Approximation
Jean
Je suis confronté à un petit souci mathématique, j'ai évalué une probabilité
(barbare, il est vrai) de la forme suivante:
p(A) = y! / (y^k * (y - k)!) * (1 - k * (k - 1) / (2 * (y - k + 1))) sachant
que k et y sont a priori très grands et k < y.
Je cherche à trouver pour quelles valeurs de k en fonction de y on a p(A) >
t, t étant un certain seuil, par exemple t = 0,5
Existe-t'il un développement ou une approximation qui pourrait m'aider dans
mon cas?
En minorant et majorant k par certaines valeurs fonction de y par exemple?
Merci pour votre aide éventuelle.
Jean
Patrick Coilland
> Je suis confronté à un petit souci mathématique, j'ai évalué une
probabilité
> (barbare, il est vrai) de la forme suivante:
> p(A) = y! / (y^k * (y - k)!) * (1 - k * (k - 1) / (2 * (y - k + 1)))
sachant
> que k et y sont a priori très grands et k < y.
>
> Je cherche à trouver pour quelles valeurs de k en fonction de y on a
p(A) >
> t, t étant un certain seuil, par exemple t = 0,5
>
utilisant Taylor):
D'abord noter que, si le dernier facteur est>0, on a k < racine(2y+2)
p(A)= (1-1/y)(1-2/y)...(1-(k-2)/y)*(1-k(k+1)/2y +1/y)
Ln(p(A))=Ln(1-1/y) + Ln(1-2/y) + ... + Ln(1-(k-2)/y) + Ln(1 - k(k+1)/2y
+1/y)
On a Ln(1-x) = -x - (1/(1-ax))*x^2/2 avec a entre 0 et 1 (Taylor)
Dans notre cas 0< x < k/y . ==> |1/(1-ax)| < 1/(1-k/y)
Donc :
Ln(1-i/y) = -i/y + i^2/(2y^2) e(1/(1-k/y)) où e(a) signifie "une
certaine valeur v avec |v|<|a|
Donc
Ln(p(A)) = -S1/y +S2/(2y^2) e(1/(1-k/y)) + Ln(1-k(k+1)/2y +1/y)
où S1 = 1 + 2 + ... (k-2) = (k-2)(k-1)/2
et S2 = 1^2+2^2+ ... +(k-2)^2 de l'ordre de k^3/6
Dans l'expression ci-dessus, le deuxième terme est de l'ordre de k^3/y^2
(car k/y est voisin de 0, puisque k<racine(2y+2). Or k<racine(2y+2)
entraîne aussi k^3/y^2 < 4/k très petit.
Le premier terme, quant à lui, est de l'ordre de k^2/y
Donc, si k^2/y est voisin de 0, tous les termes de cette somme sont
voisins de 0 et p(A) est voisin de 1
D'où ce qui me paraît être la conclusion :
Pour que p(A) = t différent de 1, il faut donc absolument :
k de l'ordre de x y^2
avec x racine de :
-x/2 + Ln(1-x/2) = Ln(t)
Patrick Coilland
>
> Pour que p(A) = t différent de 1, il faut donc absolument :
>
> k de l'ordre de x y^2
Lire k de l'ordre de racine( x*y) bien sûr
******************************
Jean
"Patrick Coilland" <pas-spam....@pas-spam.pcc.fr> a écrit dans le
message de news: b3i3fu$q0j$1...@news-reader11.wanadoo.fr...
> >
> > Je suis confronté à un petit souci mathématique, j'ai évalué une
> probabilité
> > (barbare, il est vrai) de la forme suivante:
> > p(A) = y! / (y^k * (y - k)!) * (1 - k * (k - 1) / (2 * (y - k + 1)))
> sachant
> > que k et y sont a priori très grands et k < y.
> >
> > Je cherche à trouver pour quelles valeurs de k en fonction de y on a
> p(A) >
> > t, t étant un certain seuil, par exemple t = 0,5
> >
> Une approche possible (je te laisse mettre en place la rigueur en
> utilisant Taylor):
>
> D'abord noter que, si le dernier facteur est>0, on a k < racine(2y+2)
>
> p(A)= (1-1/y)(1-2/y)...(1-(k-2)/y)*(1-k(k+1)/2y +1/y)
Je suis entièrement d'accord que p(A) = (1-1/y)(1-2/y)...(1-(k-1)/y)*(1 - k
* (k - 1) / (2 * (y - k + 1)))
Mais je n'ai pas de terme 1 - (k - 2) / y.... Même en essayant de simplifier
le facteur à l'extrême droite de l'équation...
ça ne change pas énormément de choses cependant pour la suite je pense (je
ne suis pas encore allé jusqu'au bout de ta démonstration)
Merci en tout cas
Jean
Patrick Coilland
> > p(A)= (1-1/y)(1-2/y)...(1-(k-2)/y)*(1-k(k+1)/2y +1/y)
>
> Je suis entièrement d'accord que p(A) =
(1-1/y)(1-2/y)...(1-(k-1)/y)*(1 - k
> * (k - 1) / (2 * (y - k + 1)))
> Mais je n'ai pas de terme 1 - (k - 2) / y.... Même en essayant de
simplifier
> le facteur à l'extrême droite de l'équation...
Le facteur (1-(k-2)/y) précède le facteur (1-(k-1)/y) dans le produit.
En fait, le dernier facteur à l'extrême droite s'écrit :
1-k(k-1)/(2y-2k+2), soit encore (2y-2k+2-k^2+k)/(2y-2k+2), soit encore
(2y-k(k+1)+2)/(2y-2k+2), soit (y-k(k+1)/2+1)/(y-(k-1)), soit enfin :
(1 - k(k+1)/(2y) + 1/y) / (1 - (k-1)/y)
C'est de dénominateur qui compense le dernier facteur du produit de
gauche et limite ce dernier à son pénultième facteur, soit (1 - (k-2)/y)
> ça ne change pas énormément de choses cependant pour la suite je pense
Je suis assez d'accord
Didier Lauwaert
> Bonsoir,
>
> Je suis confronté à un petit souci mathématique, j'ai évalué une probabilité
> (barbare, il est vrai) de la forme suivante:
> p(A) = y! / (y^k * (y - k)!) * (1 - k * (k - 1) / (2 * (y - k + 1))) sachant
> que k et y sont a priori très grands et k < y.
>
> Je cherche à trouver pour quelles valeurs de k en fonction de y on a p(A) >
> t, t étant un certain seuil, par exemple t = 0,5
>
> Existe-t'il un développement ou une approximation qui pourrait m'aider dans
> mon cas?
Deux possibilités :
- Développer les factorielles avec Stirling puis simplifier
- Résoudre numériquement sur ordi