energia cinetica K della particella dopo
l'accelerazione, per cui la (5) si puo' scrivere anche
(6) v = c*sqrt( [(K^2 + 2 K m c^2] / [K + m c^2]^4 ).
Con E=1, c=1, q=1, m=1, il suo grafico e' questo:
<
http://blacky.terra32.net/trusso/LF/vinfunzionediV.png>
Questa curva e' la stessa disegnata da Bertozzi nel suo famoso filmato
<
http://www.youtube.com/watch?v=h8puKAvdNiE> (lui in ascisse aveva messo
v^2 anziche' v, ma cambia solo la forma grafica): solo che Bertozzi,
avendo a disposizione un acceleratore lineare, poteva misurare la
velocita' degli elettroni solo alla fine dell'accelerazione, per cui
doveva cambiare E anziche' Dx; e, dato che ogni misura richiedeva
parecchio tempo, si limito' a farne 5 o 6.
Ma la previsione che fa la RR *non e' soltanto* che, aumentando E*Dx, v
non aumenti indefinitamente ma tenda alla velocita' limite c: E' *tutta
la curva*.
Non basta ipotizzare, come avevi fatto tu, una legge qualsiasi per cui,
per E*Dx tendente all'infinito, v tenda a c:
<
http://trusso.freeshell.org/Gamma-1.vs.tangente.png>
La curva prevista dalla RR e' proprio *quella*. Ed e' proprio quella
che, nel funzionamento quotidiano degli acceleratori, ogni volta che
viene iniettato e accelerato un fascio di particelle, viene misurata con
grande precisione in migliaia, se non milioni, di punti.
Vediamo come.
Tu finora hai sempre parlato solo di acceleratori lineari. Gli
acceleratori lineari hanno un grande limite: l'energia conferita alle
particelle accelerate non puo' superare qV, dove V e' la differenza di
potenziale fra emettitore ed elettrodo finale (anodo o catodo). Per
accelerare una particella a velocita' superiori bisogna far passare piu'
e piu' volte la particella in una stesso tratto dove trovi sempre un
campo elettrico che la acceleri, e questo viene fatto negli acceleratori
ciclici.
L'acceleratore ciclico concettualmente piu' semplice (anche se il piu'
difficile da costruire) e' il sincrotrone ad anello. Schematizzando al
massimo, un sincrotrone e' costituito da due tubi semicircolari a forma
di C, affacciati a una certa distanza, fra i quali si trova un (o anche
due) condensatori con le facce forate al centro. Il tutto sotto vuoto
spinto. Questa figura rende bene l'idea:
<
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Synchrotron.jpg>
(la figura contiene due tratti rettilinei in piu', a destra, dove e'
stato posizionato un iniettore di particelle - che di solito e' un
piccolo acceleratore lineare di bassa energia - e a destra, dove
normalmente si situa un eiettore che cattura il fascio e lo manda sul
bersaglio quando ha raggiunto energia sufficiente).
Nei tratti di tubo curvi viene fatto agire un campo magnetico B,
perpendicolare alla pagina, che fa si' che le particelle in moto si
muovano di moto circolare, rimanendo dentro il tubo.
Per accelerare le particelle, ai capi dei condensatori non si puo'
applicare una differenza di potenziale continua: dato che il campo
elettrico e' conservativo, le particelle verrebbero accelerate dal campo
elettrico dentro il condensatore, e poi ne verrebbero rallentate fuori,
tornando al condensatore con la stessa velocita' di partenza (anzi,
minore, dato che curvando irradiano). Bisogna applicare al condensatore
una ddp quando un gruppo di particelle, iniettato nell'anello
dall'iniettore, vi entra, e annullarlo (o anche invertirlo) quando ne
esce. In pratica, si usa una ddp alternata con andamento sinusoidale,
che permette anche un piccolo trucco: quando entra il gruppo, la ddp non
ha ancora raggiunto il suo valore massimo, per cui eventuali particelle
in leggero anticipo vengono accelerate di meno, e quelle ritardatarie di
piu', ricompattando il gruppo. (Ricordo che tu una volta hai commentato
un articolo divulgativo, dove questo procedimento veniva descritto
poeticamente come "far cavalcare un'onda agli elettroni": ma tu l'avevi,
al solito, interpretato alla lettera, capendo che gli elettroni vengono
"spinti" dall'onda... vengono accelerati dal campo elettrico.)
Ogni volta che il gruppo di particelle attraversa un condensatore con
ddp media V, viene accelerato come se, in un campo elettrico E uniforme
e statico, percorresse un'ulteriore distanza Dx, con V = E*Dx. Cioe',
riceve un incremento di energia cinetica DK, si porta a un nuovo valore
di K superiore al precedente, e aumenta la sua velocita' esattamente
secondo la curva che ho descritto sopra.
L'aumento di velocita' richiede due aggiustamenti:
1) Il campo magnetico B deve essere fatto aumentare anch'esso.
Infatti, anche a velocita' non relativistiche, all'aumentare di v, la
forza centripeta necessaria a far percorrere a una particella una curva
sempre dello stesso raggio, aumenta *con il quadrato* di v
Fc = gamma m v^2 / R
ma la forza di Lorentz aumenta solo linearmente con v (e con B):
FL = q v B
quindi, per fornire la forza giusta per far percorrere alle particelle
una curva *sempre dello stesso raggio*, B deve aumentare anch'esso
linearmente:
B(v) = B(v0) v/v0
dove v0 e' la velocita' con cui il gruppo viene iniettato.
A velocita' relativistiche l'aumento necessario di B non e' piu' lineare
con v, e si ricava dalle (1) e dalle (2): non lo faccio qui, e' inutile:
la sostanza e' che B deve aumentare con v con una legge che si deduce
dai postulati della RR e si puo' calcolare.
2) Il tempo di percorrenza dell'anello, da un elettrodo del condensatore
all'altro, diminuisce inversamente alla velocita'. Quindi, anche la
frequenza della ddp alternata applicata al condensatore deve aumentare,
proporzionalmente a v.
Per calcolare i valori istantanei di B e della frequenza che dovranno
fornire i macchinari, si fa cosi':
- Si parte dal valore iniziale K0 dell'energia cinetica delle particelle
iniettate nell'anello per calcolare (con la (6)) la velocita' iniziale
v0 e il campo B0 necessario a farle curvare con il giusto raggio;
- si calcola l'energia R irradiata dalle particelle mentre percorrono le
curve (lo sappiamo fare benissimo, come sappiamo calcolare l'energia
irradiata dall'antenna di una radiotrasmittente, e anche verificare
sperimentalmente, misurando appunto l'energia della "luce di
sincrotrone"), e quindi si trova l'energia con cui le particelle
arrivano al condensatore, K0-R;
- si trova quindi, sempre con la (6), la velocita' media di percorrenza
dell'anello e quindi il tempo di percorrenza T0, e quindi la frequenza
iniziale f0 = 1/T0;
- dopo il passaggio del condensatore, le particelle hanno energia
K1=K0-R+qV e la velocita' v1 che si ricava, sempre dalla (6), da K1;
- si ripete il calcolo per ogni giro, trovando ogni volta l'istante
successivo t nel quale le particelle entrano nel condensatore, il
relativo valore istantaneo di K, tramite la (6) il relativo valore di v,
e i valori di B ed f necessari al prossimo giro.
Dato che R aumenta anch'essa con la velocita', dopo alcune migliaia o
milioni di giri, si arriva a calcolare che R = qV, ossia che a ogni giro
l'energia fornita a una particella dal campo elettrico e' eguale a
quella emessa per irradiazione. Da questo momento in poi, B ed f
potranno rimanere costanti, ed ogni momento sara' buono per estrarne le
particelle di velocita' ed energia nota e farle colpire un bersaglio. In
alcuni elettrosincrotroni (macchine di luce) quello che interessa non
sono le particelle accelerate, ma proprio la radiazione emessa nelle
curve: in essi, le particelle possono continuare a girare nell'anello
per giorni e giorni.
Bene: durante il funzionamento dei sincrotroni, ad ogni iniezione di un
nuovo gruppo di particelle, B ed f vengono fatte variare con la legge
temporale cosi' calcolata.
Cosa accadrebbe se v non fosse ad ogni istante proprio quella calcolata?
Visto che, in ogni sezione curva del tubo, B varia proprio con una legge
trovata per far curvare esattamente del raggio di curvatura del tubo
particelle che vadano esattamente alla velocita' calcolata v, le
particelle farebbero semplicemente una curva con un raggio *diverso*.
Se "abbastanza" diverso, andrebbero a sbattere contro le pareti del tubo
e verrebbero assorbite li'.
In caso contrario, visto che f varia proprio con una legge trovata per
far trovare alle particelle nel condensatore la ddp V voluta, le
particelle "mancherebbero l'appuntamento" con il campo elettrico della
giusta intensita', e sommando i ritardi, dopo qualche giro arriverebbero
in controfase rispetto a V, e verrebbero *rallentate* anziche'
accelerate. Finendo comunque per andare a sbattere.
Esiste, e' vero, il meccanismo che ho descritto sopra, per cui le
particelle in leggero ritardo o anticipo vengono accelerate di piu' o di
meno per ricompattare il gruppo; e si puo' far si' che nelle sezioni
curve B aumenti con il raggio, in modo da costringere le particelle
troppo veloci o troppo lente a rientrare in carreggiata: ma queste
correzioni sono state studiate per le piccole differenze di v0 fra le
varie particelle, dovute all'agitazione termica dell'emettitore, e
all'azione di repulsione fra particelle dello stesso segno; se le
discrepanze fra velocita' calcolata e velocita' effettiva superano una
certa soglia (che sappiamo calcolare), gli effetti correttivi, anziche'
riportare le particelle "in carreggiata", le fanno oscillare verso
l'esterno e poi verso l'interno con oscillazioni sempre piu' ampie, che
alla fine le mandano a sbattere contro le pareti del tubo.
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Per cui, *ad ogni giro* delle particelle, *non soltanto si misura* che
la loro velocita' effettiva sia proprio quella calcolata, ma si conosce
anche *il possibile errore* della misura. E si tratta di accuratezze
molto, molto alte: alla fin fine, lo scopo (che si raggiunge) e' di far
percorrere alle particelle migliaia di km mantenendole all'interno di un
tubo largo pochi cm.
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Il sincrotrone e' una delle macchine piu' complesse da costruire, per
cui nelle applicazioni medico-ospedaliere e industriali se ne utilizzano
altre: non il ciclotrone, che funziona solo per particelle con velocita'
non relativistiche (e storicamente ha corroborato la RR proprio perche'
non e' stato possibile farlo funzionare con energie superiori a un certo
limite), ma il sincrociclotrone e il ciclotrone isocrono. Anche se di
costruzione piu' semplice, la loro trattazione e' piu' complessa: ma
sono anch'essi progettati in base all'equazione (6) e, se la (6) non
descrivesse esattamente quello che effettivamente avviene accelerando
delle particelle, non funzionerebbero come progettato.