[Th. des groupes]Problème des 36 officiers.

[sh]

Voici un PROBLEME dont on sait qu'il n'a pas de solution :

C'est le problème des 36 officiers. Soient 6 régiments (r1...r6) tous
différents. Chaque régiment possède 6 officiers de grades (g1....g6) tous
différents au sein d'un régiment. Comment former un carré de 6 lignes et 6
colonnes avec ces 36 officiers de telle sorte que l'on ait 1 seul grade
identique par ligne et par colonne et 1 seul régiment identique par ligne et
par colonne.?
Ne cherchez pas, il n'y a pas de solution...

Pour tous ceux que cette formulation militaire du problème gênerait en
évoquant de mauvais souvenirs et qui ont atteind un degré d'abstraction
suffisant pour s'en passer (je plaisante bien sûr ;-) ), voici une
formulation identique et plus simple :

Existe-t-il un carré gréco-latin d'ordre 6 ?

RESULTAT : Non, il n'y a pas de carré gréco-latin (on dit aussi eulérien)
d'ordre 6.
Ce résultat conjecturé par Fermat (encore lui...) et démontré par Gaston
Tarry (1843-1913) se généralise d'ailleurs pour les carrés gréco-latin
d'ordre 4p+2.

Je recherche une démonstration de ce résultat (pour l'ordre 6) et
intuitivement je pense qu'une démonstration s'appuyant sur la th. des
groupes doit exister...
Quelqu'un a-t-il une idée ?
Merci d'avance...

[denis-feldmann]

sh <serge....@wanadoo.fr> a écrit dans le message :
8pff7l$m2l$1...@wanadoo.fr...

> Voici un PROBLEME dont on sait qu'il n'a pas de solution :
>
> C'est le problème des 36 officiers. Soient 6 régiments (r1...r6) tous
> différents. Chaque régiment possède 6 officiers de grades (g1....g6) tous
> différents au sein d'un régiment. Comment former un carré de 6 lignes et 6
> colonnes avec ces 36 officiers de telle sorte que l'on ait 1 seul grade
> identique par ligne et par colonne et 1 seul régiment identique par ligne
et
> par colonne.?
> Ne cherchez pas, il n'y a pas de solution...
>
> Pour tous ceux que cette formulation militaire du problème gênerait en
> évoquant de mauvais souvenirs et qui ont atteind un degré d'abstraction
> suffisant pour s'en passer (je plaisante bien sûr ;-) ), voici une
> formulation identique et plus simple :
>
> Existe-t-il un carré gréco-latin d'ordre 6 ?
>
> RESULTAT : Non, il n'y a pas de carré gréco-latin (on dit aussi eulérien)
> d'ordre 6.
> Ce résultat conjecturé par Fermat (encore lui...) et démontré par Gaston
> Tarry (1843-1913) se généralise d'ailleurs pour les carrés gréco-latin
> d'ordre 4p+2.

Ah mais non!! C'est même exactement le contraire; on a obtenu (d'abord par
ordinateur, puis de manière systématique) des carrés gréco-latins de tous
ordres 4p+2 sauf 6!

[sh]

> Ah mais non!! C'est même exactement le contraire; on a obtenu (d'abord par
> ordinateur, puis de manière systématique) des carrés gréco-latins de tous
> ordres 4p+2 sauf 6!
>

Ce n'est pas ce qui est écrit dans le livre de René Descombes "les carrés
magiques" (Vuibert).
Le livre est superbe mais ce ne serait pas la première erreur que j'y
trouverais...
Alors qui a raison ?
Je pense que ce point est anecdotique et il m'importerait davantage d'voir
une démonstration qu'il n'y a pas de carré gréco-latin d'ordre 6 en
utilisant les groupes ou les corps (automophismes de F6 ?...). Bon, je crois
que je vais devoir m'y mettre...
Merci pour cet élément de réponse.
A+