La vérité selon Gödel ?
Herve Chappe
Je suis en train d'essayer de comprendre quelque chose à l'euvre de
Gödel (pas facile quand on a fait une école d'ingénieurs :-) et je butte
sur un point de définition. En très gros, Gödel a montré que dans tout
système logique permettant de générer l'arithmétique des entiers, il
existe au moins une proposition qui soit vraie mais qui ne soit pas
démontrable à l'intérieur du système. C'est là que je butte : que
signifie "être vraie" dans ce contexte ? Tous les textes non
mathématiques qui essayent d'expliquer les théorèmes de Gödel aux
profanes éludent soigneusement cette question, et ça m'agaçe :-)
Merci d'avance pour vos lumières,
Hervé
Thomas Baruchel
> existe au moins une proposition qui soit vraie mais qui ne soit pas
> démontrable à l'intérieur du système. C'est là que je butte : que
> signifie "être vraie" dans ce contexte ? Tous les textes non
Je ne suis pas un spécialiste, mais il me semble précisément que
l'énoncé n'est pas "vrai" mais indécidable (on peut on non l'accepter,
dans les deux cas le système reste non contradictoire). En espérant
ne pas me tromper,
--
Thomas Baruchel
write to baruchel at the host called bluebottle dot com
écrire à baruchel chez l'hôte nommé bluebottle point com
Herve Chappe
> Le 10-09-2005, Herve Chappe <herve....@laposte.net> a écrit :
>
>>existe au moins une proposition qui soit vraie mais qui ne soit pas
>>démontrable à l'intérieur du système. C'est là que je butte : que
>>signifie "être vraie" dans ce contexte ? Tous les textes non
>
>
> Je ne suis pas un spécialiste, mais il me semble précisément que
> l'énoncé n'est pas "vrai" mais indécidable (on peut on non l'accepter,
> dans les deux cas le système reste non contradictoire). En espérant
> ne pas me tromper,
>
vous dites, que je comprends et qui serait le premier résultat de Gödel,
et ce que je dis mais que je ne comprends pas completement et qui serait
un second résultat de Gödel, un résultat qu'on peut résumer en termes
philosophiques par "ce qui est vrai est plus étendu que que qui est
prouvable", et c'est là que je coince...
Mehdi Tibouchi
<43236075$0$7825$8fcf...@news.wanadoo.fr>:
>
> Justement, les textes que j'ai lus font bien la distinction entre ce que
> vous dites, que je comprends et qui serait le premier résultat de Gödel,
> et ce que je dis mais que je ne comprends pas completement et qui serait
> un second résultat de Gödel, un résultat qu'on peut résumer en termes
> philosophiques par "ce qui est vrai est plus étendu que que qui est
> prouvable", et c'est là que je coince...
« Vrai » est une notion sémantique. Elle s'applique à un certain
modèle, et donc il y a potentiellement plusieurs notions de « vrai »
(et le théorème de *complétude* de Gödel dit que si on les vérifie toutes
à la fois, on est démontrable).
Toutefois, le théorème de Gödel parle de la véracité d'énoncés
arithmétiques (i.e. portant sur des entiers naturels, éventuellement
après un certain codage). Et pour l'arithmétique, même s'il y a aussi
plein de modèles possibles, il y en a quand même un privilégié, celui des
entiers naïfs (0, 0+1, 0+1+1 et ainsi de suite). Quand on dit qu'un
énoncé arithmétique est vrai, on veut dire qu'il est vérifié dans les
entiers naïfs. Il se peut qu'il ne soit pas pour autant démontrable,
c'est-à-dire (en vertu du théorème de complétude) qu'il soit faux dans au
moins un modèle non-standard de l'arithmétique.
Herve Chappe
chercher dans cette direction. Merci !
Hervé
Keith Ramsay
|En très gros, Gödel a montré que dans tout
|système logique permettant de générer l'arithmétique des entiers,
il
|existe au moins une proposition qui soit vraie mais qui ne soit pas
|démontrable à l'intérieur du système. C'est là que je butte : que
|signifie "être vraie" dans ce contexte ? Tous les textes non
|mathématiques qui essayent d'expliquer les théorèmes de Gödel aux
|profanes éludent soigneusement cette question, et ça m'agaçe :-)
Quand Goedel a écrit son théorème, il savait que
quelques de ses lecteurs étaient un peu plus
difficile à convaincre, et par conséquent il a
essayé d'utiliser seulement propriétés "syntactique",
avec raisonnement combinatoire (ou arithmetique).
Il a construit pour un système S une phrase G tel
que G est vraie si et seulement si on ne peut pas
prouver G dans S. "Vérité" en generale est un peut
difficile à comprendre, mais vérité pour phrases
qui disent, "on ne peut pas prouver X dans Y" où X
est une phrase et Y est un système formel, on peut
le definir dans un façon combinatoire. On ne doit
pas considérer que veut dire "vérité" pour les
autres phrases de la langue du système S.
S doit avoir le "pouvoir" de dire choses comme
"on ne peut pas prouver X dans S", et le "pouvoir"
de prouver "on peut prouver X dans S" si il est
vrai que on peut prouver X dans S. C'est facile
en generale, parce que si un preuve existe, on
peut prouver que il existe en montrant que chaque
étape satisfait les règles de S.
Si on peut prouver G dans un tel système, G est faux
et on peut aussi prouver "G est faux" dans S. (Et
G est faux, parce que "G est faux" si et seulement
si "on peut prouver G dans S".) Inversement, si on
ne peut pas prouver "G et G est faux" dans un tel S,
on ne peut pas prouver G, et parce que G est vraie
si et seulement si "on ne peut pas prouver G dans S",
alors G est vraie.
Keith Ramsay
philippe
"Mehdi Tibouchi" <med...@alussinan.org> a écrit dans le message de news:
dfvns2$n7j$1...@nef.ens.fr...
>Et pour l'arithmétique, même s'il y a aussi
> plein de modèles possibles, il y en a quand même un privilégié, celui des
> entiers naïfs (0, 0+1, 0+1+1 et ainsi de suite).
Je partage l'opinion d'Hervé sur la discrétion avec laquelle la notion de
vérité est traitée dans de nombreux textes.
Tu donnes ici l'explication qui convient, mais as-tu une définition un peu
plus rigoureuse de ce que sont les entiers naïfs ?
Philippe (31)
Herve Chappe
Si j'ai un peu compris cette notion, en appelant Phi l'ensemble vide, on
considere la suite d'ensembles définis par récurrence Phi, {Phi}, {Phi,
{Phi}}, etc, et la suite des "cardinaux" de cette suite d'ensemble "est"
la suite des entiers naïfs... Resta à définir "cardinal" et "être", mais
ça c'est une autre histoire :-)
Hervé
linux
"Mehdi Tibouchi" <med...@alussinan.org> a écrit dans le message de news:
dfvns2$n7j$1...@nef.ens.fr...
> plein de modèles possibles, il y en a quand même un privilégié, celui des
> entiers naïfs (0, 0+1, 0+1+1 et ainsi de suite).
A ce propos il existe plusieurs modèles de l'arithmétique dans un système
d'axiomes du premier ordre.
Existe t il des axiomatiques du second ordre pour l'arithmétique et dans ce
cas existe t il un seul modèle pour l'arithmétique.
La théorie des ensembles est elle du premier ordre ?
En théorie des ensembles, tout corps commutatif totalement ordonné complet
est isomorphe à R. Cela signifie t il qu'il existe un seul modèle de R.
Quelle propriété fait que l'ensemble des réels standard ou non n'est pas
isomorphe )à R.?
A t on une caractérisation à un isomorphisme près de N?
Je pense que non.
Dans la théorie des ensembles , N a t il un seul modèle?
Excusez la maladresse de ces questions qui m'ont toujours troublé.
Remi Vanicat
> "Mehdi Tibouchi" <med...@alussinan.org> a écrit dans le message de news:
> dfvns2$n7j$1...@nef.ens.fr...
>> Herve Chappe wrote in message
>> <43236075$0$7825$8fcf...@news.wanadoo.fr>:
> Et pour l'arithmétique, même s'il y a aussi
>> plein de modèles possibles, il y en a quand même un privilégié, celui des
>> entiers naïfs (0, 0+1, 0+1+1 et ainsi de suite).
> Bonjour,
>
> A ce propos il existe plusieurs modèles de l'arithmétique dans un système
> d'axiomes du premier ordre.
> Existe t il des axiomatiques du second ordre pour l'arithmétique
Oui (enfin je pense), par exemple je sais que le calcul inductif des
constructions (qui est une logique d'ordre supérieur, utilisée dans
coq) permet d'axiomatiser les entiers (heureusement, sinon coq ne
serait pas très utile).
> et dans ce cas existe t il un seul modèle pour l'arithmétique.
Je ne sais pas, mais je pense que non. En reprenant mon exemple de du
CIC (et de coq donc) il me semble qu'il existe plusieurs axiomes que
l'on peut rajouter, mais pas tous en même temps (ils ne sont pas tous
compatible entre eux quoi). Ce qui sous entend plusieurs modèles
différents. D'ailleurs il me semble qu'on peut adapter la preuve du
théorème d'incomplétude de Godel a tous système de logique raisonnable
(cad pour les quelles la propriété P est une preuve de S est
vérifiable algorithmiquement et qui sont suffisamment puissant), par
contre le système ne vérifie pas forcément le théorème de complétude
(que je connais moins bien je l'avoue) donc c'est dur a voir.
>
> La théorie des ensembles est elle du premier ordre ?
ZFC l'est (la théorie classique des ensembles). Il me semble qu'il
existe une théorie du second ordre qui ressemble beaucoup a ZFC (par
Von Neuman, Godel et un autre que j'ai oublier)
> En théorie des ensembles, tout corps commutatif totalement ordonné complet
> est isomorphe à R. Cela signifie t il qu'il existe un seul modèle de
> R.
Je dirais que non, en particulier l'analyse non standard est (il me
semble) un modèle de R qui est assez différent de ce que l'on voit
classiquement (on y trouve des infiniment petits et des infiniment
grands).
> Quelle propriété fait que l'ensemble des réels standard ou non n'est pas
> isomorphe )à R.?
> A t on une caractérisation à un isomorphisme près de N?
oui, le fait de contenir 0, d'avoir une fonction successeur et de
vérifier la propriété de récurrence
> Je pense que non.
> Dans la théorie des ensembles , N a t il un seul modèle?
La théorie des ensembles ayant plusieurs modèle, chacun des ses modèle
contient un modèle de N. Mais dans un modèle de ZFC, les différents
modèles de N sont identique a isomorphisme près.
Ps: Pas très rigoureux comme poste ça. J'espère que tu aura une
réponse plus claire.
--
Rémi Vanicat
denis feldmann
Bernays
>
>>En théorie des ensembles, tout corps commutatif totalement ordonné complet
>>est isomorphe à R. Cela signifie t il qu'il existe un seul modèle de
>>R.
>
>
> Je dirais que non, en particulier l'analyse non standard est (il me
> semble) un modèle de R qui est assez différent de ce que l'on voit
> classiquement (on y trouve des infiniment petits et des infiniment
> grands).
>
C'est "complet" qui pose problème. Un modèle non-standard *dans ZFC*
existe (par exemple utiliser un ultraproduit (pour les novices, on prend
un ultrafiltre non trivial U sur N, et on quotiente R^N par la relation
(x_i)~(y_i) <=> {i / x_i=y_i} appartient à U. On montre alors que le
résultat (noté R*) est "complet" au sens des sous-ensembles *standards*
de R* (c'est-à-dire des A* de la forme (x_i) appartient à A* <=> {i /
x_i appartient à A} appartient à U, où A est un sous-ensemble de R...
>
>>Quelle propriété fait que l'ensemble des réels standard ou non n'est pas
>>isomorphe )à R.?
>>A t on une caractérisation à un isomorphisme près de N?
>
>
> oui, le fait de contenir 0, d'avoir une fonction successeur et de
> vérifier la propriété de récurrence
>
idem : N* vérifie la récurrence pour ses sous-ensembles "standards"
Herve Chappe
planche pour un bout de temps !
Hervé
Joe Cool
...et c'est normal. Aborder les théorèmes d'incomplétude de Gödel avec
des notions de vérité est une très mauvaise chose, non pas que ce soit
incorrect, mais ça occulte toute la richesse de ces résultats, et ça
induit en erreur le non spécialiste. Les résultats de Gödel se passent
très bien de la sémantique (le vrai, le faux, tout ça).
Un indécidable est une formule ni prouvable, ni réfutable.
On se place dans une théorie récursivement énumérable (si une formule
est un axiome, on finit toujours par le savoir).
Le premier théorème d'incompléture dit ceci : la théorie est cohérente
si et seulement si il existe un indécidable.
Le second théorème : la formule affirmant la cohérence de la théorie est
un indécidable.
Ainsi ces théorèmes nous montre qu'aucune théorie ne se suffit à elle
même, qu'il existe toujours une théorie strictement plus puissante qui
permet de traiter les cas indécidables.
Il nous montre aussi qu'on ne peut plus démonter quoi que ce soit sans
bien faire attention à la théorie dans laquelle on effectue la preuve.
Si on effectue la preuve d'un des théorème d'incomplétude de
l'arithmétique dans l'arithmétique, tout va bien. Mais si on la mène
dans un sur-système strict de l'arithmétique, selon le cas,
l'indécidable sera soit prouvable, soit réfutable : le mélange de la
théorie avec la métathéorie mène à ce genre de paradoxe malsain qui veut
qu'un indécidable soit « vrai » et non prouvable, et qu'il soit pour les
mêmes raisons « faux » et non prouvable. C'est ce qui arrive quand on
travaille dans la métathéorie en se croyant toujours dans la théorie de
départ.
Intuitivement, les théorèmes d'incomplétude de Gödel illustrent le fait
qu'il n'y a pas de théorie absolue (la hiérarchie des théorie s'élève
sans fin vers toujours plus d'expressivité et de complexité), et
accessoirement que le principe du tiers exclu est dénué de sens. Mais là
on n'est déjà plus dans le domaine des maths : dès qu'on dépasse le côté
purement formel du résultat et qu'on veut lui donner une signification,
le vocable mathématique usuel se casse la figure ; fr.sci.philo devient
alors un forum plus approprié pour discuter de Gödel.
--
Joe Cool
Joe Cool
> On se place dans une théorie récursivement énumérable (si une formule
> est un axiome, on finit toujours par le savoir).
Correction :
Il faut lire : « On se place dans une théorie récursive, afin qu'on
puisse toujours savoir si une formule est un axiome ou non . »
--
Joe Cool
Mehdi Tibouchi
>
> Je partage l'opinion d'Hervé sur la discrétion avec laquelle la notion de
> vérité est traitée dans de nombreux textes.
>
> Tu donnes ici l'explication qui convient, mais as-tu une définition un peu
> plus rigoureuse de ce que sont les entiers naïfs ?
Ben les entiers naturels, quoi :-). On peut effectivement définir
précisément N en théorie des ensembles, mais j'ai envie de dire que ce
n'est vraiment pas nécessaire ici.
Une formule arithmétique, c'est une (certaine combinaison) d'égalité(s)
du genre P(x_1,...,x_n)=Q(x_1,...,x_n), où P et Q sont des expressions
simples en les x_i (ça dépend de ce qu'on a mis dans le langage, mais par
exemple des polynômes).
Bon, alors je prétends que je sais décider une telle égalité pour chaque
valeur particulière des x_i en entiers naturels usuels (i.e. quand je
remplace x_i par sss...s0 avec un nombre fini de s).
Un énoncé, ça va quantifier sur une formule de ce genre. Eh bien je dis,
parce que je ne suis pas à constructiviste extrêmiste, que je sais
concevoir le fait de tester l'égalité qui précède pour *toutes* les
valeurs entières des x_i (et pas seulement *n'importe lesquelles*), et
donc que ça a un sens de dire que l'énoncé est vrai ou faux
indépendamment du fait qu'il soit démontrable.
Concrètement, je veux dire que le théorème de Fermat n'a pas attendu
qu'on le démontre pour être un énoncé vrai (alors que pour être un
théorème, il aurait dû :-) ; pareil pour la conjecture de Goldbach.
Michel Talon
> >
> Justement, les textes que j'ai lus font bien la distinction entre ce que
> vous dites, que je comprends et qui serait le premier résultat de Gödel,
> et ce que je dis mais que je ne comprends pas completement et qui serait
> un second résultat de Gödel, un résultat qu'on peut résumer en termes
> philosophiques par "ce qui est vrai est plus étendu que que qui est
> prouvable", et c'est là que je coince...
Je te conseille
"Le livre qui rend fou" de R. Smullyan
qui a précisément pour but d'expliquer de manière abordable ce théorème.
--
Michel TALON
Tom
> Je te conseille
> "Le livre qui rend fou" de R. Smullyan
> qui a précisément pour but d'expliquer de manière abordable ce théorème.
Il y a aussi "Les théorèmes d'incomplétude de Gödel" du même auteur. Les
théorèmes y sont démontrés de différentes manières.
Tom
Joe Cool
> "philippe" wrote in message <4323e916$0$7852$8fcf...@news.wanadoo.fr>:
>
>>Je partage l'opinion d'Hervé sur la discrétion avec laquelle la notion de
>>vérité est traitée dans de nombreux textes.
>>
>>Tu donnes ici l'explication qui convient, mais as-tu une définition un peu
>>plus rigoureuse de ce que sont les entiers naïfs ?
>
> parce que je ne suis pas à constructiviste extrêmiste, que je sais
> concevoir le fait de tester l'égalité qui précède pour *toutes* les
> valeurs entières des x_i (et pas seulement *n'importe lesquelles*), et
> donc que ça a un sens de dire que l'énoncé est vrai ou faux
> indépendamment du fait qu'il soit démontrable.
F(f) = «la formule codée par f n'est pas démontrable »
Alors comme ça vous pouver concevoir le fait de tester le prédicat
ci-dessus pout *toutes* les valeurs entières de f.
Fort bien, dans ce cas dites-moi si la formule G de code g telle que
G = F(g) est vraie ou fausse.
Qu'est ce qui ce passe si elle est vraie ?
Qu'est ce qui se passe si elle est fausse ?
Qu'est ce que votre message fait sur fr.sci.maths ?
--
Joe Cool
Mehdi Tibouchi
>
> F(f) = «la formule codée par f n'est pas démontrable »
>
> Alors comme ça vous pouver concevoir le fait de tester le prédicat
> ci-dessus pout *toutes* les valeurs entières de f.
>
> Fort bien, dans ce cas dites-moi si la formule G de code g telle que
> G = F(g) est vraie ou fausse.
En d'autres lieux, j'aurais certainement répondu « test », là, cher ami
constructiviste.
> Qu'est ce qui ce passe si elle est vraie ?
> Qu'est ce qui se passe si elle est fausse ?
Rien de particulier. Ce n'est pas comme si c'était un énoncé arithmétique
très passionnant.
> Qu'est ce que votre message fait sur fr.sci.maths ?
Il n'aurait sans doute pas été en charte sur fr.comp.algorithmes, mais je
fais encore la différence, pas vous ?
Gilles Robert
> Mehdi Tibouchi a écrit :
>
>> Un énoncé, ça va quantifier sur une formule de ce genre. Eh bien je dis,
>> parce que je ne suis pas à constructiviste extrêmiste, que je sais
>> concevoir le fait de tester l'égalité qui précède pour *toutes* les
>> valeurs entières des x_i (et pas seulement *n'importe lesquelles*), et
>> donc que ça a un sens de dire que l'énoncé est vrai ou faux
>> indépendamment du fait qu'il soit démontrable.
>
> F(f) = «la formule codée par f n'est pas démontrable »
>
> Alors comme ça vous pouver concevoir le fait de tester le prédicat
> ci-dessus pout *toutes* les valeurs entières de f.
>
> Fort bien, dans ce cas dites-moi si la formule G de code g telle que
> G = F(g) est vraie ou fausse.
Dites moi quelle est la valeur de g, d'abord.
> Qu'est ce qui ce passe si elle est vraie ?
> Qu'est ce qui se passe si elle est fausse ?
> Qu'est ce que votre message fait sur fr.sci.maths ?
Do not feed the troll.
--
Gilles Robert
Mehdi Tibouchi
>
> La première est la tienne : la formule est vraie si... elle est
> vraie. C'est-à-dire qu'elle l'est dans le modèle des entiers naïfs.
'Fin, j'en ai surtout parlé pour essayer d'expliquer ce que les gens
entendaient ordinairement par « vrai » dans ce contexte, hein.
> Une autre est : la formule est vraie si pour tout x, il y a un
> algorithme qui calcule un y, et qui calcule une preuve de « pour tout
> z, Coin(x,y,z) ».
Tel quel, ça ne fait pas vraiment une sémantique mais ça doit pouvoir en
faire une convenable (à valeurs dans une algèbre de Lindenbaum ?).
Je me demande si Joe Cool accepterait d'appeler « vrai » un énoncé
arithmétique comme ça, pour lequel on doit recourir à plus fort que PA
pour prouver la correction de l'algorithme.
> À défaut d'accepter de considérer qu'une telle formule doit être
> considérée comme indécidable (ce que tu appellerais sans doute un
> point de vue extrémiste)
L'extrêmisme est dans le « doit », bien sûr.
> il paraît difficile de nier qu'elle n'a pas la même... disons « force
> de vérité » qu'une chose vraie du second point de vue.
Certes, certes.
Joe Cool
> Do not feed the troll.
Je suis étonné que des personnes avec une aussi forte culture
mathématiques puissent plonger tête la première dans des considérations
métaphysiques aussi simples, connues de plus depuis des générations. Le
mot « troll » pointe déjà à l'horizon à la simple énonciation du
problème. Je suis partagé entre la peur et la déception en pensant à la
masse de preuves formelles et d'arguments mûris pendant des millénaires
balayés d'un revers de main par ce mot : « troll ». Traiter ce problème
avec la même rigueur que n'importe quel autre ne me semble pas
insurmontable, même pour un mathématicien.
--
Joe Cool
Joe Cool
>>algorithme qui calcule un y, et qui calcule une preuve de « pour tout
>>z, Coin(x,y,z) ».
>
> Tel quel, ça ne fait pas vraiment une sémantique mais ça doit pouvoir en
> faire une convenable (à valeurs dans une algèbre de Lindenbaum ?).
>
> Je me demande si Joe Cool accepterait d'appeler « vrai » un énoncé
> arithmétique comme ça, pour lequel on doit recourir à plus fort que PA
> pour prouver la correction de l'algorithme.
On peut bien appeler « vrai » tout ce qu'on veut : ce n'est qu'un mot
parmi d'autres. Personne ne se demande si un fibré est difficile à
mâcher. Mais dès qu'on utilise ce mot dans le contexte de l'étude des
systèmes logiques en tant que structuration du raisonnement et plus
comme un simple jeu formel, cette notion de « vrai », contestable et
contestée par plus vieux, plus respectés et plus morts que moi (bref ,
je ne l'ai pas inventé) n'a pas sa place en dehors de la philosophie
métaphysique. Le « vrai », si il avait un sens, dépendrait d'un système
logique absolu, limite d'une hiérarchie monstrueuse de logiques dont la
pertinence nous échappe, et dont les propriétés naturelles sont prouvées
inaccessibles dès les premiers paliers. En pratique, le « vrai » n'est
défini que par rapport à une logique ad hoc accepée par consensus comme
étalon ; autrement dit : le « vrai » est « vrai » parce qu'il est « vrai ».
--
Joe Cool
Joe Cool
> Joe Cool a écrit:
>> Fort bien, dans ce cas dites-moi si la formule G de code g telle que
>> G = F(g) est vraie ou fausse.
>
> Dites moi quelle est la valeur de g, d'abord.
Il vous suffit de consulter n'importe quel preuve du premier théorème du
Gödel : la valeur de g y est calculée et la formule G exhibée.
--
Joe Cool
Philippe Gaucher
> On peut bien appeler « vrai » tout ce qu'on veut : ce n'est qu'un
> mot parmi d'autres. Personne ne se demande si un fibré est difficile
> à mâcher. Mais dès qu'on utilise ce mot dans le contexte de l'étude
> des systèmes logiques en tant que structuration du raisonnement et
> plus comme un simple jeu formel, cette notion de « vrai »,
> contestable et contestée par plus vieux, plus respectés et plus
> morts que moi (bref , je ne l'ai pas inventé) n'a pas sa place en
> dehors de la philosophie métaphysique. Le « vrai », si il avait un
> sens, dépendrait d'un système logique absolu, limite d'une
> hiérarchie monstrueuse de logiques dont la pertinence nous échappe,
> et dont les propriétés naturelles sont prouvées inaccessibles dès
> les premiers paliers. En pratique, le « vrai » n'est défini que par
> rapport à une logique ad hoc accepée par consensus comme étalon ;
> autrement dit : le « vrai » est « vrai » parce qu'il est « vrai ».
Je pense que le mot "vrai mathématique" a au contraire un vrai sens
(si j'ose dire) et que les progrès des mathématiques dévoilent cette
idée peu à peu. Bon évidemment le vrai n'est pas lié à la complétude :
c'est ce que dit le théorème de Gödel. Alors il faut chercher
ailleurs, c'est tout. ZFC n'est historiquement qu'un premier jet, qui
a été fabriqué à une époque où la théorie des ensembles n'était pas
très développée et où on se remettait des paradoxes de la théorie
naïve des ensembles. Il y a des axiomes qu'on peut rajouter à ZFC qui
sont plus naturels que d'autres. Ajouter des axiomes de grands
cardinaux notamment n'est pas choquant : ce n'est rien d'autre que
rajouter des propriétés à l'infini. L'axiome de l'infini n'est jamais
que le plus petit de ces axiomes il me semble.
Pour des arguments plus sérieux, voir
Progres récents sur l'hypothèse du continu (d'après Woodin);
Seminaire Bourbaki, expose 915, mars 2003
http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgt.pdf
où on y apprendra que l'hypothèse du continu est conjecturalement
fausse (inutile de me poser des questions sur cet article : je ne
comprends pas tout).
Au-delà du forcing: la notion de vérité essentielle en théorie des ensembles
http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgy.pdf
Les axiomes de grands cardinaux ne sont pas que que des jouets de
théoriciens des ensembles. Ils apparaissent en topologie algébrique
pour décider de l'existence de certains objets (par ex le problème de
la localisation homotopique). Et c'est lié, pour ce que j'en connais,
à l'apparition des axiomes de grand cardinaux dans la théorie des
catégories localement présentables (à cause du principe de
Vopenka). Je pourrai développer mais je ne suis pas sûr que cela
intéresserait qqn ici.
pg.
Joe Cool
> Je pense que le mot "vrai mathématique" a au contraire un vrai sens
> (si j'ose dire) et que les progrès des mathématiques dévoilent cette
> idée peu à peu. Bon évidemment le vrai n'est pas lié à la complétude :
> c'est ce que dit le théorème de Gödel.
Tout à fait. Je pense qu'il faut insister sur le fait que prouver une
chose ne veut pas dire qu'elle est « vraie » mais que le système dans
lequel la preuve habite a été bien choisi : il est même trop souvent
choisi en fonction des énoncés que l'on veut voir prouvés (cf. plus bas).
> Alors il faut chercher
> ailleurs, c'est tout. ZFC n'est historiquement qu'un premier jet, qui
> a été fabriqué à une époque où la théorie des ensembles n'était pas
> très développée et où on se remettait des paradoxes de la théorie
> naïve des ensembles.
Hum, je subodore une sorte d'absolutisme latent, comme si ZFC était sur
le chemin qui mène à l'ultime vérité, comme si tout était déjà joué
d'avance.
> Il y a des axiomes qu'on peut rajouter à ZFC qui
> sont plus naturels que d'autres.
Voilà, c'est ce que je disais. Qu'est ce qui est naturel en mathématique
? Comment imaginer une nature là ou il n'y en a pas ? Autant appeler un
chat un chat : on nage en plein platonisme mathématique. Cette nature
dont vous parlez ce réfère à l'univers platonicien, un univers qui n'a
rien de réel : il n'existe que dans l'imaginaire, les croyances et les
attentes de certains mathématiciens. Brouwer avait déjà ceci à l'esprit
(mais pas en ces termes) avec l'intuitionnisme mathématique : l'essence
des mathématiques se cache dans l'esprit, l'imaginaire du mathématicien,
le platonisme mathématique n'etant qu'une dégénérescence de ce fait.
> Ajouter des axiomes de grands
> cardinaux notamment n'est pas choquant : ce n'est rien d'autre que
> rajouter des propriétés à l'infini. L'axiome de l'infini n'est jamais
> que le plus petit de ces axiomes il me semble.
Il est aussi le premier qui ne sert à rien (le sens du verbe « servir »
est laissé à ma discretion). L'arithmétique s'en passe très bien, il
n'est pas nécessaire à la construction de systèmes arbitrairement puissants.
L'axiome de l'infini, bien que très pratique en apparence, ne fait
qu'occulter la nature fine des objets mathématiques étudiés derrière le
voile lisse de l'infini. Tout est lissé, sans détail, bien que certains
objets soient très compliqués. Ceux qui lui trouve un attrait ludique
peuvent s'en délecter à loisir, mais il est inadapté à l'étude des
choses réelles car rien d'infini ne nous est accessible en réalité, nous
rêvons l'infini, nous imaginons la montagne s'élever sans fin au
dessus des nuages nous cachant son sommet.
> Pour des arguments plus sérieux, voir
>
> Progres récents sur l'hypothèse du continu (d'après Woodin);
> Seminaire Bourbaki, expose 915, mars 2003
> http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgt.pdf
>
> où on y apprendra que l'hypothèse du continu est conjecturalement
> fausse (inutile de me poser des questions sur cet article : je ne
> comprends pas tout).
Extrait significatif :
« Le point important ici est qu'il semble raisonnable de tenir ces
axiomes pour vrais, ou, au moins, de ne tenir pour plausibles que les
axiomes A compatibles avec l'existence de grands cardinaux au sens où
aucun axiome de grand cardinal ne contredit A. »
Il semble raisonnable... Voilà l'orginie de cette vérité qui transcende
tout : le désir esthétique de voir quelque chose comme vrai, même si on
sait que rien ni personne ne pourra réellement contredire telle
affirmation. L'auteur, quand il dit ceci, ne le fait pas en tant que
mathématicien, mais en tant que platonicien.
> Au-delà du forcing: la notion de vérité essentielle en théorie des ensembles
> http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgy.pdf
>
> Les axiomes de grands cardinaux ne sont pas que que des jouets de
> théoriciens des ensembles. Ils apparaissent en topologie algébrique
> pour décider de l'existence de certains objets (par ex le problème de
> la localisation homotopique).
Existence non constructive, on tourne en rond : telle chose est « vraie
» parce que telle autre chose est « vraie » et...et parce que je veux
que tel axiome soit « vrai »...
Il faut faire très attention aux mots qu'on utilise en fonction du
contexte : dans le contexte mathématique, « vrai » veut dire « chaussette ».
> Et c'est lié, pour ce que j'en connais,
> à l'apparition des axiomes de grand cardinaux dans la théorie des
> catégories localement présentables (à cause du principe de
> Vopenka). Je pourrai développer mais je ne suis pas sûr que cela
> intéresserait qqn ici.
Je ne doute pas que tout ceci soit intéressant, mais la vérité n'y a
rien à faire.
--
Joe Cool
Mehdi Tibouchi
>
> Voilà, c'est ce que je disais. Qu'est ce qui est naturel en mathématique
> ? Comment imaginer une nature là ou il n'y en a pas ?
Et vous croyez que les mathématiques sont quoi, au juste ?
Parce que bon, l'ensemble des conséquence de PA, c'est récursivement
énumérable, donc si l'on va par là, on peut bien remplacer les
arithméticiens par un programme pas bien dur à écrire qui sort les
théorèmes un par un (peu importe l'ordre, d'ailleurs : on ne va pas
prétendre qu'il y en aurait de plus « importants » que d'autres, bouh,
c'est platoniste). Ou encore, en me levant demain matin, je vais
additionner deux nombres de cinquante chiffres à la main et j'aurais
prouvé un théorème dont je suis à peu près certain qu'il est nouveau.
Bizarrement, j'ai l'impression qu'un comité de lecture risquerait de me
jeter.
Mais pourquoi au juste ? Eh bien parce que la différence entre un
mathématicien et un programme informatique, c'est que ce que fait le
mathématicien a du *sens*. C'est si difficile que ça à admettre ?
Pourquoi est-ce que l'algèbre linéaire est si développée et que personne
ne s'intéresse à la théorie des quasiespaces supervectoriels (faire une
modification à la con des axiomes d'ev) ? Ben parce qu'un espace
vectoriel, c'est un objet qui a du sens, et que sa définition est
naturelle.
> Il faut faire très attention aux mots qu'on utilise en fonction du
> contexte : dans le contexte mathématique, « vrai » veut dire « chaussette ».
Non.
Gilles Robert
Calculée ? On ne doit pas utiliser le même vocabulaire. La valeur de g
est donnée, certes, mais je ne l'ai jamais vue calculée (sous forme
décimale par exemple). Idem pour la formule G.
Là est toute la différence entre la théorie des entiers naïfs et une
théorie formalisée (du style des Principia de Newton) comme celle sur
lequel s'appuie le théorème de Gödel. En théorie des entiers naïfs, on
s'arrête quand on ne peut plus calculer, c'est à dire assez rapidement.
Dans une théorie formalisée, on s'autorise à travailler sur des entiers
qu'on ne saura jamais calculer, et sur lesquels on ne pourra même pas
avoir une intuition viable.
C'est aussi du domaine des mathématiques de séparer le jeu formel du
domaine naïf (et c'est pourquoi la plupart des mathématiciens se moque
du système d'axiomes dans lequel ils travaillent : la plupart des
systèmes d'axiomes "naïfs" suffisent en pratique).
N'oublions pas que les mathématiques ont une existence plusieurs fois
millénaire, alors que la logique formelle n'en est qu'à quelques
siècles. Cela ne fait pas des résultats mathématiques précédent la
logique formelle des absurdités ni des mathématiciens de cette période
des doux réveurs ou des charlatans.
--
Gilles Robert
Tom
> N'oublions pas que les mathématiques ont une existence plusieurs fois
> millénaire, alors que la logique formelle n'en est qu'à quelques
> siècles. Cela ne fait pas des résultats mathématiques précédent la
> logique formelle des absurdités ni des mathématiciens de cette période
> des doux réveurs ou des charlatans.
Les théorèmes de Gödel ne disent pas que les théorèmes mathématiques
sont faux. Ils disent qu'ils sont vrais dans le système dans lequel ils
sont étudiés. Ils disent que certains théorèmes ne pourront pas être
prouvés. En corollaire on peut donc suggérer que la "réalité" ne peut
pas être complètement et fidèlement être capturée par les mathématiques
car celle ci est entièrement syntaxique.
Tom
Tom
> En pratique, le « vrai » n'est
> défini que par rapport à une logique ad hoc accepée par consensus comme
> étalon ; autrement dit : le « vrai » est « vrai » parce qu'il est « vrai ».
C'est totalement vrai. PAr contre que les chasseurs de trolls se calment
: il n'y a ni insulte ni reproche dans cette remarque. C'est comme ça.
Tom
Tom
> Je pense que le mot "vrai mathématique" a au contraire un vrai sens
> (si j'ose dire) et que les progrès des mathématiques dévoilent cette
> idée peu à peu. Bon évidemment le vrai n'est pas lié à la complétude :
> c'est ce que dit le théorème de Gödel. Alors il faut chercher
> ailleurs, c'est tout. ZFC n'est historiquement qu'un premier jet, qui
> a été fabriqué à une époque où la théorie des ensembles n'était pas
> très développée et où on se remettait des paradoxes de la théorie
> naïve des ensembles. Il y a des axiomes qu'on peut rajouter à ZFC qui
> sont plus naturels que d'autres. Ajouter des axiomes de grands
> cardinaux notamment n'est pas choquant : ce n'est rien d'autre que
> rajouter des propriétés à l'infini. L'axiome de l'infini n'est jamais
> que le plus petit de ces axiomes il me semble.
Bah voilà : on définit le "vrai" par ce qui nous arrange pour coller
avec ce qu'on veut. C'est tout à fait normal : on ne peut pas faire
autrement.
> Progres récents sur l'hypothèse du continu (d'après Woodin);
> Seminaire Bourbaki, expose 915, mars 2003
> http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgt.pdf
>
> où on y apprendra que l'hypothèse du continu est conjecturalement
> fausse (inutile de me poser des questions sur cet article : je ne
> comprends pas tout).
Certains la considèrent comme vrai. Si on ajoute l'HdC dans PA alors
elle est vraie, si on ajoute son contraire elle est fausse. On peut en
former deux systèmes qui sont tous les deux cohérents (par rapport à ZF
en tout cas il me semble).
Tom
Tom
>>Il faut faire très attention aux mots qu'on utilise en fonction du
>>contexte : dans le contexte mathématique, « vrai » veut dire « chaussette ».
> Non.
Sans sémantique "vrai" n'est qu'un mot. Et dans une langue d'une terre
éloignée il peut vouloir dire "chaussette", pourquoi pas ? Bon ça peut
être "armoire" aussi.
En fait Joe ne va pas au bout de sa pensée, il faut la deviner. Je pense
qu'il ne veut pas dénigrer les mathématiques, mais remettre chaque chose
à sa place. Les mathématiques sont de la manipulation de fomrules qui
sont entièrement syntaxique. Le sens qu'on leur donne est philosophique.
considérer que tel axiome est vrai ou pas c'est de la philosophie :
c'est subjectif, c'est le fruit de réflexions, ça ne peut pas être
capturé par la syntaxe : si on pouvait démontrer un axiome, il serait
inutile dans le système.
Ce que Joe résume à "ad hoc" est le fruit d'une réflexion naturellement,
qui est philosophique et pas mathématique. Ce qui fait que les
mathématicien font pour la plupart des mathématiques ET de la
philosophie. Il n'y a rien de gênant à celà.
Tom
Mehdi Tibouchi
>
> Les mathématiques sont de la manipulation de fomrules qui sont
> entièrement syntaxique.
Ça ça s'appelle de la logique formelle. Ça a son intérêt, c'est même
assez important comme fondement pour le discours mathématique, mais comme
dit Babacio, ça n'en forme certainement pas la substance.
Joe Cool
> Joe Cool a écrit :
>
>>En pratique, le « vrai » n'est
>>défini que par rapport à une logique ad hoc accepée par consensus comme
>>étalon ; autrement dit : le « vrai » est « vrai » parce qu'il est « vrai ».
>
> C'est totalement vrai.
hi hi
--
Joe Cool
Gilles Robert
> En fait Joe ne va pas au bout de sa pensée, il faut la deviner. Je pense
> qu'il ne veut pas dénigrer les mathématiques, mais remettre chaque chose
> à sa place.
Laissons le dire ce qu'il pense lui même.
> Les mathématiques sont de la manipulation de fomrules qui
> sont entièrement syntaxique. Le sens qu'on leur donne est philosophique.
Non. Les mathématiques ne sont pas _que_ de la manipulation de formules.
> considérer que tel axiome est vrai ou pas c'est de la philosophie :
> c'est subjectif, c'est le fruit de réflexions, ça ne peut pas être
> capturé par la syntaxe : si on pouvait démontrer un axiome, il serait
> inutile dans le système.
Oui, et ?
> Ce que Joe résume à "ad hoc" est le fruit d'une réflexion naturellement,
> qui est philosophique et pas mathématique. Ce qui fait que les
> mathématicien font pour la plupart des mathématiques ET de la
> philosophie. Il n'y a rien de gênant à celà.
Non. Ce que tu appelles "philosophie" dans le travail du mathématicien
est bel et bien des mathématiques à part entière. L'élaboration de
nouvelles notions ne fait pas appel à la logique (pourquoi celle-ci et
pas une autre ? parce que celle-ci me permet de répondre à telle ou
telle question), mais ne participe pas pour autant de la philosophie.
--
Gilles
Joe Cool
> Joe Cool a écrit:
>
>> Gilles Robert a écrit :
>>
>>> Joe Cool a écrit:
>>>
>>>> Fort bien, dans ce cas dites-moi si la formule G de code g telle que
>>>> G = F(g) est vraie ou fausse.
>>>
>>> Dites moi quelle est la valeur de g, d'abord.
>>
>> Il vous suffit de consulter n'importe quel preuve du premier théorème
>> du Gödel : la valeur de g y est calculée et la formule G exhibée.
>
> Calculée ?
Calculable, aussi bien en théorie qu'en pratique. Lisez la preuve avant
d'affirmer ce genre de chose.
> On ne doit pas utiliser le même vocabulaire. La valeur de g
> est donnée, certes, mais je ne l'ai jamais vue calculée (sous forme
> décimale par exemple). Idem pour la formule G.
Les milliardièmes de décimales de Pi n'auraient jamais été calculées si
des gens n'avaient pas eu l'idée de le faire. Pourtant... Je vous laisse
méditer la dessus.
> Là est toute la différence entre la théorie des entiers naïfs et une
> théorie formalisée (du style des Principia de Newton) comme celle sur
> lequel s'appuie le théorème de Gödel. En théorie des entiers naïfs, on
> s'arrête quand on ne peut plus calculer, c'est à dire assez rapidement.
> Dans une théorie formalisée, on s'autorise à travailler sur des entiers
> qu'on ne saura jamais calculer, et sur lesquels on ne pourra même pas
> avoir une intuition viable.
Avoir une description opérationnelle d'un entier, c'est avoir l'entier
entre ses mains. Je vous rapelle que 123444589 est une description
opérationnelle, un programme calculant un entier. Si vous voulez écrire
des entiers sous leur forme la plus basique, je vous souhaite bien du
plaisir. Le unaire n'est pas ce qu'il y a de plus efficace.
Quand aux mathémathiques naïves, ben.... c'est naïf. On ne peut pas
balayer les cents dernières années sous prétexte que le consensus
majoritaire refuse d'en accepter les conséquences même immédiates. Pour
le coup ce n'est plus des maths ou de la philo, c'est de la politique
bien crasseuse.
> C'est aussi du domaine des mathématiques de séparer le jeu formel du
> domaine naïf (et c'est pourquoi la plupart des mathématiciens se moque
> du système d'axiomes dans lequel ils travaillent : la plupart des
> systèmes d'axiomes "naïfs" suffisent en pratique).
C'est ce point de vue qui leur fait raconter n'importe quoi. D'un côté
ils se gargarisent de théorèmes qu'une poignée de personnes sur la
planète sont capable de comprendre, et d'un autre côté ils décident que
telle ou telle chose est « vraie » sous prétexte qu'ils trouvent que ça
fait joli. Ça se passe de commentaire.
> N'oublions pas que les mathématiques ont une existence plusieurs fois
> millénaire, alors que la logique formelle n'en est qu'à quelques
> siècles. Cela ne fait pas des résultats mathématiques précédent la
> logique formelle des absurdités ni des mathématiciens de cette période
> des doux réveurs ou des charlatans.
Ce n'est pas une raison non plus pour faire des maths comme il y a trois
mille ans. Aucune des théories d'il y a quelques centaines d'années n'a
subsisté à l'identique. Ce que vous dites est caricatural. Plus personne
ne fait de géométrie comme Euclise ou Pythagore. Ces théories sont de
grandes valeurs mais elles évoluent comme le reste au gré des
découvertes. Un remarque en passant : jusqu'à Cantor, les mathématiques
étaient constructives en quasi-totalité. Le platonisme mathématique est
une croyance très récente plus significative des acteurs des
mathématiques modernes que d'une quelconque réalité trenscendant la
pensée, seulement accessible par l'esprit naïf.
Pourquoi toutjours se sentir insulté quand une personne n'est pas de son
avis ? Je n'aime pas le corporatisme, la solidarité des croyants. J'ai
l'impression de voir les mathématiques dominées par des castes dont
l'infuence politique est plus importante que la raison et les preuves.
Gödel à monter avec toute la rigueur possible que le mathématicien
honnète ne peut plus ignorer la logique qu'il utilise pour faire ses
démonstrations : il a détruit l'absolu mathématique car cet absolu est
absurde. On devrait se réjouir de cette victoire de la rigueur
mathématique sur les préjugés, mais il faut croire que les préjugés des
mathématiciens sont meilleurs que les autres, meilleurs même que la rigueur.
--
Joe Cool
Joe Cool
> Joe Cool wrote in message <4327249c$0$1895$626a...@news.free.fr>:
>
>> Voilà, c'est ce que je disais. Qu'est ce qui est naturel en mathématique
>> ? Comment imaginer une nature là ou il n'y en a pas ?
>
> Et vous croyez que les mathématiques sont quoi, au juste ?
Je ne crois rien.
> Parce que bon, l'ensemble des conséquence de PA, c'est récursivement
> énumérable, donc si l'on va par là, on peut bien remplacer les
> arithméticiens par un programme pas bien dur à écrire qui sort les
> théorèmes un par un (peu importe l'ordre, d'ailleurs : on ne va pas
> prétendre qu'il y en aurait de plus « importants » que d'autres, bouh,
> c'est platoniste). Ou encore, en me levant demain matin, je vais
> additionner deux nombres de cinquante chiffres à la main et j'aurais
> prouvé un théorème dont je suis à peu près certain qu'il est nouveau.
> Bizarrement, j'ai l'impression qu'un comité de lecture risquerait de me
> jeter.
Ceci est de la politique.
> Mais pourquoi au juste ? Eh bien parce que la différence entre un
> mathématicien et un programme informatique, c'est que ce que fait le
> mathématicien a du *sens*. C'est si difficile que ça à admettre ?
La motivation m'importe peu. Je me doute bien que le mathématicien doit
faire un choix à un moment donné : choisir tel ou tel doamine d'étude ou
lancer sa machine à démontrer des théorèmes à la chaine. Le
mathématicien standard n'est jamais un pur mathématicien, il n'est pas
un être idéal. Les mathématiciens de la vraie vie font en même temps de
la physique, de la chimie, de la biologie, de la philosophie et bien
souvent de la théologie. Cela ne change rien à ce que sont les
mathématiques, il faut faire la part des choses. Il n'y a pas de réalité
mathématique transcendante, on peut le croire en confondant les
mathématiques et les disciplines qui y font appel, mais une réflexion un
peu plus poussée permet de séparer les choses, littéralement d'être «
rationnel ».
>>Il faut faire très attention aux mots qu'on utilise en fonction du
>>contexte : dans le contexte mathématique, « vrai » veut dire « chaussette ».
>
> Non.
Si.
--
Joe Cool
Joe Cool
> Laissons le dire ce qu'il pense lui même.
>
>> Les mathématiques sont de la manipulation de fomrules qui
>> sont entièrement syntaxique. Le sens qu'on leur donne est philosophique.
>
> Non. Les mathématiques ne sont pas _que_ de la manipulation de formules.
Vous n'avez pas envie que ça le soit.
>> Ce que Joe résume à "ad hoc" est le fruit d'une réflexion naturellement,
>> qui est philosophique et pas mathématique. Ce qui fait que les
>> mathématicien font pour la plupart des mathématiques ET de la
>> philosophie. Il n'y a rien de gênant à celà.
>
> Non. Ce que tu appelles "philosophie" dans le travail du mathématicien
> est bel et bien des mathématiques à part entière.
Pourquoi ?
> L'élaboration de
> nouvelles notions ne fait pas appel à la logique (pourquoi celle-ci et
> pas une autre ? parce que celle-ci me permet de répondre à telle ou
> telle question), mais ne participe pas pour autant de la philosophie.
Pourquoi avoir telle question en tête, pourquoi est-ce intéressant ?
Peut-on prouver qu'une question est intéressante ? Tous ces choix sont
d'ordre philosophique, on juge que telle chose est digne d'intéret et
qu'une autre est inintéressante, alors que ces deux choses ont
exactement le même statut formel. Seule la motivation du mathématicien
fait la différence : il utilise l'outil mathématique pour résoudre des
problèmes philosophique, il fait de la philosophie formelle. Que cela
vous vexe est hors de propos. Chaque chose à sa place, ne les déplacons
pas seulement pour flatter l'égo de certains pour qui les mathématiques
sont l'apogée de la connaissance. Toutes les recherches en
métamathématiques l'attestent, des recherches datant de plus d'un siècle
et parfaitement acceptées en dehors des cercles Bourbakistes, dont la
communauté mathématique française fait partie.
--
Joe Cool
Tom
> Arf. Jamais un mathématicien de se soucie de la sémantique des
> formules qu'il manipule, jamais il n'a d'intuitions faisant appel à
> des objets non syntaxiques... c'est bien connu.
vous me parlez de mathématiciens, et pas de mathématiques. Rien
n'empêche un mathématicien de faire de la philosophie. Et heureusement :
il en fait.
> Ah ok, tu considères que 95% du temps, les matheux font de la philo,
> et seulement 5% du temps, des maths. Pourquoi pas. Le problème c'est
> que la plupart des gens, par « mathématiques », entendent « l'activité
> du mathématicien ». Et ça me semble parfaitement justifié...
Je ne fais aucune quantification. Mais je pense qu'un mathématicien
travaille plus souvent sur la syntaxe quue sur la sémantique. La
sémantique peut être fixée pour assez longtemps. La syntaxe peut évoluer
plus facilement : il suffit de rajouter des règles, des axiomes etc.
Tom
Philippe Gaucher
>> Ajouter des axiomes de grands
>> cardinaux notamment n'est pas choquant : ce n'est rien d'autre que
>> rajouter des propriétés à l'infini. L'axiome de l'infini n'est jamais
>> que le plus petit de ces axiomes il me semble.
>
> Il est aussi le premier qui ne sert à rien (le sens du verbe «
> servir » est laissé à ma discretion). L'arithmétique s'en passe très
> bien, il n'est pas nécessaire à la construction de systèmes
> arbitrairement puissants.
Sans l'axiome de l'infini, on ne peut même pas parler de l'ensemble
des entiers naturels. Alors faire de l'arithmétique. J'ignorais que
les méthodes de théorie analytique des nombres pouvaient se passer de
l'analyse (réelle, complexe).
> L'axiome de l'infini, bien que très pratique en apparence, ne fait
> qu'occulter la nature fine des objets mathématiques étudiés derrière
> le voile lisse de l'infini. Tout est lissé, sans détail, bien que
> certains objets soient très compliqués. Ceux qui lui trouve un
> attrait ludique peuvent s'en délecter à loisir, mais il est inadapté
> à l'étude des choses réelles car rien d'infini ne nous est
> accessible en réalité, nous rêvons l'infini, nous imaginons la
> montagne s'élever sans fin au dessus des nuages nous cachant son
> sommet.
Ca sent le troll par ici.
pg.
Philippe Gaucher
>> Alors faire de l'arithmétique. J'ignorais que
>> les méthodes de théorie analytique des nombres pouvaient se passer de
>> l'analyse (réelle, complexe).
>
> J'ai déjà ouvert un cours de théorie analytique des nombres. Y avait
> pas beaucoup de théorie des ensembles dedans...
En l'occurence, on parlait du rôle de l'axiome de l'infini. Essaye de
démontrer les théorèmes d'analyse utilisées en théorie analytique des
nombres sans recours à l'axiome de l'infini, et donc sans recours aux
réels.
pg.
Philippe Gaucher
>> Alors faire de l'arithmétique. J'ignorais que
>> les méthodes de théorie analytique des nombres pouvaient se passer de
>> l'analyse (réelle, complexe).
>
> J'ai déjà ouvert un cours de théorie analytique des nombres. Y avait
> pas beaucoup de théorie des ensembles dedans...
En l'occurence, on parlait du rôle de l'axiome de l'infini. Essaye de
démontrer les théorèmes d'analyse utilisés en théorie analytique des
denis feldmann
> Philippe Gaucher a écrit :
>
>>Je pense que le mot "vrai mathématique" a au contraire un vrai sens
>>(si j'ose dire) et que les progrès des mathématiques dévoilent cette
>>idée peu à peu. Bon évidemment le vrai n'est pas lié à la complétude :
>>c'est ce que dit le théorème de Gödel. Alors il faut chercher
>>ailleurs, c'est tout. ZFC n'est historiquement qu'un premier jet, qui
>>a été fabriqué à une époque où la théorie des ensembles n'était pas
>>très développée et où on se remettait des paradoxes de la théorie
>>naïve des ensembles. Il y a des axiomes qu'on peut rajouter à ZFC qui
>>sont plus naturels que d'autres. Ajouter des axiomes de grands
>>cardinaux notamment n'est pas choquant : ce n'est rien d'autre que
>>rajouter des propriétés à l'infini. L'axiome de l'infini n'est jamais
>>que le plus petit de ces axiomes il me semble.
>
>
> Bah voilà : on définit le "vrai" par ce qui nous arrange pour coller
> avec ce qu'on veut. C'est tout à fait normal : on ne peut pas faire
> autrement.
>
Sauf que 1) "on" est à différencier de "je" : le social fait peut-être
ainsi "librement" ; l'individu n'a pas le choix 2) "je crois que 2 et 2
sont 4 , Sganarelle, et que 4 et 4 sont 8". 3) Des vérités du genre
"quand on saute par la fenêtre, on se retrouve (assez vite) par terre"
ne sont pas , en général , définies "parce que ça nous arrange" (soyons
franc, ça ne nous arrange pas). La plupart des gens, d'ailleurs,
préfèreraient que (a+b)^2=a^2+b^2 ; à ce sens, la "vérité", c'est ce
truc qui s'obstine à résister au désir
4) (je peux pas résister) "Je dis toujours la vérité. Toute, non. Cela
ne se peut, et c'est par cet impossible que la vérité touche au réel"
(Lacan)
>
>>Progres récents sur l'hypothèse du continu (d'après Woodin);
>>Seminaire Bourbaki, expose 915, mars 2003
>>http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgt.pdf
>>
>>où on y apprendra que l'hypothèse du continu est conjecturalement
>>fausse (inutile de me poser des questions sur cet article : je ne
>>comprends pas tout).
>
>
> Certains la considèrent comme vrai. Si on ajoute l'HdC dans PA alors
> elle est vraie, si on ajoute son contraire elle est fausse. On peut en
> former deux systèmes qui sont tous les deux cohérents (par rapport à ZF
> en tout cas il me semble).
Evidemment. C'est pas un petit peu prétentieux de balayer Woodin d'un
revers de main en "déduisant" de la banalité précédente que la "vérité"
de HC est une question de goût personnel ? Prenons un autre exemple : je
peux "décider" qu'il n'y a pas de fonctions non mesurables (ni de bases
de Hamel, ni de clôture algébrique du corps des fonctions méromorphes,
ni ...) Je peux aussi décider d'abandonner l'axiome de l'infini. Mais ne
cours-je pas le risque de me retrouver un peu seul ?
>
> Tom
Tom
> Non. Ce que tu appelles "philosophie" dans le travail du mathématicien
> est bel et bien des mathématiques à part entière. L'élaboration de
> nouvelles notions ne fait pas appel à la logique (pourquoi celle-ci et
> pas une autre ? parce que celle-ci me permet de répondre à telle ou
> telle question), mais ne participe pas pour autant de la philosophie.
De la philosophie mathématique voire des metamathematiques si vous
voulez. Cf le livre de Kleene sur le sujet.
Quand je dis philosophie ce n'est pas forcément au sens courant (jeense
donc je suis etc.). N'oublions pas que Philosophie est l'ancien nom des
sciences. Et d'ailleurs un doctorat en science se dit PhD en anglais
pour Philosophy Doctor.
Tom
Joe Cool
> Tom a écrit :
>> Bah voilà : on définit le "vrai" par ce qui nous arrange pour
>> coller avec ce qu'on veut. C'est tout à fait normal : on ne peut
>> pas faire autrement.
>
> Sauf que 1) "on" est à différencier de "je" : le social fait
> peut-être ainsi "librement" ; l'individu n'a pas le choix
???
> 2) "je crois que 2 et 2 sont 4 , Sganarelle, et que 4 et 4 sont 8".
Certes...Quoi que...
> 3) Des vérités du genre "quand on saute par la fenêtre, on se
> retrouve (assez vite) par terre" ne sont pas , en général , définies
> "parce que ça nous arrange" (soyons franc, ça ne nous arrange pas).
Mais cela est de la physique.
> La plupart des gens, d'ailleurs, préfèreraient que (a+b)^2=a^2+b^2 ;
> à ce sens, la "vérité", c'est ce truc qui s'obstine à résister au
> désir
(a+b)^2=a^2+b^2 est tout à fait correct sur un corps de caractéristique
2. Tout dépend du contexte, du système sous jacent. Les mathématiques on
un contexte tellement libre que tout y est envisageable, c'est d'ailleur
pour cela que cet outil est si prolifique en science. Mais cette liberté
à un prix : l'absence de tout asolu en mathématiques, pas de vérité, pas
de réalité, rien que de la rigueur, des règles et des démonstrations.
Dépasser cela n'est possible qu'en entrant dans d'autres disciplines,
partiellement ou complètement, celles-ci guidant et motivant les
recherches mathématiques dans un but pragmatique, but qui n'a rien de
mathématique sinon sa formalisation.
> 4) (je peux pas résister) "Je dis toujours la vérité. Toute, non.
> Cela ne se peut, et c'est par cet impossible que la vérité touche au
> réel" (Lacan)
Re-???
>>> Progres récents sur l'hypothèse du continu (d'après Woodin);
>>> Seminaire Bourbaki, expose 915, mars 2003
>>> http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgt.pdf
>>> où on y apprendra que l'hypothèse du continu est conjecturalement
>>> fausse (inutile de me poser des questions sur cet article : je
>>> ne comprends pas tout).
>>
>> Certains la considèrent comme vrai. Si on ajoute l'HdC dans PA
>> alors elle est vraie, si on ajoute son contraire elle est fausse.
>> On peut en former deux systèmes qui sont tous les deux cohérents
>> (par rapport à ZF en tout cas il me semble).
>
> Evidemment. C'est pas un petit peu prétentieux de balayer Woodin d'un
> revers de main en "déduisant" de la banalité précédente que la
> "vérité" de HC est une question de goût personnel ? Prenons un autre
> exemple : je peux "décider" qu'il n'y a pas de fonctions non
> mesurables (ni de bases de Hamel, ni de clôture algébrique du corps
> des fonctions méromorphes, ni ...) Je peux aussi décider d'abandonner
> l'axiome de l'infini. Mais ne cours-je pas le risque de me retrouver
> un peu seul ?
Ceci est de la politique. La « vérité » de HC est effectivement une
question de goût, mais seulement pour ceux qui s'imagine une notion de
vérité en mathématique. HC est hautement non constructif, bien malin
celui capable de l'éprouver : quelle expérience proposez-vous pour
tester HC ?
--
Joe Cool
Joe Cool
> Joe Cool.
>
>> Pourquoi avoir telle question en tête, pourquoi est-ce intéressant
>> ? Peut-on prouver qu'une question est intéressante ? Tous ces choix
>> sont d'ordre philosophique, on juge que telle chose est digne
>> d'intéret et qu'une autre est inintéressante, alors que ces deux
>> choses ont exactement le même statut formel. Seule la motivation du
>> mathématicien fait la différence : il utilise l'outil mathématique
>> pour résoudre des problèmes philosophique, il fait de la
>> philosophie formelle.
>
> on a l'habitude de l'appeler « mathématiques ».
Voilà un usage très récent et très tendancieux, qui conforte le fait que
la vérité mathématique soit issue d'un consensus : c'est une habitude de
quelques mathématiciens contemporains.
> C'est marrant qu'avec un point de vue constructiviste, tu défendes
> l'idée la plus délétère portée par l'idéologie bourbakyste : les
> mathématiques ne sont qu'un jeu formel, tout le reste est
> littérature.
Les deux points de vue ne sont pas contradictoires, ils ont juste un
contexte différent. Le constructivisme ne devient pertinent qu'à partir
du moment où on veut donner un sens aux notions mathématiques
(l'existence par exemple) : c'est lui qui donne ce sens (un objet existe
dès qu'on sait le construire). Le constructivisme n'est pas purement
mathématique, il intervient quand on veut modéliser des raisonnement
dépendant d'une réalité, comme quand on considère un entier comme une
abstraction d'objets réels comme les billes d'un boulier ou les
registres d'un ordinateur, ou quand on veut étudier une logique en tant
que processus de pensée, dépendant donc de notre propre réalité d'être
pensant (les animaux et extraterrestes éventuels sont également de la
partie). Quand à l'idéologie « bourbakiste », le formalisme, elle décrit
de la manière la plus basique l'activité purement mathématique
indépendamment de toute contrainte issue de la réalité : elle décrit un
mode de pensée et de communication, ce que sont les mathématiques.
--
Joe Cool
Tom
> Sauf que 1) "on" est à différencier de "je" : le social fait peut-être
> ainsi "librement" ; l'individu n'a pas le choix 2) "je crois que 2 et 2
> sont 4 , Sganarelle, et que 4 et 4 sont 8". 3) Des vérités du genre
> "quand on saute par la fenêtre, on se retrouve (assez vite) par terre"
> ne sont pas , en général , définies "parce que ça nous arrange" (soyons
> franc, ça ne nous arrange pas). La plupart des gens, d'ailleurs,
> préfèreraient que (a+b)^2=a^2+b^2 ; à ce sens, la "vérité", c'est ce
> truc qui s'obstine à résister au désir
> 4) (je peux pas résister) "Je dis toujours la vérité. Toute, non. Cela
> ne se peut, et c'est par cet impossible que la vérité touche au réel"
> (Lacan)
C'est une façon de parler le "comme ça nous arrange". Vous conviendrez
bien qu'il n'y a pas plus ad hoc qu'une définition. Définir l'addition par
add 0 n = n
add successeur(n) p = successeur(add n p)
c'est had hoc. C'est une définition. C'est ce que l'on a besoin.
Mathématiquement on pourrait la définir par
add 0 n = n
add successeur(n) p = successeur(successeur(add n p))
que ça n'y changerait rien. Les raisonnement ne seraient pas beaucoup
différents.
> Evidemment. C'est pas un petit peu prétentieux de balayer Woodin d'un
> revers de main en "déduisant" de la banalité précédente que la "vérité"
> de HC est une question de goût personnel ? Prenons un autre exemple : je
> peux "décider" qu'il n'y a pas de fonctions non mesurables (ni de bases
> de Hamel, ni de clôture algébrique du corps des fonctions méromorphes,
> ni ...) Je peux aussi décider d'abandonner l'axiome de l'infini. Mais ne
> cours-je pas le risque de me retrouver un peu seul ?
Peut être. Là n'est pas le problème. Mathématiquement les deux sont
valables. Philosophiquement il y en a peut être une qui semble plus
acceptable, suis semble mieux coïncider avec la réalité. C'est de la
modélisation, comme en physique.
Essayer de capturer la vérité c'est comme essayer de décrire un
phénomène physique : on n'obtient que ce que ce dont nous disposons
actuellement nous permet de déduire.
Tom
Joe Cool
> Joe Cool <zierouhli_@d_free.fr> writes:
>
>
>>>Ajouter des axiomes de grands
>>>cardinaux notamment n'est pas choquant : ce n'est rien d'autre que
>>>rajouter des propriétés à l'infini. L'axiome de l'infini n'est jamais
>>>que le plus petit de ces axiomes il me semble.
>>
>>Il est aussi le premier qui ne sert à rien (le sens du verbe «
>>servir » est laissé à ma discretion). L'arithmétique s'en passe très
>>bien, il n'est pas nécessaire à la construction de systèmes
>>arbitrairement puissants.
>
> Sans l'axiome de l'infini, on ne peut même pas parler de l'ensemble
> des entiers naturels. Alors faire de l'arithmétique. J'ignorais que
> les méthodes de théorie analytique des nombres pouvaient se passer de
> l'analyse (réelle, complexe).
L'arithmétique n'a pas besoin de l'ensemble des entiers, seulement des
entiers eux mêmes. Des théories constructives de l'analyse ont été
développées, dans lesquelles par exemple l'ensemble des réels est «
dénombrable ». Tout ce qui est calculable se contente du dénombrable,
même ZF avec ses ensemble défiant l'imagination se contenterait d'un
modèle dénombrable, signe qu'au delà de la syntaxe et de la
calculabilité il ne subsiste qu'une forme de rêverie bachelardienne de
haut niveau.
>>L'axiome de l'infini, bien que très pratique en apparence, ne fait
>>qu'occulter la nature fine des objets mathématiques étudiés derrière
>>le voile lisse de l'infini. Tout est lissé, sans détail, bien que
>>certains objets soient très compliqués. Ceux qui lui trouve un
>>attrait ludique peuvent s'en délecter à loisir, mais il est inadapté
>>à l'étude des choses réelles car rien d'infini ne nous est
>>accessible en réalité, nous rêvons l'infini, nous imaginons la
>>montagne s'élever sans fin au dessus des nuages nous cachant son
>>sommet.
>
> Ca sent le troll par ici.
Brouwer, Heyting, Bishop, Markov ainsi que tous les autres
constructivistes doivent être ravis de se s'entendre qualifier de «
troll ». Il est temps de vous cultiver un peu ; on vous a proposé de
lire « Constructive Analysis » de Bishop, c'est un bon début.
--
Joe Cool
denis feldmann
denis feldmann
> denis feldmann a écrit :
>
>> Tom a écrit :
>>
>>> Bah voilà : on définit le "vrai" par ce qui nous arrange pour coller
>>> avec ce qu'on veut. C'est tout à fait normal : on ne peut pas faire
>>> autrement.
>>
>>
>> Sauf que 1) "on" est à différencier de "je" : le social fait
>> peut-être ainsi "librement" ; l'individu n'a pas le choix
>
>
> ???
"Je" n'ai pas le choix de définir la vérité. On est tout près de la
différence entre psychose et névrose, là (la psychose, c'est quand on
croit que 2+2=5, la névrose, c'est quand on sait que 2+2=4, mais qu'on
n'aime pas ça)
>
>> 2) "je crois que 2 et 2 sont 4 , Sganarelle, et que 4 et 4 sont 8".
>
>
> Certes...Quoi que...
Quoi que rien du tout. Je peux librement penser que Joe Cool n'existe
pas, et que je communique avec Elisa (version 10.0, bien sûr). Mais je
ne peux pas librement penser que je n'existe pas...
>
>> 3) Des vérités du genre "quand on saute par la fenêtre, on se retrouve
>> (assez vite) par terre" ne sont pas , en général , définies "parce que
>> ça nous arrange" (soyons franc, ça ne nous arrange pas).
>
>
> Mais cela est de la physique.
Qu'en sais-je ? Les gens ne sautaient pas par la fenêtre (par erreur)
avant Galilée, d'ailleurs.
>
>> La plupart des gens, d'ailleurs, préfèreraient que (a+b)^2=a^2+b^2 ; à
>> ce sens, la "vérité", c'est ce truc qui s'obstine à résister au désir
>
>
> (a+b)^2=a^2+b^2 est tout à fait correct sur un corps de caractéristique
> 2. Tout dépend du contexte, du système sous jacent.
Eviedmment, dans les systèmes dont les gens qui pensent que
(a+b)^2=a^2+b^2 ont connaissance...
Les mathématiques on
> un contexte tellement libre que tout y est envisageable, c'est d'ailleur
> pour cela que cet outil est si prolifique en science. Mais cette liberté
> à un prix : l'absence de tout asolu en mathématiques, pas de vérité,
Mais si : la vérité de *si K est un corps de caractéristique =/=2, alors
(a+b)^2=a^2+b^2 => a=0 ou b=0". Peu de place résiduelle pour l'erreur ou
la subjectivité là-dedans...
pas
> de réalité, rien que de la rigueur, des règles et des démonstrations.
> Dépasser cela n'est possible qu'en entrant dans d'autres disciplines,
> partiellement ou complètement, celles-ci guidant et motivant les
> recherches mathématiques dans un but pragmatique, but qui n'a rien de
> mathématique sinon sa formalisation.
>
>> 4) (je peux pas résister) "Je dis toujours la vérité. Toute, non. Cela
>> ne se peut, et c'est par cet impossible que la vérité touche au réel"
>> (Lacan)
>
>
> Re-???
Dommage qu'il soit mort, Lacan ; c'est un peu comme Desproges, il disait
pas que des conneries
Joe Cool
> Bien malin est Woodin. Joe Cool, je n'en suis pas si sûr.
À par ça, est ce que vous avez quelque chose d'intéressant à dire ? Je
ne suis pas fan des arguments ad hominem, surtout quand ils sont si bas.
--
Joe Cool
Joe Cool
> "Je" n'ai pas le choix de définir la vérité. On est tout près de la
> différence entre psychose et névrose, là (la psychose, c'est quand on
> croit que 2+2=5, la névrose, c'est quand on sait que 2+2=4, mais qu'on
> n'aime pas ça)
C'est de la psycho de bistrot.
>>> 2) "je crois que 2 et 2 sont 4 , Sganarelle, et que 4 et 4 sont 8".
>>
>> Certes...Quoi que...
>
>
> Quoi que rien du tout. Je peux librement penser que Joe Cool n'existe
> pas, et que je communique avec Elisa (version 10.0, bien sûr). Mais je
> ne peux pas librement penser que je n'existe pas...
Maintenant le la philo de bistrot.
>>> 3) Des vérités du genre "quand on saute par la fenêtre, on se
>>> retrouve (assez vite) par terre" ne sont pas , en général , définies
>>> "parce que ça nous arrange" (soyons franc, ça ne nous arrange pas).
>>
>> Mais cela est de la physique.
>
> Qu'en sais-je ? Les gens ne sautaient pas par la fenêtre (par erreur)
> avant Galilée, d'ailleurs.
Vous le faites exprès ou quoi ?
>> Les mathématiques on
>> un contexte tellement libre que tout y est envisageable, c'est
>> d'ailleur pour cela que cet outil est si prolifique en science. Mais
>> cette liberté à un prix : l'absence de tout asolu en mathématiques,
>> pas de vérité,
>
> Mais si : la vérité de *si K est un corps de caractéristique =/=2, alors
> (a+b)^2=a^2+b^2 => a=0 ou b=0". Peu de place résiduelle pour l'erreur ou
> la subjectivité là-dedans...
À ce stade, ce n'est plus de la croyance, ça va bien au delà, ça ne
porte même plus de nom.
> Dommage qu'il soit mort, Lacan ; c'est un peu comme Desproges, il disait
> pas que des conneries
Ce que vous écrivez est vraiment inintéressant, je perd mon temps à vous
répondre et vous perdez votre temps à étalez vos certitudes et votre
suffisance.
--
Joe Cool
Philippe Gaucher
>> En l'occurence, on parlait du rôle de l'axiome de l'infini. Essaye de
>> démontrer les théorèmes d'analyse utilisés en théorie analytique des
>> nombres sans recours à l'axiome de l'infini, et donc sans recours aux
>> réels.
>
> Ouvre donc le livre d'Erett Bishop, Constructive Analysis, je pense
> que tu y trouveras tout ce qu'il faut.
>
> D'après toi, peut-on faire ce qu'a fait Euler sans l'axiome de
> l'infini ?
Je ne dis pas que l'axiome de l'infini est tout le temps
indispensable, je dis qu'il est parfois nécessaire, car il est
sous-jacent à la plupart des méthodes en théorie analytique des
nombres, qui font un usage massif du calcul intégral et différentiel,
de l'analyse complexe, des probabilités, de la géométrie et que
sais-je encore. Ce que je raconte crève tellement les yeux que je ne
vois même pas pourquoi c'est un sujet de contestation.
pg.
Joe Cool
Lisez on vous dit au lieu de dire des énormités, elles ne font que
trahir votre ignorance totale du sujet.
--
Joe Cool
Philippe Gaucher
> Brouwer, Heyting, Bishop, Markov ainsi que tous les autres
> constructivistes doivent être ravis de se s'entendre qualifier de «
> troll ». Il est temps de vous cultiver un peu ; on vous a proposé de
> lire « Constructive Analysis » de Bishop, c'est un bon début.
Pauvre chéri... Essayez vous de vous cultiver un peu en math. Ouvrez,
par exemple, un bon livre récent de théorie analytique des nombres.
pg.
denis feldmann
de ce fil)
denis feldmann
> denis feldmann a écrit :
>
>> "Je" n'ai pas le choix de définir la vérité. On est tout près de la
>> différence entre psychose et névrose, là (la psychose, c'est quand on
>> croit que 2+2=5, la névrose, c'est quand on sait que 2+2=4, mais qu'on
>> n'aime pas ça)
>
>
> C'est de la psycho de bistrot.
Vous ne méritez pas mieux... Mais cela dit, c'est un argument très
banal, de dire que la vérité (plus généralement les valeurs) est une
construction sociale (contrainte par le principe de réalité, bien sûr,
quoique... (cf "1984"))
>
>>>> 2) "je crois que 2 et 2 sont 4 , Sganarelle, et que 4 et 4 sont 8".
>>>
>>>
>>> Certes...Quoi que...
>>
>>
>>
>> Quoi que rien du tout. Je peux librement penser que Joe Cool n'existe
>> pas, et que je communique avec Elisa (version 10.0, bien sûr). Mais je
>> ne peux pas librement penser que je n'existe pas...
>
>
> Maintenant le la philo de bistrot.
Descartes, grand buveur devant l'Eternel...
>
>>>> 3) Des vérités du genre "quand on saute par la fenêtre, on se
>>>> retrouve (assez vite) par terre" ne sont pas , en général , définies
>>>> "parce que ça nous arrange" (soyons franc, ça ne nous arrange pas).
>>>
>>>
>>> Mais cela est de la physique.
>>
>>
>> Qu'en sais-je ? Les gens ne sautaient pas par la fenêtre (par erreur)
>> avant Galilée, d'ailleurs.
>
>
> Vous le faites exprès ou quoi ?
Ben oui. Pas vous ? Enervant, hein, de se voir traiter à son niveau...
>
>>> Les mathématiques on un contexte tellement libre que tout y est
>>> envisageable, c'est d'ailleur pour cela que cet outil est si
>>> prolifique en science. Mais cette liberté à un prix : l'absence de
>>> tout asolu en mathématiques, pas de vérité,
>>
>>
>> Mais si : la vérité de *si K est un corps de caractéristique =/=2,
>> alors (a+b)^2=a^2+b^2 => a=0 ou b=0". Peu de place résiduelle pour
>> l'erreur ou la subjectivité là-dedans...
>
>
> À ce stade, ce n'est plus de la croyance, ça va bien au delà, ça ne
> porte même plus de nom.
Curieux, ça. J'aurais juré que la vérité de "en notation décimale
usuelle, 7+5=12" était dure à déconstruire. Vous vous contentez de dire
que c'est "plus innommable" qu'une croyance. Pourquoi ne sui-je pas
aussitôt convaincu ?
>
>> Dommage qu'il soit mort, Lacan ; c'est un peu comme Desproges, il
>> disait pas que des conneries
>
>
> Ce que vous écrivez est vraiment inintéressant, je perd mon temps à vous
> répondre et vous perdez votre temps à étalez vos certitudes et votre
> suffisance.
Mais j'ai tout mon temps, et ma suffisance vaut bien la vôtre.
>
denis feldmann
Je pense que les gens sérieux de ce fil (Babacio, mettons) font
référence au fait qu'on peut parfaitement travailler dans R sans
l'axiome de l'infini. Evidemment, N (et R) deviennent des classes
propres, et des phrases comme card(IR)= card (P(IN)) perdent (presque)
tout leur sens, mais cela n'empêche pas l'analyse, ça la rend seulement
fort malcommode. Je soupçonne de plus que des théorèmes
métamathématiques garantissent plus ou moins qu'on ne perd rien (un peu
comme le fait que toute démonstration dans C peut se réécrire uniquement
dans R)
>
>
Vincent Nesme
mon avis il signifiait juste que C, ce n'est jamais que R² dans le fond,
et que toute propriété sur C peut se traduire comme une propriété des
nombres réels, et se démontrer sans jeter un seul regard à C.
Rien de profond donc, mais on voit le contraste avec N : toute propriété
des nombres réels ne peut pas s'exprimer comme une propriété arithmétique.
Mehdi Tibouchi
>
> OH ! Les mathématiques auraient une sémantique ?
> Tu vas te fâcher avec l'Inquisition Bourbakyste.
Je ne conçois vraiment pas un membre historique de Bourbaki soutenir que
les mathématiques sont un pur jeu formel. En tout cas c'est très loin
d'être ce qui ressort du petit livre de Dieudonné, et de manière générale
ce que je comprends de l'entreprise bourbachique ne va pas dans ce sens.
Après, si effectivement l'Inquisition Bourbakiste est l'ensemble
(disjoint de Bourbaki) des personnes qui ont érigé les Éléments de
Bourbaki en saint des saints des sciences mathématiques, on peut tout
imaginer.
Mehdi Tibouchi
>
> Ils disent que certains théorèmes ne pourront pas être
> prouvés.
Les théorèmes de Gödel disent beaucoup de choses, mais sûrement pas tout
ce qu'on leur fait dire, et encore moins ce que vous écrivez ici.
Un théorème peut toujours être prouvé, parce que c'est exactement la
définition de ce qu'est un théorème.
> En corollaire on peut donc suggérer que la "réalité" ne peut
> pas être complètement et fidèlement être capturée par les mathématiques
> car celle ci est entièrement syntaxique.
N'importe quoi.
Joe Cool
> Joe Cool a écrit :
>
>> denis feldmann a écrit :
>>
>>> "Je" n'ai pas le choix de définir la vérité. On est tout près de
>>> la différence entre psychose et névrose, là (la psychose, c'est
>>> quand on croit que 2+2=5, la névrose, c'est quand on sait que
>>> 2+2=4, mais qu'on n'aime pas ça)
>>
>> C'est de la psycho de bistrot.
>
> Vous ne méritez pas mieux... Mais cela dit, c'est un argument très
> banal, de dire que la vérité (plus généralement les valeurs) est une
> construction sociale (contrainte par le principe de réalité, bien
> sûr, quoique... (cf "1984"))
Qui a dit cela ? Surement pas moi, vu que je rejette en bloc la notion
de vérité *en mathématique*. Évidamment, pour vous, impossible
d'imaginer de se passer de la vérité, je comprend alors pourquoi vous me
prétez ces opinions d'ultra-relativistes.
Dans le cas des mathématiques, la volonté de voir émerger une notion de
vérité transforme systématiquement celle-ci en construction sociale, en
consensus. La définition de la vérité selon Tarsi, que je partage,
présente comme vraie tout énoncé formel dès qu'il se révèle conforme à
l'objet qu'il décrit. Il faut donc qun objet indépendant de la
formalisation alors qu'en maths tout est formalisation. Même les
théories incohérentes sont intéressantes, elles ne sont pas plus «
fausses » qu'une autre tant qu'on n'esaie pas de la plaquer sur une
partie de la réalité. Une théorie sera inadaptée dans un cas et adaptée
dans un autre, alors ou est le « vrai », ou est le « faux » ?
>> À ce stade, ce n'est plus de la croyance, ça va bien au delà, ça ne
>> porte même plus de nom.
>
> Curieux, ça. J'aurais juré que la vérité de "en notation décimale
> usuelle, 7+5=12" était dure à déconstruire. Vous vous contentez de
> dire que c'est "plus innommable" qu'une croyance. Pourquoi ne sui-je
> pas aussitôt convaincu ?
Autant convaincre un catholique que Dieu est illusion, lui qui le sent
au fond de son petit coeur de beurre.
--
Joe Cool
denis feldmann
> denis feldmann a écrit :
>
>> Joe Cool a écrit :
>>
>>> denis feldmann a écrit :
>>>
>>>> "Je" n'ai pas le choix de définir la vérité. On est tout près de
>>>> la différence entre psychose et névrose, là (la psychose, c'est
>>>> quand on croit que 2+2=5, la névrose, c'est quand on sait que
>>>> 2+2=4, mais qu'on n'aime pas ça)
>>>
>>>
>>> C'est de la psycho de bistrot.
>>
>>
>> Vous ne méritez pas mieux... Mais cela dit, c'est un argument très
>> banal, de dire que la vérité (plus généralement les valeurs) est une
>> construction sociale (contrainte par le principe de réalité, bien
>> sûr, quoique... (cf "1984"))
>
>
> Qui a dit cela ? Surement pas moi, vu que je rejette en bloc la notion
> de vérité *en mathématique*. Évidamment, pour vous, impossible
> d'imaginer de se passer de la vérité, je comprend alors pourquoi vous me
> prétez ces opinions d'ultra-relativistes.
Ben non, c'est au contraire que la question est sans intérêt *en
mathématique*, vu qu'on n'y produit que du vrai par définition. Quand je
démontre, mettons, que tout polynôme a une racine complexe, la question
de savoir si ça pourrait être faux ne me préoccuppe guère...
>
> Dans le cas des mathématiques, la volonté de voir émerger une notion de
> vérité transforme systématiquement celle-ci en construction sociale, en
> consensus.
C'est pas ce que je disais une ligne plus haut ?
La définition de la vérité selon Tarsi, que je partage,
Tarski?
Bon, et alors, on s'en fout un peu, de savoir sa définition (ou la
vôtre). Y'a guère, j'aurais juré qu'il s'agissait de la définition de
"chaussette"
> présente comme vraie tout énoncé formel dès qu'il se révèle conforme à
> l'objet qu'il décrit.
C'est une cns ? Et puis même. C'est quoi, conforme ? Dire qu'un énoncé
formel genre E=mc^2 est vrai, ça veut dire quoi ?
Il faut donc qun objet indépendant de la
> formalisation alors qu'en maths tout est formalisation.
Mais non, justement. En tout cas, ce n'est pas ce que croient les
mathématiciens. Alors pourquoi leur prêter des pratiques d'ordinateurs ?
Même les
> théories incohérentes sont intéressantes,
Pour qui, au non du ciel? Qui cela intéresse-t-il? Même dans des
logiques si faibles que (A et non A) =>B n'est pas un théorème, personne
ne s'amuse vraiment à tirer des conséquences de 5+7=13...
elles ne sont pas plus «
> fausses » qu'une autre tant qu'on n'esaie pas de la plaquer sur une
> partie de la réalité. Une théorie sera inadaptée dans un cas et adaptée
> dans un autre, alors ou est le « vrai », ou est le « faux » ?
A cela,je sens que je vais faire la réponse appropriée, celle du Christ
(Jean,18:37)
>
>>> À ce stade, ce n'est plus de la croyance, ça va bien au delà, ça ne
>>> porte même plus de nom.
>>
>>
>> Curieux, ça. J'aurais juré que la vérité de "en notation décimale
>> usuelle, 7+5=12" était dure à déconstruire. Vous vous contentez de
>> dire que c'est "plus innommable" qu'une croyance. Pourquoi ne sui-je
>> pas aussitôt convaincu ?
>
>
> Autant convaincre un catholique que Dieu est illusion, lui qui le sent
> au fond de son petit coeur de beurre.
C'est toujours très peu convainquant... Comment déconstruit-on "le
postulat d'Euclide (et les autres axiomes de la géométrie plane)
implique que la somme des angles d'un triangle vaut pi"? Dieu peut-il
déterminer un sixième polyèdre régulier dans l'espace euclidien usuel ? ...
>
Joe Cool
>>
>>
>>>>Ouvre donc le livre d'Erett Bishop, Constructive Analysis, je pense
>>>>que tu y trouveras tout ce qu'il faut.
>>>>
>>>>D'après toi, peut-on faire ce qu'a fait Euler sans l'axiome de
>>>>l'infini ?
>>>
>>>Je ne dis pas que l'axiome de l'infini est tout le temps
>>>indispensable, je dis qu'il est parfois nécessaire, car il est
>>>sous-jacent à la plupart des méthodes en théorie analytique des
>>>nombres, qui font un usage massif du calcul intégral et différentiel,
>>>de l'analyse complexe, des probabilités, de la géométrie et que
>>>sais-je encore. Ce que je raconte crève tellement les yeux que je ne
>>>vois même pas pourquoi c'est un sujet de contestation.
>>
>>pour ça qu'on peut rien faire sans. As-tu déjà jeté un oeil sur le
>>bouquin de Bishop ?
>
> Sur ce bouquin là non. Mais sur des livres de maths effective
> oui. Comment fait-on de l'analyse fonctionnelle sans l'axiome de
> l'infini par exemple si on ne peut pas parler de l'ensemble des réels
> ?
En arithmétique du premier ordre, si elle était pertinente, la fonction
caractéristique de l'ensemble des entiers naturels serait la fonction
constante qui prend un entier en paramètre et renvoie 1 : pas très
intéressant. Mais les entiers sont d'une telle puissance qu'ils sont
capable de codé tous les objet que l'Humanité a connu, connait et
connaitra. On se demande alors pourquoi s'embarasser d'autre chose.
Dans analyse constructive de Markov (Andrej, le fils d'Andreï), la
construction des nombres réels - pas de l'ensemble - se base sur les
suites de Cauchy : un réel est un coupe de deux fonction calculables :
- la première génère la suite des rationnels dont, au sens classique, la
limite est identifié au nombre réel ;
- la seconde est un module de convergence : elle garantit que la suite
de rationnels converge.
Ainsi, au sens classique, l'ensemble des réels est dénombrable, donc en
bijection avec l'ensemble des entiers naturels. La manipulation des
réels s'effectue en manipulant des entiers codant des couples
d'algorithmes de Markov (le modèle des algos de Markov est
Turing-complet). Bien sûr, les propriétés classiques des réels se
transforment :
- les changements de bases ne sont plus tout possibles : certains sont
non calculables, c'est pourquoi les rationnels ne sont pas codés sous
forme de suite de digits ;
- l'égalité entre deux réels est indécidable ;
- la notion de limite subsiste, ce qui autorise l'étude de la topologie
de la droite réelles, mais les limites n'existent qu'accompagnées d'un
module de convergence calculable, et les rationnels restentent denses
dans les réels ;
- une fonction continue au sens classique devient une fonction
discontinue dont chaque point de discontinuité est non-claculable.
Le domaine est très vaste et a demandé un énorme travail : toute
l'analyse a été reconstruite sur cette base (en russe s'il vous plait).
Une des applications de l'analyse de Markov est le calcul exact sur les
réels en informatique.
Les choix de Markov sont contestés par les constructivistes stricts, car
il utilise une calculabilité équivalente à celle de Turing, qui est
une approche classique de la calculabilité : elle requiert le tiers
exclu. Bishop part d'un système totalement constructif : la
calculabilité des fonctions y est alors implicite car concomitante à la
cohérence du système. Il part également de la notion de suite de Cauchy,
reconstruit la topologie, le calcul différentiel, la théorie de la
mesure, l'analyse complexe, etc. Les ensembles n'y sont pas des objets
de base : les entiers et les fonctions d'ordres supérieurs en sont les
objets de base. Comme tout y est implicitement calculable, tout y est
codé à l'aide de ces briques de base. L'intéret est toujours le même en
constructivisme : on peut exhiber tout ce dont on peut prouver
l'existence, mais ce n'est pas tout : le constructivisme oblige le
mathématicien à contourner le tiers exclu, qui s'est révélé être une
sorte de « gouffre » aspirant la compexité des objets étudiés, et ce
faisant il accède à une description incomparablement plus fine de leurs
propriétés mathématiques. On comprend alors la nature intrinsèque -
algorithmique - du bestiaire mathématique. Les systèmes constructifs ont
peut-être un axiome en moins, mais ils y gagnent des propriétés en plus
qui sont qualitativement déterminantes.
--
Joe Cool
Joe Cool
> Joe Cool a écrit :
>> au fond de son petit coeur de beurre.
>
> C'est toujours très peu convainquant... Comment déconstruit-on "le
> postulat d'Euclide (et les autres axiomes de la géométrie plane)
> implique que la somme des angles d'un triangle vaut pi"? Dieu peut-il
> déterminer un sixième polyèdre régulier dans l'espace euclidien usuel ? ...
On a cru pendant des milliers d'années que l'espace était plat et que
deux parallèles ne se coupaient jamais... À quoi tient cette « vérité »
? Combien de millénaire faudra-t-il encore attendre pour que les vues
antédiluviennes qui sont les votres disparaissent enfin ? Je prend vos
affirmation simplites comme un affront à trois mille ans de
mathématiques et comme un aveu d'ignorance des progrès de ces cent
dernières années.
--
Joe Cool
denis feldmann
> denis feldmann a écrit :
>
>> Joe Cool a écrit :
>>
>>> Autant convaincre un catholique que Dieu est illusion, lui qui le sent
>>> au fond de son petit coeur de beurre.
>>
>>
>> C'est toujours très peu convainquant... Comment déconstruit-on "le
>> postulat d'Euclide (et les autres axiomes de la géométrie plane)
>> implique que la somme des angles d'un triangle vaut pi"? Dieu peut-il
>> déterminer un sixième polyèdre régulier dans l'espace euclidien usuel
>> ? ...
>
>
> On a cru pendant des milliers d'années que l'espace était plat et que
> deux parallèles ne se coupaient jamais...
Mais les implications qu'on en a tiré restent "vraies", elles. Si tu
lisais mes phrases, au lieu de lire ce qui t'arrange...
À quoi tient cette « vérité »
> ?
Personne n'a jamis pensé qu'il s'agissait d'une vérité mathématique. Et
je croyais qu'on parlait de ça.
Combien de millénaire faudra-t-il encore attendre pour que les vues
> antédiluviennes qui sont les votres disparaissent enfin ?
Peu de chance que ce nombre soit petit, mon bon, vu qu'elles
construisent les ponts que tu traverses et les bateaux qui flottent
dessous. Faudrait d'ailleurs se demander par quel miracle, si la
géométrie euclidienne est une vue de l'esprit, elle voit si bien ce
qu'il y a a voir. Thom racontait tout ça très bien, jadis...
Je prend vos
> affirmation simplites comme un affront à trois mille ans de
> mathématiques
Parce que tes trolls n'affrontent rien, eux ?
et comme un aveu d'ignorance des progrès de ces cent
> dernières années.
Oui, on a déjà joué au petit jeu de "j'en ai une plus grosse".
L'anonymat rend ces affirmations de matamore un peu dérisoire...
>
Philippe Gaucher
> Ainsi, au sens classique, l'ensemble des réels est dénombrable, donc
> en bijection avec l'ensemble des entiers naturels.
Si on ne peut plus parler de l'ensemble des réels ni des entiers
naturels, je ne vois pas comment on peut dire que l'ensemble des réels
est dénombrable.
> Les ensembles n'y sont pas des objets de base : les entiers et les
> fonctions d'ordres supérieurs en sont les objets de base. Comme
> tout y est implicitement calculable, tout y est codé à l'aide de ces
> briques de base. L'intéret est toujours le même en constructivisme :
> on peut exhiber tout ce dont on peut prouver l'existence,
Et il y a aussi une notion de vérité mathématique derrière. Est vrai
ce qui est constructible. Ces théories sont sûrement de formidables
usines à fabriquer des algorithmes. J'espère qu'ils sont efficaces
(puisqu'on est dans les côtés concrets et pratiques).
pg.
Mehdi Tibouchi
>
> On comprend alors la nature intrinsèque - algorithmique - du bestiaire
> mathématique.
aux mathématiciens qui parlent de la nature des objets qu'ils utilisent,
ça ne fait pas très sérieux de se lancer dans le même genre de
déclarations ontologiques l'instant d'après.
Mais bon, on a compris que vous n'étiez pas à une contradiction près
(d'ailleurs les théories contradictoires ne sont pas moins intéressantes
que les autres, c'est bien ça ?).
Joe Cool
> Peu de chance que ce nombre soit petit, mon bon, vu qu'elles
> construisent les ponts que tu traverses et les bateaux qui flottent
> dessous. Faudrait d'ailleurs se demander par quel miracle, si la
> géométrie euclidienne est une vue de l'esprit, elle voit si bien ce
> qu'il y a a voir. Thom racontait tout ça très bien, jadis...
C'est de la physique ! Il n'y a rien d'étonnant à ce que les
mathématiques expliquent si bien la nature quand on les utilisent en
physiques puisqu'elles contiennent à l'état latent toutes les
explications possibles. C'est d'ailleurs pour cela qu'il n'y a pas de
vérité mathématique puisque d'un certain point de vue, elle contient
toute vérité possible et impossible.
--
Joe Cool
Joe Cool
> Joe Cool wrote in message <43286a49$0$22116$636a...@news.free.fr>:
>
>>On comprend alors la nature intrinsèque - algorithmique - du bestiaire
>>mathématique.
>
> Alors là je suis mort de rire. Quand on intente des procès en sorcellerie
> aux mathématiciens qui parlent de la nature des objets qu'ils utilisent,
> ça ne fait pas très sérieux de se lancer dans le même genre de
> déclarations ontologiques l'instant d'après.
Ce n'est pas pour rien que j'ai précisé assez lourdement qu'il s'agit de
la nature *algorithmique* de l'obet mathématique, c'est à dire ce qu'il
devient quand il représente une abstraction de la *réalité*.
Je me répète mais tant pis, puisque vous n'avez toujours pas compris :le
constructivisme donne un *sens* à ce qui n'en a pas : la *formule*.
> Mais bon, on a compris que vous n'étiez pas à une contradiction près
> (d'ailleurs les théories contradictoires ne sont pas moins intéressantes
> que les autres, c'est bien ça ?).
Bla bla bla.
revenez quand vous aurez *lu* puis *compris* ce qu'on vous écrit.
--
Joe Cool
Joe Cool
> Joe Cool <zierouhli_@d_free.fr> writes:
>
>
>>Ainsi, au sens classique, l'ensemble des réels est dénombrable, donc
>>en bijection avec l'ensemble des entiers naturels.
>
>
> Si on ne peut plus parler de l'ensemble des réels ni des entiers
> naturels, je ne vois pas comment on peut dire que l'ensemble des réels
> est dénombrable.
Au sens classique, c'est une comparaison avec l'analyse tel qu'on a
l'habitude de l'aborder. Il n'y a aucune notion de dénombrabilité à
l'intérieur du système.
>>Les ensembles n'y sont pas des objets de base : les entiers et les
>>fonctions d'ordres supérieurs en sont les objets de base. Comme
>>tout y est implicitement calculable, tout y est codé à l'aide de ces
>>briques de base. L'intéret est toujours le même en constructivisme :
>>on peut exhiber tout ce dont on peut prouver l'existence,
>
> Et il y a aussi une notion de vérité mathématique derrière. Est vrai
> ce qui est constructible.
Rien à voir avec la vérité : existe ce qui est constructible. Mais ceci
n'est pas une considération mathématique. Je voulais juste présenter
succintement des analyses qui se passent des axiomes non constructifs
(infini, tiers exclu) sans sacrifier l'expressivité, au contraire.
> Ces théories sont sûrement de formidables
> usines à fabriquer des algorithmes. J'espère qu'ils sont efficaces
> (puisqu'on est dans les côtés concrets et pratiques).
Il le sont, mais les gens qui s'en occupent sont si rares. Quand on
pense qu'une poignée de chercheurs on rebâtit toutes les mathématiques
là ou des millions se contentent des théories classiques... Heureusement
que l'informatique apporte du sang neuf à la discipline.
--
Joe Cool
Herve Chappe
> Herve Chappe a écrit :
>
>> Bonjour,
>> Je suis en train d'essayer de comprendre quelque chose à l'euvre de
>> Gödel (pas facile quand on a fait une école d'ingénieurs :-) et je
>> butte sur un point de définition. En très gros, Gödel a montré que
>> dans tout système logique permettant de générer l'arithmétique des
>> entiers, il existe au moins une proposition qui soit vraie mais qui ne
>> soit pas démontrable à l'intérieur du système. C'est là que je butte :
>> que signifie "être vraie" dans ce contexte ? Tous les textes non
>> mathématiques qui essayent d'expliquer les théorèmes de Gödel aux
>> profanes éludent soigneusement cette question, et ça m'agaçe :-)
>
>
> ...et c'est normal. Aborder les théorèmes d'incomplétude de Gödel avec
> des notions de vérité est une très mauvaise chose, non pas que ce soit
> incorrect, mais ça occulte toute la richesse de ces résultats, et ça
> induit en erreur le non spécialiste. Les résultats de Gödel se passent
> très bien de la sémantique (le vrai, le faux, tout ça).
>
> Un indécidable est une formule ni prouvable, ni réfutable.
>
> On se place dans une théorie récursivement énumérable (si une formule
> est un axiome, on finit toujours par le savoir).
>
> Le premier théorème d'incompléture dit ceci : la théorie est cohérente
> si et seulement si il existe un indécidable.
>
> Le second théorème : la formule affirmant la cohérence de la théorie est
> un indécidable.
>
> Ainsi ces théorèmes nous montre qu'aucune théorie ne se suffit à elle
> même, qu'il existe toujours une théorie strictement plus puissante qui
> permet de traiter les cas indécidables.
>
> Il nous montre aussi qu'on ne peut plus démonter quoi que ce soit sans
> bien faire attention à la théorie dans laquelle on effectue la preuve.
> Si on effectue la preuve d'un des théorème d'incomplétude de
> l'arithmétique dans l'arithmétique, tout va bien. Mais si on la mène
> dans un sur-système strict de l'arithmétique, selon le cas,
> l'indécidable sera soit prouvable, soit réfutable : le mélange de la
> théorie avec la métathéorie mène à ce genre de paradoxe malsain qui veut
> qu'un indécidable soit « vrai » et non prouvable, et qu'il soit pour les
> mêmes raisons « faux » et non prouvable. C'est ce qui arrive quand on
> travaille dans la métathéorie en se croyant toujours dans la théorie de
> départ.
>
> Intuitivement, les théorèmes d'incomplétude de Gödel illustrent le fait
> qu'il n'y a pas de théorie absolue (la hiérarchie des théorie s'élève
> sans fin vers toujours plus d'expressivité et de complexité), et
> accessoirement que le principe du tiers exclu est dénué de sens. Mais là
> on n'est déjà plus dans le domaine des maths : dès qu'on dépasse le côté
> purement formel du résultat et qu'on veut lui donner une signification,
> le vocable mathématique usuel se casse la figure ; fr.sci.philo devient
> alors un forum plus approprié pour discuter de Gödel.
>
Là, c'est beaucoup plus clair, même pour le non-spécialiste que je
suis... Merci !
Herve Chappe
> Herve Chappe <herve....@laposte.net> wrote:
>
>>Justement, les textes que j'ai lus font bien la distinction entre ce que
>>vous dites, que je comprends et qui serait le premier résultat de Gödel,
>>et ce que je dis mais que je ne comprends pas completement et qui serait
>>un second résultat de Gödel, un résultat qu'on peut résumer en termes
>>philosophiques par "ce qui est vrai est plus étendu que que qui est
>>prouvable", et c'est là que je coince...
>
>
> Je te conseille
> "Le livre qui rend fou" de R. Smullyan
> qui a précisément pour but d'expliquer de manière abordable ce théorème.
>
> Merci du conseil... C'est la couv avec le type qui a un bouquin ouvert sur la tete ?
Mehdi Tibouchi
>
> Ce n'est pas pour rien que j'ai précisé assez lourdement qu'il s'agit de
> la nature *algorithmique* de l'obet mathématique, c'est à dire ce qu'il
> devient quand il représente une abstraction de la *réalité*.
>
> Je me répète mais tant pis, puisque vous n'avez toujours pas compris :le
> constructivisme donne un *sens* à ce qui n'en a pas : la *formule*.
Vous prêchez avec conviction et persévérance, on l'a vu, mais je ne suis
pas sûr que ce soit la meilleure façon de propager votre religion.
D'ailleurs, vous allez rire, les mathématiques constructives sont un truc
qui, dans certains domaines restreints (la géométrie algébrique et la
topologie algébrique, notamment), m'intéressent assez. Mais qu'au milieu
de tissus d'inepties et de théorie du complot, on m'explique comment je
*dois* voir les mathématiques, ça ne m'intéresse pas du tout, désolé.
EOT pour ce qui me concerne.
Mehdi Tibouchi
>
> Là, c'est beaucoup plus clair, même pour le non-spécialiste que je
> suis... Merci !
Au cas où vous ne vous en seriez pas rendu compte dans le reste du
thread, c'est surtout un discours fortement connoté philosophiquement,
voire idéologiquement (on peut vraiment dire ça de quelqu'un qui prétend
que Gödel montre que le tiers exclu n'a pas de sens !). Il faut faire la
part des choses justes et de la doxosophie, là-dedans.
Tom
> Les vôtres, c'est sûr, volent à la bonne hauteur (voir les autres posts
> de ce fil)
Tiens on tombe sur les "c'est celui qui le dit qui l'est".
:-)
Tom
Joe Cool
Vous devenez paranoïaque, je n'ai jamais forcé personne. Quand à la
religion, vu le platonicisme ambient, vous êtes le premier à y être
jusqu'au cou, avec votre « vérité », votre « réalité transcendante » où
les objets mathématiques « vivent ».
Et puis un gars vient, fait un peu de tri dans tous ce fatras
idéologique, et vous criez à l'hérétisme, vous appelez à l'aide les
papes de la discipline, citez les textes sacrés, accumulez les banalités
avec vos potes de cathéchisme qui crient au « troll » dès qu'un sujet
défiant leur foi les dépasse un peu...
Je n'ai jamais vu autant de mauvaise foi. Pourtant j'ai exposé une
attitude qui concilie sans violence le formalisme à la Hilbert et
l'intuitionnisme à la Brouwer. Mais qu'est ce qu'il vous faut de plus ?
Un serment d'allégeance à l'orthodoxie ?
--
Joe Cool
Tom
> Vous ne méritez pas mieux... Mais cela dit, c'est un argument très
> banal, de dire que la vérité (plus généralement les valeurs) est une
> construction sociale (contrainte par le principe de réalité, bien sûr,
> quoique... (cf "1984"))
Avec le coup du 2+2=4 et 2+2=5 on avait compris.
Mais vous est-il venu à l'esprit que le symbole + peut se référer à une
autre opération que l'addition usuelle ? Et en ce sens il peut très bien
y avoir 2+2=5. Mathématiquement ça ne pose strictement aucun problème.
> Descartes, grand buveur devant l'Eternel...
Citer (complètement ou partiellement) Descartes ne fait pas de vous un
Descartes.
> Ben oui. Pas vous ? Enervant, hein, de se voir traiter à son niveau...
La récré est finie.
> Curieux, ça. J'aurais juré que la vérité de "en notation décimale
> usuelle, 7+5=12" était dure à déconstruire. Vous vous contentez de dire
> que c'est "plus innommable" qu'une croyance. Pourquoi ne sui-je pas
> aussitôt convaincu ?
Pourquoi ne pourrait-on pas avoir 7+5=42 ?
D'ailleurs il y a la vieille vanne de l'informaticien :
#include <stdio.h>
#define SIX 1 + 5
#define NINE 8 + 1
int main(void)
{
printf( "What do you get if you multiply %d by %d? %d\n", SIX, NINE,
SIX * NINE );
return 0;
}
Tom
Tom
> Je voudrais bien savoir qui est Joe Cool. Mais pour moi, pas de
> doute : c'est quelqu'un qui sait beaucoup mieux de quoi il parle que
> beaucoup de gens ici. Ceci dit, son ton provocateur voire insultant
> n'est pas très apréciable.
Moi ça m'attriste d'une part que son ton est effectivement provocateur
voire insultant, et d'autre part que certains se limite à cet aspect de
ce qu'il raconte.
Tom
Tom
> Au cas où vous ne vous en seriez pas rendu compte dans le reste du
> thread, c'est surtout un discours fortement connoté philosophiquement,
> voire idéologiquement (on peut vraiment dire ça de quelqu'un qui prétend
> que Gödel montre que le tiers exclu n'a pas de sens !). Il faut faire la
> part des choses justes et de la doxosophie, là-dedans.
La jalousie étalée en 5 lignes.
Tom
Tom
> Les théorèmes de Gödel disent beaucoup de choses, mais sûrement pas tout
> ce qu'on leur fait dire, et encore moins ce que vous écrivez ici.
>
> Un théorème peut toujours être prouvé, parce que c'est exactement la
> définition de ce qu'est un théorème.
Je me plaçais dans le contexte d'un système donné. Tout système a des
indécidables. Mais bien évidament il y a toujours un système dans lequel
le théorème est prouvable. Le plus simple étant celui où le théorème est
un axiome naturellement.
> N'importe quoi.
Pourquoi ?
Tom