Limite

[Julien Arlandis]

Bonjour,

Je suis tombé ce matin sur une vidéo Facebook sans démonstration qui
stipule que :
lim{x->e} (x-e)/(ln(x)-1) = e
Comment ça se démontre ?

Question annexe : si une fonction n'est pas définie en x0 MAIS que sa
limite en x0 est réelle, peut on malgré tout trouver un moyen de la
définir en x0 ? Si je compare par exemple
f(x) = (x-e)/(ln(x)-1) et g(x) = 1/(ln(x)-1), même si les deux fonctions
ne sont pas définies en x=e, il est plus facile de donner un sens à f(e)
qu'à g(e). Existe t-il un nom pour qualifier une telle fonction qui
possède une limite finie là où elle n'est pas définie ?

[efji]

Le 13/01/2024 à 11:11, Julien Arlandis a écrit :
> Bonjour,
>
> Je suis tombé ce matin sur une vidéo Facebook sans démonstration qui
> stipule que : lim{x->e} (x-e)/(ln(x)-1) = e
> Comment ça se démontre ?

x = e+y, y petit. (|y|<<1).
ln(x) = ln(e+y) = ln(e) + y/e + o(y) = 1 + y/e + o(y)
(x-e)/(ln(x)-1) = y/(y/e+o(y)) = e + o(y) -> e lorsque y->0

> Question annexe : si une fonction n'est pas définie en x0 MAIS que sa
> limite en x0 est réelle, peut on malgré tout trouver un moyen de la
> définir en x0 ? Si je compare par exemple f(x) = (x-e)/(ln(x)-1) et g(x)

Oui. Juste comme ça. on dit f(x0) = y0. Mais on n'est pas obligé de
prendre y0 comme la valeur de la limite en x0. Les fonctions n'ont pas
besoin d'être continues...

> = 1/(ln(x)-1), même si les deux fonctions ne sont pas définies en x=e,
> il est plus facile de donner un sens à f(e) qu'à g(e). Existe t-il un

non

> nom pour qualifier une telle fonction qui possède une limite finie là où
> elle n'est pas définie ?

non, pas un nom compact. C'est une fonction définie sur \R -{x0}
prolongeable par continuité en x0.

--
F.J.

[efji]

Le 13/01/2024 à 11:41, efji a écrit :
> Le 13/01/2024 à 11:11, Julien Arlandis a écrit :
>> Bonjour,
>>
>> Je suis tombé ce matin sur une vidéo Facebook sans démonstration qui
>> stipule que : lim{x->e} (x-e)/(ln(x)-1) = e
>> Comment ça se démontre ?
>
> x = e+y, y petit. (|y|<<1).
> ln(x) = ln(e+y) = ln(e) + y/e + o(y) = 1 + y/e + o(y)

Il faut peut-être que je détaille ça ?

Taylor à l'ordre 1 :
f(x+h) = f(x) + h f'(x) + o(h)
o(h) est telle que o(h)/h->0 lorsque h->0
ici f(x) = ln(x) et f'(x) = 1/x

--
F.J.

[Julien Arlandis]

Oui bien vu. Merci.

[Samuel Devulder]

Le 13/01/2024 à 11:41, efji a écrit :

>> stipule que : lim{x->e} (x-e)/(ln(x)-1) = e
>> Comment ça se démontre ?
>
> x = e+y, y petit. (|y|<<1).
> ln(x) = ln(e+y) = ln(e) + y/e + o(y) = 1 + y/e + o(y)
> (x-e)/(ln(x)-1) = y/(y/e+o(y)) = e + o(y) -> e lorsque y->0

On peut aussi utiliser la règle de l'Hôpital:

On note f(x)=(x-e), g(x) = ln(x)-1, f et g tendent toutes deux 0 quand
x->e. Donc lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) quand x->e

Or f'(x) = 1 et g'(x)=1/x, soit f'(x)/g'(x) = x. On a donc:

lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) = lim x = e lorsque x->e

sam.