Dérivées partielles de vecteurs

[François Guillet]

On suppose un champ du potentiel vecteur magnétique A, l'amplitude de A
dépendant de ses 4 coordonnées d'espace-temps.

J'ai des soucis de compréhension des dérivées partielles.
Si j'écris V=∂A/∂x, quelle est l'orientation de V ? La même que A ?

[maixxx]

le vecteur A peut être considéré comme une fonction de son origine avec trois
valeurs (Ax Ay Az) (x, y, z, t) )
la dérivée partielle par rapport à x c'est le delta(A) fonction du delta de x
(pour faire simple).
Rien n'oblige V=∂A/∂x à être colinéaire à A c'est le cas général dans un champ
inhomogène : si on se déplace d'un point x0 y0 z0 à un point
x0 + delta(x0), y0, z0 sur l'axe des x le vecteur A va changer en général de
direction et d'amplitude sauf cas particulier.
Noter que le potentiel vecteur A est défini au gradient d'une fonction scalaire
près.

> https://fr.wikipedia.org/wiki/Potentiel_vecteur_du_champ_magn%C3%A9tique

[Michel Talon]

Le 14/01/2023 à 10:58, François Guillet a écrit :

> J'ai des soucis de compréhension des dérivées partielles.
> Si j'écris V=∂A/∂x, quelle est l'orientation de V ?

∂A/∂x = (∂Ax/∂x,∂Ay/∂x,∂Az/∂x)

> La même que A ?

Non. Ex:
A=(x,y,z) ∂A/∂x=(1,0,0)


--
Michel Talon

[Julien Arlandis]

Le 14/01/2023 à 10:58, François Guillet a écrit :

∂A/∂x exprime le taux de variation du vecteur A le long d'une ligne
horizontale.

V(x,y,z,t) = ∂A(x,y,z,t)/∂x = lim(Δx->0) [ΔA(x,y,z,t)/Δx] = [
A(x+Δx,y,z,t) - A(x,y,z,t) ] / Δx

On comprend que l'orientation de V déterminée par la variation de
l'orientation de A le long de x est sans rapport avec l'orientation de A.

[Julien Arlandis]

Le 14/01/2023 à 10:58, François Guillet a écrit :

∂A/∂x exprime le taux de variation du vecteur A le long d'une ligne
horizontale.

V(x,y,z,t) = ∂A(x,y,z,t)/∂x = [ΔA(x,y,z,t)/Δx] = [ A(x+Δx,y,z,t) -
A(x,y,z,t) ] / Δx (quand Δx tend vers 0).

[François Guillet]

Julien Arlandis a présenté l'énoncé suivant :

A tous les trois, merci pour vos réponses.
C'est maintenant clair.

Pour info sur l'origine de la question, j'essaie d'éclaircir l'effet
que peut avoir un gradient spatial de A sur un courant, en ré-écrivant
E=-∂A/∂t = -∂A/∂x.dx/dt = -v.∂A/∂x où v est la vitesse d'une
charge-test.

[Julien Arlandis]

Ton approche galiléenne ne fonctionne pas dans un cadre relativiste ou
disons plus simplement qu'elle va en masquer les effets.
Ce qui t'intéresse c'est le champ électrique de la particule en
mouvement
E' = -(∂A'/∂t' + grad V')
Déjà même si V=0, V' ne sera pas nul car V'= -γv/c^2.Ax
sachant que ∂/∂t' = ∂/∂x.∂x/∂t' + ∂/∂y.∂y/∂t' +
∂/∂z.∂z/∂t' + ∂/∂t.∂t/∂t'
J'ai la flemme de mener le calcul jusqu'au bout mais tu vois que ce n'est
pas si simple...

[Julien Arlandis]

∂/∂t' = γv.∂/∂x + 0 + 0 + γ.∂/∂t = γ(∂/∂t + v.∂/∂x)
Donc E' = -γ(∂A'/∂t + v.∂A'/∂x) + γv/c^2.grad(Ax)
A' = [γ(Ax-v/c^2.V), Ay, Az]
On suppose V = 0 et ∂A/∂t = 0
d'où A' = [γAx, Ay, Az]
et ∂A'/∂t = 0
Au final E' = -γv.∂A'/∂x + γv/c^2.grad(Ax)
Dans l'approximation galiléenne on a A'=A, γ=1, v/c^2=0
on retrouve bien E' = v.∂A/∂x

[Julien Arlandis]

Le 14/01/2023 à 14:56, François Guillet a écrit :

Ton approche galiléenne ne fonctionne pas dans un cadre relativiste ou
disons plus simplement qu'elle va en masquer les effets.
Ce qui t'intéresse c'est le champ électrique de la particule en
mouvement
E' = -(∂A'/∂t' + grad V')

Déjà même si V=0, V' ne sera pas nul car V'= -γv.Ax

[Julien Arlandis]

Le 14/01/2023 à 20:54, Julien Arlandis a écrit :

> Déjà même si V=0, V' ne sera pas nul car V'= -γv.Ax

> sachant que ∂/∂t' = ∂/∂x.∂x/∂t' + ∂/∂y.∂y/∂t' +
> ∂/∂z.∂z/∂t' + ∂/∂t.∂t/∂t'
> J'ai la flemme de mener le calcul jusqu'au bout mais tu vois que ce n'est pas si
> simple...

∂/∂t' = γv.∂/∂x + 0 + 0 + γ.∂/∂t = γ(∂/∂t + v.∂/∂x)

Donc E' = -γ(∂A'/∂t + v.∂A'/∂x) + γv.grad(Ax)

A' = [γ(Ax-v/c^2.V), Ay, Az]
On suppose V = 0 et ∂A/∂t = 0
d'où A' = [γAx, Ay, Az]
et ∂A'/∂t = 0

Au final E' = -γv.∂A'/∂x + γv.grad(Ax)

Dans l'approximation galiléenne on a A'=A, γ=1

d'où E' = -v.∂A/∂x + v.grad(Ax)
or v.grad(Ax) = ∂Ax/∂x
E' = -v.(∂A/∂y + ∂A/∂z)

[Julien Arlandis]

Le 14/01/2023 à 20:54, Julien Arlandis a écrit :

> Déjà même si V=0, V' ne sera pas nul car V'= -γv.Ax

> sachant que ∂/∂t' = ∂/∂x.∂x/∂t' + ∂/∂y.∂y/∂t' +
> ∂/∂z.∂z/∂t' + ∂/∂t.∂t/∂t'
> J'ai la flemme de mener le calcul jusqu'au bout mais tu vois que ce n'est pas si
> simple...

∂/∂t' = γv.∂/∂x + 0 + 0 + γ.∂/∂t = γ(∂/∂t + v.∂/∂x)
Donc E' = -γ(∂A'/∂t + v.∂A'/∂x) + γv.grad(Ax)
A' = [γ(Ax-v/c^2.V), Ay, Az]
On suppose V = 0 et ∂A/∂t = 0
d'où A' = [γAx, Ay, Az]
et ∂A'/∂t = 0
Au final E' = -γv.∂A'/∂x + γv.grad(Ax)

or v.grad(Ax) = ∂Ax/∂x

E' = -γv.(∂A/∂y + ∂A/∂z)

[Julien Arlandis]

Le 14/01/2023 à 20:54, Julien Arlandis a écrit :

> Déjà même si V=0, V' ne sera pas nul car V'= -γv.Ax

> sachant que ∂/∂t' = ∂/∂x.∂x/∂t' + ∂/∂y.∂y/∂t' +
> ∂/∂z.∂z/∂t' + ∂/∂t.∂t/∂t'
> J'ai la flemme de mener le calcul jusqu'au bout mais tu vois que ce n'est pas si
> simple...

∂/∂t' = γv.∂/∂x + 0 + 0 + γ.∂/∂t = γ(∂/∂t + v.∂/∂x)
Donc E' = -γ(∂A'/∂t + v.∂A'/∂x) + γv.grad(Ax)
A' = [γ(Ax-v/c^2.V), Ay, Az]
On suppose V = 0 et ∂A/∂t = 0
d'où A' = [γAx, Ay, Az]
et ∂A'/∂t = 0
Au final E' = -γv.∂A'/∂x + γv.grad(Ax)
or v.grad(Ax) = ∂Ax/∂x

E' = -γv.[0, ∂A/∂y, ∂A/∂z]

[Julien Arlandis]

Le 14/01/2023 à 20:54, Julien Arlandis a écrit :

> Déjà même si V=0, V' ne sera pas nul car V'= -γv.Ax

> sachant que ∂/∂t' = ∂/∂x.∂x/∂t' + ∂/∂y.∂y/∂t' +
> ∂/∂z.∂z/∂t' + ∂/∂t.∂t/∂t'
> J'ai la flemme de mener le calcul jusqu'au bout mais tu vois que ce n'est pas si
> simple...

∂/∂t' = γv.∂/∂x + 0 + 0 + γ.∂/∂t = γ(∂/∂t + v.∂/∂x)
Donc E' = -γ(∂A'/∂t + v.∂A'/∂x) + γv.grad(Ax)
A' = [γ(Ax-v/c^2.V), Ay, Az]
On suppose V = 0 et ∂A/∂t = 0
d'où A' = [γAx, Ay, Az]
et ∂A'/∂t = 0
Au final E' = -γv.∂A'/∂x + γv.grad(Ax)

Dans l'approximation galiléenne, on a γ=1 d'où A'=A

or v.grad(Ax) = ∂Ax/∂x

E' = -v * [0, ∂Ay/∂x, ∂Az/∂x]

[Julien Arlandis]

Le 14/01/2023 à 20:54, Julien Arlandis a écrit :

> Déjà même si V=0, V' ne sera pas nul car V'= -γv.Ax

> sachant que ∂/∂t' = ∂/∂x.∂x/∂t' + ∂/∂y.∂y/∂t' +
> ∂/∂z.∂z/∂t' + ∂/∂t.∂t/∂t'
> J'ai la flemme de mener le calcul jusqu'au bout mais tu vois que ce n'est pas si
> simple...

∂/∂t' = γv.∂/∂x + 0 + 0 + γ.∂/∂t = γ(∂/∂t + v.∂/∂x)
Donc E' = -γ(∂A'/∂t + v.∂A'/∂x) + γv.grad(Ax)
A' = [γ(Ax-v/c^2.V), Ay, Az]
On suppose V = 0 et ∂A/∂t = 0
d'où A' = [γAx, Ay, Az]
et ∂A'/∂t = 0
Au final E' = -γv.∂A'/∂x + γv.grad(Ax)
Dans l'approximation galiléenne, on a γ=1 d'où A'=A
or v.grad(Ax) = ∂Ax/∂x
E' = -v * [0, ∂Ay/∂x, ∂Az/∂x]

--
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[Julien Arlandis]

Le 14/01/2023 à 22:47, Julien Arlandis a écrit :
> Le 14/01/2023 à 20:54, Julien Arlandis a écrit :

>> Déjà même si V=0, V' ne sera pas nul car V'= -γv.Ax

>> sachant que ∂/∂t' = ∂/∂x.∂x/∂t' + ∂/∂y.∂y/∂t' +
>> ∂/∂z.∂z/∂t' + ∂/∂t.∂t/∂t'
>> J'ai la flemme de mener le calcul jusqu'au bout mais tu vois que ce n'est pas si
>> simple...
>

> ∂/∂t' = γv.∂/∂x + 0 + 0 + γ.∂/∂t = γ(∂/∂t + v.∂/∂x)
> Donc E' = -γ(∂A'/∂t + v.∂A'/∂x) + γv.grad(Ax)
> A' = [γ(Ax-v/c^2.V), Ay, Az]
> On suppose V = 0 et ∂A/∂t = 0
> d'où A' = [γAx, Ay, Az]
> et ∂A'/∂t = 0
> Au final E' = -γv.∂A'/∂x + γv.grad(Ax)
> Dans l'approximation galiléenne, on a γ=1 d'où A'=A

> E' = -v.∂A/∂x + v.grad(Ax)

Cette expression est équivalente à
E' = v x rot(A) où x désigne le produit vectoriel
La force subie par cette charge test est F'= qE' = q.v x rot(A) où on
reconnait l'expression de la force de Lorentz avec rot(A) = B.

Ouf on retombe sur nos pattes.

[Julien Arlandis]

Le 14/01/2023 à 22:47, Julien Arlandis a écrit :
> Le 14/01/2023 à 20:54, Julien Arlandis a écrit :

>> Déjà même si V=0, V' ne sera pas nul car V'= -γv.Ax

>> sachant que ∂/∂t' = ∂/∂x.∂x/∂t' + ∂/∂y.∂y/∂t' +
>> ∂/∂z.∂z/∂t' + ∂/∂t.∂t/∂t'
>> J'ai la flemme de mener le calcul jusqu'au bout mais tu vois que ce n'est pas si
>> simple...
>

> ∂/∂t' = γv.∂/∂x + 0 + 0 + γ.∂/∂t = γ(∂/∂t + v.∂/∂x)
> Donc E' = -γ(∂A'/∂t + v.∂A'/∂x) + γv.grad(Ax)
> A' = [γ(Ax-v/c^2.V), Ay, Az]
> On suppose V = 0 et ∂A/∂t = 0
> d'où A' = [γAx, Ay, Az]
> et ∂A'/∂t = 0
> Au final E' = -γv.∂A'/∂x + γv.grad(Ax)
> Dans l'approximation galiléenne, on a γ=1 d'où A'=A
> E' = -v.∂A/∂x + v.grad(Ax)

Cette expression est équivalente à
E' = v x rot(A) où x désigne le produit vectoriel
La force subie par cette charge test est F'= qE' = q.v x rot(A) où on
reconnait l'expression de la force de Lorentz avec rot(A) = B.

Ouf on retombe sur nos pattes. Cela confirme ma remarque initiale, on ne
peut pas utiliser E=-∂A/∂t = -∂A/∂x.dx/dt = -v.∂A/∂x qui n'est
valable qu'en cinématique galiléenne. La force de Lorentz étant une
force relativiste, on ne peut la déduire et la décrire que dans un cadre
relativiste.

[François Guillet]

Le 15/01/2023, Julien Arlandis a supposé :

Merci, tu me fais bien avancer.
J'ai quand même une question subsidiaire.

B = ∇x A indique seulement qu'on peut définir un tel potentiel-vecteur
A dans une zone où on a B.
Mais dans une zone où B=0, on peut avoir un potentiel vecteur A non nul
(par ex. à l'extérieur d'un long solénoide).

Or c'est bien mon cadre de départ : une charge se déplaçant dans A non
nul et B=0, et je souhaite voir l'effet du gradient spatial de A sur la
charge.

Dans ce cas, tu ne peux plus faire le lien avec la force de Lorentz.
Question de jauge ?

[Julien Arlandis]

Je viens d'examiner le cas d'un solénoïde infini, je me retrouve dans
une impasse car la théorie me donne deux résultats différents selon que
je calcule la force via les champs E et B ou en passant par les potentiels
!!
Modélisons le problème du solénoïde, le potentiel vecteur est de la
forme :
A = K/r.eθ à l'extérieur du solénoide (cercles concentriques dont
l'intensité décroit proportionnellement avec le rayon).
V = 0 partout.

On vérifie facilement que rot(A)=0 et donc B=0 et E=0 partout à
l'extérieur du solénoïde.
Par conséquent, une charge d'épreuve en mouvement dans cet espace
devrait subir une force nulle car
F = q(E + v x B) = 0

Mais si on passe par la transformation des champs, et que l'on considère
un mouvement radial de la charge d'épreuve, on se place dans ce
référentiel R pour appliquer la transformations des potentiels :
on a V'=V (car les composantes longitudinales de A sont nulles)
Les composantes transverses de A valent K/r avec r=x, en exprimant x dans
le système de coordonnées de R on a x = γ(x'+vt')
donc A' = K/(γ(x'+vt')).eθ
La force exercée sur la charge dans ce référentiel vaut :
F' = qE' = q(-grad V - ∂A'/∂t')
or ∂A'/∂t' = -Kv/(γt'^2).eθ
d'où F' = -qKv/(γt'^2).eθ ≠ 0 !!!!!

Comment est ce possible ? Y aurait il une erreur dans mon calcul ? ? ?

[Julien Arlandis]

Le 15/01/2023 à 10:03, François Guillet a écrit :

Je viens d'examiner le cas d'un solénoïde infini, je me retrouve dans
une impasse car la théorie me donne deux résultats différents selon que
je calcule la force via les champs E et B ou en passant par les potentiels
!!
Modélisons le problème du solénoïde, le potentiel vecteur est de la
forme :
A = K/r.eθ à l'extérieur du solénoide (cercles concentriques dont
l'intensité décroit proportionnellement avec le rayon).
V = 0 partout.

On vérifie facilement que rot(A)=0 et donc B=0 et E=0 partout à
l'extérieur du solénoïde.
Par conséquent, une charge d'épreuve en mouvement dans cet espace
devrait subir une force nulle car
F = q(E + v x B) = 0

Mais si on passe par la transformation des champs, et que l'on considère
un mouvement radial de la charge d'épreuve, on se place dans ce
référentiel R pour appliquer la transformations des potentiels :
on a V'=V (car les composantes longitudinales de A sont nulles)
Les composantes transverses de A valent K/r avec r=x, en exprimant x dans
le système de coordonnées de R on a x = γ(x'+vt')
donc A' = K/(γ(x'+vt')).eθ
La force exercée sur la charge dans ce référentiel vaut :
F' = qE' = q(-grad V - ∂A'/∂t')

or ∂A'/∂t' = -Kv/(γ(x'+vt')^2).eθ
d'où F' = -qKv/(γ(x'+vt')^2).eθ ≠ 0 !!!!!

[François Guillet]

Julien Arlandis a couché sur son écran :

Je suppose que tu supposes le cas où A n'est pas variable dans le temps
(vu de l'observateur), sinon si on encercle le solénoide par un
conducteur, du courant va y circuler.

> Mais si on passe par la transformation des champs, et que l'on considère un
> mouvement radial de la charge d'épreuve, on se place dans ce référentiel R
> pour appliquer la transformations des potentiels :
> on a V'=V (car les composantes longitudinales de A sont nulles)
> Les composantes transverses de A valent K/r avec r=x, en exprimant x dans le
> système de coordonnées de R on a x = γ(x'+vt')
> donc A' = K/(γ(x'+vt')).eθ
> La force exercée sur la charge dans ce référentiel vaut :
> F' = qE' = q(-grad V - ∂A'/∂t')
> or ∂A'/∂t' = -Kv/(γt'^2).eθ
> d'où F' = -qKv/(γt'^2).eθ ≠ 0 !!!!!
>
> Comment est ce possible ? Y aurait il une erreur dans mon calcul ? ? ?

Ben voilà, c'est le problème. Et je ne saurais te répondre car c'est
justement pourquoi je suis là : les maths.

J'ai l'intuition, partant de l'idée de l'invariance de l'intervalle
d'espace-temps, intervalle occupé par un champ A, qu'il y a une totale
équivalence des effets des variations temporelles et spatiales de A sur
la charge, donc si une variation temporelle de A crée un champ
électrique E=-∂A/∂t (induction classique), alors une variation spatiale
aussi.

Toutefois la question est tordue dès qu'on en revient au champ
magnétique. En effet une FEM ne nait dans un circuit que si sa surface
est traversée par le flux variable dans le temps du champ magnétique.
Si on imagine une charge ponctuelle à l'extérieur d'un solénoide,
pourquoi serait-elle soumise à une force F=-q.∂A/∂t comme si elle
faisait partie d'un circuit, puisqu'il n'y a plus de circuit ni de flux
coupé ?
On pourrait envisager de suspendre une charge électrostatique, tel un
pendule, au-dessus d'un solénoide parcouru par un courant à fréquence
basse, si possible pour plus de sensibilité, la même que la fréquence
mécanique du pendule. On devrait voir le pendule osciller à la
fréquence du courant. Je n'ai jamais vu que cette expérience ait été
faite, et amha, elle ne fonctionne pas.

Je pense que E=-∂A/∂t n'a de sens physique que sur un certain
intervalle spatio-temporel. Je ne réussis pas à formaliser tout ça.

[Michel Talon]

Le 15/01/2023 à 14:45, François Guillet a écrit :
> Comment est ce possible ? Y aurait il une erreur dans mon calcul ? ? ?

Je n'ai pas envie de me plonger dans le calcul, mais de faire une
remarque: le couple (E,B) représente en fait un tenseur 4x4
antisymétrique, noté usuellement F_{mu nu}. Explicitement
E_i=F_{O i} et B_j = 1/2 epsilon_{ijk}F_{jk} où i,j,k=1,2,3
La présence de epsilon dit que B est un "pseudo-vecteur". Toujours
est-il que si F=0 dans un repère alors F=0 dan n'importe quel autre,
par le caractère tensoriel. Sauf erreur c'est le cas hors du solénoide.

De même A_mu est un quadrivecteur de composantes (V, A) donc il a une
transformation vectorielle dans une transformation de Lorentz. Comme
A n'est pas nul hors du solénoide après transformation il y a une
composante V et une composante A. MAIS A_mu n'est pas directement
physique, il n'est défini qu'à une transformation de jauge prés,
A_mu -> A_mu + d_mu p où p est quelconque, de sorte que
F_{mu nu} = d_mu A_nu - d_nu A_mu ne change pas.

Donc l'"erreur" dont tu parles peut être simplement une transformation
de jauge que tu n'as pas identifiée. Je me souviens que dans la preuve
de l'invariance de Lorentz de la quantification canonique du champ
électromagnétique, il faut justement faire une transformation de jauge
appropriée (Bjorken et Drell Quantum field theory).


--
Michel Talon

[Julien Arlandis]

Oui, il s'agit d'un simple problème de magnétostatique, pas de charge et
un courant permanent qui circule dans le solénoïde infini. A est
indépendant du temps mais son rotationnel est nul, si bien que dans le
référentiel du solénoïde aucune action électromagnétique ne peut
s'exercer sur une charge d'épreuve. En revanche si on considère une
charge d'épreuve en mouvement radial, dans son propre référentiel on
voit facilement sans faire de calcul qu'il subsiste une composante
transversale de A qui varie avec le temps, d'où l'apparition d'un champ
électrique.
Il y a forcément une erreur de raisonnement dans cette approche, sinon
tout ce que je crois savoir sur l'électromagnétisme s'effondre !

>> Mais si on passe par la transformation des champs, et que l'on considère un
>> mouvement radial de la charge d'épreuve, on se place dans ce référentiel R
>> pour appliquer la transformations des potentiels :
>> on a V'=V (car les composantes longitudinales de A sont nulles)
>> Les composantes transverses de A valent K/r avec r=x, en exprimant x dans le
>> système de coordonnées de R on a x = γ(x'+vt')
>> donc A' = K/(γ(x'+vt')).eθ
>> La force exercée sur la charge dans ce référentiel vaut :
>> F' = qE' = q(-grad V - ∂A'/∂t')

>> or ∂A'/∂t' = -Kv/(γ(x'+vt')^2).eθ

>> d'où F' = -qKv/(γ(x'+vt')^2).eθ ≠ 0 !!!!!

>>
>> Comment est ce possible ? Y aurait il une erreur dans mon calcul ? ? ?
>
> Ben voilà, c'est le problème. Et je ne saurais te répondre car c'est
> justement pourquoi je suis là : les maths.

Les maths ici confirment l'intuition, y a un grain de sable. Peut être
que les champs ne sont pas définis avec la bonne jauge ?

> J'ai l'intuition, partant de l'idée de l'invariance de l'intervalle
> d'espace-temps, intervalle occupé par un champ A, qu'il y a une totale
> équivalence des effets des variations temporelles et spatiales de A sur
> la charge, donc si une variation temporelle de A crée un champ
> électrique E=-∂A/∂t (induction classique), alors une variation spatiale
> aussi.

Oui cela vient du fait que ∂/∂t = γ(∂/∂t' + v.∂/∂x') et
∂/∂x = γ(∂/∂x' + v/c^2 . ∂/∂t')
Par changement de référentiel le gradient d'une grandeur produit le
même effet qu'une certaine variation temporelle de cette même grandeur,
et réciproquement.

> Toutefois la question est tordue dès qu'on en revient au champ
> magnétique. En effet une FEM ne nait dans un circuit que si sa surface
> est traversée par le flux variable dans le temps du champ magnétique.
> Si on imagine une charge ponctuelle à l'extérieur d'un solénoide,
> pourquoi serait-elle soumise à une force F=-q.∂A/∂t comme si elle
> faisait partie d'un circuit, puisqu'il n'y a plus de circuit ni de flux
> coupé ?

Parce qu'elle baigne dans quelque chose de plus physique que les champs :
les potentiels.
Il n'est pas nécessaire d'avoir un circuit pour avoir une force
électromotrice, la présence d'un potentiel qui varie dans le temps ou
dans l'espace suffit.

> On pourrait envisager de suspendre une charge électrostatique, tel un
> pendule, au-dessus d'un solénoide parcouru par un courant à fréquence
> basse, si possible pour plus de sensibilité, la même que la fréquence
> mécanique du pendule. On devrait voir le pendule osciller à la
> fréquence du courant. Je n'ai jamais vu que cette expérience ait été
> faite, et amha, elle ne fonctionne pas.
>
> Je pense que E=-∂A/∂t n'a de sens physique que sur un certain
> intervalle spatio-temporel. Je ne réussis pas à formaliser tout ça.

Je pense que l'effet sera difficile à observer du fait de la faible masse
des électrons qui vont se balancer dans la charge électrostatique. C'est
comme si tu voulais faire osciller un aquarium rempli d'eau en pilotant
des petits têtards.

[Julien Arlandis]

Je suis d'accord, je soupçonne moi aussi un problème de jauge, pourtant
la configuration géométrique est simple, il n'y a pas de distribution de
charge donc V(r)=0 pour tout r, et A = K/r*eθ pour tout r > au rayon du
solénoïde. S'il faut appliquer une transformation de jauge, laquelle et
pourquoi ?

[François Guillet]

Michel Talon vient de nous annoncer :
> ...Toujours

> est-il que si F=0 dans un repère alors F=0 dan n'importe quel autre,
> par le caractère tensoriel. Sauf erreur c'est le cas hors du solénoide.

...

Si B est variable dans le temps, les électrons d'une boucle conductrice
hors du solénoide, mais l'encerclant, sont bien soumis à une force
alors que B est nul à la position du conducteur, puisqu'on a une FEM.
C'est le cas le plus fréquent des secondaires de transformateur.

Voir Germain Rousseaux : "Sur un effet physique attribuable uniquement
au potentiel vecteur en électromagnétisme classique"
https://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/40476/filename/ML.pdf

[Julien Arlandis]

Le 15/01/2023 à 16:09, Michel Talon a écrit :

Les potentiels V et A respectent la jauge de Lorentz :
V = 0, A = K/r.eθ
on peut vérifier que div A = 0 et vérifie donc la condition
div A + 1/c^2 ∂V/∂t = 0

Le problème semble venir d'ailleurs...

[Julien Arlandis]

Le 15/01/2023 à 16:36, François Guillet a écrit :
> Michel Talon vient de nous annoncer :
>> ...Toujours
>> est-il que si F=0 dans un repère alors F=0 dan n'importe quel autre,
>> par le caractère tensoriel. Sauf erreur c'est le cas hors du solénoide.
> ...
>
> Si B est variable dans le temps, les électrons d'une boucle conductrice
> hors du solénoide, mais l'encerclant, sont bien soumis à une force
> alors que B est nul à la position du conducteur, puisqu'on a une FEM.
> C'est le cas le plus fréquent des secondaires de transformateur.

Les composantes du tenseur électromagnétique sont calculées en
dérivant le quadripotentiel, voir
https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique
Dans le cas du solénoïde parcouru par un courant variable F est non nul
du fait de ∂A/∂t, pas besoin de B.

[Michel Talon]

Le 15/01/2023 à 16:36, François Guillet a écrit :
>

> Si B est variable dans le temps, les électrons d'une boucle conductrice
> hors du solénoide, mais l'encerclant, sont bien soumis à une force alors
> que B est nul à la position du conducteur, puisqu'on a une FEM. C'est le
> cas le plus fréquent des secondaires de transformateur.

C'est donc que l'on a B = 0 mais E /= 0 dans cette situation, on n'a
donc pas F_{mu nu} = 0 dans aucun des deux repères.L'hypothèse est qu'on
a E=B=0 hors du solénoide, alors c'est vrai dans tout repère.
Dire que quelque chose est un tenseur est une affirmation forte qui a
des implications. Par exemple en géométrie ou en relativité générale la
courbure est un tenseur, calculé à partir de la connexion, mais la
connexion n'en est pas un. C'est la même situation que A et F en
électromagnétisme. A ma connaissance, le seul cas où on prétend que A a
une implication physique directe en dehors d'un solénoide, c'est l'effet
Aharonov Bohm en Mécanique quantique, car l'équation de Schrodinger se
couple à A et encore l'effet physique lui même ne dépend que du flux de
B dans le solénoide. Voir
https://en.wikipedia.org/wiki/Aharonov%E2%80%93Bohm_effect
la version française étant comme d'habitude lamentable.
Les commentaires sur la non localité sont intéressants. Ainsi que ceux
sur la relation avec la notion d'holonomie en géométrie.


--
Michel Talon

[François Guillet]

Julien Arlandis a formulé la demande :

> Le 15/01/2023 à 16:36, François Guillet a écrit :
>> Michel Talon vient de nous annoncer :
>>> ...Toujours
>>> est-il que si F=0 dans un repère alors F=0 dan n'importe quel autre,
>>> par le caractère tensoriel. Sauf erreur c'est le cas hors du solénoide.
>> ...
>>
>> Si B est variable dans le temps, les électrons d'une boucle conductrice
>> hors du solénoide, mais l'encerclant, sont bien soumis à une force alors
>> que B est nul à la position du conducteur, puisqu'on a une FEM. C'est le
>> cas le plus fréquent des secondaires de transformateur.
>
> Les composantes du tenseur électromagnétique sont calculées en dérivant le
> quadripotentiel, voir
> https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique
> Dans le cas du solénoïde parcouru par un courant variable F est non nul du
> fait de ∂A/∂t, pas besoin de B.

Même si B=0 là où est la charge, on a toujours B quelque part. On ne
peut pas générer A sans générer B puisque les deux sont la conséquence
du même courant.

Par le théorème de Stokes l'intégrale de E sur un circuit traversé par
un flux magnétique Φ nous donne la FEM ∫E.dl = -∂Φ/∂t

Si Φ = 0, FEM=0. Ca ne veut pas dire que E est nul, mais que sur une
boucle on a 0 si pas de flux coupant.
En absence de circuit, quelle va être la trajectoire de la charge ? Il
n'y a aucune raison qu'elle tourne autour du flux. C'est pour ça que je
disais plus haut mal comprendre F = -q.∂A/∂t.

[Michel Talon]

Le 15/01/2023 à 16:49, Julien Arlandis a écrit :
> Les potentiels V et A respectent la jauge de Lorentz

La jauge de Lorentz n'est en rien obligatoire, la transformation de
jauge peut être quelconque.

> Les composantes du tenseur électromagnétique sont calculées en
> dérivant le quadripotentiel

Elles sont calculées comme on veut mais une chose certaine, c'est que si
F=0 dans un repère, alors F=0 dans tout repère. Si on calcule avec A_mu
alors la formule F_{mu nu} = d_mu A_nu - d_nu A_mu montre *évidemment*
que F_mu n'est pas affecté par un changement de jauge quelconque, donc
si tu trouves autre chose que 0 c'est que ton calcul est faux. En fait
aussi bien d_mu que A_nu ont la même variance sous transformation de
Lorentz (*) (laquelle ne dépend que de v, mais pas de x et t, donc
commute aux dérivations) et donc d_mu A_nu - d_nu A_mu a la même
variance tensorielle que F_{mu nu}, et doit donc donner 0 dans le
nouveau repère. A priori je ne vois même pas de tr. de jauge à faire.
Dans le cas dont je parlais on était en jauge de Coulomb dans le repère
initial et dans le repère final, donc il fallait une transformation de
jauge pour adapter les deux situations.

(*) J'entends par là (x' t') = L. (x,t) où L est une matrice du type
([1/β -v/β],[-v/β,1/β]) avec β= √(1-β^2), et donc A'_mu=L_{mu nu}A_nu.

--
Michel Talon

[Julien Arlandis]

En l'absence de circuit, il suffit d'intégrer l'accélération subie par
la charge pour obtenir la trajectoire de la charge d'épreuve, c'est de la
simple mécanique. Trajectoire d'une particule soumise à une force
circulaire tangentielle, ça va rien donner de très stable.


En revanche si la charge se retrouve dans un circuit métallique qui
n'entoure pas le flux, il ne se passera rien pour la bonne raison que les
électrons de conduction vont se répartir de sorte à contrer l'effet du
champ électrique à l'interieur du conducteur. La charge ne pourra en
aucune manière boucler sur un circuit qui n'entoure pas le flux car la
circulation de ∂A/∂t y est nulle, autrement dit il y a autant de
charges qui vont essayer de tourner dans un sens que dans l'autre selon
leur position dans le conducteur...

> n'y a aucune raison qu'elle tourne autour du flux. C'est pour ça que je
> disais plus haut mal comprendre F = -q.∂A/∂t.

En l'absence de guide elle ne tournera pas autour du flux, mais avec un
circuit qui entoure le flux elle pourra en faire le tour aidée par le
potentiel moteur qui s'établit, du fait que quelle que soit la forme du
circuit il y aura toujours en moyenne plus de charges qui tournent dans un
sens que dans l'autre.

[Julien Arlandis]

Je t'invite à faire le calcul, dans une situation où V=0 dans tout
l'espace et A=K/r.eθ.
On se place dans un référentiel en mouvement radial. Appliquons les
transformations de A' et V' dans ce référentiel, je te laisse continuer
pour voir comment tu obtiens E'=0 par le calcul E'=-grad V'-dA'/dt'

[Michel Talon]

Le 16/01/2023 à 00:35, Julien Arlandis a écrit :
> je te laisse continuer pour voir comment tu obtiens E'=0 par le calcul
> E'=-grad V'-dA'/dt'

Comme je t'ai dit je ne veux pas faire ce calcul de façon pédestre, car
je suis sur de me tromper. Simplement ta formule pour E est
- E_i = F_{0 i} = d_0 A_i -d_i A_0 avec V=-A_0 et i=1,2,3
Sous tr de Lorentz de matrice L comme j'ai dit, ceci se transforme en
L_{0,a}L_{i,b} F_{a,b} , idem pour chaque d A.
*En général* L_{0,a} a des composantes pour a=0,1,2,3 et pareil pour
L_{i,b} donc quand tu appliques ceci a d_0 A_i tu as 16 termes à
considérer, et 16 autres pour d_i A_0. Le point est que la différence
vaut 0. Pas de E ni de B hors du solénoide. Je t'écris la matrice L
pour le cas que vous considérez, mais c'est totalement inutile, ce
serait pareil quelle que soit L matrice constante en x,t. J'espère
que la forme ne sera pas modifiée par les fontes variables.

[ 1 v ]
[ - - - 0 0 ]
[ β β ]
[ ]
[ v 1 ]
L = [ - - - 0 0 ]
[ β β ]
[ ]
[ 0 0 1 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 1 ]

Là dedans on fait c=1 et β=sqrt(1-v^2). Dans votre cas, sauf erreur on
a dans le premier repère
A_0 = A_1 =0 et A n'a que des composantes 2 et 3 qui ne dépendent pas
de t=x_0 ni de x_1 par invariance par translation le long de l'axe du
solenoide. Or Lorentz n'affecte pas les directions 2 et 3. Donc sous
Lorentz A reste A. d_0 devient 1/β d_0-v/β d_1 ce qui, agissant sur A
qui ne dépend ni de x_0 ni de x_1 donne 0. D'autre part pour d_i A_0
A_0 devient 1/β A_0-v/β A_1. Or A_0 = A_1 =0 . Donc tout est nul.


--
Michel Talon

[François Guillet]

Dans son message précédent, Julien Arlandis a écrit :

Je comprends bien ce que tu expliques, c'est de l'EM classique, mais
expérimentalement je ne vois rien qui le confirme.
As-tu une expérience probante à l'appui ?

De toutes les tentatives que j'ai faites, je n'ai jamais réussi à
détecter une force sur des électrons qui n'étaient pas dans un circuit
traversé par le flux magnétique.

Si ce que tu dis est avéré, alors la réciproque est qu'une charge se
déplaçant à l'extérieur d'un bobinage torique va y créer un courant. On
pourrait détecter des mouvements de charges dans l'environnement avec
un bobinage torique. Du jamais vu.

[Julien Arlandis]

J'ai trouvé d'où vient l'erreur. L'erreur fut de considérer que si V'=0
dans la direction x (en y=0), le gradient de V est également nul en y=0.
La composante Ax est bien nulle en y=0 mais pas au voisinage de 0, de fait
il y aura bien un gradient.
Reprenons le calcul de V'.

Dans le référentiel qui nous intéresse :
V'=γ(V - v.Ax)=-γv.Ax

Écrivons A = K/r.eθ en coordonnées cartésiennes :
r = sqrt(x^2+y^2)
eθ = cos(θ) ey -sin(θ) ex
avec θ = arctan(y/x)
D'où
A = K/sqrt(x^2+y^2) [cos(arctan(y/x)) ey - sin(arctan(y/x)) ex]
Ax = -(K/sqrt(x^2+y^2)) sin(arctan(y/x)) ex
V' = γv.(K/sqrt(x^2+y^2)) sin(arctan(y/x))
On remplace x par γ(x'+vt') et y par y'
ce qui nous donne :
V'(x',y',z') = γv.(K/sqrt((γ(x'+vt'))^2+y^2))
sin(arctan(y/(γ(x'+vt'))))
Si on calcule rigoureusement ∂V'/∂x' et ∂V'/∂y' en y=0
∂V'(x',0,z)/∂x' = 0
∂V'(x',0,z)/∂y' = Kv/(γ(x'+vt')^2)
Soit exactement -∂A'/∂t'
Par conséquent :
F' = qE' = q(-grad V' - ∂A'/∂t') = 0.

Interprétation physique.

Dans le référentiel de la charge d'épreuve, la variation temporelle de
A est compensée par le gradient d'un potentiel engendré par le
solénoïde. En effet, les parties longitudinales de la spire du
solénoïde vont apparaitre chargées du fait de la contraction
longitudinale des longueurs.
C'est le même phénomène qui explique pourquoi un conducteur rectiligne
dans lequel circule un courant apparait chargé du point de vue d'un
observateur en mouvement rectiligne par rapport au conducteur.

Pour répondre définitivement à la question de François Guillet, il n'y
a aucun effet mécanique à observer à l'extérieur d'un solénoïde
parcouru par un courant permanent.
grad V' = -∂A'/∂t' partout à l'extérieur du solénoïde et dans tous
les référentiels.

[Julien Arlandis]

J'ai trouvé l'erreur, V' est nul le long de x mais pas grad V' car la
composante Ax cesse d'être non nulle autour de cet axe.

[François Guillet]

Julien Arlandis a couché sur son écran :

Ok, pas de force. Si j'ai bien compris, le cas traité est celui d'une
charge s'éloignant radialement d'un solénoide, A lui est donc
transverse.

Celui que j'ai en tête est très différent. Le vecteur vitesse de la
charge est colinéaire à A et le gradient de A est aussi le long de A.
Si l'axe des x est vers la droite, A est orienté comme x. Son amplitude
est représentée ici par le nombre de "-" :

-> --> ---> ----> -----> ------> -------> ...

Cette configuration, peu habituelle, n'est pas une vue de l'esprit, je
sais la produire.

La charge qui remonte ou descend ce gradient de A le long de A en
suivant l'axe des x ne va-t-elle pas être freinée ou accélérée ?

[Julien Arlandis]

Oui

> Celui que j'ai en tête est très différent. Le vecteur vitesse de la
> charge est colinéaire à A et le gradient de A est aussi le long de A.
> Si l'axe des x est vers la droite, A est orienté comme x. Son amplitude
> est représentée ici par le nombre de "-" :
>
> -> --> ---> ----> -----> ------> -------> ...
>
> Cette configuration, peu habituelle, n'est pas une vue de l'esprit, je
> sais la produire.
>
> La charge qui remonte ou descend ce gradient de A le long de A en
> suivant l'axe des x ne va-t-elle pas être freinée ou accélérée ?

Ton énoncé est incomplet, est ce que l'amplitude de A est invariante
selon l'axe y ?

Si oui, ton énoncé est de forme A(x,y,z,t) = [A(x), 0, 0], V(x,y,z,t) =
0
Si non, A(x,y,z,t) = [A(x,y), 0, 0], V(x,y,z,t) = 0

Dans les deux cas, pour répondre à ta question le calcul à mener est le
suivant :
On calcule la force de Lorentz q(E + v x B)
avec E = -grad V - ∂A/∂t et B = ∇ x A

Dans le premier cas : E=0, et B=0 quelle que soit la vitesse de la charge.
Par application du principe de covariance, le champs E et B sont nuls
quels que soit le référentiel, mais si tu veux effectuer le calcul dans
le référentiel de la charge en mouvement selon x, tu trouveras que
∂A'/∂t' = -grad V'. Le gradient du potentiel longitudinal vient du
fait que dans ce référentiel tes conducteurs apparaitront avec une
charge variable résultante qui dépend du courant dans le conducteur et
annuleront l'impulsion fournie par le potentiel vecteur A'.

Dans le second cas : du fait de la variation de A dans la direction y, le
rotationnel de A est non nul, il apparait un champ B = ∂A(x,y)/∂y e_z
Dans ce cas la force qui s'exerce sur la charge sera dirigée selon e_y.

[Julien Arlandis]

Remarque intéressante : cette situation est analogue à ce qui se passe
dans l'axe d'un dipôle rayonnant, le potentiel vecteur est dirigé dans
l'axe du dipôle avec une amplitude qui décroit en 1/r, et le gradient du
potentiel lui est rigoureusement opposé. C'est la raison pour laquelle
une charge ou un dipôle ne rayonne pas le long de la ligne de visée.

Je pense que tu attendais une autre réponse avec l'apparition d'une force
longitudinale parallèle au potentiel vecteur, d'où ta question initiale.

[François Guillet]

Julien Arlandis vient de nous annoncer :

Comme l'indiquait le schéma, l'amplitude de A est non nulle suivant x
et nulle dans toutes les autres directions dont y.
Le cas qui m'occupe est le premier.

La force de Lorentz est effectivement nulle, nous sommes dans une zone
où B=0, même si bien sûr le champ B existe ailleurs puisque nous avons
B = ∇xA et A non nul.

Quand tu as un courant variable dans un solénoide, comme tu l'as dit la
force sur une charge à l'extérieur est F = q.E = -q.∂A/∂t : donc un
champ électrique et une force issue de A, que ce soit vu de
l'observateur, ou vu de la charge en remplaçant A par A'.

Maintenant quand une charge se déplace suivant l'axe de A (vecteur
vitesse colinéaire à A), et que A possède un gradient, la charge va
voir un potentiel vecteur A' varier dans le temps en fonction de sa
vitesse, A' étant la transformée dans son référentiel, du A vu par
l'observateur.

Par ∂A'/∂t' = -grad V', tu trouves donc que les effets de ∂A'/∂t' sont
exactement annulés par l'apparition d'un potentiel qui s'y oppose ?

Je ne vois pas pourquoi, parce que A'=A du fait que le vecteur vitesse
et A sont sur le même axe, il n'y a pas d'effet relativiste.

[Julien Arlandis]

Je ne parlais pas des composantes de A, mais de la variation d'amplitude
de A lorsque tu t'éloignes de l'axe. Mais au vu de ta réponse j'ai
compris que ça n'avait pas d'incidence pour la suite.

> La force de Lorentz est effectivement nulle, nous sommes dans une zone
> où B=0, même si bien sûr le champ B existe ailleurs puisque nous avons
> B = ∇xA et A non nul.

Qu'entends tu par "ailleurs", ailleurs dans une autre portion d'espace
dans le même référentiel, ou ailleurs dans un autre référentiel pour
la même portion d'espace ?
C'est vrai dans le premier cas, faux dans le second cas.

> Quand tu as un courant variable dans un solénoide, comme tu l'as dit la
> force sur une charge à l'extérieur est F = q.E = -q.∂A/∂t : donc un
> champ électrique et une force issue de A, que ce soit vu de
> l'observateur, ou vu de la charge en remplaçant A par A'.

Oui.

> Maintenant quand une charge se déplace suivant l'axe de A (vecteur
> vitesse colinéaire à A), et que A possède un gradient, la charge va
> voir un potentiel vecteur A' varier dans le temps en fonction de sa
> vitesse, A' étant la transformée dans son référentiel, du A vu par
> l'observateur.

Oui.

> Par ∂A'/∂t' = -grad V', tu trouves donc que les effets de ∂A'/∂t' sont
> exactement annulés par l'apparition d'un potentiel qui s'y oppose ?

Oui.

> Je ne vois pas pourquoi, parce que A'=A du fait que le vecteur vitesse
> et A sont sur le même axe, il n'y a pas d'effet relativiste.

Non A'= γ.A
Calcul détaillé :
A' = (γ.Ax, Ay, Az) = γ(Ax, 0, 0) = γ.A
V' = γ(V - v.Ax) = -γ.v.Ax
∂A'/∂t' = γ(∂A/∂x ∂x/∂t' + ∂A/∂t ∂t/∂t') =
γ(∂A/∂x ∂x/∂t' + 0) = γ(∂A/∂x γ.v) = γ².v.∂A/∂x
grad V' = [∂V'/∂x', ∂V'/∂y', ∂V'/∂z'] = [∂V'/∂x', 0, 0]
∂V'/∂x' = -γ.v(∂Ax/∂x ∂x/∂x' + ∂Ax/∂t ∂t/∂x') =
-γ.v(∂Ax/∂x ∂x/∂x' + 0) = -γ.v(∂Ax/∂x γ) =
-γ².v.∂Ax/∂x
D'où gradV' = -γ.²v.∂A/∂x
D'où ∂A'/∂t' = -grad V'

Physiquement cela se comprend par le fait que ton champ A
longitudinalement variable peut être généré par une juxtaposition de
circuits avec un courant i différent. Un observateur en mouvement
rectiligne verra pour chaque fil une charge nette différente du fait de
la transformation des courants en charge : chaque portion de fil aura une
densité de charge rho' = γ(rho - v/c².jx) = -γ.v/c².jx où jx est la
densité de courant.
Voilà où se cache l'effet relativiste qui annule ∂A'/∂t'.


--
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[Julien Arlandis]

Je ne parlais pas des composantes de A, mais de la variation d'amplitude
de A lorsque tu t'éloignes de l'axe. Mais au vu de ta réponse j'ai
compris que ça n'avait pas d'incidence pour la suite.

> La force de Lorentz est effectivement nulle, nous sommes dans une zone
> où B=0, même si bien sûr le champ B existe ailleurs puisque nous avons
> B = ∇xA et A non nul.

Qu'entends tu par "ailleurs", ailleurs dans une autre portion d'espace
dans le même référentiel, ou ailleurs dans un autre référentiel pour
la même portion d'espace ?
C'est vrai dans le premier cas, faux dans le second cas.

> Quand tu as un courant variable dans un solénoide, comme tu l'as dit la
> force sur une charge à l'extérieur est F = q.E = -q.∂A/∂t : donc un
> champ électrique et une force issue de A, que ce soit vu de
> l'observateur, ou vu de la charge en remplaçant A par A'.

Oui.

> Maintenant quand une charge se déplace suivant l'axe de A (vecteur
> vitesse colinéaire à A), et que A possède un gradient, la charge va
> voir un potentiel vecteur A' varier dans le temps en fonction de sa
> vitesse, A' étant la transformée dans son référentiel, du A vu par
> l'observateur.

Oui.

> Par ∂A'/∂t' = -grad V', tu trouves donc que les effets de ∂A'/∂t' sont
> exactement annulés par l'apparition d'un potentiel qui s'y oppose ?

Oui.

> Je ne vois pas pourquoi, parce que A'=A du fait que le vecteur vitesse
> et A sont sur le même axe, il n'y a pas d'effet relativiste.

Non A'= γ.A
Calcul détaillé :

A' = [γ(Ax-v/c².V), Ay, Az] = = [γAx, 0, 0] = γ[Ax, 0, 0] = γ.A

V' = γ(V - v.Ax) = -γ.v.Ax
∂A'/∂t' = γ(∂A/∂x ∂x/∂t' + ∂A/∂t ∂t/∂t') =
γ(∂A/∂x ∂x/∂t' + 0) = γ(∂A/∂x γ.v) = γ².v.∂A/∂x
grad V' = [∂V'/∂x', ∂V'/∂y', ∂V'/∂z'] = [∂V'/∂x', 0, 0]
∂V'/∂x' = -γ.v(∂Ax/∂x ∂x/∂x' + ∂Ax/∂t ∂t/∂x') =
-γ.v(∂Ax/∂x ∂x/∂x' + 0) = -γ.v(∂Ax/∂x γ) =
-γ².v.∂Ax/∂x
D'où gradV' = -γ.²v.∂A/∂x
D'où ∂A'/∂t' = -grad V'

Physiquement cela se comprend par le fait que ton champ A
longitudinalement variable peut être généré par une juxtaposition de
circuits avec un courant i différent. Un observateur en mouvement
rectiligne verra pour chaque fil une charge nette différente du fait de
la transformation des courants en charge : chaque portion de fil aura une
densité de charge rho' = γ(rho - v/c².jx) = -γ.v/c².jx où jx est la
densité de courant.
Voilà où se cache l'effet relativiste qui annule ∂A'/∂t'.


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[Julien Arlandis]

Je ne parlais pas des composantes de A, mais de la variation d'amplitude
de A lorsque tu t'éloignes de l'axe. Mais au vu de ta réponse j'ai
compris que ça n'avait pas d'incidence pour la suite.

> La force de Lorentz est effectivement nulle, nous sommes dans une zone
> où B=0, même si bien sûr le champ B existe ailleurs puisque nous avons
> B = ∇xA et A non nul.

Qu'entends tu par "ailleurs", ailleurs dans une autre portion d'espace
dans le même référentiel, ou ailleurs dans un autre référentiel pour
la même portion d'espace ?
C'est vrai dans le premier cas, faux dans le second cas.

> Quand tu as un courant variable dans un solénoide, comme tu l'as dit la
> force sur une charge à l'extérieur est F = q.E = -q.∂A/∂t : donc un
> champ électrique et une force issue de A, que ce soit vu de
> l'observateur, ou vu de la charge en remplaçant A par A'.

Oui.

> Maintenant quand une charge se déplace suivant l'axe de A (vecteur
> vitesse colinéaire à A), et que A possède un gradient, la charge va
> voir un potentiel vecteur A' varier dans le temps en fonction de sa
> vitesse, A' étant la transformée dans son référentiel, du A vu par
> l'observateur.

Oui.

> Par ∂A'/∂t' = -grad V', tu trouves donc que les effets de ∂A'/∂t' sont
> exactement annulés par l'apparition d'un potentiel qui s'y oppose ?

Oui.

> Je ne vois pas pourquoi, parce que A'=A du fait que le vecteur vitesse
> et A sont sur le même axe, il n'y a pas d'effet relativiste.

Non A'= γ.A
Calcul détaillé :
A' = [γ(Ax-v/c².V), Ay, Az] = = [γAx, 0, 0] = γ[Ax, 0, 0] = γ.A
V' = γ(V - v.Ax) = -γ.v.Ax
∂A'/∂t' = γ(∂A/∂x ∂x/∂t' + ∂A/∂t ∂t/∂t') =
γ(∂A/∂x ∂x/∂t' + 0) = γ(∂A/∂x γ.v) = γ².v.∂A/∂x
grad V' = [∂V'/∂x', ∂V'/∂y', ∂V'/∂z'] = [∂V'/∂x', 0, 0]
∂V'/∂x' = -γ.v(∂Ax/∂x ∂x/∂x' + ∂Ax/∂t ∂t/∂x') =
-γ.v(∂Ax/∂x ∂x/∂x' + 0) = -γ.v(∂Ax/∂x γ) =
-γ².v.∂Ax/∂x

D'où grad V' = -γ².v.∂A/∂x

D'où ∂A'/∂t' = -grad V'

Physiquement cela se comprend par le fait que ton champ A
longitudinalement variable peut être généré par une juxtaposition de
circuits avec un courant i différent. Un observateur en mouvement
rectiligne verra pour chaque fil une charge nette différente du fait de
la transformation des courants en charge : chaque portion de fil aura une
densité de charge rho' = γ(rho - v/c².jx) = -γ.v/c².jx où jx est la
densité de courant.
Voilà où se cache l'effet relativiste qui annule ∂A'/∂t'.


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[François Guillet]

François Guillet a couché sur son écran :

La dernière phrase est une bourde. Evidemment qu'on a un effet
relativiste à cause de la vitesse de la charge-test.

Sinon ai-je bien compris, est-on d'accord sur ce qui précède ?

[Julien Arlandis]

Oui on est d'accord, mais ma réponse détaillée ne tient pas compte de
ta remarque erronée.