arctan et tanh se ressemblent...
Francois Maltey
Les graphes de artan x et de %pi/2*tanh (2/%pi*x) se ressemblent encore
plus... même tangente à l'origine et même asymptote.
Un simple << plot >> montre que le graphe de arctan est en dessous
de l'autre (à droite de l'origine)
Cela s'explique au voisinage de 0 par un développement limité,
et au voisinage de l'infini par un développement asymptotique.
Mais existe-t-il une manipulation simple pour montrer que
l'inégalité est valable pour tout x > 0 ?
atan x < %pi/2 * tanh (2/%pi*x)
Bien cordialement.
F.
Denis Feldmann
> Bonjour,
>
> Les graphes de artan x et de %pi/2*tanh (2/%pi*x) se ressemblent encore
> plus... même tangente à l'origine et même asymptote.
>
> Un simple << plot >> montre que le graphe de arctan est en dessous
> de l'autre (à droite de l'origine)
>
> Cela s'explique au voisinage de 0 par un développement limité,
Tu ne peux pas comparer les séries?
Charles Delorme
On peut comparer les inverses des derivees, qui sont
1+x^2 et (cosh( 2 x/Pi))^2
on enleve 1 et on prend les racines, cela donne (pour x>0)
x et sinh(2 x/Pi)
en regardant les derivees de ces deux fonctions, il apparait que
x est plus grand entre 0 et la racine reelle positive R de
l'equation x=sinh(2x/Pi), et plus petit ensuite, que sinh(2 x/Pi).
Donc les derivees 1/(1+x^2) et 1/(cosh(2 x/Pi)^2 de
x -> atan x et de x -> Pi/2 tanh( 2 x/Pi)
sont dans l'ordre inverse.
A partir de la on voit que la difference Pi/2 tanh(2x/Pi) - atan x
est croissante pour x < R et croissante ensuite. Ceci joint aux limites
nulles en 0 et l'infini regle la question.
Amicalement
Vincent Beck
atan x - %pi/2 * tanh (2/%pi*x)
Tu dérives, tu montres que la dérivée est négative (enfin j'espère).
Comme la fonction est nulle en 0 elle est tout le temps négative si x>0.
Vincent
Francois Maltey a écrit :
> Bonjour,
>
> Les graphes de artan x et de %pi/2*tanh (2/%pi*x) se ressemblent encore
> plus... même tangente à l'origine et même asymptote.
>
> Un simple << plot >> montre que le graphe de arctan est en dessous
> de l'autre (à droite de l'origine)
>
> Cela s'explique au voisinage de 0 par un développement limité,
> et au voisinage de l'infini par un développement asymptotique.
>
> Mais existe-t-il une manipulation simple pour montrer que
> l'inégalité est valable pour tout x > 0 ?
>
>
> Bien cordialement.
>
> F.
Bermisch
arctg(x) et th(x) (c'est comme ça qu'on les nommait de mon temps..,
lire "arc tangente x" et "té hache x" : aujourd'hui avec les raccourcis
style calculette et surtout le codage "fortran" les choses ont bien
changé, on écrit atan et tanh ...) ne sont que "grossièrement"
semblables : si au voisinage de l'origine les graphes des deux fonctions
atan(x) et (pi/2)*tanh(x*2/pi) ont des aspects semblables et présentent
un point d'inflexion avec la même pente 1, les choses sont bien
différentes vers + ou - l'infini.
atan(x) étant la primitive de 1/(1+x²) nulle à l'origine tend vers pi/2
vers + l'infini et pi/2 -atan(x) est alors une infiniment petit
équivalent à 1/x
Quand x tend vers +infini
tanh(x) = sh(x)/chx = ( exp(x) - exp(-x))/(exp(x) + exp(-x) ) ou
tanh(x) = 1 - 2* exp(-x)/(exp(x) + exp(-x) ) équivalent à
1 - 2*exp(-2x)
et pi/2 *tanh(x*2/pi) est équivalent à pi/2( 1 - 2*exp(-4*x/pi) )
L'assymptote pi/2 est la même mais la fonction tangente hyperbolique
s'en rapproche "beaucoup plus vite" que l'arctangente.
Voir aussi la confusion entre la "chainette" y=ch(x)
et la parabole y= 1 + x²/2 au voisinage de l'origine! valable jusqu'à
l'ordre 3
(ch(x) = 1 + x²/!2 + x^4/!4 +...)
Sous réserve des erreurs de calcul...
CDT
--
Ne me contactez pas par e-mail mais via la page perso suivante
http://perso.orange.fr/bernard-michaud/formulaire.html
et profitez-en pour la visiter (si vous n'avez rien d'autre à faire).