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construire une sinusoïde sur une courbe
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marioski
Oct 30, 2016, 8:54:02 AM10/30/16
to
bonjour,
Par défaut,une sinusoïde (y=cos(x) ou y=sin(x)) se forme sur l'axe des abscisses qui est une droite rectiligne.
Je souhaiterais construire une sinusoïde identique de période T et d'amplitude A non pas sur un axe rectiligne comme l'axe des abscisses mais:
-1)sur un cercle plan (XOY) de rayon R
-2)sur une ellipse plane (XOY) d'équation paramétrique:
x=a.cos(t)
y=b.sin(t)
-3)sur une courbe 3D d'équation paramétrique:
x(t)=f(t)
y(t)=g(t)
z(t)=h(t)
Pour les questions 1) et 2),je souhaiterais connaître l'équation paramétrique (x(t),y(t) de la sinusoïde recherchée
Pour la question 3),je souhaiterais connaître l'équation paramétrique(x(t),y(t),z(t)) de la sinusoïde recherchée.
merci de votre aide
Par défaut,une sinusoïde (y=cos(x) ou y=sin(x)) se forme sur l'axe des abscisses qui est une droite rectiligne.
Je souhaiterais construire une sinusoïde identique de période T et d'amplitude A non pas sur un axe rectiligne comme l'axe des abscisses mais:
-1)sur un cercle plan (XOY) de rayon R
-2)sur une ellipse plane (XOY) d'équation paramétrique:
x=a.cos(t)
y=b.sin(t)
-3)sur une courbe 3D d'équation paramétrique:
x(t)=f(t)
y(t)=g(t)
z(t)=h(t)
Pour les questions 1) et 2),je souhaiterais connaître l'équation paramétrique (x(t),y(t) de la sinusoïde recherchée
Pour la question 3),je souhaiterais connaître l'équation paramétrique(x(t),y(t),z(t)) de la sinusoïde recherchée.
merci de votre aide
rosab
Oct 30, 2016, 10:34:37 AM10/30/16
to
marioski a écrit :
Bonjour,
Il te faut raisonner en coordonnées polaires.
Par exemple, va sur wolframalpha.com et tape ceci :
PolarPlot[1 + 1/10 Sin[20 t], {t, 0, 2 Pi}]
Si le résultat correspond bien à ce que tu cherches, il suffit
d'adapter les paramètres :
R au lieu de 1,et A au lieu de 1/10;
Pour la période, il faut un multiple de 2 Pi pour que la sinusoïde se
"referme", fais des essais.
Ensuite x(t) et y(t) s'obtiennent par les formules usuelles de
conversion polaire -> rectangulaire.
Pour les autres questions, la réponse est la même mutatis mutandis.
--
Cordialement,
rosab
Il te faut raisonner en coordonnées polaires.
Par exemple, va sur wolframalpha.com et tape ceci :
PolarPlot[1 + 1/10 Sin[20 t], {t, 0, 2 Pi}]
Si le résultat correspond bien à ce que tu cherches, il suffit
d'adapter les paramètres :
R au lieu de 1,et A au lieu de 1/10;
Pour la période, il faut un multiple de 2 Pi pour que la sinusoïde se
"referme", fais des essais.
Ensuite x(t) et y(t) s'obtiennent par les formules usuelles de
conversion polaire -> rectangulaire.
Pour les autres questions, la réponse est la même mutatis mutandis.
--
Cordialement,
rosab
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marioski
Oct 30, 2016, 11:00:52 AM10/30/16
to
merci bien
Serganz
Oct 30, 2016, 11:09:10 AM10/30/16
to
Bonjour,
Pour le cercle on peut penser à quelque chose comme cela :
x(t)=(R + A sin(2π / T t)) cos(t)
y(t)=(R + A sin(2π / T t)) sin(t)
t allant de 0 à 2*pi, où :
R est le rayon du cercle
A est l’amplitude
T est une période, préférentiellement de la forme 2*pi/n avec n entier naturel non nul pour que la courbe soit fermée.
J’ai fait un fichier geogebra pour visualiser :
http://www.cjoint.com/c/FJEpcyf4mw1
Il est possible de charger le fichier sur l’application en ligne :
https://www.geogebra.org/graphing
Serganz.
Pour le cercle on peut penser à quelque chose comme cela :
x(t)=(R + A sin(2π / T t)) cos(t)
y(t)=(R + A sin(2π / T t)) sin(t)
t allant de 0 à 2*pi, où :
R est le rayon du cercle
A est l’amplitude
T est une période, préférentiellement de la forme 2*pi/n avec n entier naturel non nul pour que la courbe soit fermée.
J’ai fait un fichier geogebra pour visualiser :
http://www.cjoint.com/c/FJEpcyf4mw1
Il est possible de charger le fichier sur l’application en ligne :
https://www.geogebra.org/graphing
Serganz.
Serganz
Oct 30, 2016, 11:45:06 AM10/30/16
to
Pour une courbe paramétrée du plan,
On peut considérer un vecteur orthogonal direct du vecteur directeur.
Pour cela il faut que les fonctions soient dérivables.
Comme v(f'(t),g'(t)) est le vecteur directeur,
on prend w(-g'(t),f'(t)) le vecteur orthogonal (de sorte que (v,w) est direct),
et on divise par sa norme pour obtenir un vecteur de norme 1.
Ensuite il suffit alors de multiplier ce vecteur par A*sin(2*pi/T*t)
et de l’ajouter à (x(t),y(t)) pour l'équation paramétrique.
Encore un fichier joint (même nom de fichier, j’ai ajouté une courbe paramétrée) :
http://www.cjoint.com/c/FJEpLNZtKT1
Par contre, la progression de la sinusoïde ne semble pas régulière,
ce qui me paraît difficile à corriger si le paramétrage de départ n’est pas « régulier ».
Pour une courbe de l’espace, l’ennui c’est qu’il y a tout un plan
dont le vecteur directeur de la courbe est normal, ce qui oblige
à faire un choix arbitraire pour le vecteur normal.
Autrement dit il n’y a pas de manière unique de vouloir rendre sinusoïdale
une courbe de l’espace.
Serganz.
On peut considérer un vecteur orthogonal direct du vecteur directeur.
Pour cela il faut que les fonctions soient dérivables.
Comme v(f'(t),g'(t)) est le vecteur directeur,
on prend w(-g'(t),f'(t)) le vecteur orthogonal (de sorte que (v,w) est direct),
et on divise par sa norme pour obtenir un vecteur de norme 1.
Ensuite il suffit alors de multiplier ce vecteur par A*sin(2*pi/T*t)
et de l’ajouter à (x(t),y(t)) pour l'équation paramétrique.
Encore un fichier joint (même nom de fichier, j’ai ajouté une courbe paramétrée) :
http://www.cjoint.com/c/FJEpLNZtKT1
Par contre, la progression de la sinusoïde ne semble pas régulière,
ce qui me paraît difficile à corriger si le paramétrage de départ n’est pas « régulier ».
Pour une courbe de l’espace, l’ennui c’est qu’il y a tout un plan
dont le vecteur directeur de la courbe est normal, ce qui oblige
à faire un choix arbitraire pour le vecteur normal.
Autrement dit il n’y a pas de manière unique de vouloir rendre sinusoïdale
une courbe de l’espace.
Serganz.
Serganz
Oct 30, 2016, 12:06:52 PM10/30/16
to
Remarque :
Ce que j'ai fait en premier avec le cercle correspond à un choix
de vecteur normal indirect (g'(t),-f'(t))
En tout cas ce petit problème m'a bien amusé, la question était
intéressante !
Serganz.
Ce que j'ai fait en premier avec le cercle correspond à un choix
de vecteur normal indirect (g'(t),-f'(t))
En tout cas ce petit problème m'a bien amusé, la question était
intéressante !
Serganz.
Samuel DEVULDER
Oct 30, 2016, 12:52:34 PM10/30/16
to
Le 30/10/2016 à 13:54, marioski a écrit :
> -3)sur une courbe 3D d'équation paramétrique:
> x(t)=f(t)
> y(t)=g(t)
> z(t)=h(t)
Considérons le cas simple du plan. Tu as donc une courbe x(t),y(t) à
> -3)sur une courbe 3D d'équation paramétrique:
> x(t)=f(t)
> y(t)=g(t)
> z(t)=h(t)
laquelle tu veux "ajouter" une courbe a->f(a).
Cette notion d'ajout n'est pas simple, mais finalement quand on regarde
la réponse de rosab ou Serganz pour le cercle et l'ellipse, cela revient
à considérer localement la courbe x(t),y(t). Sous réserve de bonne
dérivabilité, localement cette courbe peut être assimilée à un bout de
droite (sa tangente), et si on "aplanit" localement ce bout de droite
pour en faire un repère cartésien, le dessin de la fonction f() par
rapport à ce repère local revient à placer dans le plan un point B=(u,v)
à la distance f(t) de A=(x,y) de telle sorte que le vecteur (A,B) soit
perpendiculaire à la tangente à la courbe.
En gros (et pour faire simple :P) à chaque point (x,y) de ta courbe tu
veux trouver le point (u,v) qui se trouve à la distance (algébrique) f
sur la normale à la courbe dans la direction du centre de courbure.
On peut poser ca en équations, mais ca devient très vite barbare. Allez
je me lance quand même et sans filet en oubliant quelques détails qu'on
règlera plus loin si besoin (distance qui doit être algébrique cad >0 ou
<0 etc):
1) direction de la tangente au point (x,y): x'(t),y'(t) (dérivée)
2) perpendicularité: le produit scalaire entre AB et la tangente est nul
(x(t)-u(t))*y'(t) + (y(t)-v(t))*x'(t) = 0
3) distance d(A,B)=f(t) donc en passant au carré on a:
(x(t)-u(t))^2+(y(t)-v(t))^2=f(t)^2
supposons que y'(t) non nul (on reglera ce cas là plus loin peut-être).
De 2) on tire x(t)-u(t) = -(y(t)-v(t))*x'(t)/y'(t), qu'on injecte dans
3), et il vient
(y(t)-v(t))^2 (x'(t)/y'(t))^2 + (y(t)-v(t)) - f(t)^2 = 0
On reconnait une équation de degré 2 en Z = y(t)-v(t)
(x'/y')^2 Z^2 + Z - f^2 = 0
(je ne note plus les machin(t)), que l'on peut résoudre
Z = - (y'^2 +/- sqrt(y'^2(4 f^2 x'^2 + y'^2))/(2x'^2)
(le choix entre +/- est lié à l'aspect algèbrique de la distance que je
n'ai pas pris en compte)
Comme Z=y-v, on peut en déduire:
v(t) = y(t) + (y'(t)^2 +/- sqrt(y'(t)^2(4 f(t)^2 x'(t)^2 +
y'(t)^2))/(2x'(t)^2)
En injectant cette expression dans 2) ci dessus, on en déduit u(t). Je
ne le fait pas car c'est vraiment trop moche et que je suis sur que je
me suis trompé dans les calculs. Pour aller plus en avant, il faut
particulariser x(t) et y(t). Avec le cercle c'est pas mal car les x'(t)
et y'(t) s'expriment en fonction de x(t) et y(t), et les expressions se
simplifient joliment. Mais avec une autre courbe c'est une autre paire
de manches.
Bref, ce que ce calcul laborieux montre, c'est que c'est faisable en
posant les équations, mais que le cas général en 2D est moche.
Par contre pour la 3D, il manque un paramètre à ton problème. En effet,
autant en 2D la normale à une courbe est bien une droite sur laquelle on
peut placer un repère orthonormé local pour y "ajouter" la courbe f(),
autant en 3D c'est tout un plan qui est normal à la courbe. Dans ce cas
là, dans quelle direction de ce plan placer le point d'ordonnée f(t)? il
manque une contrainte pour ne direction particulière.
Je pense que tu devrais commencer par nous expliquer ce que tu veux
faire avec ces "additions" de courbes, car le fait qu'il manque un
paramètre pour la 3D m'incite à penser que ca n'est pas vraiment ce que
j'ai formalisé que tu veux faire. Est-ce que je me trompe ?
a+
sam.
MAIxxx
Oct 30, 2016, 6:41:36 PM10/30/16
to
paramétrique x(t),y(t) et l'abscisse curviligne s avec ds²=dx²+dy² sa
tangente au point t de pente dy/dx et sa normale de pente -dx/dy on
considère p fonction de l'abscisse curvilige s, "ordonnée" du point
cherché sur la normale.
Pour un cercle x=cos(t) y=sin(t) s= t (à partir de x=1,y=0 t=0) la
normale est la droite X,Y passant par le centre de pente tg(t)
(Y=X.tg(t)) au point x(t) y(t) et la courbe "sinusoïde ajoutée au
cercle" est définie par
x1(t) = x(t) + a.cos(t).sin(kt) y1(t)= y(t) + a.sin(t)cos(kt) pour
l'amplitude a et la pulsation k.
Evidemment, il faut orienter la normale d'après la courbure du support,
le centre de courbure étant du côté des "-"
Quand k est entier ou même rationnel on peut avoir de jolies courbes,
J'espère ne pas m'être trompé dans le calcul :-(
--
Si vous mettez deux Français ensemble, et s'ils sont d'accord sur tout,
c'est qu'un des deux est un étranger.
marioski
Oct 30, 2016, 8:51:42 PM10/30/16
to
Comme je n'ai trouvé sur internet que des sites permettant de tracer des fonctions du genre f(x)=,je cherche site permettant:
-le tracé 2D de représentations paramétriques du genre:
x(t)=
y()=
-le tracé 3D de représentations paramétriques du genre:
x(t)=
y(t)
z(t)=
Serganz
Oct 31, 2016, 12:07:05 AM10/31/16
to
> merci bien !
> Comme je n'ai trouvé sur internet que des sites permettant de tracer des fonctions du genre f(x)=,je cherche site permettant:
> -le tracé 2D de représentations paramétriques du genre:
> x(t)=
> y()=
Si tu avais lu avec attention mes messages
> Comme je n'ai trouvé sur internet que des sites permettant de tracer des fonctions du genre f(x)=,je cherche site permettant:
> -le tracé 2D de représentations paramétriques du genre:
> x(t)=
> y()=
et cliqué sur les liens proposés,
tu aurais ta réponse.
Serganz.
Samuel DEVULDER
Oct 31, 2016, 3:52:05 AM10/31/16
to
Le 31/10/2016 à 01:51, marioski a écrit :
> Comme je n'ai trouvé sur internet que des sites permettant de tracer des fonctions du genre f(x)=,je cherche site permettant:
> -le tracé 2D de représentations paramétriques du genre:
> x(t)=
> y()=
Il me semble que geogebra en ligne (https://www.geogebra.org/graphing)
> Comme je n'ai trouvé sur internet que des sites permettant de tracer des fonctions du genre f(x)=,je cherche site permettant:
> -le tracé 2D de représentations paramétriques du genre:
> x(t)=
> y()=
permet de faire cela avec la commande Courbe[] :
https://www.geogebra.org/manual/fr/Commande_Courbe
>
> -le tracé 3D de représentations paramétriques du genre:
> x(t)=
> y(t)
> z(t)=
>
Ahmed Ouahi, Architect
Oct 31, 2016, 6:21:57 AM10/31/16
to
Et en tout cas de nos jours les mathématiques quant aux objets non
périodiques
Ainsi que les multidimensions inclus l'interprétation par ordinateur en
pratique
En effet juste celle de l'hypercube puisse-t-elle produire toute une
visualisation
D'hypercube en mouvement de dedans et dehors espace trois D d'où puisse-t-on
S'apercevoir de variétés d'images d'hypercube en un monde en trois D
capturées
Par ordinateur en intersection sur plan de l'hypercube d'où objets non
périodiques
Ainsi que quasicristal géométrique ainsi que cinquième symétrie d'où en
pratique
Combinaison de ces objets non périodiques deux et trois D en puissent-ils
former
Essentiellement inhabituel type de symétrie susceptible créer image
contradictoire
--
Ahmed Ouahi, Architect
Bonjour!
"marioski" kirjoitti
viestissä:d4c0488c-cc7b-4d27...@googlegroups.com...
périodiques
Ainsi que les multidimensions inclus l'interprétation par ordinateur en
pratique
En effet juste celle de l'hypercube puisse-t-elle produire toute une
visualisation
D'hypercube en mouvement de dedans et dehors espace trois D d'où puisse-t-on
S'apercevoir de variétés d'images d'hypercube en un monde en trois D
capturées
Par ordinateur en intersection sur plan de l'hypercube d'où objets non
périodiques
Ainsi que quasicristal géométrique ainsi que cinquième symétrie d'où en
pratique
Combinaison de ces objets non périodiques deux et trois D en puissent-ils
former
Essentiellement inhabituel type de symétrie susceptible créer image
contradictoire
--
Ahmed Ouahi, Architect
Bonjour!
"marioski" kirjoitti
viestissä:d4c0488c-cc7b-4d27...@googlegroups.com...
marioski
Oct 31, 2016, 6:54:18 AM10/31/16
to
au site https://www.geogebra.org/graphing,une barre d'outils s'affiche bien en haut mais rien ne fonctionne quand on clique sur un de ces outils.
Ce site fonctionne=-t-il correctement?
Serganz
Oct 31, 2016, 7:03:45 AM10/31/16
to
> Ce site fonctionne=-t-il correctement?
Il faut accepter les cookies, sinon effectivement
on a beau cliquer ça ne fonctionne pas.
Mais c’est supposé fonctionner (puisque je l’ai utilisé).
Serganz.
Il faut accepter les cookies, sinon effectivement
on a beau cliquer ça ne fonctionne pas.
Mais c’est supposé fonctionner (puisque je l’ai utilisé).
Serganz.
MAIxxx
Oct 31, 2016, 11:29:55 AM10/31/16
to
Le 31/10/2016 à 08:52, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 31/10/2016 à 01:51, marioski a écrit :
>
>> Comme je n'ai trouvé sur internet que des sites permettant de tracer
>> des fonctions du genre f(x)=,je cherche site permettant:
>> -le tracé 2D de représentations paramétriques du genre:
>> x(t)=
>> y()=
>
Moi j'utilise :
> Le 31/10/2016 à 01:51, marioski a écrit :
>
>> Comme je n'ai trouvé sur internet que des sites permettant de tracer
>> des fonctions du genre f(x)=,je cherche site permettant:
>> -le tracé 2D de représentations paramétriques du genre:
>> x(t)=
>> y()=
>
> http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/param_graph.html
[snip]
marioski
Oct 31, 2016, 1:53:57 PM10/31/16
to
Sur ce site,je cherche une syntaxe pour utiliser la fonction partie entière acceptant un argument à entrer.
A moins que l'on puisse faire ceci sur un autre site similaire?
Samuel DEVULDER
Oct 31, 2016, 2:11:50 PM10/31/16
to
Le 31/10/2016 à 12:03, Serganz a écrit :
>> Ce site fonctionne=-t-il correctement?
Oui.
> Mais c’est supposé fonctionner (puisque je l’ai utilisé).
C'est même plus que supposé. Je l'affirme: ca fonctionne très bien. En
particulier j'ai testé les courbes paramétrées en 3D. Impec!
a+
sam.
>> Ce site fonctionne=-t-il correctement?
Oui.
> Mais c’est supposé fonctionner (puisque je l’ai utilisé).
particulier j'ai testé les courbes paramétrées en 3D. Impec!
a+
sam.
Message has been deleted
marioski
Oct 31, 2016, 7:27:07 PM10/31/16
to
C'est pour définir les fonctions sur des suites d'intervalles bien précis...
Samuel DEVULDER
Nov 1, 2016, 6:03:17 PM11/1/16
to
Le 01/11/2016 à 00:27, marioski a écrit :
> oui...mais quelle est la syntaxe pour utiliser la fonction "partie entière"?
Je vois floor() dans
> oui...mais quelle est la syntaxe pour utiliser la fonction "partie entière"?
https://www.geogebra.org/manual/fr/Op%C3%A9rateurs_et_fonctions_pr%C3%A9-d%C3%A9finies
> C'est pour définir les fonctions sur des suites d'intervalles bien précis...
fonctions par morceau.
http://www.inclassablesmathematiques.fr/archive/2010/08/27/fonctions-affines-par-morceaux-avec-geogebra.html
a+
sam.
Ahmed Ouahi, Architect
Nov 2, 2016, 4:31:42 AM11/2/16
to
Quoique des fois l'amplitude en est-elle très petite pour autant la formule
angulaire
Puisse-t-elle en satisfaire à l'équation suivante tant d au carré alpha sur
dt au carré
En équivaloir moins g sur l alpha où mouvement correspondant en puisse-t-il
en être
Sinusoïdal en équation générale en l'occurrence alpha en équivaloir alpha
omicron
Juste sin (deux pi sur T omicron t moins phi) dont la période T omicron en
serait-elle
Strictement indépendante de l'amplitude alpha omicron quitte en prendre de
formule
Suivante plutôt T omicron équivaloir deux pi racine carrée de l sur g en
l'occurrence
Où si des fois puisse-t-on commettre sur t une erreur absolue juste delta t
maximale
Erreur maximum commise sur période T omicron serait delta T omicron sur T
omicron
--
Ahmed Ouahi, Architect
Bonjour!
"Samuel DEVULDER" kirjoitti viestissä:nvb3f2$11hg$1...@gioia.aioe.org...
angulaire
Puisse-t-elle en satisfaire à l'équation suivante tant d au carré alpha sur
dt au carré
En équivaloir moins g sur l alpha où mouvement correspondant en puisse-t-il
en être
Sinusoïdal en équation générale en l'occurrence alpha en équivaloir alpha
omicron
Juste sin (deux pi sur T omicron t moins phi) dont la période T omicron en
serait-elle
Strictement indépendante de l'amplitude alpha omicron quitte en prendre de
formule
Suivante plutôt T omicron équivaloir deux pi racine carrée de l sur g en
l'occurrence
Où si des fois puisse-t-on commettre sur t une erreur absolue juste delta t
maximale
Erreur maximum commise sur période T omicron serait delta T omicron sur T
omicron
--
Ahmed Ouahi, Architect
Bonjour!
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