Sous-corps de k(X)

[Jean Pierre MERX]

Soit k un corps de caractéristique p > 0. On note K=k(X) le corps des
fractions rationnelles sur k, et K_0 le sous-corps k(X^p).

Comment montrer que le degré de K sur K_0 est égal à p? J'arrive bien à
montrer que 1, X, ..., X^{p-1} est une famille libre de K (sur le corps
K_0), mais pas que c'est une famille génératrice. Pouvez-vous m'en donner
une preuve? Evidemment j'arrive à prouver que 1, X, ..., X^{p-1}est une
famille génératrice de k[X] considéré comme k[X^p]-module.

Peut-on trouver une démonstration constructive? C'est à dire prenant un
élément de k(X), l'écrire comme somme A_0 * 1 + ... + A_{p-1} * X^{p-1} avec
A_0, ..., A_{p-1} dans K_0 avec un algorithme permettant de trouver ces
derniers éléments.

[zpz]

Jean Pierre MERX a écrit :

> Peut-on trouver une démonstration constructive? C'est à dire prenant un
> élément de k(X), l'écrire comme somme A_0 * 1 + ... + A_{p-1} * X^{p-1}
> avec A_0, ..., A_{p-1} dans K_0 avec un algorithme permettant de trouver
> ces derniers éléments.

f = a(x)/b(x) dans k(x).

En caractéristique p, b(x)^p appartient à k[x^p].

f = [a(x)b^(p-1)(x)] / b(x)^p, et il ne te reste plus qu'à
décomposer le numérateur.

Jqça.

--
zpz

[zpz]

zpz a écrit :

> Jean Pierre MERX a écrit :
>
>> Peut-on trouver une démonstration constructive? C'est à dire prenant un
>> élément de k(X), l'écrire comme somme A_0 * 1 + ... + A_{p-1} * X^{p-1}
>> avec A_0, ..., A_{p-1} dans K_0 avec un algorithme permettant de trouver
>> ces derniers éléments.

Je refais, sans les (x) qui alourdissent et sont mal employés :

Soit f = a/b dans k(x).

En caractéristique p, b^p appartient à k[x^p] (car x|->x^p
additive).

f = [ab^(p-1)] / b^p, et il ne te reste plus qu'à décomposer
le numérateur.

--
zpz