x = exp(-x)
Jean-Christophe
Comment résoudre une équation du genre
exp(x) = 1 / x
Je recherche plus une méthode de résolution
générale plutot que la valeur numérique de x.
( et je n'arrive à rien )
D'avance, merci.
Benoit RIVET
A part des méthodes numériques, il n'y a pas plus de méthode de
résolution générale pour l'équation que tu proposes qu'il n'y a de
méthode générale pour résoudre l'équation
x^2 = 3
--
Benoît RIVET
Cid36
> Jean-Christophe<5...@free.fr> wrote:
>
>> Bonjour,
>>
>> Comment résoudre une équation du genre
>>
>> exp(x) = 1 / x
>>
>> Je recherche plus une méthode de résolution
>> générale plutot que la valeur numérique de x.
>> ( et je n'arrive à rien )
>Utilisez la fonction W de Lambert:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_W_de_Lambert
et regardez W(1)
Amicalement
Benoit RIVET
Lisons donc : W(y) est l'unique réel x tel que x.exp(x)=y.
Au fond, vous ne faites que renvoyer Jean-Christophe à sa question :
l'équation x.exp(x)=1 a pour solution l'unique solution de l'équation
x.exp(x)=1.
Le voilà bien avancé.
--
Benoît RIVET
Samuel DEVULDER
> Au fond, vous ne faites que renvoyer Jean-Christophe à sa question :
> l'équation x.exp(x)=1 a pour solution l'unique solution de l'équation
> x.exp(x)=1.
>
> Le voilà bien avancé.
(Je m'incruste 5mins) Tout dépend de ce qu'on appelle "résoudre"?
Ce que tu reproches à W c'est que c'est une définition implicite qui ne
s'exprime pas à partir d'autre fonctions connues? Ben non. C'est comme
ca. D'ailleurs c'est quoi une fonction connue au juste? Une fonction
n'est pas forcément définie par un algo ou une procédure qui permette de
trouver le y correspondant à un x donné. Dans le fond qu'est ce qui est
le plus "vrai": la définition de sin sur le cercle trigo, sa définition
a base de série convergente, le fait de dire que c'est la seule solution
du système différentiel sin"+sin=0 vérifiant sin'(0)=1?
L'utilisation de la fonction W() est la bonne façon de faire. Cette
fonction peut sembler avoir une définition ad-hoc pour régler les
problèmes d'exponentielle, mais pourtant elle existe et on peut la
manipuler ou l'approximer. Elle est aussi réelle que sin dont on
pourrait aussi se demander si son introduction n'est pas non plus ad-hoc
pour résoudre les système différentiels du type x"+x=0.
Par ailleurs j'aime bien cette fonction W car elle permet de mettre en
équation le problème Z^z^z...
sam (Zut je me suis endormi ZZZzzz...)
Jean-Christophe
com> wrote:
> Benoit RIVET a écrit :
>
> > Au fond, vous ne faites que renvoyer Jean-Christophe à sa question :
> > l'équation x.exp(x)=1 a pour solution l'unique solution de l'équation
> > x.exp(x)=1.
>
> > Le voilà bien avancé.
>
> (Je m'incruste 5mins) Tout dépend de ce qu'on appelle "résoudre"?
>
> Ce que tu reproches à W c'est que c'est une définition implicite qui ne
> s'exprime pas à partir d'autre fonctions connues? Ben non. C'est comme
> ca. D'ailleurs c'est quoi une fonction connue au juste? Une fonction
> n'est pas forcément définie par un algo ou une procédure qui permette de
> trouver le y correspondant à un x donné. Dans le fond qu'est ce qui est
> le plus "vrai": la définition de sin sur le cercle trigo, sa définition
> a base de série convergente, le fait de dire que c'est la seule solution
> du système différentiel sin"+sin=0 vérifiant sin'(0)=1?
>
> L'utilisation de la fonction W() est la bonne façon de faire. Cette
> fonction peut sembler avoir une définition ad-hoc pour régler les
> problèmes d'exponentielle, mais pourtant elle existe et on peut la
> manipuler ou l'approximer. Elle est aussi réelle que sin dont on
> pourrait aussi se demander si son introduction n'est pas non plus ad-hoc
> pour résoudre les système différentiels du type x"+x=0.
Ok, je vois que x = exp(-x) = 0,5671432904 …
Mais je ne m'attendais pas à ce qu'il n'existe pas
de méthode générique pour résoudre exp(x) = 1/x
[ intersection de y=exp(x) et y=1/x ]
Merci à tous.
Benoit RIVET
> Benoit RIVET a écrit :
>
> > Au fond, vous ne faites que renvoyer Jean-Christophe à sa question :
> > l'équation x.exp(x)=1 a pour solution l'unique solution de l'équation
> > x.exp(x)=1.
> >
> > Le voilà bien avancé.
>
> (Je m'incruste 5mins) Tout dépend de ce qu'on appelle "résoudre"?
Si on relit la question, Jean-Christophe explique qu'il recherche plus
une méthode de résolution générale plutot que la valeur numérique de x.
Dans le cas qui nous intéresse, à part invoquer le théorème de la
bijection (une fonction continue, strictement monotone sur une
intervalle I définit une bijection de I sur l'intervalle image), je ne
vois pas ce que l'on peut répondre de plus. En fait, je doute que
Jean-Christophe soit satisfait de la réponse de Cid36. Il doit spérer
qu'il existe une formule qui réponde à sa question, et W(1) n'est sans
doute pas le type de formule qu'il attendait.
Je l'invite donc à réfléchir à ma première réponse : il n'y a pas plus
de méthode de résolution générale pour l'équation x=exp(-x) qu'il n'y a
de méthode générale pour résoudre l'équation x^2 = 3.
> Dans le fond qu'est ce qui est le plus "vrai": la définition de sin sur le
> cercle trigo, sa définition a base de série convergente, le fait de dire
> que c'est la seule solution du système différentiel sin"+sin=0 vérifiant
> sin'(0)=1?
ou la bijection réciproque de la fonction arcsin (primitive de
x->racine(1-x^2) nulle en 0) prolongée par périodicité, ou le produit
infini x.prod (1-x^2/n^2.pi^2) ou....
Personnellement, la définition géométrique me semble la seule valable,
puisque c'est précisément celle que l'on fait apprendre aux lycéens,
mais chacun ses goûts.
> L'utilisation de la fonction W() est la bonne façon de faire.
Dans le contexte de la question de Jean-Christophe, j'aurais tendance à
invoquer le théorème de la bijection pour répondre à sa question. Que la
bijection réciproque s'appelle f^-1, phi ou W n'a aucune importance, que
la fonction bijective soit x->x.exp(x) ou x->x-exp(-x) ou tout autre
fonction qui permet de répondre à son problème n'a pas plus d'importance
(sauf s'il s'agit ensuite d'utiliser une méthode numérique, mais
Jean-Christophe précise justement qu'il ne cherche pas de valeur
numérique).
--
Benoît RIVET
Jean-Christophe
> Il doit spérer qu'il existe une formule qui réponde à sa question,
Oui.
> et W(1) n'est sans doute pas le type de formule qu'il attendait.
Exact.
> Je l'invite donc à réfléchir à ma première réponse : il n'y a pas plus
> de méthode de résolution générale pour l'équation x=exp(-x) qu'il n'y a
> de méthode générale pour résoudre l'équation x^2 = 3.
Désolé Benoit mais là je ne comprends pas.
Si je cherche (dans R) à exprimer x = f(n)
pour x^2 = n je trouve x = n ^ (1/2)
Là au moins je peux exprimer x avec une formule,
mais avec x = exp(-x) je n'y suis pas arrivé.
> Jean-Christophe précise justement
> qu'il ne cherche pas de valeur numérique
Au départ je recherchais l'intersection
entre les deux courbes suivantes :
y = e ^ x
y = x ^ -1
Je croyais cela trivial mais au bout d'un moment
j'ai eu assez de doutes pour rechercher une solution
plus générale et c'est pourquoi j'ai posté ici.
Ceci dit il ne s'agit pas d'un problème concret
à résoudre, c'est juste de la curiosité ...
Benoit RIVET
> > Je l'invite donc à réfléchir à ma première réponse : il n'y a pas plus
> > de méthode de résolution générale pour l'équation x=exp(-x) qu'il n'y a
> > de méthode générale pour résoudre l'équation x^2 = 3.
>
> Désolé Benoit mais là je ne comprends pas.
> Si je cherche (dans R) à exprimer x = f(n)
> pour x^2 = n je trouve x = n ^ (1/2)
> Là au moins je peux exprimer x avec une formule,
> mais avec x = exp(-x) je n'y suis pas arrivé.
Pourtant, il y a bien une formule dans le second cas : x=W(1) où W est
la bijection réciproque de x->x.exp(x).
Certes, on n'enseigne guère les propriétés de la fonction W, mais elle
est définie de façon aussi pratique que la fonction racine carrée. Tu as
sans doute l'habitude d'utiliser des formules comme racine(3), racine(2)
etc... Mais sais tu calculer précisément ces nombres ? Sans doute pas
plus que W(1) ;-)
--
Benoît RIVET
Vincent Thiernesse
"Jean-Christophe" <5...@free.fr> a écrit dans le message de groupe de
discussion :
e1efb61c-e76d-4caa...@j18g2000yqd.googlegroups.com...
Ben tu peux pas faire ça par dichotomie ???
Quoi que tu bidouilles ? Un montage à résistance négative monté sur une
diode ?
@
Vin
Vincent Thiernesse
"Vincent Thiernesse" <Vincent.t...@wanadoo.fr> a écrit dans le message
de groupe de discussion : 4c66f5a0$0$10206$ba4a...@reader.news.orange.fr...
>
>
> "Jean-Christophe" <5...@free.fr> a écrit dans le message de groupe de
> discussion :
> e1efb61c-e76d-4caa...@j18g2000yqd.googlegroups.com...
>> Bonjour,
>>
>> Comment résoudre une équation du genre
>>
>> exp(x) = 1 / x
>>
>> Je recherche plus une méthode de résolution
>> générale plutot que la valeur numérique de x.
>> ( et je n'arrive à rien )
>
> Ben tu peux pas faire ça par dichotomie ???
oups là, j'ai du dire une bêtise...
Vincent Thiernesse
>> Ben tu peux pas faire ça par dichotomie ???
>
> oups là, j'ai du dire une bêtise...
ah ben non....mais c'est une expression littérale que tu cherchais ?
Mes excuses aux mathématiciens de polluer leur newsgroup.
Vincent
Samuel DEVULDER
> On Aug 14, 5:09 pm, Benoit RIVET
>
>> Il doit spérer qu'il existe une formule qui réponde à sa question,
>
> Oui.
>
>> et W(1) n'est sans doute pas le type de formule qu'il attendait.
>
> Exact.
En fait W(1) est très pratique et apparait dans pleins de domaine, on a
donné un petit nom à W(1): Omega. Omega a pleins de propriétés. Ainsi on
a démontré (asseze récemment semble-t-il) que:
int(1/((exp(x)-x)^2 + pi^2), x=-inf..+inf) = 1/(1+Omega)
D'où l'on peut déduire :
W(1) = 1/int(1/((exp(x)-x)^2 + pi^2), x=-inf..+inf) - 1
Mais est-ce la formule "simple" souhaitée?
Personnellement je suis attaché à W(1) = f(1/e), avec f:
z|->z^z^z^z^z.... ayé je me suis à nouveau endormi sur cette tour de
puissance ZZZzzz...
>> Je l'invite donc à réfléchir à ma première réponse : il n'y a pas plus
>> de méthode de résolution générale pour l'équation x=exp(-x) qu'il n'y a
>> de méthode générale pour résoudre l'équation x^2 = 3.
>
> Désolé Benoit mais là je ne comprends pas.
> Si je cherche (dans R) à exprimer x = f(n)
> pour x^2 = n je trouve x = n ^ (1/2)
> Là au moins je peux exprimer x avec une formule,
> mais avec x = exp(-x) je n'y suis pas arrivé.
Ben si, ajoutes W à ta liste de formules de bases et c'est bon tu peux
exprimer la solution à ton problème avec une formule. La question est de
savoir quel jeu de fonctions considères tu comme minimal. C'est à la
limite des maths et de la philosophie des sciences.
On pourrait aussi bien dire que x|->x^1/2 n'est pas satisfaisant pour
ton problème de x=f(n) car c'est juste la solution à x^2=y, c'est à dire
exactement ton point de départ. Pour quelqu'un qui ne connaitrait pas
les radicaux cette solution semblerait factice (cf. les grecs anciens)
et préférerait avoir ce qu'il considérerait comme une vraie solution: un
rapport entre 2 nombre entiers par exemple ou s'il est plus moderne, un
rapport de deux fonctions polynomiales. Or on sait que cela n'est pas
possible et qu'il a bien fallu se résigner à introduire les radicaux
dans le lexique de base des formules. On sait à présent que ca n'est pas
non plus suffisant et qu'il faut utiliser des entités telles que
RootOf(polynome) (par exemple i=RootOf(x^2-1) ou pire avec les polynome
de degrés 5+). Ce qui est l'intéressant, c'est on sait parfaitement
raisonner et calculer des solution de systèmes polynomiaux avec ces
RootOf() sans jamais avoir eu besoin de sortir une valeur numérique car
seules les propriétés algebriques de ces quantités sont utiles.
La fonction W est exactement cela.. le RootOf d'une certaine équation
qu'on ne peut pas réduire à quelque chose de plus simple. (enfin pour
autant que je sache). Tout comme les radicaux, on trouve W dans pleins
de domaine des sciences théoriques et pratiques (physique de l'atome,
optique). La fonction W est dans ces domaines tout aussi concrète que sqrt.
Comme diraient les humoristes "Chevalier et Laspales". <<Faire sans la
fonction W de Lambert, certains ont essayés. Ils ont eu des problèmes.>>
sam :)
Jean-Christophe
> Comment résoudre une équation du genre
> exp(x) = 1 / x
| Ben tu peux pas faire ça par dichotomie ???
Pour la valeur de x je m'étais effectivement
replié sur la dichotomie. Déja ma précieuse
règle à calcul donnait 0,565 ... (ce qui n'est pas
si mal, mes yeux n'étant plus ce qu'ils étaient)
puis j'ai écrit un bout de code pour + de décimales.
Mais tu avoueras que cela manque terriblement
d'élégance, et je me suis senti offensé ;-)
car je cherchais une formule pour résoudre ca.
Par exemple j'ai essayé
a^p = b^q
et suis arrivé à
p = q * ln(a) / ln(b)
ce qui me fait une belle jambe (et meme deux)
| Quoi que tu bidouilles ?
| Un montage à résistance négative monté sur une diode ?
:-) Bien vu, mais non, juste un peu de récréation ...
Jean-Christophe
> W(1) = 1/int(1/((exp(x)-x)^2 + pi^2), x=-inf..+inf) - 1
>
> Mais est-ce la formule "simple" souhaitée?
Hum ... personnellement je ne m'oriente pas encore assez
pour manipuler tout cela avant un solide petit déjeuner.
(ensuite je m'arme d'un bon gourdin, c'est plus sur)
Mais effectivement (à mon sens en tout cas) il s'agit bien
d'une formule, meme si elle est sous forme d'intégrale.
Merci Samuel.
> je suis attaché à W(1) = f(1/e), avec f:
> z|->z^z^z^z^z....
C'est amusant, une fois je m'étais demandé s'il
existait un opérateur qui serait à l'exponentiation
ce que l'exponentiation est à la multiplication.
Je m'explique : si on considère ceci
a * b = a + a + a + a ... (b fois)
a ^ b = a * a * a * a ... (b fois)
alors on peut imaginer un opérateur Ψ tel que
a Ψ b = a ^ a ^ a ^ a ... (b fois)
Cela ressemble à ton zzzz ...
lovi
http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_des_puissances_it%C3%A9r%C3%A9es_de_Knuth
Jean-Christophe
> on peut imaginer un opérateur Ψ tel que
> a Ψ b = a ^ a ^ a ^ a ... (b fois)
| http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_des_puissances_it%C3%A9r%C3%A9es_de_Knuth
Ok, merci. Comme quoi c'était une idée ...
et qu'il n'y avait pas de raison de s'arréter là:
http://tinyurl.com/33n87om
Yves Lambert
benoit...@libre.fr.invalid (Benoit RIVET) wrote:
> il n'y a pas plus
> de méthode de résolution générale pour l'équation x=exp(-x) qu'il n'y a
> de méthode générale pour résoudre l'équation x^2 = 3.
IL n'y a pas de méthode générale pour résoudre une équation du deuxième
degr. Bonne nouvelle pour les 2nde S qui vont moins se faire suer avec
les deltas...
--
La grandeur de l'homme est grande en ce qu'il se connaît misérable.
-+- Blaise Pascal (1623-1662), Pensées - IV.397 -+-
Yves Lambert
benoit...@libre.fr.invalid (Benoit RIVET) wrote:
> En fait, je doute que
> Jean-Christophe soit satisfait de la réponse de Cid36.
L'article sur la fonction W de H. Lambert lui permet de voir qu'il n'y
a pas de méthode générale pour résoudre son problème. Évidemment, vu
qu'il en recherchait une, ça ne peut que le décevoir, mais ça répond à
sa question.
--
Ce manque de charité qui consiste à se redresser quand on croise un
bossu.
-+- Gilbert Cesbron (1913-1979), de petites choses. -+-
Jean-Christophe
| On Sat, 14 Aug 2010 17:09:09 +0200 Benoit RIVET
| En fait, je doute que Jean-Christophe
| soit satisfait de la réponse de Cid36.
> L'article sur la fonction W de H. Lambert lui permet de voir qu'il n'y
> a pas de méthode générale pour résoudre son problème. Évidemment, vu
> qu'il en recherchait une, ça ne peut que le décevoir, mais ça répond à
> sa question.
Tout à fait.
( mais ce n'est pas grave vu qu'il ne s'agissait que de curiosité )
Benoit RIVET
> On Sat, 14 Aug 2010 17:09:09 +0200
> benoit...@libre.fr.invalid (Benoit RIVET) wrote:
>
> > il n'y a pas plus
> > de méthode de résolution générale pour l'équation x=exp(-x) qu'il n'y a
> > de méthode générale pour résoudre l'équation x^2 = 3.
>
> IL n'y a pas de méthode générale pour résoudre une équation du deuxième
> degr. Bonne nouvelle pour les 2nde S qui vont moins se faire suer avec
> les deltas...
J'apprécie l'ironie du propos (d'autant plus ironique qu'ironiquement,
il n'existe pas de seconde S en France), mais avez vous bien compris le
point que je soulève ?
La fonction racine carrée est définie de façon implicite : racine(3) est
l'unique réel positif x tel que x^2=3.
En ce sens, écrire : l'équation x^2=3 a pour unique solution positive
x=racine(3), c'est écrire une tautologie; qui ne répond pas à la
question : quel réel positif vérifie x^2=3. En particulier, vous seriez
bien en peine de calculer racine(3); ne serait-ce qu'une valeur
approchée de racine(3) avec 20 décimales exactes.
--
Benoît RIVET
Lotre
"Benoit RIVET" <benoit...@libre.fr.invalid> a écrit (...)
En particulier, vous seriez
> bien en peine de calculer racine(3); ne serait-ce qu'une valeur
> approchée de racine(3) avec 20 décimales exactes.
Je vous trouve bien péremptoire :o)
20 et même plus ...
http://www.cijoint.fr/cjlink.php?file=cj201008/cijBlkZBym.zip
- Une page html avec un peu de javascript
- L'image pour le fond à côté...
La méthode utilisée est en gros
celle qui naguère s'enseignait au collège
(extraction à la main d'un racine carré)
( lointaine époque ou la règle à calcul
donnait aux élèves des sections scientifiques d'alors
la joie de disposer rapidement de 3 ou 4 chiffres
significatifs... )
HB
Cid75
> En particulier, vous seriez
> bien en peine de calculer racine(3); ne serait-ce qu'une valeur
> approchée de racine(3) avec 20 décimales exactes.
>
Bonjour,
Remarquons que rac(3)-2 est un nombre compris entre -1 et 0.
Ses puissances successives (les (rac(3)-2)^n) vont converger vers 0.
On obtient (rac(3)-2)^2=7-4rac(3),
puis (rac(3)-2)^3=15rac(3)-26,
et avec un peu plus de temps:
(rac(3)-2)^10=262087-151316rac(3).
Ce nombre est inférieur à 0, 000 002
et 262087/151316 donne 10 décimales exactes de rac(3).
Amicalement
reves de nuit
> Mais tu avoueras que cela manque terriblement
> d'élégance, et je me suis senti offensé ;-)
> car je cherchais une formule pour résoudre ca.
il n'y a rien inélégant à ça.
l'immense majorité des problèmes est comme ça.
AP
(Benoit RIVET) wrote:
>Cid36 <Ci...@invalid.uk.fr> wrote:
>
>> Le 14/08/2010 15:11, Benoit RIVET a écrit :
>> > Jean-Christophe<5...@free.fr> wrote:
>> >
>> >> Bonjour,
>> >>
>> >> Comment résoudre une équation du genre
>> >>
>> >> exp(x) = 1 / x
>> >>
>> >> Je recherche plus une méthode de résolution
>> >> générale plutot que la valeur numérique de x.
>> >> ( et je n'arrive à rien )
>>
>> >Utilisez la fonction W de Lambert:
>>
>> http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_W_de_Lambert
>>
>> et regardez W(1)
>
>Lisons donc : W(y) est l'unique réel x tel que x.exp(x)=y.
je préciserai sur la résolution de xexp(x)=y
si y<-1/e pas de solution
si y=-1/e, une sol -1=W(-1/e)
si -1/e<y<0 deux solutions dont W(y) dans ]-1;0[, l'autre est <-1
si y>=0 une solution W(y) qui est >=0
pour y>=-1/e, W(y) est l'unique réel >=-1 tel que W(y)exp(W(y))=y