Prouver une inégalité pour tout x et y

6 views
Skip to first unread message

Olivier Miakinen

unread,
Aug 18, 2021, 10:15:15 AMAug 18
to
Je vais prendre exemple sur Samuel et vous proposer une petite énigme
trouvée sur une chaine youtube (celle de SyberMath). Là aussi, evitez
de tricher, je vous donne toutes les astuces nécessaires.

Attention, article à voir avec une police à espacement fixe.


Il s'agit de prouver que pour tous x et y réels on a :

| (x+y)(1-xy) | 1
|−−−−−−−−−−−−−−| ≤ −
| (1+x²)(1+y²) | 2


Astuces (en ROT-13 pour ceux qui veulent chercher sans aide) :
- cbfre k = gna(n) rg l = gna(o)
- fr enccryre dhr :
- gna(n) = fva(n)/pbf(n)
- pbf(n+o) = pbf(n)pbf(o) - fva(n)fva(o)
- fva(n+o) = fva(n)pbf(o) + pbf(n)fva(o)
- q'bù fva(2n) = 2fva(n)pbf(n)
- pbf(n)² + fva(n)² = 1

--
Olivier Miakinen

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 19, 2021, 9:28:12 AMAug 19
to
Le 18/08/2021 à 16:15, Olivier Miakinen a écrit :
> Il s'agit de prouver que pour tous x et y réels on a :
>
> | (x+y)(1-xy) | 1
> |−−−−−−−−−−−−−−| ≤ −
> | (1+x²)(1+y²) | 2

Bon j'y vais en mode "bourrin", je note

f(x) = (x+y)(1-xy)/[(1+x²)(1+y²)]

Je vois que

lim f(x) = -y/(1+y²)
+-oo

et que cette limite (L) est la même en +-oo et se situe entre -1/2 et
+1/2 (faire le tableau de variation et déduire.)

Je calcule ensuite:

f'(x) = (x²(y²-1) - 4xy - y² + 1) / [(x²+1)²(y²+1)]

Je cherche le x qui annule cette dérivée, c'est à dire:

g(x) = x²(y²-1) - 4xy - y² + 1 = 0

Remarquons que le signe de f' est celui de g qui est une parabole, ce
qui veut dire que le tableau de variation de f' est tout simple :)

Pour résoudre g(x)=0, on remarque qu'on a un beau système du second
degré en x qui a deux solutions plutôt simples:

x1 = (y + 1) / (y - 1)
x2 = (1 - y) / (y + 1) = -1/x1 (x1 et X2 sont de signe opposés)

La dessus, on note x3 = (x1+x2)/2 la valeur milieu entre ces deux zéro
ce qui est pratique pour connaitre l'allure de la parabole g donc le
signe de f'.

Quelques petits calculs donnent alors:

x3 = 2y / (y² - 1)

et
f(x1) = -1/2,
f(x2) = 1/2,
f(x3) = -y / (y² + 1)

ainsi que

g(y3) = - (y²+1)²/(y²-1) dont le signe dépend de celui de y²-1

Faisons maintenant 3 cas suivant la position de y:

A) y < -1, alors g(x3)<0, et x2<0, x1>0, et 0 <= L (et toujours <= 1/2
bien entendu)

Le tableau de variation est alors celui ci:

x |-oo x2 x3 x1 +oo
f' | + 0 - 0 +
f | 0<=L 1/2 -1/2 L<=1/2

Comme 0<= L <= 1/2, on en déduit que -1/2 <= f <= 1/2

B) -1<y<1, alors g(x3)>0, et x1<0 x2>0

x |-oo x1 x3 x2 +oo
f' | - 0 + 0 -
f | 1/2>=L -1/2 1/2 L>=-1/2

Là encore on conclue que -1/2 <= f <= 1/2

C) y>1, alors g(x3)>0, x2<0 et x1>0, ce qui nous ramène au cas A)

Ah oui restent les cas y=+-1, qui se simplifient avec
f(x) = (x-1)(x+1)/[(1+x²)(2)] = 1/2 (x²-1)/(1+x²)
f'(x) = 2x/(1+x²)² --> signe de x

x | -oo 0 +oo
f'| - 0 +
f | 1/2>=L -1/2 L<=1/2

Bref dans tous les cas on a -1/2 <= f <= 1/2 sans utiliser l'indice
rot13 mais en y allant bourrin avec les dérivées et les tableaux de
variation ce qui est à la portée d'un élève de Lycée.

sam (sauf erreur de calcul)

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 20, 2021, 5:01:23 AMAug 20
to
Le 19/08/2021 à 15:28, Samuel DEVULDER a écrit :

> Bref dans tous les cas on a -1/2 <= f <= 1/2 sans utiliser l'indice
> rot13 mais en y allant bourrin avec les dérivées et les tableaux de
> variation ce qui est à la portée d'un élève de Lycée.

J'ai regardé la solution de SyberMaths (son avatar ressemble à une
personnalité phocéenne!), c'est vachement plus élégant que la mienne,
mais sensiblement de la même longueur tout en nécessitant de bien se
rappeler les trucs en ROT13 qu'on a appris à l'école (lycée là encore)
mais personnellement oublié depuis belle lurette.

sam.

Michel Talon

unread,
Aug 20, 2021, 5:32:57 AMAug 20
to
Le 19/08/2021 à 15:28, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 18/08/2021 à 16:15, Olivier Miakinen a écrit :
>> Il s'agit de prouver que pour tous x et y réels on a :
>>
>> | (x+y)(1-xy)  |   1
>> |−−−−−−−−−−−−−−| ≤ −
>> | (1+x²)(1+y²) |   2
>
> Bon j'y vais en mode "bourrin", je note
>
>     f(x) = (x+y)(1-xy)/[(1+x²)(1+y²)]


Bon je n'avais pas compris la question, vu le formatage. Voici une
solution, dont je développe le calcul avec maxima:
Maxima 5.43.2 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp SBCL 2.0.1.debian
...
(%i1) display2d:false;

(%o1) false
(%i2) subst([x=tan(u),y=tan(v)],(x+y)*(1-x*y)/((1+x^2)*(1+y^2)));

(%o2) ((tan(v)+tan(u))*(1-tan(u)*tan(v)))/((tan(u)^2+1)*(tan(v)^2+1))
(%i3) trigrat(%);

(%o3) sin(2*v+2*u)/2

d'où il est clair que le module est inférieur à 1/2. Le changement de
variable est évidemment suggéré par la formule tan(x+y)=...

Calcul à la main: d'abord
((tan(v)+tan(u))*cos(u+v)/(cos(u)*cos(v))*(cos(u)*cos(v))^2 puis
sin(u+v)*cos(u+v)
soit sin(2*(u+v))/2 donc c'est très simple.


--
Michel Talon

Olivier Miakinen

unread,
Aug 20, 2021, 6:33:27 AMAug 20
to
Le 20/08/2021 à 11:01, Samuel DEVULDER a écrit :
>
>> Bref dans tous les cas on a -1/2 <= f <= 1/2 sans utiliser l'indice
>> rot13 mais en y allant bourrin avec les dérivées et les tableaux de
>> variation ce qui est à la portée d'un élève de Lycée.
>
> J'ai regardé la solution de SyberMaths (son avatar ressemble à une
> personnalité phocéenne!),

Tiens, c'est vrai, je n'avais pas fait attention.

> c'est vachement plus élégant que la mienne,
> mais sensiblement de la même longueur tout en nécessitant de bien se
> rappeler les trucs en ROT13 qu'on a appris à l'école (lycée là encore)
> mais personnellement oublié depuis belle lurette.

J'ai commencé à suivre ta solution, en faisant tous les calculs que tu
ne détailles pas. Jusqu'à présent je suis d'accord avec tout ce que j'ai
lu, mais la dérivée d'un quotient de polynômes n'est pas si triviale.
D'ailleurs tu dis avoir oublié les formules de cos et sin de la somme
de deux angles (je suppose que tu te souvenais de cos² + sin² = 1), mais
pour ta solution tu as dû te souvenir de plusieurs formules de calcul
de dérivées, ainsi que de la résolution d'une équation du second degré.

La principale critique que je ferais à la solution de SyberMath, c'est
que la substitution de x et de y en tan(alpha) et tan(bêta) est un peu
parachutée... mais c'est le cas général des vidéos de SyberMath que
j'ai vues : elles commençaient toujours par une substitution qui n'est
pas forcément intuitive. Seulement une fois cette substitution faite,
je trouve que c'est plutôt simple.

--
Olivier Miakinen

MAIxxxx

unread,
Aug 20, 2021, 6:49:20 AMAug 20
to
Le 18/08/2021 à 16:15, Olivier Miakinen a écrit :
J'ai ça sans liire le rot 13:
u = x+ y v = xy

f(u,v) = u(1-v)/ (1+ u² -2v + v²)

[1 +x²+y² +x²y² = 1 +(x+y)² -2xy + x²y²}

f(u,v) = (u-uv)/(u² +(1-v)² )

on pose w= 1-v

f(u,w) = uw/(u²+w²)

et encore w = zu f(z,u)= zu²/(u² +u²z²)= z/(1+z²)

fonction qui ne dépend plus que de z dont la dérivée en z
( 1+z² -2.z.z) /(1+z²)²= (1-z²)/(1+z²)²re

négative pour |z| > 1 nulle pour |z|=1

f(z) = z/(1+z²) vaut 0 à +/- l'infini, décroit

jusqu'à -1/2 pour z=-1 croit de -1/2 à +1/2 pour z=1

et décroit vers zéro pouz z= +infini.

C'est du genre terminale (scientifique quand même,

j'ai eu moi-même une fraction rationnelle à étudier

au bac "math élem" au millénaire dernier). Suppose

une certaine agilité de calcul.

Evidemment on peut poser directement

z= (1-xy)/(x+y) c'est encore plus élégant, il faut le

voir. La simplification par u= x+y suppose u non nul.

Si c'est le cas y=-x et f(x,y) = 0 correspondant

à z= 0 et z infini.





--
Quand on veut tuer son chien ces temps-ci, on dit qu'il est une fraction
rationnelle.

Olivier Miakinen

unread,
Aug 20, 2021, 7:33:37 AMAug 20
to
Le 19/08/2021 à 15:28, Samuel DEVULDER a écrit :
>
> Bon j'y vais en mode "bourrin", je note
>
> f(x) = (x+y)(1-xy)/[(1+x²)(1+y²)]
>
> Je vois que
>
> lim f(x) = -y/(1+y²)
> +-oo

Je le confirme.

>
> et que cette limite (L) est la même en +-oo et se situe entre -1/2 et
> +1/2 (faire le tableau de variation et déduire.)

Oui. La fonction h(y) = -y/(1+y²) est d'abord croissante de 0 à 1/2,
puis décroissante de 1/2 à -1/2, et enfin croissante de -1/2 à 0.
Pour ça j'ai calculé h'(y) = (y²-1)/(y²+1)² qui s'annule en -1 et +1.

>
> Je calcule ensuite:
>
> f'(x) = (x²(y²-1) - 4xy - y² + 1) / [(x²+1)²(y²+1)]

Oui. Il ne faut pas se tromper dans le calcul, et j'ai eu la chance d'y
arriver du premier coup.

>
> Je cherche le x qui annule cette dérivée, c'est à dire:
>
> g(x) = x²(y²-1) - 4xy - y² + 1 = 0
>
> Remarquons que le signe de f' est celui de g qui est une parabole, ce
> qui veut dire que le tableau de variation de f' est tout simple :)
>
> Pour résoudre g(x)=0, on remarque qu'on a un beau système du second
> degré en x qui a deux solutions plutôt simples:
>
> x1 = (y + 1) / (y - 1)
> x2 = (1 - y) / (y + 1) = -1/x1 (x1 et X2 sont de signe opposés)

C'était à mon avis la partie la plus satisfaisante de l'exercice, quand
on s'aperçoit que le discriminant (ou discriminant réduit) s'exprime
simplement sous la forme d'un carré.

>
> La dessus, on note x3 = (x1+x2)/2 la valeur milieu entre ces deux zéro
> ce qui est pratique pour connaitre l'allure de la parabole g donc le
> signe de f'.
>
> Quelques petits calculs donnent alors:
>
> x3 = 2y / (y² - 1)

Oui. Si on est passé par « x1,x2 = (2y±(y²+1))/(y²-1) », il suffit de
retirer le « ±(y²+1) » pour obtenir x3.

>
> et
> f(x1) = -1/2,

Bon, alors là j'ai plutôt galéré, mais après avoir corrigé mon erreur de
calcul j'y suis arrivé aussi.

> f(x2) = 1/2,

L'expérience du calcul précédent m'a évité une erreur de calcul ici, et
je trouve la même chose.

> f(x3) = -y / (y² + 1)

Et à partir de là j'ai la flemme. Je te fais confiance pour la suite des
calculs, mais je n'ai plus le courage de les vérifier.

Je fais confiance aussi au logiciel de calcul formel qu'a utilisé Michel
Talon, et je vais aller lire la solution de MAIxxxx.

--
Olivier Miakinen

Olivier Miakinen

unread,
Aug 20, 2021, 7:46:34 AMAug 20
to
Le 20/08/2021 à 12:49, MAIxxxx a écrit :
>
> J'ai ça sans liire le rot 13:
> u = x+ y v = xy

Ça, c'est typiquement le genre de substitution que pourrait faire
SyberMath !

> f(u,v) = u(1-v)/ (1+ u² -2v + v²)
>
> [1 +x²+y² +x²y² = 1 +(x+y)² -2xy + x²y²}
>
> f(u,v) = (u-uv)/(u² +(1-v)² )

Oui.

>
> on pose w= 1-v
>
> f(u,w) = uw/(u²+w²)
>
> et encore w = zu f(z,u)= zu²/(u² +u²z²)= z/(1+z²)

Excellent ! Noter que c'est au signe près la fonction que Samuel
trouve pour y quand il fait tendre x vers ±infini.

>
> fonction qui ne dépend plus que de z dont la dérivée en z
> ( 1+z² -2.z.z) /(1+z²)²= (1-z²)/(1+z²)²
>
> négative pour |z| > 1 nulle pour |z|=1
>
> f(z) = z/(1+z²) vaut 0 à +/- l'infini, décroit
>
> jusqu'à -1/2 pour z=-1 croit de -1/2 à +1/2 pour z=1
>
> et décroit vers zéro pouz z= +infini.

Bravo. C'est une très bonne méthode, et qui ne nécessite pas de passer
par les fonctions trigonométriques.

>
> C'est du genre terminale (scientifique quand même,
>
> j'ai eu moi-même une fraction rationnelle à étudier
>
> au bac "math élem" au millénaire dernier). Suppose
>
> une certaine agilité de calcul.
>
> Evidemment on peut poser directement
>
> z= (1-xy)/(x+y) c'est encore plus élégant, il faut le
>
> voir. La simplification par u= x+y suppose u non nul.
>
> Si c'est le cas y=-x et f(x,y) = 0 correspondant
>
> à z= 0 et z infini.

Cordialement,
--
Olivier Miakinen

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 20, 2021, 8:37:55 AMAug 20
to
Le 20/08/2021 à 12:33, Olivier Miakinen a écrit :

> J'ai commencé à suivre ta solution, en faisant tous les calculs que tu
> ne détailles pas. Jusqu'à présent je suis d'accord avec tout ce que j'ai
> lu, mais la dérivée d'un quotient de polynômes n'est pas si triviale.

Bof je retrouve tout formellement assez facilement..
(1/g)' = (g^-1)' = -g' g^-2 = -g'/g²
donc
(f/g)' = (f*1/g)' = f'/g - g'f/g² = (f'g - fg')/g²
(il y a une belle symétrie dedans je trouve)

> D'ailleurs tu dis avoir oublié les formules de cos et sin de la somme
> de deux angles (je suppose que tu te souvenais de cos² + sin² = 1), mais

Idem je retrouve assez facilement à partir des exponentielles complexes.

C'est une honte, mais vachement utile pour les formules avec les
sinh/cosh dont personne ne se souvient, ou alors avec des erreurs (Il
faut se méfier il y a des + qui se transforment en - des formules
sin/cos à cause de i² qui se baladent la dedans.)

> pour ta solution tu as dû te souvenir de plusieurs formules de calcul
> de dérivées, ainsi que de la résolution d'une équation du second degré.

Ah oui la résolution du 2nd degré est une formule que j'utilise souvent,
idem pour les paraboles. D'ailleurs on dit "les" paraboles alors que
pour moi il n'y en a qu'une à un changement de repère/d'échelle près (ce
qui n'est pas le cas pour les cubiques.)

> La principale critique que je ferais à la solution de SyberMath, c'est
> que la substitution de x et de y en tan(alpha) et tan(bêta) est un peu
> parachutée... mais c'est le cas général des vidéos de SyberMath que
> j'ai vues : elles commençaient toujours par une substitution qui n'est
> pas forcément intuitive. Seulement une fois cette substitution faite,
> je trouve que c'est plutôt simple.

Le pire c'est que je viens (dans un autre contexte) d'utiliser

R = tan((2U-1)pi/2)

où U = générateur aléatoire uniforme entre 0 et 1, pour tirer des réels
non bornés et pas trop pétés (distribution de Cauchy: on tire des grands
comme des petits, pas de moyenne, pas de moments, bref on particularise
rien de spécial dans ce tirage au pif). Donc le mapping de R via la
fonction tan() , m'aurait du faire tilt.

Mais oui une fois qu'on a vu le truc c'est immédiat.

sam.

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 20, 2021, 8:49:17 AMAug 20
to
Le 20/08/2021 à 12:49, MAIxxxx a écrit :

> Evidemment on peut poser directement
>
> z= (1-xy)/(x+y) c'est encore plus élégant, il faut le
>
> voir.

C'est ca le sens profond des maths: Quand on voit le raccourci, c'est
trivial, autrement c'est super laborieux et on est pas content de soi
(comme ce que j'ai fait). C'est pour cela que les théorèmes démontrés
par force brute sur ordi (exemple: théorème des 4 couleurs) sont
intellectuellement insatisfaisants(*).

En maths tout n'est qu'affaire de raccourcis en fait...
https://www.youtube.com/watch?v=BdEWCxt8C0M

sam.

____
(*) encore que celui des 4 couleurs a été démontré formellement en Coq
en 2005, mais je crois pas qu'il y a de l'astuce dedans, juste une
application hyper laborieuse des règles du noyau du moteur. Ca marche,
mais c'est enthousiasmant.

Olivier Miakinen

unread,
Aug 20, 2021, 11:38:47 AMAug 20
to
Le 18/08/2021 à 16:15, Olivier Miakinen a écrit :
> Je vais prendre exemple sur Samuel et vous proposer une petite énigme
> trouvée sur une chaine youtube (celle de SyberMath). Là aussi, evitez
> de tricher, je vous donne toutes les astuces nécessaires.
>
> Attention, article à voir avec une police à espacement fixe.
>
>
> Il s'agit de prouver que pour tous x et y réels on a :
>
> | (x+y)(1-xy) | 1
> |−−−−−−−−−−−−−−| ≤ −
> | (1+x²)(1+y²) | 2

Plutôt que vous renvoyer vers la vidéo en anglais, je vous en propose
un résumé en français.

L'idée de SybarMath est de remplacer x par tan(a)=sin(a)/cos(a) et y par
tan(b)=sin(b)/cos(b). Quels que soient x et y, un tel remplacement est
toujours possible, avec cos(a) et cos(b) non nuls.

On calcule alors chacun des quatre facteurs (x+y), (1-xy), (1+x²) et
(1+y²) en fonction de a et b.

(x+y) = tan(a) + tan(b)
= sin(a)/cos(a) + sin(b)/cos(b)
= (sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a))/(cos(a)cos(b))
= sin(a+b)/(cos(a)cos(b))

(1-xy) = 1 - tan(a)tan(b)
= 1 - sin(a)sin(b)/(cos(a)cos(b))
= (cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))/(cos(a)cos(b))
= cos(a+b)/(cos(a)cos(b))

(x+y)(1-xy) = sin(a+b)cos(a+b)/(cos(a)²cos(b)²)

(1+x²) = 1 + tan(a)²
= 1 + sin(a)²/cos(a)²
= (cos(a)² + sin(a)²)/cos(a)²
= 1/cos(a)²

1/(1+x²) = cos(a)²

1/(1+y²) = cos(b)²

(x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²))
= sin(a+b)cos(a+b)/(cos(a)²cos(b)²) × cos(a)²cos(b)²
= sin(a+b)cos(a+b)

Or sin(2u) = 2sin(u)cos(u), donc :

(x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²))
= sin(a+b)cos(a+b)
= (1/2) (2sin(a+b)cos(a+b)
= (1/2) sin(2(a+b))

Puisque un sin() est toujours compris entre -1 et +1, l'expression
(x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²)) est comprise entre -1/2 et 1/2, donc sa
valeur absolue est ≤ 1/2.


--
Olivier Miakinen

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 20, 2021, 1:28:15 PMAug 20
to
Le 20/08/2021 à 17:38, Olivier Miakinen a écrit :

> (x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²))
> = sin(a+b)cos(a+b)
> = (1/2) (2sin(a+b)cos(a+b)
> = (1/2) sin(2(a+b))

D'où on en déduit que la fraction rationnelle du départ

(x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²))

Est juste une façon compliquée de représenter une pauvre moitié de sinus
d'une somme d'angle.

Je me demande ==> est-ce que cette substitution ne serait-pas un peu
ad-hoc ? Genre, cela ne marche que pour ce cas très particulier.

Plus généralement, qu'est ce qui aurait guidé le premier gars à l'avoir
résolu ainsi à être passé par les tan() ? (je sais qu'on passe souvent
par tan() quand on doit intégrer des fractions rationnelles en sin/cos,
mais là il n'est pas trop question d'intégration.)

sam.

Olivier Miakinen

unread,
Aug 20, 2021, 2:11:09 PMAug 20
to
Le 20/08/2021 à 19:28, Samuel DEVULDER a écrit :
>
>> (x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²))
>> = sin(a+b)cos(a+b)
>> = (1/2) (2sin(a+b)cos(a+b)
>> = (1/2) sin(2(a+b))
>
> D'où on en déduit que la fraction rationnelle du départ
>
> (x+y)(1-xy)/((1+x²)(1+y²))
>
> Est juste une façon compliquée de représenter une pauvre moitié de sinus
> d'une somme d'angle.

Oui.

>
> Je me demande ==> est-ce que cette substitution ne serait-pas un peu
> ad-hoc ? Genre, cela ne marche que pour ce cas très particulier.

J'en suis persuadé.

>
> Plus généralement, qu'est ce qui aurait guidé le premier gars à l'avoir
> résolu ainsi à être passé par les tan() ? (je sais qu'on passe souvent
> par tan() quand on doit intégrer des fractions rationnelles en sin/cos,
> mais là il n'est pas trop question d'intégration.)

J'ai le même sentiment que toi je suppose, à savoir que le concepteur
de ce problème est parti de la solution pour remonter jusqu'à l'énoncé.


--
Olivier Miakinen

Michel Talon

unread,
Aug 20, 2021, 3:23:25 PMAug 20
to
Le 20/08/2021 à 20:11, Olivier Miakinen a écrit :
>
>> Plus généralement, qu'est ce qui aurait guidé le premier gars à l'avoir
>> résolu ainsi à être passé par les tan() ? (je sais qu'on passe souvent
>> par tan() quand on doit intégrer des fractions rationnelles en sin/cos,
>> mais là il n'est pas trop question d'intégration.)

Je ne sais pas mais quand j'ai vu (x+y) et (1-xy) ça m'a fait tout de
suite penser à la formule d'addition des tangentes (avec une variante,
évidemment) donc j'ai testé la valeur de l''expression avec maxima et
cette substitution. Je pense que si on ne voit pas des "astuces" de ce
genre, ce n'est pas la peine de se présenter aux oraux des GE,
spécialement les petits oraux de l'X. Quand à savoir comment le gars a
trouvé l'exo, il y a des tas d'astuces de ce genre dans les articles de
recherche. Quand à l'autre exo avec le n! c'est un genre de calcul
classique, voir par exemple les nombres de Liouville.


--
Michel Talon

Olivier Miakinen

unread,
Aug 21, 2021, 5:26:55 AMAug 21
to
Le 20/08/2021 à 21:23, Michel Talon a écrit :
>>
>>> Plus généralement, qu'est ce qui aurait guidé le premier gars à l'avoir
>>> résolu ainsi à être passé par les tan() ? (je sais qu'on passe souvent
>>> par tan() quand on doit intégrer des fractions rationnelles en sin/cos,
>>> mais là il n'est pas trop question d'intégration.)
>
> Je ne sais pas mais quand j'ai vu (x+y) et (1-xy) ça m'a fait tout de
> suite penser à la formule d'addition des tangentes (avec une variante,
> évidemment) donc j'ai testé la valeur de l''expression avec maxima et
> cette substitution.

Oh ! Alors moi je connais par cœur les formules d'addition des sinus
et des cosinus, mais je ne me rappelle pas avoir jamais essayé de
retenir celle des tangentes.

Et en effet :
<https://fr.wikiversity.org/wiki/Trigonom%C3%A9trie/Relations_trigonom%C3%A9triques#Formulaire_1_:_addition>
§
tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a tan b)
§

Du coup, je comprends que l'on puisse penser à cette substitution.

> Je pense que si on ne voit pas des "astuces" de ce
> genre, ce n'est pas la peine de se présenter aux oraux des GE,
> spécialement les petits oraux de l'X.

Je n'ai pas tenté l'X, mais j'ai quand même intégré l'une des dix
premières du classement de L'Étudiant. Comme quoi c'est possible.

> Quand à savoir comment le gars a
> trouvé l'exo, il y a des tas d'astuces de ce genre dans les articles de
> recherche. Quand à l'autre exo avec le n! c'est un genre de calcul
> classique, voir par exemple les nombres de Liouville.

Ok. Merci pour toutes ces précisions, et pardon de ne pas avoir cru
que tu pouvais penser aux tangentes sans lire la première ligne
d'indices.

--
Olivier Miakinen

Michel Talon

unread,
Aug 21, 2021, 10:10:33 AMAug 21
to
Le 21/08/2021 à 11:26, Olivier Miakinen a écrit :
> Je n'ai pas tenté l'X, mais j'ai quand même intégré l'une des dix
> premières du classement de L'Étudiant. Comme quoi c'est possible.

Alors, pour amusement je vais te communiquer un exo que j'ai vu
personnellement poser au petit oral, et qui m'a particulièrement
posé problème: calculer le déterminant de:

| 1 a a^2 a^3 ... a^7 |
| 1 b b^2 b^3 ... b^7 |
| 1 c c^2 c^3 ... c^7 |
| 0 1 2a 3a^2 ... 7a^6|
| 0 1 2b 3b^2 ... 7b^6|
| 0 1 2c 3c^2 ... 7c^6|
| 0 0 2 6a ... 42a^5|
| 0 0 2 6b ... 42b^5|

Evidemment maxima te donnera le résultat de suite:
M:matrix( [1,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7],
[1,b,b^2,b^3,b^4,b^5,b^6,b^7],
[1,c,c^2,c^3,c^4,c^5,c^6,c^7],
[0,1,2*a,3*a^2,4*a^3,5*a^4,6*a^5,7*a^6],
[0,1,2*b,3*b^2,4*b^3,5*b^4,6*b^5,7*b^6],
[0,1,2*c,3*c^2,4*c^3,5*c^4,6*c^5,7*c^6],
[0,0,2,6*a,12*a^2,20*a^3,30*a^4,42*a^5],
[0,0,2,6*b,12*b^2,20*b^3,30*b^4,42*b^5]);

factor(determinant(M));

-4*(b-a)^9*(c-a)^6*(c-b)^6

Mais comment justifier celà?


--
Michel Talon

Olivier Miakinen

unread,
Aug 21, 2021, 10:58:26 AMAug 21
to
Bonjour,

Vu que je ne serai certainement pas le seul à vouloir chercher (et que
je ne suis pas sûr de trouver), je me permets de remettre un nouveau
titre afin que toutes les réponses partent de ce nouvel article.

Le 21/08/2021 à 16:10, Michel Talon a écrit :
>
> [...] pour amusement je vais te communiquer un exo que j'ai vu
> personnellement poser au petit oral, et qui m'a particulièrement
> posé problème: calculer le déterminant de:
>
> | 1 a a^2 a^3 ... a^7 |
> | 1 b b^2 b^3 ... b^7 |
> | 1 c c^2 c^3 ... c^7 |
> | 0 1 2a 3a^2 ... 7a^6|
> | 0 1 2b 3b^2 ... 7b^6|
> | 0 1 2c 3c^2 ... 7c^6|
> | 0 0 2 6a ... 42a^5|
> | 0 0 2 6b ... 42b^5|
>
> Evidemment maxima te donnera le résultat de suite:
> M:matrix( [1,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7],
> [1,b,b^2,b^3,b^4,b^5,b^6,b^7],
> [1,c,c^2,c^3,c^4,c^5,c^6,c^7],
> [0,1,2*a,3*a^2,4*a^3,5*a^4,6*a^5,7*a^6],
> [0,1,2*b,3*b^2,4*b^3,5*b^4,6*b^5,7*b^6],
> [0,1,2*c,3*c^2,4*c^3,5*c^4,6*c^5,7*c^6],
> [0,0,2,6*a,12*a^2,20*a^3,30*a^4,42*a^5],
> [0,0,2,6*b,12*b^2,20*b^3,30*b^4,42*b^5]);
>
> factor(determinant(M));
>
> -4*(b-a)^9*(c-a)^6*(c-b)^6
>
> Mais comment justifier cela ?


--
Olivier Miakinen

Olivier Miakinen

unread,
Aug 21, 2021, 11:08:54 AMAug 21
to
Le 21/08/2021 à 16:58, Olivier Miakinen a écrit :
>>
>> | 1 a a^2 a^3 ... a^7 |
>> | 1 b b^2 b^3 ... b^7 |
>> | 1 c c^2 c^3 ... c^7 |
>> | 0 1 2a 3a^2 ... 7a^6|
>> | 0 1 2b 3b^2 ... 7b^6|
>> | 0 1 2c 3c^2 ... 7c^6|
>> | 0 0 2 6a ... 42a^5|
>> | 0 0 2 6b ... 42b^5|

Avant d'aller plus loin, je propose une notation. Soit m(i,j) l'élément
de la i-ème ligne et la j-ème colonne (0 ≤ i,j ≤ 7), on a pour tout j :
m(0,j) = a^j
m(3,j) = d(a^j)/da
m(6,j) = d²(a^j)/da²
et :
m(1,j) = b^j
m(4,j) = d(b^j)/db
m(7,j) = d²(b^j)/db²
et :
m(2,j) = c^j
m(5,j) = d(c^j)/dc

Pour le moment je n'ai pas d'idée sur comment continuer. Je vais y
réfléchir.

--
Olivier Miakinen

Olivier Miakinen

unread,
Aug 21, 2021, 11:26:00 AMAug 21
to
Le 21/08/2021 à 17:08, j'écrivais :
>
> m(0,j) = a^j
> m(3,j) = d(a^j)/da
> m(6,j) = d²(a^j)/da²

Si jamais l'idée de la dérivée était une impasse, je précise :

m(0,j) = a^j
m(3,j) = j⋅a^(j-1)
m(6,j) = j⋅(j-1)⋅a^(j-2)

--
Olivier Miakinen

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 21, 2021, 12:52:26 PMAug 21
to
Le 21/08/2021 à 16:10, Michel Talon a écrit :
> | 1 a a^2 a^3 ... a^7 |
> | 1 b b^2 b^3 ... b^7 |
> | 1 c c^2 c^3 ... c^7 |
> | 0 1 2a 3a^2 ... 7a^6|
> | 0 1 2b 3b^2 ... 7b^6|
> | 0 1 2c 3c^2 ... 7c^6|
> | 0 0 2  6a  ... 42a^5|
> | 0 0 2  6b  ... 42b^5|

Ca fait penser à un début de diagonalisation d'une matrice de
Vandermonde... Du coup je serais tenté de m'inspirer de la démonstration
du déterminant du même nom.

Ce déterminant est un polynôme en a,b,c D(a,b,c), dont l'évaluation en
a=b, a=c, b=c donne 0 (on a au moins 2 lignes identiques), donc (a-b),
(a-c) et (b-c) divisent D(a,b,c).

Pour montrer que ces diviseurs sont d'ordre k, il faut aussi montrer que
ce sont des diviseurs de d^k/da^k D(a,b,c) ce qui fait penser aux
formules de Jacobi et à l'utilisation des dérivées comme le fait Olivier.

Mais mon dieu que tout cela me semble lourdingue.. je suis trop vieux
pour ce genre de taupes.

sam (https://www.youtube.com/watch?v=VaMno8d0Tzw)



Michel Talon

unread,
Aug 21, 2021, 1:30:03 PMAug 21
to
Le 21/08/2021 à 18:52, Samuel DEVULDER a écrit :
>
> Pour montrer que ces diviseurs sont d'ordre k, il faut aussi montrer que
> ce sont des diviseurs de d^k/da^k D(a,b,c) ce qui fait penser aux
> formules de Jacobi et à l'utilisation des dérivées comme le fait Olivier.

Dans la solution que je connais, il faut en effet partir des deux idées
qui sont "évidentes", que ça a à voir avec un déterminant de
Vandermonde, et que certaines lignes sont des dérivées d'autres lignes.
Comment marier ces deux idées?


--
Michel Talon

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 21, 2021, 7:40:48 PMAug 21
to
Le 21/08/2021 à 18:52, Samuel DEVULDER a écrit :
>
> Pour montrer que ces diviseurs sont d'ordre k, il faut aussi montrer que
> ce sont des diviseurs de d^k/da^k D(a,b,c) ce qui fait penser aux
> formules de Jacobi et à l'utilisation des dérivées comme le fait Olivier.


[ce que je dis n'est pas vérifié formellement. J'essaye de voir des
pistes prometteuse et j'avance en live dans mon écriture]

En regardant cette vidéo https://www.youtube.com/watch?v=Ue7fKNafS40

On voit que pour calculer la dérivée du déterminant il faut sommer les
déterminants en dérivant chacune des lignes (je suppose que c'est ce que
la formule de Jacobi réalise formellement).

Mettons que notre matrice de départ s'écrive en découpant par ligne:
A = [L(a)
L(b)
L(c)
L'(a)
L'(b)
L'(c)
L"(a)
L"(b)] (<== c'est chiant le ascii-art)
avec L(x) = [1 x x² x^3 .. x^7] une ligne.

On note déterminant
D(a,b,c) = | L(a) |
| L(b) |
| L(c) |
| L'(a) |
| L'(b) |
| L'(c) |
| L"(a) |
| L"(b) |

d/da D(a,b,c) = | d L(a)/da |
| L(b) |
| L(c) |
| L'(a) | --> 0 car L'(a) = d L(a)/da
| L'(b) |
| L'(c) |
| L"(a) | (je confirme c'est chiant de saisir ca
en ascii)
| L"(b) |
+
| L(a) |
| d L(b)/da | --> 0 car d L(b)/da = 0
| L(c) |
| L'(a) |
| L'(b) |
| L'(c) |
| L"(a) |
| L"(b) |
+
| L(a) |
| L(b) | --> 0 car d L(c)/da = 0
| d L(c)/da |
| L'(a) |
| L'(b) |
| L'(c) |
| L"(a) |
| L"(b) |
+
| L(a) |
| L(b) |
| L(c) |
| d L'(a)/da| --> 0 car d L' = L"
| L'(b) |
| L'(c) |
| L"(a) |
| L"(b) |
+
| L(a) |
| L(b) |
| L(c) |
| L'(a) |
| d L'(b)/da| --> 0 car L'(b) ne dépends pas de a
| L'(c) |
| L"(a) |
| L"(b) |
+
| L(a) |
| L(b) |
| L(c) |
| L'(a) |
| L'(b) | --> 0 car L'(c) ne dépends pas de a
| d L'(c)/da|
| L"(a) |
| L"(b) |
+
| L(a) |
| L(b) |
| L(c) |
| L'(a) |
| L'(b) | --> pas 0 !!
| L'(c) |
| L"'(a) |
| L"(b) |
+
| L(a) |
| L(b) |
| L(c) |
| L'(a) |
| L'(b) | --> 0 car L"(b) est indep de a
| L'(c) |
| L'(a) |
| d L"(b)/da|

Donc
d/da D(a,b,c) = | L(a) |
| L(b) |
| L(c) |
| L'(a) |
| L'(b) |
| L'(c) |
| L"'(a) |
| L"(b) |
qui s'annule pour a=b, a=c et b=c

On peut faire ca une nouvelle fois et on obtient le même résultat.. pour
combien de fois ?

Et bien jusqu'à ce que le L^(k)(a) en avant dernière ligne soit nul,
donc 5 fois.

Ca veut dire que d^k/da^k D(a,b,c) = 0 en a=b, a=c et b=c pour k=0..5
Donc (a-b)^6 divise D(a,b,c) idem pour (a-c) et (b-c)

Arg et c'est là que je réalise que je n'ai pas été malin, j'aurais du
faire un d/dc, ce qui aurait permis de faire une dérivée 8 fois et voir
qu'elle s'annule en a=b, et obtenir que (a-b)^9 divise D.

Du coup on a tous les facteurs de D(a,b,c) = constante * (a-b)^9 (a-c)^6
(b-c)^6

La constante se détermine avec par exemple a=1,b=c=0 et on doit trouver
-4 (en toute logique. J'ai pas vérifié).)

Bon il faudrait refaire ca proprement.. mais il se fait tard et je dois
me coucher. Je pense quand même que le calcul de la dérivée du
déterminant ligne par ligne est l'idée de la preuve attendue.

C'est ca où je fais fausse route totale.

sam (se coucher tard, nuit)

Michel Talon

unread,
Aug 22, 2021, 3:38:59 AMAug 22
to
Le 22/08/2021 à 01:40, Samuel DEVULDER a écrit :
>      L"(a)
>      L"(b)]  (<== c'est chiant le ascii-art)
> avec L(x) = [1 x x² x^3 .. x^7] une ligne.

Pour éviter de se taper le ascii-art on peut demander à maxima de le faire:

(%i1) L(x):=[1,x,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6,x^7];
2 3 4 5 6 7
(%o1) L(x) := [1, x, x , x , x , x , x , x ]
(%i2) M:matrix(L(a),L(b),L(c),diff(L(a),a),diff(L(b),b),diff(L(c),c),
diff(L(a),a,2),diff(L(b),b,2));
[ 2 3 4 5 6 7 ]
[ 1 a a a a a a a ]
[ ]
[ 2 3 4 5 6 7 ]
[ 1 b b b b b b b ]
[ ]
[ 2 3 4 5 6 7 ]
[ 1 c c c c c c c ]
[ ]
[ 2 3 4 5 6 ]
[ 0 1 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a ]
(%o2) [ ]
[ 2 3 4 5 6 ]
[ 0 1 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b ]
[ ]
[ 2 3 4 5 6 ]
[ 0 1 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c ]
[ ]
[ 2 3 4 5 ]
[ 0 0 2 6 a 12 a 20 a 30 a 42 a ]
[ ]
[ 2 3 4 5 ]
[ 0 0 2 6 b 12 b 20 b 30 b 42 b ]


Ce que tu fais est dans la ligne de la solution. Pour ma part je
procéderais comme ceci:

M:matrix(L(a),L(b),L(c),L(a+x),L(b+y),L(c+z),L(a+u),L(b+v));

qui est un vrai Vandermonde et extraire le terme en x*y*z*u^2*v^2
en dérivant par rapport à x,y,z, et deux fois par rapport à u,v,
puis faire x=y=z=u=v=0.

Note, par rapport à ce que tu dis, je ne sais pas si c'est très clair
dans ton calcul. Quand on dérive le déterminant ci dessus par rapport
à x, il y a exactement une ligne à dériver. Si on dérive par rapport à
a il y a 3 lignes à dériver.

Indication. Le déterminant de Vandermonde est un produit de termes
qui sont des différences. En particulier il y a
x*y*z*u*v*(u-x)*(v-z) en facteur, les autres termes contenant a ou b ou
c au moins. Quand on fait x=y=z=u=v=0 il faut que les dérivées aient
porté entièrement sur le facteur ci-dessus, sinon il s'annulera
(il y a 7 dérivées et 7 termes dans le facteur).



--
Michel Talon

Michel Talon

unread,
Aug 22, 2021, 5:37:25 AMAug 22
to
Le 22/08/2021 à 09:38, Michel Talon a écrit :
>
> Ce que tu fais est dans la ligne de la solution. Pour ma part je
> procéderais comme ceci:
>
> M:matrix(L(a),L(b),L(c),L(a+x),L(b+y),L(c+z),L(a+u),L(b+v));
>
> qui est un vrai Vandermonde et extraire le terme en x*y*z*u^2*v^2
> en dérivant par rapport à x,y,z, et deux fois par rapport à u,v,
> puis faire x=y=z=u=v=0.

Un exemple plus réduit, qui peut se voir sur une page, avec maxima:

Maxima 5.43.2 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp SBCL 2.0.1.debian

(%i1) L(x):=[1,x,x^2,x^3,x^4];
2 3 4
(%o1) L(x) := [1, x, x , x , x ]
(%i2) M:matrix(L(a),L(b),L(a+x),L(b+y),L(a+u))$

(%i3) V:factor(determinant(M));
(%o3) (b - a) u (u - b + a) x (x - b + a) (x - u) y (y + b - a)
(y - u + b - a)(y - x + b - a)
(%i4) at(diff(V,x,1,y,1,u,2),[x=0,y=0,u=0]);
2 4
(%o4) - 2 (a - b) (b - a)


--
Michel Talon

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 22, 2021, 6:15:06 AMAug 22
to
Le 22/08/2021 à 09:38, Michel Talon a écrit :
> Pour éviter de se taper le ascii-art on peut demander à maxima de le faire:
>
> (%i1) L(x):=[1,x,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6,x^7];
>                                     2   3   4   5   6   7
> (%o1)               L(x) := [1, x, x , x , x , x , x , x ]
> (%i2) M:matrix(L(a),L(b),L(c),diff(L(a),a),diff(L(b),b),diff(L(c),c),
> diff(L(a),a,2),diff(L(b),b,2));
>                 [        2     3     4      5      6      7   ]
>                 [ 1  a  a     a     a      a      a      a    ]
>                 [                                             ]
>                 [        2     3     4      5      6      7   ]
>                 [ 1  b  b     b     b      b      b      b    ]
>                 [                                             ]
>                 [        2     3     4      5      6      7   ]
>                 [ 1  c  c     c     c      c      c      c    ]
>                 [                                             ]
>                 [               2     3      4      5      6  ]
>                 [ 0  1  2 a  3 a   4 a    5 a    6 a    7 a   ]
> (%o2)           [                                             ]
>                 [               2     3      4      5      6  ]
>                 [ 0  1  2 b  3 b   4 b    5 b    6 b    7 b   ]
>                 [                                             ]
>                 [               2     3      4      5      6  ]
>                 [ 0  1  2 c  3 c   4 c    5 c    6 c    7 c   ]
>                 [                                             ]
>                 [                      2      3      4      5 ]
>                 [ 0  0   2   6 a   12 a   20 a   30 a   42 a  ]
>                 [                                             ]
>                 [                      2      3      4      5 ]
>                 [ 0  0   2   6 b   12 b   20 b   30 b   42 b  ]

oui

>
>
> Ce que tu fais est dans la ligne de la solution. Pour ma part je
> procéderais comme ceci:
>
> M:matrix(L(a),L(b),L(c),L(a+x),L(b+y),L(c+z),L(a+u),L(b+v));

Heu je ne pige pas le passage de L'(a) à L(a+x) c'est trop rapide pour
moi là.

sam.

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 22, 2021, 7:11:09 AMAug 22
to
Le 22/08/2021 à 01:40, Samuel DEVULDER a écrit :

> En regardant cette vidéo https://www.youtube.com/watch?v=Ue7fKNafS40
>
> On voit que pour calculer la dérivée du déterminant il faut sommer les déterminants en dérivant chacune des lignes

C'est une propriété très pratique et assez peu connue. Je ne trouve pas
de démonstration formelle nulle part sur internet.

> (je suppose que c'est ce que la formule de Jacobi réalise formellement).

Non pas vraiment Jacobi, mais par contre ca se démontre facilement au
tableau. Un peu moins en ascii-art:

Soit une matrice carrée A = (Aij) où les Aij sont des fonctions de x
(je n'écris pas Aij(x) pour alléger l'écriture). Montrons que

Det(A) = Somme Det[ A'k ]

où A'k = (A11 ... A1n)
( : : )
(Ak1' .. Akn')
( : : )
(An1 ... Ann )
(A'k = A mais avec la ligne k remplacée par la dérivée).

On procède par récurrence sur la taille n de la matrice A. Le cas de
départ est trivial, je ne m'étends pas dessus. Regardons le cas pour
B(x) de taille n+1.

Développons Det(B) suivant la 1ere ligne:

Det(B) = B11 Det(com11 B) + .. + B1n+1 Det(com1n+1)

où com_ij B est la comatrice en i,j.

Dérivons par rapport à x:

Det(B)' = B11' Det(com11 B) + .. + B1n+1' Det(com1n+1 B)
+ B11 Det(com11 B)' + .. + B1n+1 Det(com1n+1 B)'

On voit facilement que la 1ère ligne de cette somme est en fait
( B11' ......... B1n+1' )
Det ( B21 ......... B2n+1 ) = Det(B'1)
( : : )
( B(n+1)1 .. B(n+1)(n+1) )

Remarquons ensuite que com1j B est une matrice de taille n, donc
on peut appliquer la récurrence sur elle et on obtient

Det(com1j B)' = Somme Det[ (com1j B)'k ]

Donc

Det(B)' = Det(B'1)
+ B11 [ Det (com11 B)'1 + ... + Det (com11 B)'n ]
+ B12 [ Det (com12 B)'1 + ... + Det (com12 B)'n ]
+ : : :
+ B1n+1 [ Det (com1n+1 B)'1 + ... + Det (com1n+1 B)'n ]

On distribue les B1j:

= Det(B'1)
+ B11 Det (com11 B)'1 + ... + B11 Det (com11 B)'n
+ B12 Det (com12 B)'1 + ... + B12 Det (com12 B)'n
+ : : :
+ B1n+1 Det (com1n+1 B)'1 + ... + B1n+1 Det (com1n+1 B)'n

Or si on lit la "grosse somme" par "colonne" on a:

B11 Det(comm11 B)'1 + B12 Det(com12 B)'1 + .. B1n+1 Det(com1n+1 B)'1

qui est juste le développement suivant la 1ère ligne de :

(B11 B12 ... B1n+1 )
Det (B21' B22' ... B2n+1' )
( : : : )
(Bn+1,1 ....... Bn+1,n+1)

=par def= Det(B'2)

Idem pour toutes les colonnes de 3 à n+1.

Bref,

Det(B)' = Det(B'1) + .. Det(B'n+1),

ce qui clos la démonstration hyper générale. Comme Det(A) = Det tr(A)
(la transposée ne change pas le déterminant), on a la même propriété en
dérivant les colonnes son on préfère.

sam.

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 22, 2021, 7:16:30 AMAug 22
to
Le 22/08/2021 à 13:11, Samuel DEVULDER a écrit :
> Non pas vraiment Jacobi, mais par contre ca se démontre facilement au
> tableau. Un peu moins en ascii-art:
>
> Soit une matrice carrée A = (Aij)  où les Aij sont des fonctions de x
> (je n'écris pas Aij(x) pour alléger l'écriture). Montrons que
>
>     Det(A) = Somme Det[ A'k ]
>
> où     A'k = (A11 ...  A1n)
>           ( :        : )
>                  (Ak1' .. Akn')
>           ( :        : )
>           (An1 ... Ann )
> (A'k = A mais avec la ligne k remplacée par la dérivée).

Oh m.... les TAB ont foirés la mise en page :(

Je refais:

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 22, 2021, 9:06:40 AMAug 22
to
Le 22/08/2021 à 12:15, Samuel DEVULDER a écrit :
>>
>>
>> Ce que tu fais est dans la ligne de la solution. Pour ma part je
>> procéderais comme ceci:
>>
>> M:matrix(L(a),L(b),L(c),L(a+x),L(b+y),L(c+z),L(a+u),L(b+v));
>
> Heu je ne pige pas le passage de L'(a) à L(a+x) c'est trop rapide pour
> moi là.

Ah je pense comprendre.. tu pars d'un cas général avec la matrice:

tr[L(a),L(b),L(c),L(a+x),L(b+y),L(c+z),L(a+u),L(b+v)]

qui est un Vandermonde dont le déterminant est un polynôme en
(x,y,z,u,v). Le déterminant d'origine est donné par le coef de
x y z u² v²

Je ne vois pas encore d'où ca sort mais ca fait penser aux séries
génératrices ce truc.

Comment on montre que ce coef est pile le déterminant de départ?

sam.

Michel Talon

unread,
Aug 22, 2021, 9:11:59 AMAug 22
to
Le 22/08/2021 à 13:16, Samuel DEVULDER a écrit :
> Non pas vraiment Jacobi, mais par contre ca se démontre facilement au
> tableau

Il me semble que c'est bien simple.
det(V1(x),...,Vn(x)) est multilinéaire alternée en les Vj. Donc la
propriété
[det(V1...Vn)]'= sum_j det(V1,...,Vj',...Vn)
résulte de la même raison pour laquelle on a la dérivée d'un produit
(vw)'=v'w+vw'
Par exemple
vw(x+h)-vw(x)= (v(x+h) -v(x))w(x+h) + (w(x+h)-w(x))v(x)
et on a la même chose pour n'importe quoi qui est multilinéaire.

--
Michel Talon

Michel Talon

unread,
Aug 22, 2021, 9:17:04 AMAug 22
to
Le 22/08/2021 à 15:06, Samuel DEVULDER a écrit :
> Ah je pense comprendre.. tu pars d'un cas général avec la matrice:
oui
>
>     tr[L(a),L(b),L(c),L(a+x),L(b+y),L(c+z),L(a+u),L(b+v)]
det pas tr
>
> qui est un Vandermonde dont le déterminant est un polynôme en
> (x,y,z,u,v). Le déterminant d'origine est donné par le coef de

En fait le déterminant d'origine est obtenu en faisant les dérivées
d'ordre 1 en x,y,z, et 2 en u,v puis en mettant toutes ces variables à 0
ce qui revient au même (pense formule de Taylor).

>     x y z u² v²
>





--
Michel Talon

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 22, 2021, 12:58:56 PMAug 22
to
Le 22/08/2021 à 15:17, Michel Talon a écrit :

> Le 22/08/2021 à 15:06, Samuel DEVULDER a écrit :
>> Ah je pense comprendre.. tu pars d'un cas général avec la matrice:
^^^^^^^^^^
> oui
>>
>>      tr[L(a),L(b),L(c),L(a+x),L(b+y),L(c+z),L(a+u),L(b+v)]
> det pas tr

Là je parle de la matrice. J'ai écrit tr[] car je l'ai écrite en ligne
et pas en colonne (fleme de l'ascii-art)

>> qui est un Vandermonde dont le déterminant est un polynôme en
^^^^^^^^^^^
C'est plus loin dont je parle du déterminant. Mais on s'en fiche car
cela ne change rien sur le fond :)

>> (x,y,z,u,v). Le déterminant d'origine est donné par le coef de
>
> En fait le déterminant d'origine est obtenu en faisant les dérivées
> d'ordre 1 en x,y,z, et 2 en u,v puis en mettant toutes ces variables à 0
> ce qui revient au même (pense formule de Taylor).
>
>>      x y z u² v²

Oui sans doute [ca me rappelle des manips sur les séries/fonctions
génératrices] mais j'ai besoin d'être rafraichi sur ces manips. Je ne
pense pas avoir vu ca à l'école (ou j'ai oublié). Il me semble avoir vu
cela en lisant un bouquin de Knuth sur la façon de compter le nombre de
façon de faire une somme avec un jeu de pièces de monaies je crois me
souvenir en revanche.)

Michael Penn adore lui aussi, entre autres dans ses travaux de
recherche, les séries génératrices qui est un outil assez puissant quand
on sait où l'utiliser. Exemple: https://www.youtube.com/watch?v=0nhxcbstbrU

sam :)

Samuel DEVULDER

unread,
Aug 22, 2021, 2:28:22 PMAug 22
to
Le 22/08/2021 à 15:11, Michel Talon a écrit :
> Le 22/08/2021 à 13:16, Samuel DEVULDER a écrit :
>> Non pas vraiment Jacobi, mais par contre ca se démontre facilement au
>> tableau
>
> Il me semble que c'est bien simple.

Peut-être mais ca ne me sautait pas au yeux.

> det(V1(x),...,Vn(x)) est multilinéaire alternée en les Vj. Donc la
> propriété
> [det(V1...Vn)]'= sum_j det(V1,...,Vj',...Vn)

Ca a un nom ce théorème/cette propriété ? Ou même la branche des maths
où on rencontre et utilise cela, car mes recherches internet sur la
question étaient pour le moins infructueuses (car même la vidéo sur
youtube que je mentionne ne démontre pas ce résultat qui semble tombé du
chapeau.)

Dans tous les cas je suis content de l'avoir retrouvé.

sam.

Michel Talon

unread,
Aug 23, 2021, 2:19:53 PMAug 23
to
Le 22/08/2021 à 18:58, Samuel DEVULDER a écrit :
> En fait le déterminant d'origine est obtenu en faisant les dérivées
> d'ordre 1 en x,y,z, et 2 en u,v puis en mettant toutes ces variables à 0

Faire explicitement le calcul avec maxima est à la limite de la capacité
de calcul de mon PC, je l'ai fait en segmentant les opérations comme suit:

L(x):=[1,x,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6,x^7]$

M:matrix(L(a1),L(a2),L(a3),L(a4),L(a5),L(a6),L(a7),L(a8))$

V:factor(newdet(M));

V:subst([a1=a,a2=b,a3=c,a4=a+x,a5=b+y,a6=c+z,a7=a+u,a8=b+v],V);


hack: at( V/(x*y*z*u*v*(u-x)*(v-y)), [x=0,y=0,z=0,u=0,v=0]);

hack:factor(hack);

diff(x*y*z*u*v*(u-x)*(v-y),x,1,y,1,z,1,u,2,v,2);

result: %*hack;


La ligne V:factor(newdet(M)); prend un bon moment ...
A la fin on trouve le résultat:

(%i8) result: %*hack;

9 6 6
(%o8) - 4 (b - a) (c - a) (c - b)


Ce qui est bien la valeur du déterminant de départ. En fait on peut très
aisément faire ce calcul à la main, comme je l'ai expliqué, et ceci
justifie la valeur du déterminant. Le point est de comprendre pourquoi
on peut se limiter au calcul de
diff(x*y*z*u*v*(u-x)*(v-y),x,1,y,1,z,1,u,2,v,2);
Rappel si on ne dérive pas *tous* ces termes ça donne zéro quand on fait
[x=0,y=0,z=0,u=0,v=0], et donc on n'a pas besoin de dériver les autres
termes.


Bref le mec sur qui cet exo est tombé était très mal parti pour intégrer
l'X ! C'est d'autant plus "injuste" que d'autres avaient des exos à peu
près triviaux. Bon je ne suis allé assister qu'une matinée à ces séances
de torture, et il y a de très nombreuses années.



--
Michel Talon

Michel Talon

unread,
Aug 23, 2021, 2:37:34 PMAug 23
to
Le 22/08/2021 à 20:28, Samuel DEVULDER a écrit :
>
> Ca a un nom ce théorème/cette propriété ? Ou même la branche des maths
> où on rencontre et utilise cela

Je ne sais pas mais c'est utilisé couramment en physique, et je suis à
peu près sûr que c'est aussi courant en géométrie différentielle. Je
pense que c'est tellement banal que c'est pour ça que tu ne le trouves pas.


--
Michel Talon
Reply all
Reply to author
Forward
0 new messages