Le 24/01/2023 à 21:03, JC_Lavau a écrit :
> En un sens, ces papiers sont intéressants, comme habillage de la
> phénoménologie mathématique.
Je crois que tu n'as pas bien saisi l'intérêt de ces papiers, je
recommande particulièrement Todorov qui est un éminent spécialiste et
fait un survol brillant des problèmes qui se posent. Parce que ces
papiers montrent que dans des cas non triviaux (pas ceux qu'on enseigne
dans les bouquins de MQ) on ne sait pas réellement comment quantifier,
dès fois on y arrive mais c'est plus un art qu'une science, et donc se
poser des problèmes d'interprétation d'une théorie qu'on ne sait pas
définir c'est plus que futile. Evidemment ce sont des sujets que les
expérimentateurs soit ignorent complètement soit les connaissent mais
ne veulent pas en entendre parler. Or la quantification des systèmes
avec des contraintes, ce n'est pas un sujet d'hurluberlu, vu que c'est
exactement le problème de la quantification de Yang-Mills. Dans les
bouquins pour étudiants, on fait ça par des méthodes d'intégrales de
chemin qui ont l'intérêt de cacher le problème. Mais Faddeev et Popov
ont traité la question des deux manières, l'une étant la quantification*
de système contraint comme expliqué par Dirac dans le livre que j'ai
cité, l'autre par l'astuce de l'intégrale de chemin, et montré que les
deux méthodes donnent le même résultat. Un exemple élémentaire de
système mécanique avec une contrainte non holonome, c'est le cylindre
qui roule sans glisser sur un plan incliné. Bonne chance pour trouver
des p et des q dans ce système et appliquer alors la "quantification
canonique". En général un système comme ça a un espace des phases
compliqué qu'on ne peut décrire que par des cartes (p,q) recollées les
unes aux autres par des transformations canoniques. Mais le hic étant
que, en général, les transformations "canoniques" ne le restent pas
quand on remplace les variables par des opérateurs. Le cas
élémentaire c'est quand l'espace des phases est un T* Q, alors, même
si Q est une variété qui doit être décrite par plusieurs cartes en (q)
en chaque point q les p sont sur la fibre cotangente du T*Q en q, donc
pas de problème majeur. Par exemple un point sur une sphère on sait
quantifier, mais déjà il faut modifier les crochets de Dirac pour
préserver la contrainte (qui est holonome) comme expliqué dans le livre
de Dirac. C'est d'ailleurs évident, si sum q_i^2 = 1 (sphère) c'est
incompatible avec [p_i,q_j]=delta_{ij}, car prenant le commutateur
avec p_i on trouve 1 à gauche et 0 à droite.
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Michel Talon