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lancer d'une pièce: que se passe-t-il quand le nombre de lancers tend vers l'infini?
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TP
Sep 21, 2011, 4:10:22 PM9/21/11
to
Bonjour à tous,
J'ai une pièce dont je suppose les côtés pile et face équiprobables.
Les lancers sont indépendants.
Au bout de n lancers, la probabilité d'obtenir n piles est égale à (1/2)^n,
et est donc non nulle.
Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le côté pile (et
zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro donc
la probabilité d'obtenir une infinité de piles est strictement nulle. A
l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
Il me semble que c'est un problème lié à la notion de "nombre infini de
lancers".
Qui est dans le juste?
Merci par avance,
TP
J'ai une pièce dont je suppose les côtés pile et face équiprobables.
Les lancers sont indépendants.
Au bout de n lancers, la probabilité d'obtenir n piles est égale à (1/2)^n,
et est donc non nulle.
Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le côté pile (et
zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro donc
la probabilité d'obtenir une infinité de piles est strictement nulle. A
l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
Il me semble que c'est un problème lié à la notion de "nombre infini de
lancers".
Qui est dans le juste?
Merci par avance,
TP
jc_lavau
Sep 21, 2011, 4:21:58 PM9/21/11
to
réellement équiprobables. Bien plus vite dit que fait, ni contrôlé.
--
Syntaxe géométrique de la physique :
http://deonto-ethics.org/geom_syntax/index.php?title=Accueil
"Un rond dans un rond et qui tournent pareil"
Nicolas Bonneel
Sep 21, 2011, 5:21:14 PM9/21/11
to
Le 21/09/2011 22:10, TP a écrit :
> Au bout de n lancers, la probabilité d'obtenir n piles est égale à (1/2)^n,
> et est donc non nulle.
>
> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
> Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le côté pile (et
> zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
> positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro donc
> la probabilité d'obtenir une infinité de piles est strictement nulle. A
> l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
C'est les deux : la probabilité devient strictement nulle, mais c'est
> et est donc non nulle.
>
> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
> Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le côté pile (et
> zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
> positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro donc
> la probabilité d'obtenir une infinité de piles est strictement nulle. A
> l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
quand même possible de l'obtenir. De la même manière que la probabilité
d'obtenir un réel donné entre 0 et 1 en en prenant un au pif est de 0,
mais c'est pas impossible qu'il tombe (il faut bien qu'y en ait un qui
tombe!).
--
Nicolas Bonneel
http://cs.ubc.ca/~nbonneel/
Alain Naigeon
Sep 21, 2011, 5:22:01 PM9/21/11
to
"TP" <Tribul...@Paralleles.invalid> a écrit dans le message de news:
fuspk8-...@rama.nodalpoint.universe...
Je ne sais pas ce que signifie un nombre de lancers [égal à l'] infini !
La seule question accessible est celle que tu posais ainsi :
séquence longue (quelle que soit cette longueur) ne vont jamais tendre
vers 0, il n'y a pas de convergence.
Les gens qui mémorisent les sorties d'un jeu de hasard pour inférer
la suite sont idiots. Si j'ai tiré 25 fois pile, quelle est ma chance de
tirer encore pile ? Exactement 1 sur 2, puisque la pièce est censée
n'avoir pas changé (malgré l'usure des 25 tirages précédents LOL,
par hypothèse pour rester simple).
Il en est évidemment de même pour les numéros du loto et autres
jeux collecteurs d'impôt (les gens font la queue pour payer, on ne
sait pas s'il faut ricaner ou pleurer !)
AMHA ce qui serait intéressant, mais pas évident, ce serait
d'envisager un tirage fini de N lancers, et ensuite :
- recenser toutes les partitions de N ;
- calculer les chances d'une séquence de longeur n avec n
compris entre 1 et N ;
- et enfin, voir comment évoluent ces chances quand N augmente.
Pff c'est pas moi qui pourrai faire ça...
En plus j'imagine que cela a déjà été fait.
--
Français *==> "Musique renaissance" <==* English
midi - facsimiles - ligatures - mensuration
http://anaigeon.free.fr | http://www.medieval.org/emfaq/anaigeon/
Alain Naigeon - anai...@free.fr - Oberhoffen/Moder, France
http://fr.youtube.com/user/AlainNaigeon
---
Antivirus avast! : message Sortant sain.
Base de donnees virale (VPS) : 110921-1, 21/09/2011
Analyse le : 21/09/2011 23:22:06
avast! - copyright (c) 1988-2011 AVAST Software.
http://www.avast.com
fuspk8-...@rama.nodalpoint.universe...
La seule question accessible est celle que tu posais ainsi :
> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
Eh bien, j'ai entendu dire qu'en probabilités les chances d'avoir une
séquence longue (quelle que soit cette longueur) ne vont jamais tendre
vers 0, il n'y a pas de convergence.
Les gens qui mémorisent les sorties d'un jeu de hasard pour inférer
la suite sont idiots. Si j'ai tiré 25 fois pile, quelle est ma chance de
tirer encore pile ? Exactement 1 sur 2, puisque la pièce est censée
n'avoir pas changé (malgré l'usure des 25 tirages précédents LOL,
par hypothèse pour rester simple).
Il en est évidemment de même pour les numéros du loto et autres
jeux collecteurs d'impôt (les gens font la queue pour payer, on ne
sait pas s'il faut ricaner ou pleurer !)
AMHA ce qui serait intéressant, mais pas évident, ce serait
d'envisager un tirage fini de N lancers, et ensuite :
- recenser toutes les partitions de N ;
- calculer les chances d'une séquence de longeur n avec n
compris entre 1 et N ;
- et enfin, voir comment évoluent ces chances quand N augmente.
Pff c'est pas moi qui pourrai faire ça...
En plus j'imagine que cela a déjà été fait.
--
Français *==> "Musique renaissance" <==* English
midi - facsimiles - ligatures - mensuration
http://anaigeon.free.fr | http://www.medieval.org/emfaq/anaigeon/
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Analyse le : 21/09/2011 23:22:06
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http://www.avast.com
TP
Sep 21, 2011, 6:01:38 PM9/21/11
to
Nicolas Bonneel wrote:
>> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
>> Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le côté pile (et
>> zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
>> positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro
>> donc la probabilité d'obtenir une infinité de piles est strictement
>> nulle. A l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
>
> C'est les deux : la probabilité devient strictement nulle, mais c'est
> quand même possible de l'obtenir. De la même manière que la probabilité
> d'obtenir un réel donné entre 0 et 1 en en prenant un au pif est de 0,
> mais c'est pas impossible qu'il tombe (il faut bien qu'y en ait un qui
> tombe!).
Merci pour ta réponse.
>> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
>> Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le côté pile (et
>> zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
>> positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro
>> donc la probabilité d'obtenir une infinité de piles est strictement
>> nulle. A l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
>
> C'est les deux : la probabilité devient strictement nulle, mais c'est
> quand même possible de l'obtenir. De la même manière que la probabilité
> d'obtenir un réel donné entre 0 et 1 en en prenant un au pif est de 0,
> mais c'est pas impossible qu'il tombe (il faut bien qu'y en ait un qui
> tombe!).
Effectivement, bonne analogie à laquelle je n'avais pas pensé. Je me
rappelle effectivement de cette probabilité nulle de tirer un réel donné.
Mais es-tu sûr qu'elle est strictement nulle? N'est-elle pas plutôt
infiniment petite? Comment démontre-t-on cette nullité stricte?
TP
Nicolas Bonneel
Sep 21, 2011, 6:34:26 PM9/21/11
to
Infiniment petit ca vaut 0 au meme sens que 1.99999[...] = 2
NotMe
Sep 21, 2011, 8:48:59 PM9/21/11
to
TP
Sep 22, 2011, 2:37:30 AM9/22/11
to
NotMe wrote:
> http://fr.wikipedia.org/wiki/Pile_ou_face
J'ai beau chercher dans la page avec le mot "infini", je ne vois pas la
réponse à ma question. A part peut-être:
"""
La loi des grands nombres assure que si on effectue un grand nombre de
lancers, la moyenne du nombre de côtés pile obtenu est proche de 1/2.
"""
Cela veut-il dire qu'à l'infini je dois avoir tiré autant de piles que de
faces? Cela vient en contradiction avec mes échanges avec N. Bonneel ci-
dessous, où il est dit qu'on peut très bien tirer une infinité de piles
jusqu'à l'infini.
> http://fr.wikipedia.org/wiki/Pile_ou_face
J'ai beau chercher dans la page avec le mot "infini", je ne vois pas la
réponse à ma question. A part peut-être:
"""
La loi des grands nombres assure que si on effectue un grand nombre de
lancers, la moyenne du nombre de côtés pile obtenu est proche de 1/2.
"""
Cela veut-il dire qu'à l'infini je dois avoir tiré autant de piles que de
faces? Cela vient en contradiction avec mes échanges avec N. Bonneel ci-
dessous, où il est dit qu'on peut très bien tirer une infinité de piles
jusqu'à l'infini.
TP
Sep 22, 2011, 2:41:28 AM9/22/11
to
Nicolas Bonneel wrote:
>> Merci pour ta réponse.
>> Effectivement, bonne analogie à laquelle je n'avais pas pensé. Je me
>> rappelle effectivement de cette probabilité nulle de tirer un réel donné.
>> Mais es-tu sûr qu'elle est strictement nulle? N'est-elle pas plutôt
>> infiniment petite? Comment démontre-t-on cette nullité stricte?
>
> ben la demo est simple : lim 1/2^n quand n->+inf = 0.
> Infiniment petit ca vaut 0 au meme sens que 1.99999[...] = 2
Tu as sûrement raison, mais cela ne me paraît pas évident du tout.
>> Merci pour ta réponse.
>> Effectivement, bonne analogie à laquelle je n'avais pas pensé. Je me
>> rappelle effectivement de cette probabilité nulle de tirer un réel donné.
>> Mais es-tu sûr qu'elle est strictement nulle? N'est-elle pas plutôt
>> infiniment petite? Comment démontre-t-on cette nullité stricte?
>
> ben la demo est simple : lim 1/2^n quand n->+inf = 0.
> Infiniment petit ca vaut 0 au meme sens que 1.99999[...] = 2
En effet, je trouve autant de point x' que je veux tels que:
2-delta < x' < 2
(delta>0 quelconque)
Mais ils sont tous différents de 2.
Je ne comprends donc pas:
1.99999[...] = 2
Pour moi, dans l'infinité de nombres désignée par 1.99999[...], tous sont
différents de 2.
Nicolas Bonneel
Sep 22, 2011, 4:59:28 AM9/22/11
to
Le 22/09/2011 08:41, TP a écrit :
> Nicolas Bonneel wrote:
>
>>> Merci pour ta réponse.
>>> Effectivement, bonne analogie à laquelle je n'avais pas pensé. Je me
>>> rappelle effectivement de cette probabilité nulle de tirer un réel donné.
>>> Mais es-tu sûr qu'elle est strictement nulle? N'est-elle pas plutôt
>>> infiniment petite? Comment démontre-t-on cette nullité stricte?
>>
>> ben la demo est simple : lim 1/2^n quand n->+inf = 0.
>> Infiniment petit ca vaut 0 au meme sens que 1.99999[...] = 2
>
> Tu as sûrement raison, mais cela ne me paraît pas évident du tout.
Une autre facon de voir, est que la probabilité de n'obtenir que des
> Nicolas Bonneel wrote:
>
>>> Merci pour ta réponse.
>>> Effectivement, bonne analogie à laquelle je n'avais pas pensé. Je me
>>> rappelle effectivement de cette probabilité nulle de tirer un réel donné.
>>> Mais es-tu sûr qu'elle est strictement nulle? N'est-elle pas plutôt
>>> infiniment petite? Comment démontre-t-on cette nullité stricte?
>>
>> ben la demo est simple : lim 1/2^n quand n->+inf = 0.
>> Infiniment petit ca vaut 0 au meme sens que 1.99999[...] = 2
>
> Tu as sûrement raison, mais cela ne me paraît pas évident du tout.
piles est égale à la probabilité d'obtenir une fois sur deux un pile et
une fois sur deux un face, qui est egale à la proba d'obtenir n'importe
quelle séquence donnée... qui est égale à 0 lorsque le nombre de lancers
tend vers l'infini.
> En effet, je trouve autant de point x' que je veux tels que:
>
> 2-delta< x'< 2
>
> (delta>0 quelconque)
qui considèrent que ton delta sera infiniment petit, tu n'auras plus la
place pour trouver un autre nombre.
On écrit bien lim(1+somme(9/10^n)) = 2 quand n->+inf,
et non lim(1+somme(9/10^n)) est approximativement égal à 2 quand n->+inf.
Nicolas Bonneel
Sep 22, 2011, 5:08:55 AM9/22/11
to
evenements de probabilité nulle : soit la densité de probabilité est
absolument continue et on a donc fait une intégrale d'une fonction
continue sur un intervalle donné (par exemple, dans le cas de la
probabilité de choisir un nombre entre 0 et 1 : chaque nombre a en lui
meme une proba nulle de tomber, mais cela forme une fonction continue),
ou bien les evenements de probabilité nulle sont isolés (eg., des
"trous" infiniment petits dans la distribution de probabilité) et dans
ce cas l'integrale ne les prendra pas en compte (intégrale de Lebesgue).
Nicolas Bonneel
Sep 22, 2011, 6:48:25 AM9/22/11
to
- cas 1 : choisissez dans votre tête (le plus uniformément possible) un
réel entre 0 et 1. La probabilité que sqrt(3)/2 soit choisi (ou bien
0.25 ou n'importe quel réel) est de 0. Par contre, l’espérance est de 0.5.
- cas 2 : choisissez dans votre tête (le plus uniformément possible) un
réel entre 0 et 1, mais vous avez interdiction de choisir 0.5, 0.7 et
sqrt(3)/2. La probabilité que sqrt(3)/2 soit choisi (ainsi que 0.5, 0.25
ou n'importe quel réel) est de 0. L'espérance est toujours de 0.5.
Le cas du pile ou face avec une infinité de lancers peut être ramené au
cas 1, par exemple en considérant chaque lancer comme un digit en
binaire et avec une transformation adéquat : il n'y a aucune combinaison
de piles et de faces qui soit "interdite", mais chacune a au final quand
même une proba de 0.
TP
Sep 22, 2011, 3:15:38 PM9/22/11
to
>>> Infiniment petit ca vaut 0 au meme sens que 1.99999[...] = 2
>> En effet, je trouve autant de point x' que je veux tels que:
>>
>> 2-delta< x'< 2
>>
>> (delta>0 quelconque)
>
>>
>> 2-delta< x'< 2
>>
>> (delta>0 quelconque)
>
Nicolas Bonneel wrote:
> justement non si tu prend bien un compte les trois ptits points [...],
> qui considèrent que ton delta sera infiniment petit, tu n'auras plus la
> place pour trouver un autre nombre.
> On écrit bien lim(1+somme(9/10^n)) = 2 quand n->+inf,
> et non lim(1+somme(9/10^n)) est approximativement égal à 2 quand n->+inf.
On est bien d'accord.
> justement non si tu prend bien un compte les trois ptits points [...],
> qui considèrent que ton delta sera infiniment petit, tu n'auras plus la
> place pour trouver un autre nombre.
> On écrit bien lim(1+somme(9/10^n)) = 2 quand n->+inf,
> et non lim(1+somme(9/10^n)) est approximativement égal à 2 quand n->+inf.
Ce qui me fait dire la chose suivante:
1.9999... = 2 est une définition, une pure convention.
En effet, je suis bien d'accord que si je considère une suite ayant pour
premier terme 1.9, deuxième terme 1.99, troisième 1.999, etc., la limite de
cette suite quand n tend vers l'infini est 2.
*Par définition*, on dit alors que 1.999.... = lim un. Et comme lim un = 2,
on en déduit 1.999... = 2.
Je pourrais tout aussi bien définir 1.9... comme une notation définissant
l'ensemble des termes de la suite: 1.9, 1.99, 1.999, ..., 1.999..9 (n 9 à
droite de la virgule), avec n arbitrairement grand.
Ou bien encore je pourrais décider que 1.9... représente n'importe quel
nombre réel x' inférieur à 2, tel que 2-delta< x'< 2, avec delta choisi
par un utilisateur.
Cette dernière définition me fait alors penser à la définition d'un
infinitésimal:
Woods, Frederick S.: Advanced Calculus, Second edition, Ginn And Company,
1954, p.19:
"""
An infinitesimal is defined as a variable which approaches zero as a limit.
When two or more infinitesimals approach zero at the same time, they may be
compared by considering their ratios.
We say that an infinitesimal beta is of the same order as an infinitesimal
alpha if:
lim beta/alpha = k
where k is a finite quantity different from zero.
"""
(A aucun moment il n'est dit qu'un infinitésimal est égal à zéro, bien sûr).
Ainsi, la probabilité d'obtenir des piles sur tous les lancers est un
infinitesimal. Par "sur tous les lancers", j'entend "pour tout nombre fini
de lancers arbitrairement grand".
Quand tu dis (et la littérature) que la probabilité d'obtenir des piles
jusqu'à l'infini est strictement nulle, tu *définis* implicitement:
P("tirer des piles jusqu'à l'infini")= lim(n->inf) ("tirer des piles pour un
nombre n de lancers").
Etant donné que c'est une définition, je peux tout à fait l'admettre, mais à
mon humble avis, elle n'apporte rien au problème, sinon d'embrouiller le
lecteur par l'introduction de cette définition sans la dire clairement. On
peut très bien raisonner en termes d'"infinitesimals", en gardant à l'esprit
qu'un infinitesimal tend vers zéro à la limite.
Qu'en penses-tu?
Merci,
TP
Nicolas Bonneel
Sep 22, 2011, 4:35:05 PM9/22/11
to
Le 22/09/2011 21:15, TP a écrit :
>>>> Infiniment petit ca vaut 0 au meme sens que 1.99999[...] = 2
>
>>> En effet, je trouve autant de point x' que je veux tels que:
>>>
>>> 2-delta< x'< 2
>>>
>>> (delta>0 quelconque)
>>
>
> Nicolas Bonneel wrote:
>
>> justement non si tu prend bien un compte les trois ptits points [...],
>> qui considèrent que ton delta sera infiniment petit, tu n'auras plus la
>> place pour trouver un autre nombre.
>> On écrit bien lim(1+somme(9/10^n)) = 2 quand n->+inf,
>> et non lim(1+somme(9/10^n)) est approximativement égal à 2 quand n->+inf.
>
> On est bien d'accord.
> Ce qui me fait dire la chose suivante:
> 1.9999... = 2 est une définition, une pure convention.
>
> En effet, je suis bien d'accord que si je considère une suite ayant pour
> premier terme 1.9, deuxième terme 1.99, troisième 1.999, etc., la limite de
> cette suite quand n tend vers l'infini est 2.
> *Par définition*, on dit alors que 1.999.... = lim un. Et comme lim un = 2,
> on en déduit 1.999... = 2.
[...]>>>> Infiniment petit ca vaut 0 au meme sens que 1.99999[...] = 2
>
>>> En effet, je trouve autant de point x' que je veux tels que:
>>>
>>> 2-delta< x'< 2
>>>
>>> (delta>0 quelconque)
>>
>
> Nicolas Bonneel wrote:
>
>> justement non si tu prend bien un compte les trois ptits points [...],
>> qui considèrent que ton delta sera infiniment petit, tu n'auras plus la
>> place pour trouver un autre nombre.
>> On écrit bien lim(1+somme(9/10^n)) = 2 quand n->+inf,
>> et non lim(1+somme(9/10^n)) est approximativement égal à 2 quand n->+inf.
>
> On est bien d'accord.
> Ce qui me fait dire la chose suivante:
> 1.9999... = 2 est une définition, une pure convention.
>
> En effet, je suis bien d'accord que si je considère une suite ayant pour
> premier terme 1.9, deuxième terme 1.99, troisième 1.999, etc., la limite de
> cette suite quand n tend vers l'infini est 2.
> *Par définition*, on dit alors que 1.999.... = lim un. Et comme lim un = 2,
> on en déduit 1.999... = 2.
> Qu'en penses-tu?
> Merci,
non, ce n'est pas par definition. On peut en faire une preuve, regarde:
On part de x=1.9999999....
On calcule 10x = 19.999999....
Puis 10x-x = 19.9999... - 1.999999 = 18
Donc 9x = 18
Donc x=2
Sans définition ni approximation :)
TP
Sep 22, 2011, 5:02:44 PM9/22/11
to
Nicolas Bonneel wrote:
> non, ce n'est pas par definition. On peut en faire une preuve, regarde:
> On part de x=1.9999999....
> On calcule 10x = 19.999999....
> Puis 10x-x = 19.9999... - 1.999999 = 18
> Donc 9x = 18
> Donc x=2
> Sans définition ni approximation :)
C'est rigolo, j'en ai discuté avec un collègue aujourd'hui, qui m'a donné
> non, ce n'est pas par definition. On peut en faire une preuve, regarde:
> On part de x=1.9999999....
> On calcule 10x = 19.999999....
> Puis 10x-x = 19.9999... - 1.999999 = 18
> Donc 9x = 18
> Donc x=2
> Sans définition ni approximation :)
exactement le même calcul!
Pour moi, ton calcul est juste, mais c'est un calcul manipulant des limites,
et rien d'autre.
En effet, comment passes-tu de:
x = 1.999...
à
10x = 19.999...
?
Ce n'est pas évident, il faut déjà définir ce qu'est 1.999...
Si l'on prend ma deuxième définition donnée dans mon post précédent (puisque
tu cherches à montrer que x=2 même en considérant ma vue des choses), je dis
que 1.999... est un "infinitesimal", i.e. un nombre réel aussi proche de 2
que je le veux. Comme cas particulier d'infinitesimal, je peux prendre:
x = 2 - 10^(-n) avec n arbitrairement grand mais fini.
Alors:
10x = 20 - 10^(-n+1)
10x-x = 18 - 10^(-n+1) + 10^(-n) = 18 - 10^(-n) * (10-1)
9x = 18 - 9 * 10^(-n)
x = 2 - 10^(-n)
On retombe sur mon choix de x, comme attendu.
Maintenant, si au contraire tu définis
1.999... = lim (n->inf) u_n
i.e.
1.999... = 2
comme dans mon post précédent, alors ton calcul est inutile, puisque
1.999... est égal à 2 par définition.
Le problème dans ton calcul, à mon humble avis, c'est que 1.999... n'est pas
défini précisément au début. La suite n'est donc pas très rigoureuse, c'est
un peu comme ces calculs qui montrent que 1=2 en utilisant une division par
zéro.
Suis-je dans le faux?
Merci,
TP
RVG
Sep 22, 2011, 5:13:15 PM9/22/11
to
Une grosse crampe dans le bras.
--
"Berge ruhn, von Sternen überprächtigt;
aber auch in ihnen flimmert Zeit.
Ach, in meinem wilden Herzen nächtigt
obdachlos die Unvergänglichkeit."
Rainer Maria Rilke
http://rvgmusic.bandcamp.com/
http://www.jamendo.com/fr/user/RVG95
http://bluedusk.blogspot.com/
Nicolas Bonneel
Sep 23, 2011, 7:22:39 AM9/23/11
to
Le 22/09/2011 23:02, TP a écrit :
> Nicolas Bonneel wrote:
>
>> non, ce n'est pas par definition. On peut en faire une preuve, regarde:
>> On part de x=1.9999999....
>> On calcule 10x = 19.999999....
>> Puis 10x-x = 19.9999... - 1.999999 = 18
>> Donc 9x = 18
>> Donc x=2
>> Sans définition ni approximation :)
>
> C'est rigolo, j'en ai discuté avec un collègue aujourd'hui, qui m'a donné
> exactement le même calcul!
> Pour moi, ton calcul est juste, mais c'est un calcul manipulant des limites,
> et rien d'autre.
>
> En effet, comment passes-tu de:
> x = 1.999...
> à
> 10x = 19.999...
> ?
Si on sait qu'il y a un nombre infini de neufs, multiplier par 10 le
> Nicolas Bonneel wrote:
>
>> non, ce n'est pas par definition. On peut en faire une preuve, regarde:
>> On part de x=1.9999999....
>> On calcule 10x = 19.999999....
>> Puis 10x-x = 19.9999... - 1.999999 = 18
>> Donc 9x = 18
>> Donc x=2
>> Sans définition ni approximation :)
>
> C'est rigolo, j'en ai discuté avec un collègue aujourd'hui, qui m'a donné
> exactement le même calcul!
> Pour moi, ton calcul est juste, mais c'est un calcul manipulant des limites,
> et rien d'autre.
>
> En effet, comment passes-tu de:
> x = 1.999...
> à
> 10x = 19.999...
> ?
résultat ne devrait pas changer ce nombre (10 fois l'infini, c'est
l'infini aussi). Et c'est le cas pour ta question de lancers de pièce :
que se passe-t-il si le nombre de lancers tend vers l'infini (ie., on ne
s'arrêtera jamais de lancer la pièce) ?
En revanche, si on considère un nombre fini de 9 :
>
> Ce n'est pas évident, il faut déjà définir ce qu'est 1.999...
> Si l'on prend ma deuxième définition donnée dans mon post précédent (puisque
> tu cherches à montrer que x=2 même en considérant ma vue des choses), je dis
> que 1.999... est un "infinitesimal", i.e. un nombre réel aussi proche de 2
> que je le veux. Comme cas particulier d'infinitesimal, je peux prendre:
>
> x = 2 - 10^(-n) avec n arbitrairement grand mais fini.
>
> Alors:
>
> 10x = 20 - 10^(-n+1)
> 10x-x = 18 - 10^(-n+1) + 10^(-n) = 18 - 10^(-n) * (10-1)
> 9x = 18 - 9 * 10^(-n)
> x = 2 - 10^(-n)
>
> On retombe sur mon choix de x, comme attendu.
>
> Maintenant, si au contraire tu définis
> 1.999... = lim (n->inf) u_n
> i.e.
> 1.999... = 2
> comme dans mon post précédent, alors ton calcul est inutile, puisque
> 1.999... est égal à 2 par définition.
donne pas le même résultat, ce à quoi on pourrait s'attendre ;)
Je sais que des gens se sont lancé dans les calculs avec des
infinitésimaux, mais à ma connaissance ce n'est plus utilisé - je
laisserai ceux qui connaissent mieux l'histoire des maths ou ce domaine
te répondre mieux que moi.
> Le problème dans ton calcul, à mon humble avis, c'est que 1.999... n'est pas
> défini précisément au début. La suite n'est donc pas très rigoureuse, c'est
> un peu comme ces calculs qui montrent que 1=2 en utilisant une division par
> zéro.
contradictions. Ici, on n'a fait que des opérations légales aboutissant
donc à des résultats qui rentrent dans le cadre des définitions qu'on
s'est données.
MAI
Sep 23, 2011, 5:39:26 PM9/23/11
to
Le 22/09/2011 08:41, TP a écrit :
ne peut pas faire tendre le nombre de lancers réellement vers l'infini,
pour des raisons évidentes. On n'est pas non plus dans le cas d'Achille
et la tortue, un lancer nécessitant un laps de temps disons borné
inférieurement, et donc une infinité de lancers suppose un temps infini,
la vérification "expérimentale" de la théorie des probabilités n'est
cependant pas en cause, d'ailleurs,car avec un grand nombre de lancers
"réels", on aura pour deux expériences similaires mais distinctes, des
résultats différents, même si le rapport pile/face tend vers 1 (ecart
type.., moments). Essayez.
Oncle Dom
Sep 23, 2011, 10:35:43 PM9/23/11
to
In news:fuspk8-...@rama.nodalpoint.universe,
TP <Tribul...@Paralleles.invalid> nous a fait l'honneur d'écrire:
impossible d'obtenir un nombre infini de piles avec un nombre non infini de
lancers
enfin, quoi?
> Un collègue est de l'avis contraire:
> "(1/2)^n tend vers zéro donc la probabilité d'obtenir une infinité de
> piles est strictement nulle. A l'infini, on doit avoir autant de
> piles que de faces".
Oui, pour la possibilité d'avoir zéro faces
Mais à l'infini on a un nombre infini de piles, et un nombre infini de faces
Le rapport du nombre de piles au nombre de lancers donne infini/infini, qui
est indéterminé
> Il me semble que c'est un problème lié à la notion de "nombre infini
> de lancers".
tout à fait
--
Oncle Dom
_________
http://www.oncle-dom.fr/
TP <Tribul...@Paralleles.invalid> nous a fait l'honneur d'écrire:
> Bonjour à tous,
>
> J'ai une pièce dont je suppose les côtés pile et face équiprobables.
> Les lancers sont indépendants.
>
> Au bout de n lancers, la probabilité d'obtenir n piles est égale à
> (1/2)^n, et est donc non nulle.
>
> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers
> l'infini? Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le
> côté pile (et zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers
> zéro mais reste positif.
Tu dis bien TEND vers l'infini, et pas EST EGAL à l'infini
>
> J'ai une pièce dont je suppose les côtés pile et face équiprobables.
> Les lancers sont indépendants.
>
> Au bout de n lancers, la probabilité d'obtenir n piles est égale à
> (1/2)^n, et est donc non nulle.
>
> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers
> l'infini? Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le
> côté pile (et zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers
> zéro mais reste positif.
impossible d'obtenir un nombre infini de piles avec un nombre non infini de
lancers
enfin, quoi?
> Un collègue est de l'avis contraire:
> "(1/2)^n tend vers zéro donc la probabilité d'obtenir une infinité de
> piles est strictement nulle. A l'infini, on doit avoir autant de
> piles que de faces".
Mais à l'infini on a un nombre infini de piles, et un nombre infini de faces
Le rapport du nombre de piles au nombre de lancers donne infini/infini, qui
est indéterminé
> Il me semble que c'est un problème lié à la notion de "nombre infini
> de lancers".
--
Oncle Dom
_________
http://www.oncle-dom.fr/
TP
Sep 24, 2011, 1:14:54 AM9/24/11
to
Oncle Dom wrote:
>> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers
>> l'infini? Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le
>> côté pile (et zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers
>> zéro mais reste positif.
> Tu dis bien TEND vers l'infini, et pas EST EGAL à l'infini
> impossible d'obtenir un nombre infini de piles avec un nombre non infini
> de lancers
> enfin, quoi?
Quelle est la signification de "enfin, quoi?".
>> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers
>> l'infini? Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le
>> côté pile (et zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers
>> zéro mais reste positif.
> Tu dis bien TEND vers l'infini, et pas EST EGAL à l'infini
> impossible d'obtenir un nombre infini de piles avec un nombre non infini
> de lancers
> enfin, quoi?
Attention à ne pas faire passer pour évidentes des choses qui ne le sont
pas...
>> Un collègue est de l'avis contraire:
>> "(1/2)^n tend vers zéro donc la probabilité d'obtenir une infinité de
>> piles est strictement nulle. A l'infini, on doit avoir autant de
>> piles que de faces".
> Oui, pour la possibilité d'avoir zéro faces
> Mais à l'infini on a un nombre infini de piles, et un nombre infini de
> faces Le rapport du nombre de piles au nombre de lancers donne
> infini/infini, qui est indéterminé
Bonneel.
Pour l'instant, mon avis est clair: nul besoin de considérer ce qui se passe
à l'infini, qui ne peut qu'être obtenu que *par définition* (voir ce que
j'ai écrit dans ma discussion avec N. Bonneel). On peut très bien se
contenter de n fini et arbitrairement grand.
TP
Oncle Dom
Sep 25, 2011, 1:07:31 PM9/25/11
to
In news:ej50l8-...@rama.nodalpoint.universe,
TP <Tribul...@Paralleles.invalid> nous a fait l'honneur d'�crire:
> Oncle Dom wrote:
>> Tu dis bien TEND vers l'infini, et pas EST EGAL � l'infini
>> impossible d'obtenir un nombre infini de piles avec un nombre non
>> infini de lancers
>> enfin, quoi?
>
> Quelle est la signification de "enfin, quoi?".
> Attention � ne pas faire passer pour �videntes des choses qui ne le
> sont pas...
Il n'est pas �vident qu'un nombre non infini n'est pas �gal � l'infini?
Je pensais ne pas �tre idiot, mais l�, il va falloir qu'on me fasse un
dessin...
TP <Tribul...@Paralleles.invalid> nous a fait l'honneur d'�crire:
> Oncle Dom wrote:
>> Tu dis bien TEND vers l'infini, et pas EST EGAL � l'infini
>> impossible d'obtenir un nombre infini de piles avec un nombre non
>> infini de lancers
>> enfin, quoi?
>
> Quelle est la signification de "enfin, quoi?".
> sont pas...
Il n'est pas �vident qu'un nombre non infini n'est pas �gal � l'infini?
Je pensais ne pas �tre idiot, mais l�, il va falloir qu'on me fasse un
dessin...
TP
Sep 25, 2011, 1:27:55 PM9/25/11
to
Oncle Dom wrote:
> Il n'est pas évident qu'un nombre non infini n'est pas égal à l'infini?
Je viens seulement de comprendre le sens de ta remarque initiale.
La distinction entre "égal à l'infini" et "tend vers l'infini" m'est
seulement apparue dans la discussion avec N. Bonneel (et grâce à lui), d'où
l'imprécision dans ma question initiale.
Ma question initiale qui était:
"""
Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le côté pile (et
zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro donc
la probabilité d'obtenir une infinité de piles est strictement nulle. A
l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
"""
est à reformuler en:
"""
Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers *est égal à l'infini*?
Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le côté pile (et
zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro donc
la probabilité d'obtenir une infinité de piles est strictement nulle. A
l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
"""
Pour la réponse donnée à cette question par N. Bonneel, lire la discussion
avec lui.
Pour ma part, après cette discussion, je pense qu'il est inutile de
considérer ce qui se passe lorsque le nombre de lancers est infini, mais
suffisant de considérer ce qui se passe lorsqu'il tend vers l'infini.
TP
Bob Bubble
Sep 25, 2011, 2:07:10 PM9/25/11
to
apparemment le vocabulaire, mais rebondit sur toutes les réponses...
Troll ?
Non, je dois être mauvaise langue...
TP
Sep 25, 2011, 2:17:00 PM9/25/11
to
Bob Bubble wrote:
> Un doute � lire cette discussion : interlocuteur qui ma�trise
> apparemment le vocabulaire, mais rebondit sur toutes les r�ponses...
> Troll ?
> Non, je dois �tre mauvaise langue...
Pardon?
Vous pouvez d�velopper?
Parce que l�, c'est un peu l�ger.
TP
Sep 25, 2011, 2:24:42 PM9/25/11
to
Bob Bubble wrote:
> Un doute � lire cette discussion : interlocuteur qui ma�trise
> apparemment le vocabulaire, mais rebondit sur toutes les r�ponses...
> Troll ?
> Non, je dois �tre mauvaise langue...
Bon:
* de une, apprenez � quoter.
* de deux, on ne peut pas dire que votre premi�re intervention sur
fr.sci.maths soit de haut niveau:
Ce sont les gens comme vous qui pourrissent Usenet de messages inutiles!
TPPPPPPP
Sep 25, 2011, 2:38:59 PM9/25/11
to
Le 25/09/2011 20:24, TP a �crit :
> Bon:
> * de une, apprenez � quoter.
> * de deux, on ne peut pas dire que votre premi�re intervention sur
> fr.sci.maths soit de haut niveau
> Bon:
> * de une, apprenez � quoter.
> * de deux, on ne peut pas dire que votre premi�re intervention sur
> fr.sci.maths soit de haut niveau
Bien vu "Bob Bubble", vu la r�action de l'int�ress�, c'est un troll, ce
dont je me doutais aussi depuis un certain temps.
Allez, TP, je te laisse cherche mes � pr�c�dentes interventions � ici !
TP
Sep 25, 2011, 2:53:21 PM9/25/11
to
TPPPPPPP wrote:
> Allez, TP, je te laisse cherche mes « précédentes interventions » ici !
Tiens tiens:
Logiciel de news utilisé par "TPPPPPPP":
"""
User-Agent: User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux i686 on x86_64; rv:6.0.2)
Gecko/20110902 Thunderbird/6.0.2
"""
Logiciel de news utilisé par "Bob Bubble":
"""
User-Agent: User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; U; Linux x86_64; en-US;
rv:1.9.1.16) Gecko/20110818 Icedove/3.0.11
"""
Et tous les deux chez Orange.
Ça ressemble. Coincidence?
Probablement encore un grand malade derrière son ordinateur, ayant envie de
se défouler.
Quoi qu'il en soit, j'ai mieux à faire, alors bye!
Vous avez déjà assez pourri le forum comme cela.
> Allez, TP, je te laisse cherche mes « précédentes interventions » ici !
Tiens tiens:
Logiciel de news utilisé par "TPPPPPPP":
"""
User-Agent: User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux i686 on x86_64; rv:6.0.2)
Gecko/20110902 Thunderbird/6.0.2
"""
Logiciel de news utilisé par "Bob Bubble":
"""
User-Agent: User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; U; Linux x86_64; en-US;
rv:1.9.1.16) Gecko/20110818 Icedove/3.0.11
"""
Et tous les deux chez Orange.
Ça ressemble. Coincidence?
Probablement encore un grand malade derrière son ordinateur, ayant envie de
se défouler.
Quoi qu'il en soit, j'ai mieux à faire, alors bye!
Vous avez déjà assez pourri le forum comme cela.
Oncle Dom
Sep 25, 2011, 2:54:39 PM9/25/11
to
In news:rt44l8-...@rama.nodalpoint.universe,
> consid�rer ce qui se passe lorsque le nombre de lancers est infini,
> mais suffisant de consid�rer ce qui se passe lorsqu'il tend vers
> l'infini.
>
Comme �a, d'accord.
TP <Tribul...@Paralleles.invalid> nous a fait l'honneur d'�crire:
> Pour ma part, apr�s cette discussion, je pense qu'il est inutile de
> consid�rer ce qui se passe lorsque le nombre de lancers est infini,
> mais suffisant de consid�rer ce qui se passe lorsqu'il tend vers
> l'infini.
>
Comme �a, d'accord.
Joe Cool
Sep 25, 2011, 2:56:25 PM9/25/11
to
Le 21/09/2011 22:10, TP a �crit :
> J'ai une pi�ce dont je suppose les c�t�s pile et face �quiprobables.
> Les lancers sont ind�pendants.
>
> Au bout de n lancers, la probabilit� d'obtenir n piles est �gale � (1/2)^n,
> et est donc non nulle.
> J'ai une pi�ce dont je suppose les c�t�s pile et face �quiprobables.
> Les lancers sont ind�pendants.
>
> Au bout de n lancers, la probabilit� d'obtenir n piles est �gale � (1/2)^n,
> et est donc non nulle.
Jusque l�, �a va.
> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
> Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinit� de fois le c�t� pile (et
> z�ro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers z�ro mais reste
> positif. Un coll�gue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers z�ro donc
> la probabilit� d'obtenir une infinit� de piles est strictement nulle. A
> l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
>
> Il me semble que c'est un probl�me li� � la notion de "nombre infini de
> lancers".
>
> Qui est dans le juste?
Personne n'est dans le juste puisque votre notion d'infini n'a pas de sens. Il n'y a pas de suite infinie de piles et de faces: il y a des suites de piles et de faces arbitrairement grandes, et plus elles sont grandes, plus la probabilit� de leur actualisation se rapproche de 0. Tout est dit.
--
Joe Cool
TP
Sep 25, 2011, 3:03:17 PM9/25/11
to
Joe Cool wrote:
> Personne n'est dans le juste puisque votre notion d'infini n'a pas de
> sens. Il n'y a pas de suite infinie de piles et de faces: il y a des
> suites de piles et de faces arbitrairement grandes, et plus elles sont
> grandes, plus la probabilité de leur actualisation se rapproche de 0. Tout
> Personne n'est dans le juste puisque votre notion d'infini n'a pas de
> sens. Il n'y a pas de suite infinie de piles et de faces: il y a des
> suites de piles et de faces arbitrairement grandes, et plus elles sont
> est dit.
On est d'accord (voir mon dernier message à Oncle Dom).
TP
Joe Cool
Sep 25, 2011, 3:06:38 PM9/25/11
to
Le 21/09/2011 23:21, Nicolas Bonneel a �crit :
> C'est les deux : la probabilit� devient strictement nulle, mais c'est
> quand m�me possible de l'obtenir.
> C'est les deux : la probabilit� devient strictement nulle, mais c'est
> quand m�me possible de l'obtenir.
�a commence mal...
> De la m�me mani�re que la probabilit�
> d'obtenir un r�el donn� entre 0 et 1 en en prenant un au pif est de 0,
> mais c'est pas impossible qu'il tombe (il faut bien qu'y en ait un qui
> tombe!).
Tirer un r�el au hasard, qu'est-ce que �a signifie?
Petit exemple: la probabilit� d'obtenir un r�el d�finissable est nulle puisque l'ensemble des r�els d�finissables est d�nombrable; mais les seuls r�els que l'on puisse obtenir par tirage sont d�finissables. Ainsi nous avons un �v�nement de probabilit� nulle mais qui arrive tout le temps. De m�me, l'ensemble compl�mentaire, l'ensemble des r�els ind�finissables, a une probabilit� �gale � 1 mais r�el non-d�finissable n'est jamais choisi.
--
Joe Cool
barbabapa
Sep 25, 2011, 4:46:38 PM9/25/11
to
Le 25/09/2011 20:53, TP a écrit :
> Et tous les deux chez Orange.
> Ça ressemble. Coincidence?
Coïncidence ? Pas du tout ! En fait, tous les participants à ce forum
> Et tous les deux chez Orange.
> Ça ressemble. Coincidence?
qui sont chez orange et qui utilisent linux sont en réalité un même
participant, complètement détraqué, qui passe son temps sous de fausses
identités à embêter les honnêtes gens. Pour mieux brouiller les pistes,
il utilise des logiciels différents pour poster, c'est bien connu.
> Probablement encore un grand malade derrière son ordinateur, ayant envie de
> se défouler.
surdimensionnées face à des taquineries et des interrogations,
finalement pas très méchantes ? Ne serais-tu pas un peu nerveux ? Malade
aussi, parano peut-être ? Que se passe t-il, on t'empêche de passer pour
un naïf et de faire mumuse et de jouer au chat et à la souris avec avec
l'infini et tes interlocuteurs sur ce forum ? Pauvre bichette...
> Quoi qu'il en soit, j'ai mieux à faire, alors bye!
> Vous avez déjà assez pourri le forum comme cela.
TPPPPPPP.
Heu, non, cette fois-ci, barbapapa !
Achille Talon
Sep 25, 2011, 6:31:00 PM9/25/11
to
Le Sun, 25 Sep 2011 21:06:38 +0200, Joe Cool a écrit :
> Le 21/09/2011 23:21, Nicolas Bonneel a écrit :
>> C'est les deux : la probabilité devient strictement nulle, mais c'est
>> quand même possible de l'obtenir.
>
> Ça commence mal...
>
>> De la même manière que la probabilité d'obtenir un réel donné entre 0
>> et 1 en en prenant un au pif est de 0,
>> mais c'est pas impossible qu'il tombe (il faut bien qu'y en ait un qui
>> tombe!).
>
> Tirer un réel au hasard, qu'est-ce que ça signifie?
>
> Petit exemple: la probabilité d'obtenir un réel définissable est nulle
> puisque l'ensemble des réels définissables est dénombrable; mais les
> seuls réels que l'on puisse obtenir par tirage sont définissables. Ainsi
> nous avons un événement de probabilité nulle mais qui arrive tout le
> temps. De même, l'ensemble complémentaire, l'ensemble des réels
> indéfinissables, a une probabilité égale à 1 mais réel non-définissable
> n'est jamais choisi.
Le nombre défini par l'opérateur de Hilbert appliqué à l'ensemble des
réels non définissables est il définissable?
Nicolas Bonneel
Sep 27, 2011, 3:42:28 AM9/27/11
to
Le 25/09/2011 21:06, Joe Cool a écrit :
> Le 21/09/2011 23:21, Nicolas Bonneel a écrit :
>> C'est les deux : la probabilité devient strictement nulle, mais c'est
tout b>a. Ca marche comme ca?
>
>> De la même manière que la probabilité
>> d'obtenir un réel donné entre 0 et 1 en en prenant un au pif est de 0,
le fait que le réel soit définissable ou non, ca empeche les methode de
monte-carlo d'intégrer des fonctions par exemple ?
> Le 21/09/2011 23:21, Nicolas Bonneel a écrit :
>> C'est les deux : la probabilité devient strictement nulle, mais c'est
>> quand même possible de l'obtenir.
>
> Ça commence mal...
pour une pdf gaussienne par exemple, P(X=x)=0 mais P(X>a et X<b)>0 pour
>
> Ça commence mal...
tout b>a. Ca marche comme ca?
>
>> De la même manière que la probabilité
>> mais c'est pas impossible qu'il tombe (il faut bien qu'y en ait un qui
>> tombe!).
>
> Tirer un réel au hasard, qu'est-ce que ça signifie?
>> tombe!).
>
le fait que le réel soit définissable ou non, ca empeche les methode de
monte-carlo d'intégrer des fonctions par exemple ?
philippe
Sep 27, 2011, 1:11:54 PM9/27/11
to
Bonjour,
Le 21/09/2011 22:10, TP a écrit :
>
> J'ai une pièce dont je suppose les côtés pile et face équiprobables.
> Les lancers sont indépendants.
>
> [...]
réponses et je pense que la solution la plus rigoureuse n'a pas été donnée.
> Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le côté pile (et
> zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
> positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro donc
> la probabilité d'obtenir une infinité de piles est strictement nulle.
Contrairement à ce qui a été dit par certains on peut très bien
mathématiquement considérer des séries de lancers de pile ou face
"infinies" et calculer les probabilités d'événements de cet univers,
mais pour cela il faut poser correctement les choses ...
1) l'univers des possibles peut être représenté simplement :
univers = {(u_n) | u_n=0 ou 1 (pour n=1...infini)}
= "l'ensemble des suites composées de de 0 ou 1"
chaque suite (u_n) représente donc une série "infinie" de lancers avec
1=pile et 0=face (ou l'inverse on s'en fout). La chose importante c'est
que cet ensemble est en bijection avec les "parties de N^*" (noté
souvent P(N)) c'est donc un ensemble indénombrable qui est même en
bijection avec R!!!
2) l'événement qui nous intéresse (je l'appelle A) est le sous-ensemble
composé d'une seule suite : A={(1,1,1,1,.....)}
3) le gros problème est de trouver la probabilité P sur cet univers
correspondant à des lancers indépendants d'une pièce équilibrée ...
une probabilité c'est une application qui a chaque sous-ensemble de
l'univers associe un nombre dans [0,1]. Ici il faut prendre un peu de
temps pour comprendre que la probabilité P(A) est entièrement déterminée
par la probabilité de certains événements "élémentaires" qui
correspondent aux sous-ensembles :
E(n,i)={(i,...,i,*,*,*,....)| u_k=i pour k<=n} avec i=1 ou 0
tu as donnée la formule qui est P(E(n,i))=1/2^n (correspondant à n fois
de suite le résultat i et n'importe quoi ensuite).
4) Enfin il ne reste plus qu'à voir que
A est inclus dans E(n,i) pour n=1...infini
ceci permet de calculer la probabilité de A en utilisant l'axiome de
"croissance" de P (P(A)<=P(B) si A est inclus dans B)
P(A)<= P(E(n,1))=1/2^n pour tout n=1..infini donc P(A)=0
> A l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
là par contre c'est plus compliqué et difficile à expliquer avec
l'univers des possibles utilisé ...
>
> Il me semble que c'est un problème lié à la notion de "nombre infini de
> lancers".
conclusion ce cas met en relief un "paradoxe" difficile à comprendre
pour ceux qui n'ont fait que des probabilités sur des ensembles finis
(ou dénombrables). Quand l'univers des possibles est finis (ou
dénombrable) on a souvent que : P(A)=0 => A est vide
mais quand l'univers n'est pas dénombrable (c'est le cas ici) il y a
toujours des ensembles non-vide de mesure nulle. Un tel événement est
dit "improbable" en mathématiques.
Philippe.
Le 21/09/2011 22:10, TP a écrit :
>
> J'ai une pièce dont je suppose les côtés pile et face équiprobables.
> Les lancers sont indépendants.
>
>
> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
j'arrive un peu après la bataille, j'ai parcourus les différentes
> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
réponses et je pense que la solution la plus rigoureuse n'a pas été donnée.
> Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le côté pile (et
> zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
> positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro donc
Contrairement à ce qui a été dit par certains on peut très bien
mathématiquement considérer des séries de lancers de pile ou face
"infinies" et calculer les probabilités d'événements de cet univers,
mais pour cela il faut poser correctement les choses ...
1) l'univers des possibles peut être représenté simplement :
univers = {(u_n) | u_n=0 ou 1 (pour n=1...infini)}
= "l'ensemble des suites composées de de 0 ou 1"
chaque suite (u_n) représente donc une série "infinie" de lancers avec
1=pile et 0=face (ou l'inverse on s'en fout). La chose importante c'est
que cet ensemble est en bijection avec les "parties de N^*" (noté
souvent P(N)) c'est donc un ensemble indénombrable qui est même en
bijection avec R!!!
2) l'événement qui nous intéresse (je l'appelle A) est le sous-ensemble
composé d'une seule suite : A={(1,1,1,1,.....)}
3) le gros problème est de trouver la probabilité P sur cet univers
correspondant à des lancers indépendants d'une pièce équilibrée ...
une probabilité c'est une application qui a chaque sous-ensemble de
l'univers associe un nombre dans [0,1]. Ici il faut prendre un peu de
temps pour comprendre que la probabilité P(A) est entièrement déterminée
par la probabilité de certains événements "élémentaires" qui
correspondent aux sous-ensembles :
E(n,i)={(i,...,i,*,*,*,....)| u_k=i pour k<=n} avec i=1 ou 0
tu as donnée la formule qui est P(E(n,i))=1/2^n (correspondant à n fois
de suite le résultat i et n'importe quoi ensuite).
4) Enfin il ne reste plus qu'à voir que
A est inclus dans E(n,i) pour n=1...infini
ceci permet de calculer la probabilité de A en utilisant l'axiome de
"croissance" de P (P(A)<=P(B) si A est inclus dans B)
P(A)<= P(E(n,1))=1/2^n pour tout n=1..infini donc P(A)=0
> A l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
l'univers des possibles utilisé ...
>
> Il me semble que c'est un problème lié à la notion de "nombre infini de
> lancers".
conclusion ce cas met en relief un "paradoxe" difficile à comprendre
pour ceux qui n'ont fait que des probabilités sur des ensembles finis
(ou dénombrables). Quand l'univers des possibles est finis (ou
dénombrable) on a souvent que : P(A)=0 => A est vide
mais quand l'univers n'est pas dénombrable (c'est le cas ici) il y a
toujours des ensembles non-vide de mesure nulle. Un tel événement est
dit "improbable" en mathématiques.
Philippe.
TP
Sep 27, 2011, 2:21:15 PM9/27/11
to
philippe wrote:
Merci pour ta réponse intéressante et détaillée.
Comment montres-tu:
> P(A)<= P(E(n,1))=1/2^n pour tout n=1..infini donc P(A)=0
En effet, si ce n'est pas une inégalité stricte, je ne comprends pas comment
en déduire que P(A)=0.
Merci,
TP
Merci pour ta réponse intéressante et détaillée.
Comment montres-tu:
> P(A)<= P(E(n,1))=1/2^n pour tout n=1..infini donc P(A)=0
en déduire que P(A)=0.
Merci,
TP
Julien Arlandis
Sep 28, 2011, 6:23:12 AM9/28/11
to
Le 21/09/2011 22:10, TP a écrit :
> Bonjour à tous,
>
> J'ai une pièce dont je suppose les côtés pile et face équiprobables.
> Les lancers sont indépendants.
>
> Au bout de n lancers, la probabilité d'obtenir n piles est égale à (1/2)^n,
> J'ai une pièce dont je suppose les côtés pile et face équiprobables.
> Les lancers sont indépendants.
>
> et est donc non nulle.
>
>
> Mais que se passe-t-il lorsque le nombre de lancers tend vers l'infini?
> Peut-on dire que l'on peut obtenir une infinité de fois le côté pile (et
> zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
> positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro donc
> la probabilité d'obtenir une infinité de piles est strictement nulle. A
> zéro face)? Je dirais que oui puisque (1/2)^n tend vers zéro mais reste
> positif. Un collègue est de l'avis contraire: "(1/2)^n tend vers zéro donc
> l'infini, on doit avoir autant de piles que de faces".
>
>
> Il me semble que c'est un problème lié à la notion de "nombre infini de
> lancers".
>
> lancers".
>
> Qui est dans le juste?
>
> Merci par avance,
>
>
> TP
Un évènement impossible a une probabilité nulle, mais la réciproque
n'est pas vrai comme le montres le cas que tu cites.
philippe
Sep 28, 2011, 10:00:11 AM9/28/11
to
supposons que P(A)=e>0 alors il existe un n tel que 0<1/2^n<e (il
suffit de prendre le premier entier supérieur à -log_2(e)=-ln(e)/ln(2))
dans ce cas on aurait donc P(A)>1/2^n ce qui contre-dit l'hypothèse ...
Philippe.
TP
Sep 28, 2011, 3:20:27 PM9/28/11
to
philippe wrote:
>>> P(A)<= P(E(n,1))=1/2^n pour tout n=1..infini donc P(A)=0
>>
>> En effet, si ce n'est pas une inégalité stricte, je ne comprends pas
>> comment en déduire que P(A)=0.
>
> pas besoin d'inégalité stricte, il suffit de raisonner par l'absurde :
>
> supposons que P(A)=e>0 alors il existe un n tel que 0<1/2^n<e (il
> suffit de prendre le premier entier supérieur à -log_2(e)=-ln(e)/ln(2))
> dans ce cas on aurait donc P(A)>1/2^n ce qui contre-dit l'hypothèse ...
Je comprends tout à fait que P(A) n'est pas un réel fini.
>>> P(A)<= P(E(n,1))=1/2^n pour tout n=1..infini donc P(A)=0
>>
>> En effet, si ce n'est pas une inégalité stricte, je ne comprends pas
>> comment en déduire que P(A)=0.
>
> pas besoin d'inégalité stricte, il suffit de raisonner par l'absurde :
>
> supposons que P(A)=e>0 alors il existe un n tel que 0<1/2^n<e (il
> suffit de prendre le premier entier supérieur à -log_2(e)=-ln(e)/ln(2))
> dans ce cas on aurait donc P(A)>1/2^n ce qui contre-dit l'hypothèse ...
Ce que je sens (voir ma discussion avec N. Bonneel), c'est que P(A) est un
infinitésimal: aussi petit que l'on veut, mais supérieur strictement à zéro.
J'ai déjà cité Woods dans ce thread:
Woods, Frederick S.: Advanced Calculus, Second edition, Ginn And Company,
1954, p.19:
"""
An infinitesimal is defined as a variable which approaches zero as a limit.
When two or more infinitesimals approach zero at the same time, they may be
compared by considering their ratios.
We say that an infinitesimal beta is of the same order as an infinitesimal
alpha if:
lim beta/alpha = k
where k is a finite quantity different from zero.
"""
A aucun moment il n'est dit qu'un infinitésimal est égal à zéro, bien sûr.
Donc ce que je pense, c'est que P(A) est un infinitésimal, et pas égal à
zéro.
Merci,
TP
TP
Sep 28, 2011, 3:23:52 PM9/28/11
to
J. Arlandis wrote:
> Un évènement impossible a une probabilité nulle, mais la réciproque
> n'est pas vrai comme le montres le cas que tu cites.
Si tu relis ma discussion avec N. Bonneel, ou bien ma dernière réponse à
> Un évènement impossible a une probabilité nulle, mais la réciproque
> n'est pas vrai comme le montres le cas que tu cites.
Philippe, tu comprendras pourquoi je ne suis pas d'accord.
En effet, je pense que cette probabilité strictement nulle dont tu parles
est obtenue *par définition*, et qu'en réalité, la seule chose dont on soit
sûr, c'est que c'est un infinitésimal: aussi petit qu'on veut, mais
strictement supérieur à zéro.
Merci,
TP
philippe
Sep 28, 2011, 4:27:48 PM9/28/11
to
Le 28/09/2011 21:20, TP a écrit :
>
> Je comprends tout à fait que P(A) n'est pas un réel fini.
désolé une probabilité c'est une application des parties d'un ensemble
>
> Je comprends tout à fait que P(A) n'est pas un réel fini.
(l'univers) vers [0,1], donc P(A) c'est bien un réel (c'est même 0).
> Ce que je sens (voir ma discussion avec N. Bonneel), c'est que P(A) est un
> infinitésimal: aussi petit que l'on veut, mais supérieur strictement à zéro.
peut aussi utiliser une tapette à mouche ... c'est même plus efficace :-)
La description classique de la théorie des probabilités rend bien compte
de la situation, tu peux certainement la réécrire dans le cadre de
l'analyse non-standard (c'est comme ça qu'on appelle les maths
manipulant des "infinitésimaux") mais comme le dit très bien "wikipédia" :
"l'analyse non standard a eu à ce jour peu d'influence. Peu de théorèmes
nouveaux ont été mis au point au moyen de celle-ci, et pour le moment,
elle constitue essentiellement une réécriture de l'ensemble de l'analyse
au moyen de nouveaux concepts. Il convient de préciser qu'on ne saurait
s'attendre à de nouveaux résultats en analyse élémentaire ".
http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard#Int.C3.A9r.C3.AAt_de_l.27analyse_non_standard
Philippe
philippe
Sep 28, 2011, 4:33:17 PM9/28/11
to
Le 28/09/2011 21:23, TP a écrit :
>
> En effet, je pense que cette probabilité strictement nulle dont tu parles
> est obtenue *par définition*,
relis ma réponse je t'ai bien donné un calcul qui mène à P(A)=0
>
> En effet, je pense que cette probabilité strictement nulle dont tu parles
> est obtenue *par définition*,
> et qu'en réalité, la seule chose dont on soit sûr, c'est que c'est un
> infinitésimal: aussi petit qu'on veut, mais strictement supérieur à zéro.
que P(A)="infinitésimal"
Philippe.
Joe Cool
Sep 28, 2011, 5:57:56 PM9/28/11
to
Le 26/09/2011 00:31, Achille Talon a écrit :
> Le nombre défini par l'opérateur de Hilbert appliqué à l'ensemble des
> réels non définissables est il définissable?
Vous venez d'énoncer une variante non-constructive du paradoxe de Richard (ce dernier utilisait la diagonalisation de Cantor en guise d'opérateur de choix). La solution est connue mais peu comprise, tellement peu qu'il se trouve encore des soi-disant mathématiciens pour affirmer des imbécilités du genre «l'ensemble des réels n'est pas dénombrable»; mais ceci est un autre sujet.
> Le nombre défini par l'opérateur de Hilbert appliqué à l'ensemble des
> réels non définissables est il définissable?
Un réel définissable l'est toujours dans un système formel bien précis; en effet, l'affirmation de la définissabilité d'un réel consiste en la preuve d'une formule existentielle (la définition en question est une formule). Si preuve il y a, un système formel doit en rendre compte. Ainsi les réels définissables sont toujours relatifs au système formel dans lequel on les définit.
En considérant l'ensemble des réels définissables dans un système formel donné, on peut toujours définir un réel non définissable: il est bien sûr nécessairement défini dans un système formel strictement plus puissant que celui de départ.
La réponse à votre question est donc: apprenez le sens des mots avant de les utiliser.
--
Joe Cool
Joe Cool
Sep 28, 2011, 6:08:26 PM9/28/11
to
Le 27/09/2011 09:42, Nicolas Bonneel a écrit :
>>> C'est les deux : la probabilité devient strictement nulle, mais c'est
>>> quand même possible de l'obtenir.
>>
>> Ça commence mal...
>
> pour une pdf gaussienne par exemple, P(X=x)=0 mais P(X>a et X<b)>0 pour
> tout b>a. Ca marche comme ca?
Comme pénitence pour avoir proféré une absurdité pour vous faire mousser, vous lancerez une pièce une infinité de fois puis vous nous communiquerez la quantité respective de piles et de faces obtenus.
>>> C'est les deux : la probabilité devient strictement nulle, mais c'est
>>> quand même possible de l'obtenir.
>>
>> Ça commence mal...
>
> pour une pdf gaussienne par exemple, P(X=x)=0 mais P(X>a et X<b)>0 pour
> tout b>a. Ca marche comme ca?
>> Tirer un réel au hasard, qu'est-ce que ça signifie?
>
> le fait que le réel soit définissable ou non, ca empeche les methode de
> monte-carlo d'intégrer des fonctions par exemple ?
À dans une petite éternité transfinie,
--
Joe Cool
Joe Cool
Sep 28, 2011, 6:30:32 PM9/28/11
to
Le 28/09/2011 21:23, TP a écrit :
> En effet, je pense que cette probabilité strictement nulle dont tu parles
> est obtenue *par définition*, et qu'en réalité, la seule chose dont on soit
> sûr, c'est que c'est un infinitésimal: aussi petit qu'on veut, mais
> strictement supérieur à zéro.
Quand on fait des maths, tout est obtenu par définition et par déduction. Votre problème provient de l'image que vous vous faites du réel 0.
> est obtenue *par définition*, et qu'en réalité, la seule chose dont on soit
> sûr, c'est que c'est un infinitésimal: aussi petit qu'on veut, mais
> strictement supérieur à zéro.
Par définition, on identifie un réel comme étant l'ensemble des suites qui se rapprochent les unes des autres, et leur «cible», le réel, est moins un nombre que l'ensemble des manières de se rapprocher d'un nombre aussi près que l'on veut.
Il y a un monde entre les réels phantasmés des mathématiciens, qui n'ont de réel que le nom, et les réels formels que l'on manipule en vrai dans les démonstrations, les seuls qui font sens.
--
Joe Cool
TP
Sep 28, 2011, 7:12:38 PM9/28/11
to
philippe wrote:
>> Je comprends tout à fait que P(A) n'est pas un réel fini.
>
> désolé une probabilité c'est une application des parties d'un ensemble
> (l'univers) vers [0,1], donc P(A) c'est bien un réel (c'est même 0).
>
>> Ce que je sens (voir ma discussion avec N. Bonneel), c'est que P(A) est
>> un infinitésimal: aussi petit que l'on veut, mais supérieur strictement à
>> zéro.
Ok, merci beaucoup, je viens de comprendre grâce à toi ce qui clochait dans
>> Je comprends tout à fait que P(A) n'est pas un réel fini.
>
> désolé une probabilité c'est une application des parties d'un ensemble
> (l'univers) vers [0,1], donc P(A) c'est bien un réel (c'est même 0).
>
>> Ce que je sens (voir ma discussion avec N. Bonneel), c'est que P(A) est
>> un infinitésimal: aussi petit que l'on veut, mais supérieur strictement à
>> zéro.
mon raisonnement: une probabilité (au sens habituel du terme) est un nombre
réel, et pas un infinitésimal. Par définition.
> La description classique de la théorie des probabilités rend bien compte
> de la situation, tu peux certainement la réécrire dans le cadre de
> l'analyse non-standard (c'est comme ça qu'on appelle les maths
> manipulant des "infinitésimaux") mais comme le dit très bien "wikipédia" :
je ne connaissais ce terme "analyse non-standard" que de nom, sans savoir ce
qu'il y a derrière. Je vais lire un peu sur le sujet.
> "l'analyse non standard a eu à ce jour peu d'influence. Peu de théorèmes
> nouveaux ont été mis au point au moyen de celle-ci, et pour le moment,
> elle constitue essentiellement une réécriture de l'ensemble de l'analyse
> au moyen de nouveaux concepts. Il convient de préciser qu'on ne saurait
> s'attendre à de nouveaux résultats en analyse élémentaire ".
de nouveaux résultats, mais juste de simplifier au maximum les concepts,
pour mon propre et humble usage (de manière à obtenir des démos
instinctives).
Le "paradoxe" qu'a mentionné Julien Arlandis dans ce thread, à savoir qu'un
événement impossible a toujours une probabilité nulle, mais qu'un événement
de probabilité nulle peut arriver, ne me paraît pas très instinctif, en
l'occurrence...
Merci,
TP
Joe Cool
Sep 29, 2011, 1:14:18 PM9/29/11
to
Le 29/09/2011 01:12, TP a écrit :
> Je fais confiance à Wikipedia.
Ha ha ah! On n'est pas sorti de l'auberge.
> Je fais confiance à Wikipedia.
> Le "paradoxe" qu'a mentionné Julien Arlandis dans ce thread, à savoir qu'un
> événement impossible a toujours une probabilité nulle, mais qu'un événement
> de probabilité nulle peut arriver, ne me paraît pas très instinctif, en
> l'occurrence...
Prenons un exemple pour fixer les idées. On considère une marche aléatoire de probabilité 1/2: on lance une pièce en l'air, si elle tombe sur pile, on avance d'un pas et on recommence, sinon on s'arrête. La probabilité de parcourir N pas est de 1/2^(N+1). Toutes les probabilités sont strictement positives sauf une: celle de ne jamais s'arrêter. Peut-on ne jamais s'arrêter? On imagine la présomption. Seul un fou peut le croire, ou un mathématicien.
Le mot «infini», est à comprendre comme «arbitrairement grand». Quelque soit l'infini, il en est toujours ainsi d'une manière ou d'une autre; ceci constitue un exemple de ce qu'on appelle l'abstraction de la réalisabilité potentielle: un bon modèle doit prendre en compte toutes les instances d'un problème, sans limite de taille. Mais cela ne signifie nullement que l'union des problèmes est aussi un problème valide. L'infini est une abstraction et le prendre pour une réalité ne mène à rien de sensé.
--
Joe Cool
Julien Arlandis
Sep 29, 2011, 1:24:41 PM9/29/11
to
Le 29/09/11 01:12, TP a écrit :
> Le "paradoxe" qu'a mentionné Julien Arlandis dans ce thread, à savoir qu'un
> événement impossible a toujours une probabilité nulle, mais qu'un événement
> de probabilité nulle peut arriver, ne me paraît pas très instinctif, en
> l'occurrence...
Je te propose le jeu suivant :
Le but du jeu est de tirer au hasard un réel à l'aide d'un dès à 10
faces numérotées de 0 à 9, la dernière face indique la virgule.
Par exemple le réel 435,65 sera formé par la séquence suivante "435,65,".
Quelle est la probabilité de piocher un irrationnel?
Est ce possible ?
> Le "paradoxe" qu'a mentionné Julien Arlandis dans ce thread, à savoir qu'un
> événement impossible a toujours une probabilité nulle, mais qu'un événement
> de probabilité nulle peut arriver, ne me paraît pas très instinctif, en
> l'occurrence...
Le but du jeu est de tirer au hasard un réel à l'aide d'un dès à 10
faces numérotées de 0 à 9, la dernière face indique la virgule.
Par exemple le réel 435,65 sera formé par la séquence suivante "435,65,".
Quelle est la probabilité de piocher un irrationnel?
Est ce possible ?
kduc
Sep 29, 2011, 1:26:45 PM9/29/11
to
Le 29/09/2011 19:14, Joe Cool a �crit :
> Le 29/09/2011 01:12, TP a �crit :
>> Je fais confiance � Wikipedia.
>
> Ha ha ah! On n'est pas sorti de l'auberge.
>
>> Le "paradoxe" qu'a mentionn� Julien Arlandis dans ce thread, � savoir qu'un
>> �v�nement impossible a toujours une probabilit� nulle, mais qu'un �v�nement
>> de probabilit� nulle peut arriver, ne me para�t pas tr�s instinctif, en
>> l'occurrence...
>
> Ce n'est pas instinctif pour la bonne raison que ce n'est pas r�aliste. Ce paradoxe est purement th�orique, tout comme l'existence math�matique d'un proc�d� de multiplication des lingots d'or (cf. le �paradoxe� de Banach-Tarski). Dans un monde id�al, o� tout n'est que phantasme, il suffit de tomber sur un infini qui tra�ne pour se retrouver avec des �v�nements r�alisables mais de probabilit� nulle. En pratique, donc dans la vraie vie, tout �tant fini en ce bas monde, aucun �v�nement de probabilit� nulle n'est actualisable.
>
> Prenons un exemple pour fixer les id�es. On consid�re une marche al�atoire de probabilit� 1/2: on lance une pi�ce en l'air, si elle tombe sur pile, on avance d'un pas et on recommence, sinon on s'arr�te. La probabilit� de parcourir N pas est de 1/2^(N+1). Toutes les probabilit�s sont strictement positives sauf une: celle de ne jamais s'arr�ter. Peut-on ne jamais s'arr�ter? On imagine la pr�somption. Seul un fou peut le croire, ou un math�maticien.
>
> Le mot �infini�, est � comprendre comme �arbitrairement grand�. Quelque soit l'infini, il en est toujours ainsi d'une mani�re ou d'une autre; ceci constitue un exemple de ce qu'on appelle l'abstraction de la r�alisabilit� potentielle: un bon mod�le doit prendre en compte toutes les instances d'un probl�me, sans limite de taille. Mais cela ne signifie nullement que l'union des probl�mes est aussi un probl�me valide. L'infini est une abstraction et le prendre pour une r�alit� ne m�ne � rien de sens�.
> Le 29/09/2011 01:12, TP a �crit :
>> Je fais confiance � Wikipedia.
>
> Ha ha ah! On n'est pas sorti de l'auberge.
>
>> �v�nement impossible a toujours une probabilit� nulle, mais qu'un �v�nement
>> de probabilit� nulle peut arriver, ne me para�t pas tr�s instinctif, en
>> l'occurrence...
>
> Ce n'est pas instinctif pour la bonne raison que ce n'est pas r�aliste. Ce paradoxe est purement th�orique, tout comme l'existence math�matique d'un proc�d� de multiplication des lingots d'or (cf. le �paradoxe� de Banach-Tarski). Dans un monde id�al, o� tout n'est que phantasme, il suffit de tomber sur un infini qui tra�ne pour se retrouver avec des �v�nements r�alisables mais de probabilit� nulle. En pratique, donc dans la vraie vie, tout �tant fini en ce bas monde, aucun �v�nement de probabilit� nulle n'est actualisable.
>
> Prenons un exemple pour fixer les id�es. On consid�re une marche al�atoire de probabilit� 1/2: on lance une pi�ce en l'air, si elle tombe sur pile, on avance d'un pas et on recommence, sinon on s'arr�te. La probabilit� de parcourir N pas est de 1/2^(N+1). Toutes les probabilit�s sont strictement positives sauf une: celle de ne jamais s'arr�ter. Peut-on ne jamais s'arr�ter? On imagine la pr�somption. Seul un fou peut le croire, ou un math�maticien.
>
> Le mot �infini�, est � comprendre comme �arbitrairement grand�. Quelque soit l'infini, il en est toujours ainsi d'une mani�re ou d'une autre; ceci constitue un exemple de ce qu'on appelle l'abstraction de la r�alisabilit� potentielle: un bon mod�le doit prendre en compte toutes les instances d'un probl�me, sans limite de taille. Mais cela ne signifie nullement que l'union des probl�mes est aussi un probl�me valide. L'infini est une abstraction et le prendre pour une r�alit� ne m�ne � rien de sens�.
Que de mots et de ronfle pour �noncer les pires banalit�s.
--
kd
Julien Arlandis
Sep 29, 2011, 1:36:05 PM9/29/11
to
Le 29/09/11 19:26, kduc a écrit :
>>> l'occurrence...
>>
Et pourtant sa langue ne prend pas feu :-)
> Le 29/09/2011 19:14, Joe Cool a écrit :
>> Le 29/09/2011 01:12, TP a écrit :
>>> Je fais confiance à Wikipedia.
>> Le 29/09/2011 01:12, TP a écrit :
>>
>> Ha ha ah! On n'est pas sorti de l'auberge.
>>
>> Ha ha ah! On n'est pas sorti de l'auberge.
>>
>>> Le "paradoxe" qu'a mentionné Julien Arlandis dans ce thread, à savoir qu'un
>>> événement impossible a toujours une probabilité nulle, mais qu'un événement
>>> de probabilité nulle peut arriver, ne me paraît pas très instinctif, en
>>> événement impossible a toujours une probabilité nulle, mais qu'un événement
>>> l'occurrence...
>>
>> Ce n'est pas instinctif pour la bonne raison que ce n'est pas réaliste. Ce paradoxe est purement théorique, tout comme l'existence mathématique d'un procédé de multiplication des lingots d'or (cf. le «paradoxe» de Banach-Tarski). Dans un monde idéal, où tout n'est que phantasme, il suffit de tomber sur un infini qui traîne pour se retrouver avec des événements réalisables mais de probabilité nulle. En pratique, donc dans la vraie vie, tout étant fini en ce bas monde, aucun événement de probabilité nulle n'est actualisable.
>>
>> Prenons un exemple pour fixer les idées. On considère une marche aléatoire de probabilité 1/2: on lance une pièce en l'air, si elle tombe sur pile, on avance d'un pas et on recommence, sinon on s'arrête. La probabilité de parcourir N pas est de 1/2^(N+1). Toutes les probabilités sont strictement positives sauf une: celle de ne jamais s'arrêter. Peut-on ne jamais s'arrêter? On imagine la présomption. Seul un fou peut le croire, ou un mathématicien.
>>
>> Le mot «infini», est à comprendre comme «arbitrairement grand». Quelque soit l'infini, il en est toujours ainsi d'une manière ou d'une autre; ceci constitue un exemple de ce qu'on appelle l'abstraction de la réalisabilité potentielle: un bon modèle doit prendre en compte toutes les instances d'un problème, sans limite de taille. Mais cela ne signifie nullement que l'union des problèmes est aussi un problème valide. L'infini est une abstraction et le prendre pour une réalité ne mène à rien de sensé.
>
> Que de mots et de ronfle pour énoncer les pires banalités.
>>
>> Prenons un exemple pour fixer les idées. On considère une marche aléatoire de probabilité 1/2: on lance une pièce en l'air, si elle tombe sur pile, on avance d'un pas et on recommence, sinon on s'arrête. La probabilité de parcourir N pas est de 1/2^(N+1). Toutes les probabilités sont strictement positives sauf une: celle de ne jamais s'arrêter. Peut-on ne jamais s'arrêter? On imagine la présomption. Seul un fou peut le croire, ou un mathématicien.
>>
>> Le mot «infini», est à comprendre comme «arbitrairement grand». Quelque soit l'infini, il en est toujours ainsi d'une manière ou d'une autre; ceci constitue un exemple de ce qu'on appelle l'abstraction de la réalisabilité potentielle: un bon modèle doit prendre en compte toutes les instances d'un problème, sans limite de taille. Mais cela ne signifie nullement que l'union des problèmes est aussi un problème valide. L'infini est une abstraction et le prendre pour une réalité ne mène à rien de sensé.
>
Et pourtant sa langue ne prend pas feu :-)
Julien Arlandis
Sep 29, 2011, 2:02:36 PM9/29/11
to
Le 29/09/11 19:24, Julien Arlandis a écrit :
> Le 29/09/11 01:12, TP a écrit :
>
>
>> Le "paradoxe" qu'a mentionné Julien Arlandis dans ce thread, à savoir
>> qu'un
>> événement impossible a toujours une probabilité nulle, mais qu'un
>> événement
>> de probabilité nulle peut arriver, ne me paraît pas très instinctif, en
>> l'occurrence...
>
> Je te propose le jeu suivant :
>
> Le but du jeu est de tirer au hasard un réel à l'aide d'un dès à 10
> faces numérotées de 0 à 9, la dernière face indique la virgule.
11 faces et non pas 10.
>
>
>> Le "paradoxe" qu'a mentionné Julien Arlandis dans ce thread, à savoir
>> qu'un
>> événement impossible a toujours une probabilité nulle, mais qu'un
>> événement
>> de probabilité nulle peut arriver, ne me paraît pas très instinctif, en
>> l'occurrence...
>
> Je te propose le jeu suivant :
>
> Le but du jeu est de tirer au hasard un réel à l'aide d'un dès à 10
> faces numérotées de 0 à 9, la dernière face indique la virgule.
Joe Cool
Sep 29, 2011, 2:30:02 PM9/29/11
to
Le 29/09/2011 19:26, kduc a écrit :
> Que de mots et de ronfle pour énoncer les pires banalités.
Pourtant, un soi-disant «Arlandis» vient de proposer un jeu bizarre dans un message voisin: «Le but du jeu est de tirer au hasard un réel à l'aide d'un dès à 10 faces numérotées de 0 à 9, la dernière face indique la virgule.»
Un réel au hasard...
Soit monsieur «Arlandis» est un faible d'esprit ignorant les pires banalités, soi c'est vous le faible d'esprit. C'est ce qu'on appelle un tiers exclu.
--
Joe Cool
> Que de mots et de ronfle pour énoncer les pires banalités.
Pourtant, un soi-disant «Arlandis» vient de proposer un jeu bizarre dans un message voisin: «Le but du jeu est de tirer au hasard un réel à l'aide d'un dès à 10 faces numérotées de 0 à 9, la dernière face indique la virgule.»
Un réel au hasard...
Soit monsieur «Arlandis» est un faible d'esprit ignorant les pires banalités, soi c'est vous le faible d'esprit. C'est ce qu'on appelle un tiers exclu.
--
Joe Cool
Julien Arlandis
Sep 29, 2011, 4:05:08 PM9/29/11
to
Le 29/09/11 20:30, Joe Cool a écrit :
Et à part ça quels sont tes arguments pour dire que l'énoncé d'un jeu de
dés révèle l'ignorance de son auteur de je ne sais quelle banalité?
dés révèle l'ignorance de son auteur de je ne sais quelle banalité?
Joe Cool
Sep 29, 2011, 4:15:15 PM9/29/11
to
Le 29/09/2011 22:05, Julien Arlandis a écrit :
> Et à part ça quels sont tes arguments pour dire que l'énoncé d'un jeu de
> dés révèle l'ignorance de son auteur de je ne sais quelle banalité?
> Et à part ça quels sont tes arguments pour dire que l'énoncé d'un jeu de
> dés révèle l'ignorance de son auteur de je ne sais quelle banalité?
Vous êtes joueur. Avec votre jeu, tirez-nous un réel au hasard. Après on en rediscutera.
--
Joe Cool
Julien Arlandis
Sep 29, 2011, 4:34:01 PM9/29/11
to
Le 29/09/11 22:15, Joe Cool a écrit :
Ça y est c'est fait, j'ai obtenu 9614705467243763,9527806134097784478646.
Étonnant non ?
Étonnant non ?
Joe Cool
Sep 29, 2011, 4:40:14 PM9/29/11
to
Le 29/09/2011 22:34, Julien Arlandis a écrit :
>> Vous êtes joueur. Avec votre jeu, tirez-nous un réel au hasard. Après on
>> en rediscutera.
>
> Ça y est c'est fait, j'ai obtenu 9614705467243763,9527806134097784478646.
>
> Étonnant non ?
En effet: vous aviez infiniment moins de chance de tomber sur ce réel que de gagner au loto. Vous avez biaisé votre générateur: il ne sort que des nombres à partie décimale finie. C'est pas beau de mentir.
>> Vous êtes joueur. Avec votre jeu, tirez-nous un réel au hasard. Après on
>> en rediscutera.
>
> Ça y est c'est fait, j'ai obtenu 9614705467243763,9527806134097784478646.
>
> Étonnant non ?
--
Joe Cool
Julien Arlandis
Sep 29, 2011, 4:44:44 PM9/29/11
to
Le 29/09/11 22:40, Joe Cool a écrit :
Faux, mon générateur peut donner un irrationnel suffit que le dés ne
tombe qu'une seule fois sur la virgule.
tombe qu'une seule fois sur la virgule.
Nicolas Bonneel
Sep 29, 2011, 7:09:40 PM9/29/11
to
Le 29/09/2011 00:08, Joe Cool a écrit :
> Comme pénitence pour avoir proféré une absurdité pour vous faire
> mousser, vous lancerez une pièce une infinité de fois puis vous nous
> communiquerez la quantité respective de piles et de faces obtenus.
> Comme pénitence pour avoir proféré une absurdité pour vous faire
> mousser, vous lancerez une pièce une infinité de fois puis vous nous
> communiquerez la quantité respective de piles et de faces obtenus.
> Comme seconde pénitence (je vais finir par croire que vous aimez ça),
> vous programmerez un générateur aléatoire de réels, puis nous
> vérifierons le caractère non-définissable des sorties que vous nous
> posterez ici.
>
> À dans une petite éternité transfinie,
A croire qu'il est impossible de manipuler des infinis en mathématique
> vous programmerez un générateur aléatoire de réels, puis nous
> vérifierons le caractère non-définissable des sorties que vous nous
> posterez ici.
>
> À dans une petite éternité transfinie,
sous prétexte qu'on ne peut pas expérimenter avec...
ast
Oct 2, 2011, 2:42:19 PM10/2/11
to
"Julien Arlandis" <julien....@laposte.net> a écrit dans le message de
news:4e84d8bc$0$18773$ba4a...@reader.news.orange.fr...
>
> Faux, mon générateur peut donner un irrationnel suffit que le dés ne tombe qu'une seule fois sur
> la virgule.
si ton générateur sort 0,3333333...
la virgule est bien sortie qu'une seule fois et le réel est rationnel.
Julien Arlandis
Oct 2, 2011, 2:55:41 PM10/2/11
to
Le 02/10/11 20:42, ast a écrit :
Je vais jouer sur les mots, mais mais j'ai écrit "mon générateur peut
donner un irrationnel", si la virgule ne sort qu'une seule fois j'ai pas
dit qu'il y avait obligation que le nombre soit irrationnel ;)
donner un irrationnel", si la virgule ne sort qu'une seule fois j'ai pas
dit qu'il y avait obligation que le nombre soit irrationnel ;)
Olivier Miakinen
Oct 3, 2011, 5:21:49 PM10/3/11
to
Le 02/10/2011 20:55, Julien Arlandis a écrit :
>>>
>>> Faux, mon générateur peut donner un irrationnel suffit que le dés ne
>>> tombe qu'une seule fois sur la virgule.
>>
>> Faux.
>>
>> si ton générateur sort 0,3333333...
>> la virgule est bien sortie qu'une seule fois et le réel est rationnel.
>
> Je vais jouer sur les mots, mais mais j'ai écrit "mon générateur peut
> donner un irrationnel", si la virgule ne sort qu'une seule fois j'ai pas
> dit qu'il y avait obligation que le nombre soit irrationnel ;)
Et si la virgule ne sort jamais, il peut donner des entiers non
>>>
>>> Faux, mon générateur peut donner un irrationnel suffit que le dés ne
>>> tombe qu'une seule fois sur la virgule.
>>
>> Faux.
>>
>> si ton générateur sort 0,3333333...
>> la virgule est bien sortie qu'une seule fois et le réel est rationnel.
>
> Je vais jouer sur les mots, mais mais j'ai écrit "mon générateur peut
> donner un irrationnel", si la virgule ne sort qu'une seule fois j'ai pas
> dit qu'il y avait obligation que le nombre soit irrationnel ;)
standards... à condition de les générer de droite à gauche, je
crois bien.
Joe Cool
Oct 22, 2011, 9:44:18 AM10/22/11
to
Le 30/09/2011 01:09, Nicolas Bonneel a écrit :
> A croire qu'il est impossible de manipuler des infinis en mathématique
> sous prétexte qu'on ne peut pas expérimenter avec...
Il y en a bien qui manipulent Dieu et qui prouvent son existence. Jusqu'à présent, aucun de ces gugusses ne s'est révélé omnipotent.
> A croire qu'il est impossible de manipuler des infinis en mathématique
> sous prétexte qu'on ne peut pas expérimenter avec...
Votre «infini» n'est qu'un mot, c'est du vent, un fantasme de matheux qui prend ses désirs pour la réalité. Vous ne savez pas de quoi vous parlez.
--
Joe Cool
Joe Cool
Oct 22, 2011, 9:47:33 AM10/22/11
to
Le 02/10/2011 20:55, Julien Arlandis a écrit :
> Je vais jouer sur les mots, mais mais j'ai écrit "mon générateur peut
> donner un irrationnel", si la virgule ne sort qu'une seule fois j'ai pas
> dit qu'il y avait obligation que le nombre soit irrationnel ;)
Bref, votre générateur donne tout - entiers, rationnels, algébriques, etc. - sauf des réels usuels. Tous les réels que vous sortirez son définissables, alors qu'un tel événement est de probabilité nulle. Vous êtes tout simplement un escroc.
> donner un irrationnel", si la virgule ne sort qu'une seule fois j'ai pas
> dit qu'il y avait obligation que le nombre soit irrationnel ;)
--
Joe Cool
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