adhérence et suites
Phij Trijs
Est-il vrai que si un point a appartient à l'adhérence de F alors il
existe une suite d'éléments de F qui converge vers a ?
Si oui, comment le démontre-t-on ?
Merci d'avance.
--
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jeanfi61
> Soit F une partie d'un espace topologique E.
> Est-il vrai que si un point a appartient à l'adhérence de F alors il
> existe une suite d'éléments de F qui converge vers a ?
Non.
Par exemple : l'ordinal a=omega_1 est un point adhérent de l'ensemble
F=omega_1 (ensemble des ordinaux dénombrables, muni de la topologie de
l'ordre).
Néanmoins, aucune suite d'ordinaux dénombrables ne converge vers
omega_1.
Mais : si le point a possède une base *dénombrable* de voisinages,
alors, bien sûr, a est limite d'une suite de points de F ; c'est le cas
si E est un espace métrique, par exemple.
--
jeanfi61
Xavier Caruso
> Soit F une partie d'un espace topologique E.
> Est-il vrai que si un point a appartient à l'adhérence de F alors il
> existe une suite d'éléments de F qui converge vers a ?
Non, c'est faux... prendre par exemple l'ordinal aleph_1+1 muni de la
topologie de l'ordre. Il est alors facile de voir que toute suite
convergeant vers aleph_1 est stationnaire et que pourtant le singleton
{aleph_1} n'est pas ouvert. C'est d'ailleurs pour palier à ce genre de
problèmes que la notion de filtre a été introduite.
Par contre, c'est vrai si l'espace topologie admet une base dénombrable
d'ouverts.
--
Xavier, qui sens que ce thread va encore dévier vers la logique.
Panh
"Phij Trijs" <spag...@ifrance.com> a écrit dans le message news:
4fd77c615c2e69c9e8d...@mygate.mailgate.org...
> Soit F une partie d'un espace topologique E.
> Est-il vrai que si un point a appartient à l'adhérence de F alors il
> existe une suite d'éléments de F qui converge vers a ?
> Si oui, comment le démontre-t-on ?
>
convergence simple.
Un système fondamental de voisinages de f est constitué des
V(f,x_1,x_2,..,x_n,e) où les x_i sont des réels en nombre fini et e un réel
strictement positif.
F est l'ensemble des fonctions presque nulle (nulle partout sauf sur un
ensemble fini) privé de la fonction nulle.
Sauf erreur la fonction nulle est adhérente à F et n'est pas limite d'une
suite d'éléments de F.
Question en rapport avec les autres réponses:
Peut on dire que l'ordinal w1 est l'ensemble des ordinaux dénombrables?
Merci .
Panh
Xavier Caruso
> Soit E l'ensemble des applications de R dans R muni de la topologie de la
> convergence simple.
> Un système fondamental de voisinages de f est constitué des
> V(f,x_1,x_2,..,x_n,e) où les x_i sont des réels en nombre fini et e un réel
> strictement positif.
> F est l'ensemble des fonctions presque nulle (nulle partout sauf sur un
> ensemble fini) privé de la fonction nulle.
> Sauf erreur la fonction nulle est adhérente à F et n'est pas limite d'une
> suite d'éléments de F.
La suite (chi_n) où chi_n est la fonction indicatrice du singleton {n} ne
converge-t-elle pas vers la fonction nulle ?
> Peut on dire que l'ordinal w1 est l'ensemble des ordinaux dénombrables?
Oui, et c'est même une définition
Panh
"Xavier Caruso" <car...@clipper.ens.fr> a écrit dans le message news:
a5q9eo$109q$1...@nef.ens.fr...
> "Panh" , dans le message (fr.sci.maths:69528), a écrit :
> > Soit E l'ensemble des applications de R dans R muni de la topologie de
la
> > convergence simple.
> > Un système fondamental de voisinages de f est constitué des
> > V(f,x_1,x_2,..,x_n,e) où les x_i sont des réels en nombre fini et e un
réel
> > strictement positif.
> > F est l'ensemble des fonctions presque nulle (nulle partout sauf sur un
> > ensemble fini) privé de la fonction nulle.
> > Sauf erreur la fonction nulle est adhérente à F et n'est pas limite
d'une
> > suite d'éléments de F.
>
> La suite (chi_n) où chi_n est la fonction indicatrice du singleton {n} ne
> converge-t-elle pas vers la fonction nulle ?
Bien sur. Vous m'avez pris de vitesse pour signaler mon erreur.
Je fais une autre tentative avec beaucoup de prudence....
Prendre peut être F= l'ensemble des fonctions égales a 1 partout sauf sur un
ensemble fini de réels où elles s'annulent.
On garde la fonction nulle adhérente à F.
> > Peut on dire que l'ordinal w1 est l'ensemble des ordinaux dénombrables?
>
> Oui, et c'est même une définition
Merci.
Phij Trijs
jeanfi61
> [...]
> Soit E l'ensemble des applications de R dans R muni de la topologie de la
> convergence simple.
> Un système fondamental de voisinages de f est constitué des
> V(f,x_1,x_2,..,x_n,e) où les x_i sont des réels en nombre fini et e un réel
> strictement positif.
Précisons tout de même que V(f,x_1,...,x_n,e) désigne l'ensemble des
fonctions g:R->R pour lesquelles on a :
|f(x_1) - g(x_1)| < e,
.................
|f(x_n) - g(x_n)| < e.
(C'est bien ça ?)
E=R^R est un contre-exemple d'autant plus intéressant qu'il est
*séparable* : en effet l'ensemble des polynômes à coefficients
rationnels est dense dans E (pas très difficile à montrer).
Cependant l'ensemble des fonctions R->R qui sont limites de *suites*
(P_n)_n à valeurs dans Q[X] est beaucoup plus petit que E, ne serait-ce
que par son cardinal (égal à celui de R, alors que le cardinal de E est
2^card(R)).
Sur cete exemple, on voit donc clairement que les filtres fournissent
plus de limites que les seules suites.
--
jeanfi61
Phil
Tu peux quand même caractériser l'adhérence avec les suites généralisées. (Si
mes souvenirs sont exacts) Ce qui est plutôt sympa dans la pratique, surtout
quand on travaille avec des elcs non métrisables du type D(omega) ou autre
--
Utilisez notre serveur de news 'news.foorum.com' depuis n'importe ou.
Plus d'info sur : http://nnrpinfo.go.foorum.fr/
Phij Trijs
news:200233-03...@foorum.com...
>
> Tu peux quand même caractériser l'adhérence avec les suites généralisées. (Si
> mes souvenirs sont exacts) Ce qui est plutôt sympa dans la pratique, surtout
> quand on travaille avec des elcs non métrisables du type D(omega) ou autre
C'est quoi les suites généralisées ?
Mehdi Tibouchi
> > Tu peux quand même caractériser l'adhérence avec les suites
> > généralisées. (Si mes souvenirs sont exacts) Ce qui est plutôt sympa
> > dans la pratique, surtout quand on travaille avec des elcs non
> > métrisables du type D(omega) ou autre
>
> C'est quoi les suites généralisées ?
Les filtres, sur lesquels Yann Villesuzanne a écrit un article
introductif très sympathique le mois dernier (Message-ID:
<a352s4$1ild$1...@nef.ens.fr>).
En revanche, qu'est-ce qu'un elc?
--
"Tom Cruise is posing shirtless with a sultry, smoldering look on his
face. Before Sept. 11, Cruise had never appeared on the cover of Vanity
Fair without a shirt. Draw your own conclusions." -- D. Roell,
media-studies professor at Stanford, cited by www.onion.com.
Phil
>
> Les filtres
Ah, non ! C'est autre chose...
Une suite généralisée (x_i) avec i dans A où A est un ensemble ordonné
filtrant croissant (i.e. pour tout x,y de A, il existe z dans A tel que x<=z
et y<=z)
Elle est dite convergente vers x un élément d'un espace topologique T si
pour tout voisinage V de x il existe un i0 de A tel que i0<=i implique x_i0
appartient à V.
Tu dois pouvoir montrer facilement que F inclus dans T est fermé ssi pour
tout suite généralisée d'éléments de T qui converge vers x, alors x est dans
F. Tout plein d'autres propriétés sont vraies, du genre f est continue en x0
ssi pour toute suite généralisée qui converge vers x0 alors (f(x_i))
converge vers f(x_0), etc... compacité, et autres. Attention, dans ce cas la
notion de suite extraite est un peu plus compliquée...
Dans certains cas, les suites généralisées sont plus pratique que les
filtres, dans d'autres, ce sont les filtres qui ont le dernier mot...
Faudrait que je trouve une référence... En tout cas, en anglais, il me
semble qu'une suite généralisée est appelée : "net"
Yvon Henel
>> > C'est quoi les suites généralisées ?
>>
>> Les filtres
>
> Ah, non ! C'est autre chose...
> Une suite généralisée (x_i) avec i dans A où A est un ensemble ordonné
> filtrant croissant (i.e. pour tout x,y de A, il existe z dans A tel que
> x<=z et y<=z)
[snip]
> Faudrait que je trouve une référence... En tout cas, en anglais, il me
> semble qu'une suite généralisée est appelée : "net"
Oui. Une référence en anglais « Analysis Now » Pedersen (me souviens plus
du prénom) Springer.
Amazon.com donne les réf : Gert Kjaergard Pedersen, Analysis Now, Graduate
Texts in Mathematics 1988.
--
Y. Henel
Michel TALON
: Phil a écrit :
Une référence beaucoup plus classique:
Kelley Topologie Van Nostrand
--
Michel TALON