Inversion de matrice dans Z
Pascal Hartmann
J'ai un problème de maths (début du concours d'agrég interne de maths).
A est une matrice carrée A = (a b)
(c d)
à coefficients dans Z.
Il s'agit de donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit
inversible dans Z.
J'ai trouvé que cette condition était que dét(A) = 1 ou -1.
Quelqu'un peut-il me dire si ce résultat est correct.
Par avance, merci.
Pascal Hartmann
Christia...@skynet.be
Ici, au moins, un (bon) effort a été fourni; on n'en demande pas plus.
Donc, allons-y !
1. La condition est clairement suffisante.
2. Pour la condition nécessaire, voici une indication.
Imaginons que le déterminant de A soit k, avec par exemple k > 1 (k < -1 se
traite de la même façon).
Si l'inverse de A est à coefficients entiers, cela signifie alors que *tous*
les éléments a, b, c, d de A sont divisibles par k. Mais alors que peut-on
dire en réalité du déterminant de A (on y revient) ?
Cordialement !
e-mail : Christia...@skynet.be
URL : http://users.skynet.be/radoux
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franck vivien
> Bonjour à tous !
>
> J'ai un problème de maths (début du concours d'agrég interne de maths).
>
> A est une matrice carrée A = (a b)
> (c d)
>
> à coefficients dans Z.
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> Il s'agit de donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit
> inversible dans Z.
>
> J'ai trouvé que cette condition était que dét(A) = 1 ou -1.
>
> Quelqu'un peut-il me dire si ce résultat est correct.
>
> Par avance, merci.
>
> Pascal Hartmann
Oui, ce resultat est correct.En effet, si ad-bc<>0, l'inverse d'un matrice
2*2 dans R est
1/(ad-bc) *[d -b]
[-c a]
Supposons A inversible dans Z, alors ad-bc divise a,b,c et d.
Soit a=a'(ad-bc), b=b'(ad-bc) etc..., ou a',b',c' et d' elements de Z
Ainsi, ad-bc=(a'd'-b'c')*(ad-bc)^2
donc, en divisant par ad-bc (<>0 car A est inversible): 1= (a'd'-b'c')(ad-bc)
Or a'd'-b'c' est element de Z, de meme que ad-bc.Donc |a'd'-b'c'|=1 et
|ad-bc|=1 CQFD
Julien PUYDT
>
> Bonjour à tous !
>
> J'ai un problème de maths (début du concours d'agrég interne de maths).
>
> A est une matrice carrée A = (a b)
> (c d)
>
> à coefficients dans Z.
>
> Il s'agit de donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit
> inversible dans Z.
>
> J'ai trouvé que cette condition était que dét(A) = 1 ou -1.
>
> Quelqu'un peut-il me dire si ce résultat est correct.
>
> Par avance, merci.
>
Salut,
Il suffit de poser les choses tranquillement: si elle est inversible
dans les matrices a coefficients entiers, son inverse est
necessairement:
inv(ad-bc)(d -b) [inverse du determinant de A fois la transposee
(-c a) de la comatrice de A]
(dans les matrices a coefficients reels a priori)
et si on veut que cette matrice soit a coefficients entiers, cela
signifie que son determinant, inv(ad-bc), est entier. Or c'est lui meme
l'inverse d'un entier, donc ca ne peut etre que 1 ou -1.
Donc on a deja: A inversible dans M2(Z) => |det(A)|=1
et la formule d'inverse donnee montre que cette condition est
suffisante...
Finalement, on a bien: A:M2(Z)* <=> |det(A)|=1
JP
--
Enlever le bof. de l'adresse pour me repondre peut s'averer une
idee brillante.
Removing the bof. off my adress to reply me may turn out to be a
bright idea.
Julien CASSAIGNE
>2. Pour la condition nécessaire, voici une indication.
>Imaginons que le déterminant de A soit k, avec par exemple k > 1 (k < -1 se
>traite de la même façon).
>Si l'inverse de A est à coefficients entiers, cela signifie alors que *tous*
>les éléments a, b, c, d de A sont divisibles par k. Mais alors que peut-on
>dire en réalité du déterminant de A (on y revient) ?
Ou encore : Si A est inversible (dans Z), soit B son inverse : A*B = I.
Donc 1 = det(I) = det(A*B) = det(A) * det(B), donc det(A) et det(B)
sont inversibles. Et un entier inversible...
Julien.
simon_b
Un développement intéressant et tout a fait dans l'esprit des programmes
actuels puisqu' il fait intervenir les manipulations sur les lignes ou les
colonnes des matrices consiste à montrer que toute matrices de Mn(Z) (matrice
n*n à coeff dans Z) est inversibble ssi son déterminant est 1 ou -1.
Amusez-vous bien, c'est moins facile !!
Pascal Hartmann a écrit:
> Bonjour à tous !
>
> J'ai un problème de maths (début du concours d'agrég interne de maths).
>
> A est une matrice carrée A = (a b)
> (c d)
>
> à coefficients dans Z.
>
> Il s'agit de donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit
> inversible dans Z.
>
> J'ai trouvé que cette condition était que dét(A) = 1 ou -1.
>
> Quelqu'un peut-il me dire si ce résultat est correct.
>
> Par avance, merci.
>
> Pascal Hartmann
Francois MALTEY
Je propose de partir de
t (com (A)) A = det A * In
la comatrice est une matrice de Z (définie avec +/-/*)
Si A est dans Z et det A = +/- 1 alors t (Com (A)) convient
Si A est dans Z et A^(-1) aussi alors
det A^(-1) et det A dans Z et det A^(-1) * det (A) = 1 donc
det A = +/- 1
Cordialement (en espérant ne pas avoir écrit de bourdes)
Francois