Valor medio di cos(x)^2
Andrea Menegolo
scusate il dubbio atroce.
Per calcolare il valor medio di cos(x)^2 (che ha periodo pi) procedo nel
modo seguente:
<cos(x)^2> = 1/pi * int_0^pi(cos(x)^2 dx) =
= 1/pi * [ int_0^pi ( 1/2 dx) + int_0^pi (cos(2x)/2 dx) =
= 1/pi * pi/2 + 1/pi * 0 = 1/2
E quindi trovo 1/2
Il mio problema è dato dal fatto che il mio prof e il libro di testo
(Bransden-Joachain) dicono che il valor medio di cos(x)^2 è 1/3. L'angolo
x è l'angolo tra il vettore di polarizzazione e il vettore posizione. Si
media il coseno nel caso in cui la luce non sia polarizzata per cui se ne
può prendere il valore medio.
La conclusione a cui sono giunto è che y=1/3 sia la retta che divide in
due parti uguali l'area sotto alla curva definita da cos(x)^2, ma non so
come si calcoli formalmente!
- L'area è naturalmente pi/2
- Mezza area è pi/4
mi fermi qui
Grazie per qualsiasi risposta!
Andrea
Giorgio Bibbiani
> Il mio problema è dato dal fatto che il mio prof e il libro di testo
> (Bransden-Joachain) dicono che il valor medio di cos(x)^2 è 1/3.
> L'angolo x è l'angolo tra il vettore di polarizzazione e il vettore
> posizione. Si media il coseno nel caso in cui la luce non sia
> polarizzata per cui se ne può prendere il valore medio.
Non ho capito granche', forse se scrivi il testo completo ti si
potra' dire di piu'.
> La conclusione a cui sono giunto è che y=1/3 sia la retta che divide
> in due parti uguali l'area sotto alla curva definita da cos(x)^2, ma
> non so come si calcoli formalmente!
> - L'area è naturalmente pi/2
> - Mezza area è pi/4
Mi sembra che non sia vero che la retta y = 1/3 divida in 2 parti
uguali l'area compresa tra l'asse x e la curva di equazione y = cos(x)^2,
se fosse cosi' il calcolo che segue (effettuato con Mathematica)
dovrebbe dare come risultato pigreco.
a=ArcCos[3^(-1/2)];
N[(Integrate[Cos[x]^2,{x,0,a}]-a/3)*8]
3.15937
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Andrea Menegolo
> Andrea Menegolo ha scritto:
>> Il mio problema è dato dal fatto che il mio prof e il libro di testo
>> (Bransden-Joachain) dicono che il valor medio di cos(x)^2 è 1/3.
>> L'angolo x è l'angolo tra il vettore di polarizzazione e il vettore
>> posizione. Si media il coseno nel caso in cui la luce non sia
>> polarizzata per cui se ne può prendere il valore medio.
>
> Non ho capito granche', forse se scrivi il testo completo ti si potra'
> dire di piu'.
>
Cerco di spiegare meglio il problema: stiamo parlando di interazione tra
radiazione e atomi. Un atomo è caratterizzato da due stati: "a" e "b" con
energia Ea < Eb. La radiazione può indurre una transizione a->b
attraverso l'assorbimento di un fotono di energia Eb-Ea. La probabilità
di assorbimento per unità di tempo è data dalla formula seguente:
[notazioni
{v} --> vettore v
{a}.{b} --> prodotto scalare tra due vettori
X_ba --> "_" usato per indicare dei pedici per stati finale e iniziale
hbar = h tagliato = 1.05e-34 Js
w = pulsazione del fotone
I = intensità
{r_ba} = elemento di matrice (vettore)
{e} = versore di polarizzazione (vettore di modulo 1)
e = carica elementare
e0 = permettività del vuoto
a b c/e f g --> (a b c)/(e f g) (non metto le parentesi)
]
W_ba = (4 pi^2/c hbar^2) * (e^2/4pi e0) I(w) |{e}.{r_ba}|^2
ora scriviamo |{e}.{r_ba}|^2 = |r_ba|^2 * cos(theta)^2
dove theta è l'angolo tra i vettori {e} e {r_ba}.
Il testo ora dice più o meno: per radiazione isotropica non polarizzata
l'orientazione di {e} è casuale e cos(theta)^2 può essere sostituito dal
suo valor medio 1/3 ("replaced by its average of 1/3" nel testo) dando
W_ba = 1/3 * (4 pi^2/c hbar^2) * (e^2/4pi e0) I(w) |{r_ba}|^2
>> La conclusione a cui sono giunto è che y=1/3 sia la retta che divide in
>> due parti uguali l'area sotto alla curva definita da cos(x)^2, ma non
>> so come si calcoli formalmente!
>> - L'area è naturalmente pi/2
>> - Mezza area è pi/4
>
> Mi sembra che non sia vero che la retta y = 1/3 divida in 2 parti uguali
> l'area compresa tra l'asse x e la curva di equazione y = cos(x)^2, se
> fosse cosi' il calcolo che segue (effettuato con Mathematica) dovrebbe
> dare come risultato pigreco.
>
> a=ArcCos[3^(-1/2)];
> N[(Integrate[Cos[x]^2,{x,0,a}]-a/3)*8] 3.15937
>
> Ciao
Anche a me con il montecarlo viene lo stesso tuo risultato... forse 1/3 è
un'approssimazione.
Comunque grazie per l'aiuto
Andrea Menegolo
> a=ArcCos[3^(-1/2)];
> N[(Integrate[Cos[x]^2,{x,0,a}]-a/3)*8] 3.15937
>
> Ciao
Risolto il problema: bisogna mediare sull'angolo solido:
(1/4pi) * INT_0^pi dtheta INT_0^2pi dphi(cos[theta]^2*Sin[theta]) = 1/3
(merito di it.scienza.matematica)