Formule d'Euler pour les polyedres
Fab
A le nombre d'aretes, est-ce que la formule d'Euler S+F-A=2 est
toujours vraie ? N'est-elle pas valable que pour les polyedres
non-croises ou pour les polyedres convexes ?
Yves De Cornulier
Elle est valable pour un polyèdre que tu peux tracer sur une sphère. C'est
la cas d'un polyêdre convexe, mais pas exclusivement (par exemple, une
croix de pharmacie).
Je ne sais pas s'il existe de généralisation aux polyèdres croisés
(d'ailleurs, je ne connais pas de définition précise d'un polyèdre
croisé).
--
Yves
Gilles Robert
Comme l'a déjà dit yves, elle est valable pour les polyèdres qui forment
un découpage de la sphère, donc essentiellement les convexes et les non
croisés comme tu le mentionnes (la surface extérieure est homéomorphe à
la sphère).
Il y a des exemples intéressants de polyèdres croisés, sur le modèle de
l'étoile à cinq branches. On obtient l'étoile à cinq branches à partir
du pentagone en prolongeant les côtés jusqu'à trouver une intersection
avec un autre côté (non immédiatement adjacent) du pentagone.
En faisant cette construction à partir du dodécaèdre, on est amené à y
ajouter douze pyramides à cinq faces, on obtient ainsi ce qu'on appelle
le "petit dodécaèdre étoilé", qui a toujours 30 arètes comme le
dodécaèdre usuel, mais 12 sommets et 12 faces (qui sont des étoiles à
cinq branches), soit un nombre d'Euler de -6.
En remplaçant les étoiles à cinq branches par le pentagone circonscrit,
on obtient le "grand dodécaèdre", avec le même nombre de faces, d'arètes
et de sommets. Il ressemble à un icosaèdre dont on aurait évidé les
faces.
On peut alors continuer encore une troisième fois, et y ajouter des
pyramides (longues) à trois faces, pour obtenir le "grand dodécaèdre
étoilé" qui ressemble à un oursin. Celui-ci est redevenu normal quant à
son nombre d'Euler : 12 faces, 30 arètes, 20 sommets.
Amicalement,
--
Gilles
Gilles Robert
intéresser l'auteur de la question]
Gilles Robert a écrit:
> Fab a écrit:
>
>> Dans un polyedre, avec S le nombre de sommets, F le nombre de faces et
>> A le nombre d'aretes, est-ce que la formule d'Euler S+F-A=2 est
>> toujours vraie ? N'est-elle pas valable que pour les polyedres
>> non-croises ou pour les polyedres convexes ?
>
>
> Comme l'a déjà dit yves, elle est valable pour les polyèdres qui forment
> un découpage de la sphère, donc essentiellement les convexes et les non
> croisés comme tu le mentionnes (la surface extérieure est homéomorphe à
> la sphère).
Je précise donc : essentiellement les polyèdres convexes ; par extension
ceux dont l'intérieur est étoilé par rapport à un point, mais pas
forcément les autres.
Soit un batiment qui renferme une cour intérieure (une abbaye et son
cloître, un lycée et sa cour, une caserne ...). On peut le considérer
comme un polyèdre (non convexe) à 16 faces qui sont
- les quatre morceaux de sol sous les quatre corps de batiment
- les quatre murs intérieurs et les quatre murs extérieurs
- les quatre morceaux de toit couvrant les quatre corps de batiment
On vérifie alors qu'il y a 16 sommets (les deux fois huit coins des
"cubes" intérieur et extérieur) et 32 arètes (les deux fois douze des
deux "cubes", et quatre sur le sol plus quatre sur le toit).
Ceci nous fait un nombre d'Euler de 0. C'est la caractéristique du tore,
auquel est homéomorphe la surface extérieure du batiment.
Si on avait compté deux cours intérieures, on aurait un nombre d'Euler
de -2, et ainsi de suite en enlevant 2 à chaque fois.
Amicalement,
--
Gilles
Patrick Peccatte
Si l'histoire et l'analyse épistémologiques de ce théorème vous intéresse,
je vous conseille très vivement:
Imre Lakatos: "Preuves et réfutations - Essai sur la logique de la
découverte mathématique."
Traduction de l'édition anglaise de 1976, et annotations, de N. Balacheff et
J.M. Laborde, Ed. Hermann, Paris 1984.
http://www.lettredelapreuve.it/Resumes/Lakatos/Lakatos84.html
C'est un livre magnifique...
Sur la formule d'Euler, voir aussi:
http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/convex4.htm
--
Patrick Peccatte - Soft Experience
Michel Talon
> Fab , dans le message (fr.sci.maths:114313), a écrit :
>
>
>>Dans un polyedre, avec S le nombre de sommets, F le nombre de faces et
>>A le nombre d'aretes, est-ce que la formule d'Euler S+F-A=2 est
>>toujours vraie ? N'est-elle pas valable que pour les polyedres
>>non-croises ou pour les polyedres convexes ?
>
>
> Elle est valable pour un polyèdre que tu peux tracer sur une sphère. C'est
> la cas d'un polyêdre convexe, mais pas exclusivement (par exemple, une
> croix de pharmacie).
En fait si tu prends une triangulation d'une surface de Riemann de genre
g, alors S+F-A-2 (ou l'opposé, je ne me souviens plus) est exactement le
genre g de la surface, le cas de la sphère étant g=0.
>
> Je ne sais pas s'il existe de généralisation aux polyèdres croisés
> (d'ailleurs, je ne connais pas de définition précise d'un polyèdre
> croisé).
>
> --
> Yves
>
--
Michel Talon
Michel Talon
> Michel Talon <ta...@lpthe.jussieu.fr> writes:
>
>
>> En fait si tu prends une triangulation d'une surface de Riemann de
>> genre g, alors S+F-A-2 (ou l'opposé, je ne me souviens plus) est
>> exactement le genre g de la surface, le cas de la sphère étant g=0.
>
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic
>
> Pour la sphère, g=0, donc ça ne change pas grand chose.
>
Tu as parfaitement raison, d'ailleurs tu avais déjà posté ce fait, mais
je ne l'avais pas vu. Ce qui est plus amusant, c'est à titre d'exercice,
de se convaincre que ce fait est vrai:
- Si on raffine la subdivision, S+F-A ne change pas: découper un
triangle en trois et compter.
- Si on a joute une poignée à une sphère à g poignées comment change
S+F-A ? C'est assez facile à compter. Aprés la formule perd son
caractère mystérieux.
Par la suite, ce qui est intéressant, c'est de se représenter une
surface de Riemann comme la courbe (complexe) d'équation P(x,y)=0
où P est un polynome, et donc en "résolvant" on a N racines y_j(x)
c'est à dire qu'on représente la surface comme un revêtement branché à N
feuillets de la "sphère de Riemann". Il est branché là où il y a des
racines multiples, c'est à dire là où le discriminant (un polynome en x)
s'annule. En prenant une triangulation ayant des sommets sur ces points
de branchement (et ailleurs) et en comptant comment S+F-A se projette
sur la sphère de Riemann ( chaque face a N préimages, chaque arête
aussi, mais pas chaque sommet) on trouve l'autre garnde formule qui
donne le genre, la formule de Riemann-Hurwitz. Là encore de mémoire
(2g-2)=N(2g_0-2) + nu
où nu est le nombre de points de branchement, et g_0 le genre de la
surface de base, ici une sphère, mais ça pourrait être un tore si
on avait une équation elliptique.
La présentation complètement algébrique de ces histoires est dans
Serre Groupes algébriques et corps de classe. La présentation
"géométrique" et analytique dans Springer Introduction to Riemann
surfaces.
> pg.
--
Michel TALON