Puissance complexe

[Julien Arlandis]

Peut on écrire :
1^x = e^(2*i*pi)^x = e^(2*i*pi*x) = cos(2*pi*x) + i*sin(2*pi*x)
Pour x réel ?

[Julien Arlandis]

Peut on écrire :
1^x = (e^(2*i*pi))^x

= e^(2*i*pi*x)
= cos(2*pi*x) + i*sin(2*pi*x)
Pour x réel ?

Je suppose que non car 1^x est supposé réel quand x est réel...

[Richard Hachel]

Tu peux poser ton problème sur sci.maths aussi. Il y a pas mal de monde.
Tu auras des réponses supplémentaires.

R.H.

[Samuel DEVULDER]

Le 19/12/2021 à 02:47, Julien Arlandis a écrit :

> Peut on écrire :
> 1^x = (e^(2*i*pi))^x
> = e^(2*i*pi*x)
> = cos(2*pi*x) + i*sin(2*pi*x)
> Pour x réel ?

x réel ? Ca colle pas au titre où tu parles d'une puissance complexe.

Ton calcul n'est vrai que pour x entier. Pour les x réels arbitraires
(négatifs par exemple) ou complexe il faut plutôt passer par la
définition de a^x = exp(x*ln(a)), donc 1^x = exp(x*ln(1)) or ln(1)=0,
donc 1^x = exp(x*0) = exp(0) = 1 pour tout x réel ou complexe.

sam.

[Julien Arlandis]

La règle (a^b)^c = a^(b*c) s'applique pour b et c réels. Ce qui nous
empêche de passer de la première ligne à la seconde ce serait donc le
fait que b est complexe (b = 2*i*pi) ?

[pehache]

La démonstration de cette règle à partir de la définition
a^b=exp(b.ln(a)) implique forcément un ln() de complexe à un moment si b
est complexe, or un ln() de complexe n'est pas défini de façon univoque,
donc je suppose que c'est là que ça coince.



--
"...[la moto] un engin qui par les lois de la physique ne peut pas
freiner en courbe.", SLD sur fr.rec.bricolage
"...sois ouvert aux idées des autres pour peu qu'elles aillent dans le
même sens que les tiennes.", ST sur fr.bio.medecine

[Julien Arlandis]

Le 19/12/2021 à 11:27, pehache a écrit :
> Le 19/12/2021 à 09:47, Julien Arlandis a écrit :
>> Le 19/12/2021 à 09:17, Samuel DEVULDER a écrit :
>>> Le 19/12/2021 à 02:47, Julien Arlandis a écrit :
>>>> Peut on écrire :
>>>> 1^x = (e^(2*i*pi))^x
>>>> = e^(2*i*pi*x)
>>>> = cos(2*pi*x) + i*sin(2*pi*x)
>>>> Pour x réel ?
>>>
>>> x réel ? Ca colle pas au titre où tu parles d'une puissance complexe.
>>>
>>> Ton calcul n'est vrai que pour x entier. Pour les x réels arbitraires
>>> (négatifs par exemple) ou complexe il faut plutôt passer par la
>>> définition de a^x = exp(x*ln(a)), donc 1^x = exp(x*ln(1)) or ln(1)=0,
>>> donc 1^x = exp(x*0) = exp(0) = 1 pour tout x réel ou complexe.
>>>
>>> sam.
>>
>> La règle (a^b)^c = a^(b*c) s'applique pour b et c réels. Ce qui nous
>> empêche de passer de la première ligne à la seconde ce serait donc le
>> fait que b est complexe (b = 2*i*pi) ?
>>
>
> La démonstration de cette règle à partir de la définition
> a^b=exp(b.ln(a)) implique forcément un ln() de complexe à un moment si b
> est complexe, or un ln() de complexe n'est pas défini de façon univoque,
> donc je suppose que c'est là que ça coince.

Pourtant quand on calcule (exp(i*pi/2))^i = exp(i^2*pi/2) on applique bien
la propriété (a^b)^c = a^(b*c). C'est quoi le développement
généralisé de (a^b)^c lorsque a réel > 0, b complexe, et c réel ?

[pehache]

Je ne suis pas sûr que ce soit bien rigoureux, justement :)

> C'est quoi le développement
> généralisé de (a^b)^c lorsque a réel > 0, b complexe, et c réel ?

Je te le demande... Le ln() complexe est le problème.

[Samuel DEVULDER]

Le 19/12/2021 à 09:47, Julien Arlandis a écrit :
> La règle (a^b)^c = a^(b*c) s'applique pour b et c réels

non!

ca donnerait ((-1)^2)^(1/2) = (-1)^(2*1/2) = (-1)^1 = -1, alors que la
bonne valeur est 1.

sam (entier au sens N, pas Z comme chez les américains)

[Julien Arlandis]

J'ai omis de préciser que a > 0, mais dans mon exemple initial a = 1 donc
ce n'est pas pour cette raison que la propriété ne s'applique pas.

[Samuel DEVULDER]

Le 19/12/2021 à 14:06, Julien Arlandis a écrit :
>
> J'ai omis de préciser que a > 0, mais dans mon exemple initial a = 1
> donc ce n'est pas pour cette raison que la propriété ne s'applique pas.

Si a>0, alors ln(a) est bien défini et effectivement

(a^b)^c = exp(b*ln(a))^c [1]
= exp(c*ln(exp(b*ln(a)))) [2]
= exp(c * (b * ln(a))) [3]
= exp( (c*b) * ln(a) ) [4]
= exp( (b*c) * ln(a) ) [5]
= a^(b*c)

La règle s'applique sans soucis (à partir du moment ou b et c commutent
pour passer de [4] à [5])

Par contre si b est complexe, exp(b*ln(a)) n'est plus forcément un réel
positif, et donc un truc dont "on peut prendre le log sans soucis".

Le passage de [1] à [2] devient alors illicite car exp(x)^y != exp(x *
y) dans le cas général quand x ou y sont complexes (voir haut de page de
https://tinyurl.com/r66hum94 si on lit l'allemand).

Tout cela est lié au fait que ln(autre chose qu'un réel > 0) est une
fonction multivaluée. Il y a des détails dans la version anglaise de la
wiki: https://tinyurl.com/pmdnz7mw. Mais d'une façon générale se méfier
si on est amené à prendre le log d'autre chose qu'un réel positif dans
un calcul car on quitte le domaine des fonctions univoques habituelles.

sam.

[Julien Arlandis]

Oui si on suit la recette de Sam ça fait
(exp(i*pi/2))^i = e^(i*ln(e^(i*pi/2))) = e^(i*ln(i))

Et ensuite... ?

[Python]

e^(-π/2)

[Samuel DEVULDER]

Le 19/12/2021 à 19:15, Julien Arlandis a écrit :

> Oui si on suit la recette de Sam ça fait
> (exp(i*pi/2))^i = e^(i*ln(e^(i*pi/2))) = e^(i*ln(i))
>
> Et ensuite... ?

Ensuite i = exp(i*(pi/2 + 2k.pi)), donc
ln(i) = (1/2 + 2k)*i*pi [1]
et z = i^i
= exp(-(1/2 + 2k)pi)
= exp(-pi/2) / exp(2k.pi)

z a plusieurs valeurs en fonction de k. Chacune d'elle vérifie
ln(z) = i ln(i)
à cause de [1].

Pour k=0 (branche principale du log), on obtient le classique
exp(-pi/2) = 0.202...

Mais pour k=1 on obtient 3.88e-4 (tiens plus petit), et quand on prend k
de plus en plus positif on tends vers 0.

A l'inverse si k est de plus en plus négatif on tends vers +oo.

Toutes ces valeurs sont des réponses possibles possibles à i^i puis que
leur log vaut l'une des valeurs de i*ln(i).

Toute la difficulté vient fait que ln(z) est un truc mal fichu. On a
bien exp(ln(z)) = z, mais pas ln(exp(z)) = z dans les complexes. Il faut
faire gaffe avec lui. Je ne sais pas s'il a un usage pratique chez les
physiciens/chimistes ce log de nombre complexes. Peut-être du coté des
machins quantiques, et encore.. enfin faudrait voir.

sam.

[Julien Arlandis]

La question c'est comment on le démontre sans passer par (a^b)^c =
a^(b*c), sinon bien sûr le résultat est évident...

[Julien Arlandis]

Tu veux dire que i^i est multivalué et que exp(-pi/2) serait seulement
l'une des valeurs possibles ?

[Samuel DEVULDER]

Le 19/12/2021 à 20:53, Julien Arlandis a écrit :
> Tu veux dire que i^i est multivalué et que exp(-pi/2) serait seulement
> l'une des valeurs possibles ?

Oui absolument, c'est l'une des multiples valeurs possibles pour i^i.

Similairement avec 2,3 et 4 si l'on forme (-2)^(3+4i) on obtient

[-2^3 / (exp(pi)^4)^(2k+1)] * [cos(ln 16) + i sin(ln 16)]

Il y a plein de valeurs possibles qui sont sur la même demi-droite
passant par 0 (et d'angle (ln 16) ~ 159°, le 16 vient du 2^4 de la
partie imaginaire de l'exposant).

sam.

[Samuel DEVULDER]

Le 19/12/2021 à 02:47, Julien Arlandis a écrit :
> Peut on écrire :
> 1^x

Tiens, tu n'es pas le seul à se poser des questions au sujet de 1^x

https://www.youtube.com/watch?v=w8tPustR38c

sam (j'ai du mal avec l'accent (germanique?) du youtuber)

[Julien Arlandis]

J'ai pas vraiment compris ni creusé les raisons profondes pour lesquelles
le logarithme était multivalué. Est ce une convention ou y a t-il une
raison plus profonde ? Et pourquoi la fonction racine carrée n'est elle
pas multivaluée, il doit bien y avoir une raison quu ne s'applique pas au
log, mais laquelle ?
Et tant qu'on y est, x^(1/2) est ce finalement équivalent à sqrt(x) ?

[Samuel DEVULDER]

Le 20/12/2021 à 21:07, Julien Arlandis a écrit :
>
> J'ai pas vraiment compris ni creusé les raisons profondes pour
> lesquelles le logarithme était multivalué.

Ben c'est tout con: il y a plusieurs valeurs de x qui satisfassent y =
exp(x).

> Est ce une convention

non

> ou y a t-il une raison plus profonde ?

heu, oui.. mais c'est tout con: l'argument d'un complexe n'est défini
qu'à 2pi-près.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

En outre la fonction ln() n'est pas continue sur l'ensemble du plan
complexe. En fait je crois qu'elle n'est pas méromorphe.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_m%C3%A9romorphe

La présence des 2pi.i apparait quand tu fais des intégrales suivant une
courbe sur le plan complexe. Les pôles d'ordre 1 (les trucs en 1/x sous
l'intégrale) apportent 2pi.i à chaque tour dans le sens (anti?)horaire
de l'intégrale autour de ce pole il me semble. C'est un grand classique
du filtrage continu cette histoire là si j'ai bonne mémoire.

> Et pourquoi la fonction racine carrée n'est elle pas multivaluée

Ben si elle l'est: il y a plusieurs valeurs de x qui satisfassent y=x²
dans R: +/- sqrt(x).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_multivalu%C3%A9e#La_racine_carr%C3%A9e
;)

Tiens d'ailleurs est-ce que i c'est sqrt(-1) ou -sqrt(-1) ? ;)

sam.

[Julien Arlandis]

Le 19/12/2021 à 19:59, Samuel DEVULDER a écrit :

Si on suit ce développement, qu'est ce qui nous empêcherait dans ce cas
d'écrire que :
1^x = (exp(2*i*k*pi))^x [1]
= exp(x*ln(exp(2*i*k*pi)) [2]
= exp(x*2*i*k*pi) [3]

Ou encore :
ln(1) = ln(exp(2*i*k*pi)) [4]
= 2*i*k*pi [5]

[Julien Arlandis]

Cette fois je suis vraiment perdu.
Si je dois évaluer sqrt(1), je vois 2 possibilités :

1) sqrt(1) = 1^(1/2)
= exp(1/2*ln(1))
= exp(1/2*0)
= exp(0)
= 1

2) sqrt(1) = 1^(1/2)
= (exp(2*i*k*pi))^(1/2)
= exp(1/2*ln(exp(2*i*k*pi)))
= exp(1/2*2*i*k*pi)
= exp(i*k*pi)
= 1 ou -1

[Julien Arlandis]

Le 19/12/2021 à 19:59, Samuel DEVULDER a écrit :

Si on suit ce développement, qu'est ce qui nous empêcherait dans ce cas
d'écrire que :
1^x = (exp(2*i*k*pi))^x [1]
= exp(x*ln(exp(2*i*k*pi)) [2]
= exp(x*2*i*k*pi) [3]

Ou encore :
ln(1) = ln(exp(2*i*k*pi)) [4]
= 2*i*k*pi [5]

--
Ce message a été posté avec Nemo : <http://news2.nemoweb.net/?DataID=7G40eY8VcsyKubVN7Zeuv5R3At0@jntp>

[Samuel DEVULDER]

Le 20/12/2021 à 22:30, Julien Arlandis a écrit :
> Si je dois évaluer sqrt(1), je vois 2 possibilités :
>
> 1) sqrt(1) = 1^(1/2)           = exp(1/2*ln(1))           = exp(1/2*0)
>           = exp(0)
>           = 1

Attention ln(1) c'est 0 [mod 2pi*i] donc 0 + 2pi*k*i

Je reprends: sqrt(1) = 1^(1/2) = exp(1/2*ln(1)) = exp(1/2*2pi*k*i) =
exp(k*pi*i) = +/- 1 suivant la parité de k

>
> 2) sqrt(1) = 1^(1/2)
>           = (exp(2*i*k*pi))^(1/2)
>           = exp(1/2*ln(exp(2*i*k*pi)))
>           = exp(1/2*2*i*k*pi)
>           = exp(i*k*pi)
>           = 1 ou -1

Tout pareil !

Le truc est de bien voir que ln(x) est un truc qui retourne un résultat
"mod 2pi*i".

sam.

[Julien Arlandis]

La seconde approche c'est celle que j'avais utilisé pour calculer que 1^x
= exp(2*i*k*pi*x), mais toi tu l'avais contesté en utilisant la première
approche, je te cite :

"1^x = exp(x*ln(1)) or ln(1)=0,
donc 1^x = exp(x*0) = exp(0) = 1"

Donc retour à la case départ :)

[Julien Arlandis]

Le 20/12/2021 à 21:36, Samuel DEVULDER a écrit :

sqrt(-1) = exp(i*(k+1/2)*pi) = {i, -i} [1]
-sqrt(-1) = -exp(i*(k+1/2)*pi) = {-i, i} [2]

Et donc doit on en conclure que sqrt(-1) = -sqrt(-1) ?

[Samuel DEVULDER]

Le 20/12/2021 à 22:45, Julien Arlandis a écrit :
> La seconde approche c'est celle que j'avais utilisé pour calculer que
> 1^x = exp(2*i*k*pi*x), mais toi tu l'avais contesté en utilisant la
> première approche, je te cite : "1^x = exp(x*ln(1)) or ln(1)=0, donc 1^x
> = exp(x*0) = exp(0) = 1"
>
> Donc retour à la case départ :)

Ca dépend si on veut rester sur la banche principale du ln() ou pas,
auquel cas ln(1) = 0, mais en toute généralité ln(1) = 2k pi i.

Quoi qu'il en soit l'exponentiation (non entière) d'un complexe est un
truc pas très bien défini. Evitons de considérer la fonction puissance
de C x C -> C pour ne garder que la partie (R+ x C) -> C et tout ira
pour le mieux.

sam.

[Samuel DEVULDER]

Le 20/12/2021 à 23:01, Julien Arlandis a écrit :

> sqrt(-1) = exp(i*(k+1/2)*pi) = {i, -i} [1]
> -sqrt(-1) = -exp(i*(k+1/2)*pi) = {-i, i}

> Et donc doit on en conclure que sqrt(-1) = -sqrt(-1) ?

En tant que fonction multivaluée je dirais que oui (même ensemble de
valeurs produites en sorties.)

[Julien Arlandis]

Mézalors dans ce cas :
2 * sqrt(-1) = 0
sqrt(-1) = 0
i = 0

[Samuel DEVULDER]

Le 21/12/2021 à 01:01, Julien Arlandis a écrit :

> Mézalors dans ce cas :
> 2 * sqrt(-1) = 0

Ben non 2*sqrt(-1) = {-2i, +2i}

> sqrt(-1) = 0
> i = 0

sam.

[Julien Arlandis]

Le 21/12/2021 à 09:00, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 21/12/2021 à 01:01, Julien Arlandis a écrit :
>
>> Mézalors dans ce cas :
>> 2 * sqrt(-1) = 0
>
> Ben non 2*sqrt(-1) = {-2i, +2i}

sqrt(-1) + sqrt(-1) = {-i, +i} + {-i, +i} = {-2i, 0, +2i}

Ce qui donne un résultat différent de
2*sqrt(-1).

[Julien Arlandis]

Le 21/12/2021 à 09:00, Samuel DEVULDER a écrit :

> Le 21/12/2021 à 01:01, Julien Arlandis a écrit :
>
>> Mézalors dans ce cas :
>> 2 * sqrt(-1) = 0
>
> Ben non 2*sqrt(-1) = {-2i, +2i}

sqrt(-1) + sqrt(-1) = {-i, +i} + {-i, +i} = {-2i, 0, +2i}

Ce qui donne un résultat différent de
2*sqrt(-1).

J'en déduis que l'on ne peut pas factoriser une variable multivaluée, ce
qui est quand même embêtant pour faire du calcul.

[Samuel DEVULDER]

Le 21/12/2021 à 09:45, Julien Arlandis a écrit :
> sqrt(-1) + sqrt(-1) = {-i, +i} + {-i, +i} = {-2i, 0, +2i}
>
> Ce qui donne un résultat différent de 2*sqrt(-1).

Tout a fait, et du coup tu ne peux pas mener le calcul conduisant à
sqrt(-1) = 0.

> J'en déduis que l'on ne peut pas factoriser une variable multivaluée,
> ce qui est quand même embêtant pour faire du calcul

Ben c'est surtout que ca sert à autre chose:
https://tinyurl.com/4za5mpyb

sam.

[Julien Arlandis]

Je n'ai pas vraiment compris à quoi ça sert, par contre on peut trouver
des bizarreries vraiment contre intuitives, comme par exemple :
(-1)^2 = (exp(i*(2k+1)*pi))^2 = exp(2i*(2k+1)*pi)
Jusque là rien d'exceptionnel me diras tu, mais si on calcule
((-1)^2)^(1/2) on obtient :
((-1)^2)^(1/2) = (exp(2i*(2k+1)*pi))^(1/2) = exp(i*(2k+1)*pi) = -1
D'où le résultat assez fou que
(-1)^2 ≠ 1
si 1 peut être représenté par exp(4i*pi) ce n'est pas le cas de (-1)^2
qui ne peut être représenté que par exp(2i*pi), exp(6i*pi),
exp(10i*pi)... mais pas exp(4i*pi) !!

[Samuel DEVULDER]

Le 21/12/2021 à 15:21, Julien Arlandis a écrit :

> ((-1)^2)^(1/2) = (exp(2i*(2k+1)*pi))^(1/2) = exp(i*(2k+1)*pi) = -1
> D'où le résultat assez fou que
> (-1)^2 ≠ 1

Si tu interprètes les complexes de modules 1 sous la forme de rotations
d'un certain angle, ceci s'explique assez bien:

* x² double l'angle de "x"
* x^(1/2) divise par deux l'angle de "x",

Comme -1 est une rotation de 180°, (-1)² est une rotation de 360°[*], et
((-1)²)^(1/2) est une rotation de 360°/2 = 180° = -1

On remarque que ici qu'on considère que 360° est différent de 0°.. on
garde une certaine continuité (--> une histoire locale ?) des opérations.

> si 1 peut être représenté par exp(4i*pi) ce n'est pas le cas de (-1)^2 qui ne peut être représenté que par exp(2i*pi), exp(6i*pi), exp(10i*pi)... mais pas exp(4i*pi) !!

C'est un truc de dingue qui n'est pas sans rappeler le truc de Dirac.
https://en.wikipedia.org/wiki/Plate_trick

En fait, dans la nature, les rotations de 360° ne sont pas forcément
nilpotentes... Si vous ne me croyez pas, faites donc le tour d'un électron:
https://www.youtube.com/watch?v=pKKy2mmsziI

On peut aussi jouer des coudes pour s'en rendre compte:
https://www.youtube.com/watch?v=rC0jAICfNwc

sam (et oui en topologie 3D, un tour complet c'est 720°)

[Samuel DEVULDER]

Le 21/12/2021 à 16:46, Samuel DEVULDER a écrit :
> C'est un truc de dingue qui n'est pas sans rappeler le truc de Dirac.

de la ceinture de Dirac pardon (il manque un bout)

[Julien Arlandis]

Le 21/12/2021 à 16:46, Samuel DEVULDER a écrit :

> Le 21/12/2021 à 15:21, Julien Arlandis a écrit :
>
>> ((-1)^2)^(1/2) = (exp(2i*(2k+1)*pi))^(1/2) = exp(i*(2k+1)*pi) = -1
>> D'où le résultat assez fou que
>> (-1)^2 ≠ 1
>
> Si tu interprètes les complexes de modules 1 sous la forme de rotations
> d'un certain angle, ceci s'explique assez bien:
>
> * x² double l'angle de "x"
> * x^(1/2) divise par deux l'angle de "x",
>
> Comme -1 est une rotation de 180°, (-1)² est une rotation de 360°[*], et
> ((-1)²)^(1/2) est une rotation de 360°/2 = 180° = -1
>
> On remarque que ici qu'on considère que 360° est différent de 0°.. on
> garde une certaine continuité (--> une histoire locale ?) des opérations.
>

Ça reste à vérifier que dans la formule (a^b)^c (avec a, b et c
réels), b et c commutent.
On a bien ((-1)^2)^(1/2) = ((-1)^(1/2))^2 = -1

Au final, on vient de démontrer que ((-1)^2)^(1/2) = -1 alors qu'à
l'école on nous enseigne que ça vaut 1, voir {-1, +1} en empruntant les
complexes.

[Julien Arlandis]

Le 21/12/2021 à 16:46, Samuel DEVULDER a écrit :

> Le 21/12/2021 à 15:21, Julien Arlandis a écrit :
>
>> ((-1)^2)^(1/2) = (exp(2i*(2k+1)*pi))^(1/2) = exp(i*(2k+1)*pi) = -1
>> D'où le résultat assez fou que
>> (-1)^2 ≠ 1
>
> Si tu interprètes les complexes de modules 1 sous la forme de rotations
> d'un certain angle, ceci s'explique assez bien:
>
> * x² double l'angle de "x"
> * x^(1/2) divise par deux l'angle de "x",
>
> Comme -1 est une rotation de 180°, (-1)² est une rotation de 360°[*], et
> ((-1)²)^(1/2) est une rotation de 360°/2 = 180° = -1
>
> On remarque que ici qu'on considère que 360° est différent de 0°.. on
> garde une certaine continuité (--> une histoire locale ?) des opérations.
>

Ça reste à vérifier, mais il me semble que dans la formule (a^b)^c
(avec a, b et c réels), b et c commutent et ce même si a est négatif.

[Michel Talon]

Je vais citer ici le texte de Dieudonné qui figure dans l'introduction
au chapitre 9 de son cours fleuve: Elements d'analyse.

Il est naturellement gênant de ne pas pouvoir définir dans le corps C
une authentique fonction continue sqrt(z) qui vérifierait la relation
(sqrt(z))^2 = z. Mais on ne doit certainement pas chercher à résoudre
cette difficulté par une violation délibérée de la notion générale
d'application qui consisterait à décréter soudainement qu'après tout il
existe une telle fonction qui possède pourtant la propriété inhabituelle
d'avoir pour tout z /= 0 deux valeurs distinctes. Le châtiment de cette
attitude ridicule et indécente est immédiat: il est impossible
d'utiliser les opérateurs algébriques les plus élémentaires, de façon
raisonnable:
par exemple la relation 2 sqrt(z)=sqrt(z)+sqrt(z) n'est certainement pas
vraie car ... le membre de gauche a 2 valeurs et le membre de droite en
a 3.
Heureusement il existe une solution à cette difficulté qui...a été
découverte par Riemann il y a plus de 200 ans: elle consiste à rétablir
l'unicité de la valeur de sqrt(z) en doublant pour ainsi dire le domaine
de la variable z de façon que les deux valeurs de sqrt(z) correspondent
à deux points au lieu d'un seul - trait de génie s'il en fut jamais, qui
est à l'origine de la grande théorie des surfaces de Riemann....

Voilà, en particulier pour le log, la surface de Riemann a une infinité
de feuillets au dessus de C, sur chacun de ces feuillets le log a une
valeur bien définie dans la famille log |z| + 2 i k pi Les points au
dessus de 0 et infini sont particuliers on parle revêtement branché.
Le cas le plus intéressant est celui des fonctions algébriques, solution
(en y) de P(x,y)=0 (P polynome de degré n en y) où la surface de Riemann
a n feuillets au dessus du plan complexe des x, mais avec plein de
points de branchement (les valeurs de x pour lesquelles il y a des
racines multiples). Ces surfaces sont analytiques lisses, on peut aller
d'un feuillet à un autre par un chemin continu.



--
Michel Talon

[Julien Arlandis]

Merci pour cette référence, cela décrit parfaitement le problème
soulevé dans cette discussion.

> Heureusement il existe une solution à cette difficulté qui...a été
> découverte par Riemann il y a plus de 200 ans: elle consiste à rétablir
> l'unicité de la valeur de sqrt(z) en doublant pour ainsi dire le domaine
> de la variable z de façon que les deux valeurs de sqrt(z) correspondent
> à deux points au lieu d'un seul - trait de génie s'il en fut jamais, qui
> est à l'origine de la grande théorie des surfaces de Riemann....

Je n'ai pas compris ce paragraphe, saurais tu l'expliciter plus
formellement ?

[Michel Talon]

Le 22/12/2021 à 12:00, Julien Arlandis a écrit :
>> Heureusement il existe une solution à cette difficulté qui...a été
>> découverte par Riemann il y a plus de 200 ans: elle consiste à
>> rétablir l'unicité de la valeur de sqrt(z) en doublant pour ainsi dire
>> le domaine de la variable z de façon que les deux valeurs de sqrt(z)
>> correspondent à deux points au lieu d'un seul - trait de génie s'il en
>> fut jamais, qui est à l'origine de la grande théorie des surfaces de
>> Riemann....
>
> Je n'ai pas compris ce paragraphe, saurais tu l'expliciter plus
> formellement ?

C'est compliqué à expliquer, je vais prendre un exemple très simple, la
surface de Riemann de x-y^2, c'est à dire de sqrt(x). Il faut d'abord
voir que x et y sont complexes, donc (x,y) représente 4 paramètres
réels, et la condition x-y^2=0 deux conditions réelles donc il reste
bien 2 paramètres réels pour un point de x-y^2=0 , on a affaire à une
surface. A chaque point de la surface correspond un couple (x,y) et on a
2 projections de la surface sur le plan complexe (x,y) -> x et (x,y) ->y

Considérons la première. Pour chaque valeur de x /= 0 on a deux valeurs
de y et donc deux points de la surface au dessus de x, vis à vis de la
projection. On dit qu'on a un revêtement à 2 feuillets du plan complexe.
On introduit une structure complexe sur la surface et disant que x est
un paramètre de coordonnées (complexe) autour du point (x,y) (pour
chacune des deux valeurs de y) On a donc une "pile de deux assiettes"
au dessus d'un petit disque autour de x dans C.

Malheureusement ceci ne marche pas en 0 (et infini). Il n'y a qu'une
valeur de y (=0) au dessus de x=0. On dit que c'est un point de
branchement du revêtement, et que celui ci est branché. En fait ce n'est
pas grave car autour du point (0,0) on peut utiliser la deuxième
projection (x,y) -> y et le paramètre local y pour donner des
coordonnées complexes (y^2,y) pour les points autour de (0,0). ceci se
recolle bien avec les coordonnées (x,sqrt(x)) sur les points de la
surface où x=0 et donne donc une structure de variété complexe lisse à
la surface.

Je passe sous silence la compactification à l'infini (en fait on prend
le paramètre 1/x ou 1/y) et l'éventuelle désingularisation qu'il faut y
faire, on obtient un surface complexe compacte lisse, appelée surface
de Riemann. Ce que dit Dieudonné c'est que la "fonction" sqrt(x) est en
fait une bonne fonction bien définie suir la surface de Riemann, c'est
trivialement la projection (x,y) -> y

Tout ça se généralise sans problème à la surface de Riemann de P(x,y)=0
où P est un polynome en x et y, ce qui donne la théorie générale des
fonctions elliptiques, hyperelliptiques, algébriques, etc.


--
Michel Talon

[Julien Arlandis]

Je comprends vaguement l'idée qui consiste à modifier le domaine de
l'application multivaluée par autant de feuillets que nécessaire. On se
retrouve bien avec des applications contenant une seule image au plus mais
avec des ensembles de départs différents selon les applications. Pour
être pragmatique, si je veux évaluer :
1^(1/2)+1^(1/3) je procède comment avec les surfaces de Riemann, la
racine cubique ayant un recouvrement de plus que la racine carrée ?

[Julien Arlandis]

À la lumière des explications de Michel Talon sur les surfaces de
Riemann, la valeur 0 est à exclure car elle provient de la sommation
d'images de deux variétés distinctes de l'application racine carrée
(sans doute mon vocabulaire n'est pas rigoureux mais vous me corrigerez
sur le formalisme).
Variété où k est pair : (exp(iπ(2k+1)))^(1/2) = exp(iπ(k+1/2)) = i
=> sqrt(-1) + sqrt(-1) = 2i
Variété où k est impair : (exp(iπ(2k+1)))^(1/2) = exp(iπ(k+1/2)) = -i
=> sqrt(-1) + sqrt(-1) = -2i
Donc avec les surfaces de Riemann on conserve la factorisation.
Ouf...

[Julien Arlandis]

Je me réponds à moi même.
1^(1/2)+1^(1/3) = exp(iπk) + exp(iπk*2/3)
Dans cette application il faut distinguer 6 variétés :
k = 6n + 0 => +2
k = 6n + 1 => -3/2 + i√3/2
k = 6n + 2 => +1/2 - i√3/2
k = 6n + 3 => 0
k = 6n + 4 => +1/2 + i√3/2
k = 6n + 5 => -3/2 - i√3/2

Si on représente les 6 valeurs dans le plan complexe on obtient une
répartition de points assez bizarre avec une symétrie par rapport à
l'axe des réels. Quelqu'un sait interpréter ce résultat ?

[Samuel DEVULDER]

Le 23/12/2021 à 19:47, Julien Arlandis a écrit :
> Je me réponds à moi même.
> 1^(1/2)+1^(1/3) = exp(iπk) + exp(iπk*2/3)

Pourquoi serait-ce le même k dans les deux exponentielles ? Tu corrèles
deux expressions indépendantes.

moi j'aurais dit +/- 1 + exp(iπk*2/3)

> Dans cette application il faut distinguer 6 variétés :
> k = 6n + 0 => +2
> k = 6n + 1 => -3/2 + i√3/2
> k = 6n + 2 => +1/2 - i√3/2
> k = 6n + 3 => 0
> k = 6n + 4 => +1/2 + i√3/2
> k = 6n + 5 => -3/2 - i√3/2

ok en combinant k1 (période 2) et k2 (période 3), on retrouve ce cycle de 6.

> Si on représente les 6 valeurs dans le plan complexe on obtient une répartition de points assez bizarre avec une symétrie par rapport à l'axe des réels. Quelqu'un sait interpréter ce résultat ?

Si z = exp(alpha i), vérifie z^n = 1 (z est racine de l'unité), on en
déduit en divisant par z^n des deux cotés que 1 = 1/z^n = 1/exp(alpha i)
= exp(-alpha i) = cos(alpha) - sin(alpha i) = conjugué(z).

Bref si un complexe est racine de l'unité, son conjugué l'est aussi (en
plus d'être égal à son inverse). Ceci implique que les racines de
l'unité sont symétriques par rapport à l'axe réel.

Cela explique la symétrie verticale que tu observes.

Quand à l'interprétation géométrique de la figure complète tu as j^k (où
j est classiquement la racine 3e de l'unité) qui décrit un triangle
équilatéral et donc +/-1 + j^k donne ce triangle équilatéral translaté
horizontalement de +/- 1, pour un total de 6 points.

sam.

[Julien Arlandis]

Le 24/12/2021 à 00:55, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 23/12/2021 à 19:47, Julien Arlandis a écrit :
>> Je me réponds à moi même.
>> 1^(1/2)+1^(1/3) = exp(iπk) + exp(iπk*2/3)
>
> Pourquoi serait-ce le même k dans les deux exponentielles ? Tu corrèles
> deux expressions indépendantes.

Pour que les deux termes soient sur le même "feuillet".

> moi j'aurais dit +/- 1 + exp(iπk*2/3)

Ben non, car +/-1 + +/-1 conduit à 3 valeurs. Voir la discussion sur les
surfaces de Riemann.

>> Dans cette application il faut distinguer 6 variétés :
>> k = 6n + 0 => +2
>> k = 6n + 1 => -3/2 + i√3/2
>> k = 6n + 2 => +1/2 - i√3/2
>> k = 6n + 3 => 0
>> k = 6n + 4 => +1/2 + i√3/2
>> k = 6n + 5 => -3/2 - i√3/2
>
> ok en combinant k1 (période 2) et k2 (période 3), on retrouve ce cycle de 6.

Oui.

[Samuel DEVULDER]

Le 24/12/2021 à 01:27, Julien Arlandis a écrit :
>
>> moi j'aurais dit ± 1 + exp(iπk*2/3)
>
> Ben non, car ±1 + ±1 conduit à 3 valeurs
^^

Euhh comment fais tu pour que exp(iπk*2/3)=-1 ?

C'est impossible !

sam.

[Julien Arlandis]

Je faisais référence au calcul que nous avions évoqué dans le fil, qui
montrait justement qu'il ne fallait pas sommer des expressions
multivaluées sans précautions, ce que tu fais ici en remplaçant ici
(1)^1/2 par +/-1.
On a vu par exemple que :
((-1)^2)^(-1/2) = -1
alors que
((+1)^2)^(-1/2) = +1
Pourtant les deux nombres (-1)^2 et (+1)^2 sont égaux mais ne vivent pas
sur le même feuillet.

Toute la difficulté c'est de s'assurer de mener les calculs sans
mélanger les feuillets. Je sais pas comment tout celà s'écrit
formellement mais l'idée est là.

[Samuel DEVULDER]

Le 24/12/2021 à 07:25, Julien Arlandis a écrit :

> Je faisais référence au calcul que nous avions évoqué dans le fil, qui
> montrait justement qu'il ne fallait pas sommer des expressions
> multivaluées sans précautions, ce que tu fais ici en remplaçant ici

> (1)^1/2 par ±1.

Ben non pas du tout. (1)^(1/2) c'est +/- 1 ou exp(iπ/2*k1) c'est pareil.

Celui là ne pose aucun problème. La 2ème expression c'est exp(2iπ/3 *
k2) qui a 3 valeurs. Au total c'est 2*3 = 6 valeurs obtenues et pas 3
comme tu le dis.

Il y a zéro soucis avec l'expression en k1, k2.

Le problème est que tu parles de +/- 1 +/- 1 qui, pris au sens
ensembliste, donne {-1,1}+{-1,1} = {-2,0,2}. Les 3 valeurs dont tu
parles. Or cela ne correspond *pas* à

+/-1 + exp(iπk2*2/3)

car exp(iπk2*2/3) ne peut être égal à -1. En fait pris au sens
ensembliste exp(iπk2*2/3) = {1,j,j²} et il n'y a aucune possibilité
d'obtenir {-2,0,2} à partir de

{-1,+1} + {1,j,j²}

Donc, je ne vois pas le problème dont tu parles *dans ce cas précis*.

sam.

[Julien Arlandis]

Prenons un autre exemple qui sera plus explicite.
Calculons x = (1)^(1/2) + (1)^(1/4)
Si tu écris x = {1, -1} + {1, i, -i, -1}
tu obtiens 7 valeurs : {0, 2, -2, 1+i, 1-i, -1+i, -1-i}
Or -2, 1+i et 1-i ne sont pas solutions.

[Michel Talon]

Le 23/12/2021 à 13:55, Julien Arlandis a écrit :

> Pour être pragmatique, si je veux évaluer :
> 1^(1/2)+1^(1/3) je procède comment avec les surfaces de Riemann, la
> racine cubique ayant un recouvrement de plus que la racine carrée ?

Si tu as une expression avec des racines carrées et des racines
cubiques, il faut trouver l'équation dont elle est racine, à priori
de degré 6 (mais ça peut être 3, voir les formules de Cardan pour les
solutions de l'équation de degré 3) et tu dois te placer sur la surface
de Riemann de cette équation, qui a probablement 6 feuillets. Là ça
touche à la théorie de Galois qui se préoccupe des symétries de ce
genre d'expressions, et qui a aussi a voir avec les automorphismes des
revêtements. Autant dire que c'est compliqué, ce qui explique que les
logiciels de calcul formel deviennent rapidement inefficaces dès qu'il y
a des radicaux dans une expression.


--
Michel Talon

[Julien Arlandis]

Merci.
Peux tu me dire si cette approche est correcte ?

1^(1/2)+1^(1/3) = exp(iπk) + exp(iπk*2/3)

Dans cette application il faut distinguer 6 feuillets :

[Samuel DEVULDER]

Le 24/12/2021 à 12:39, Julien Arlandis a écrit :
> Prenons un autre exemple qui sera plus explicite.
> Calculons x = (1)^(1/2) + (1)^(1/4)
> Si tu écris x = {1, -1} + {1, i, -i, -1} tu obtiens 7 valeurs : {0, 2,
> -2, 1+i, 1-i, -1+i, -1-i}
> Or -2, 1+i et 1-i ne sont pas solutions.

Pourquoi -2 ne serait pas possible ?

A moins d'une corrélation cachée entre les paramètres k1 et k2
définissant respectivement
x = (1)^(1/2) = {1,-1) = exp(pi*k1)
y = (1)^(1/4) = {1, i, -i, -1} = exp(pi*k2/2)
tu peux parfaitement faire x + y = -1 -1 = -2 avec k1=1, k2=3. Chacun de
ces x, y vérifie x² = y^4 = 1 et sont donc les racines et racines
quatrièmes de l'unité.

Du coup je ne pige pas pourquoi tu exclue -2. D'où sortirait
l'interdiction d'avoir k1=1, k2=3 ?

En outre tu dis qu'il n'est pas solution. Solution de quoi au juste ?
Les seules solution sont x et y qui sont définies implicitement par x²=1
et y^4=1, pas le z = x+y qui n'a aucune contrainte.

Du reste Wolfram alpha nous sort bien les 7 values dont -2, 1+i et 1-i
dont tu dit qu'elles ne sont pas "solution": https://tinyurl.com/2p86hy7h.

sam.

[Julien Arlandis]

Le 24/12/2021 à 14:19, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 24/12/2021 à 12:39, Julien Arlandis a écrit :
>> Prenons un autre exemple qui sera plus explicite.
>> Calculons x = (1)^(1/2) + (1)^(1/4)
>> Si tu écris x = {1, -1} + {1, i, -i, -1} tu obtiens 7 valeurs : {0, 2,
>> -2, 1+i, 1-i, -1+i, -1-i}
>> Or -2, 1+i et 1-i ne sont pas solutions.
>
> Pourquoi -2 ne serait pas possible ?
>
> A moins d'une corrélation cachée entre les paramètres k1 et k2
> définissant respectivement
> x = (1)^(1/2) = {1,-1) = exp(pi*k1)
> y = (1)^(1/4) = {1, i, -i, -1} = exp(pi*k2/2)
> tu peux parfaitement faire x + y = -1 -1 = -2 avec k1=1, k2=3. Chacun de
> ces x, y vérifie x² = y^4 = 1 et sont donc les racines et racines
> quatrièmes de l'unité.
>
> Du coup je ne pige pas pourquoi tu exclue -2. D'où sortirait
> l'interdiction d'avoir k1=1, k2=3 ?

Parce que x=-1 et y=-1 ne sont pas sur le même feuillet de la surface de
Riemann.

[Samuel DEVULDER]

Le 24/12/2021 à 14:39, Julien Arlandis a écrit :
> Parce que x=-1 et y=-1 ne sont pas sur le même feuillet de la surface de
> Riemann.

ha ? Mais ils peuvent être à l'intersection. On ne peut probablement pas
rejeter ces deux valeurs de x et y comme cela.

Du reste tu n'a pas explicité ce que tu appelles "solution".

Moi je vois clairement 2 solutions x et y qui sont les racines des
polynômes X²=1 et Y^4=1. Jusque là tout va bien.

Mais tu nous parles de z=x+y qui ne serait pas solution. Solution de
quel système d'équation ?

Moi je vois trivialement
{ x² - 1 = 0
{ y^4 - 1 = 0
{ x + y - z = 0
qui admet x=y=-1,z=-2 comme solution, mais cela ne colle pas avec ce que
tu dis. J'imagine que le terme "solution" que tu emploie est trop
général et que tu veux dire quelque chose de plus précis.

A parti du contexte, je peux imaginer que "solution" signifie "être
racine d'un certain polynôme à coefficients entiers".

Très bien, mais quel est donc ce polynôme en z que l'on dériverait à
partir des polynômes définissants x et y qui définirait les z=x+y ?

Une fois qu'on saura cela on pourra en conclure que oui "-2" n'est pas
une solution, mais là comme ça tout de suite je ne vois pas pourquoi ce
ne serait pas le cas.

sam.

[Julien Arlandis]

Le 24/12/2021 à 14:19, Samuel DEVULDER a écrit :

> Le 24/12/2021 à 12:39, Julien Arlandis a écrit :
>> Prenons un autre exemple qui sera plus explicite.
>> Calculons x = (1)^(1/2) + (1)^(1/4)
>> Si tu écris x = {1, -1} + {1, i, -i, -1} tu obtiens 7 valeurs : {0, 2,
>> -2, 1+i, 1-i, -1+i, -1-i}
>> Or -2, 1+i et 1-i ne sont pas solutions.
>
> Pourquoi -2 ne serait pas possible ?

(1)^(1/2) + (1)^(1/4) = (1)^(1/4) * (1^(1/4) + 1)
ne peut pas être un réel négatif.

[Julien Arlandis]

Le 24/12/2021 à 14:56, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 24/12/2021 à 14:39, Julien Arlandis a écrit :
>> Parce que x=-1 et y=-1 ne sont pas sur le même feuillet de la surface de
>> Riemann.
>
> ha ? Mais ils peuvent être à l'intersection. On ne peut probablement pas
> rejeter ces deux valeurs de x et y comme cela.
>
> Du reste tu n'a pas explicité ce que tu appelles "solution".
>
> Moi je vois clairement 2 solutions x et y qui sont les racines des
> polynômes X²=1 et Y^4=1. Jusque là tout va bien.
>
> Mais tu nous parles de z=x+y qui ne serait pas solution. Solution de
> quel système d'équation ?

Je n'ai posé aucune équation, j'ai simplement demandé d'évaluer
l'expression 1^(1/2)+1^(1/4).

[Samuel DEVULDER]

Le 24/12/2021 à 15:03, Julien Arlandis a écrit :

>> Pourquoi -2 ne serait pas possible ?
>
> (1)^(1/2) + (1)^(1/4) = (1)^(1/4) * (1^(1/4) + 1)

Tu factorises (1)^(1/4), admettons.

> ne peut pas être un réel négatif.

Heuu sachant que (1)^(1/4) peut valoir -1 alors que 1^(1/4) + 1 peut lui
valoir 2, pour moi le produit est précisément un réel négatif. Je ne
vois pas pas ce que cette factorisation apporte, et encore moins en quoi
son signe empêche quoi que ce soit.

Tu semble vraiment affirmatif. Ce qui m'étonne, c'est de ne pas voir un
argument tranchant excluant ce -2. Il doit bien y avoir une raison je
suppose.

D'un autre coté Wolfram-Alpha nous sort bien z=-2 comme solution au
système {z = x+y, x² - 1 = 0, y^4 - 1 = 0}.

Donc quoi en penser ? pourquoi z n'aurait pas 6 valeurs possibles mais
seulement 3 ? Pour moi c'est pas évident, voir même faux (mais tout
dépends du sens que l'on donnerait à z = (1)^(1/2) + (1)^(1/4) bien
entendu).

sam.

[Julien Arlandis]

Le 24/12/2021 à 15:22, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 24/12/2021 à 15:03, Julien Arlandis a écrit :
>
>>> Pourquoi -2 ne serait pas possible ?
>>
>> (1)^(1/2) + (1)^(1/4) = (1)^(1/4) * (1^(1/4) + 1)
>
> Tu factorises (1)^(1/4), admettons.
>
>> ne peut pas être un réel négatif.

x = (1)^(1/4) * (1^(1/4) + 1) est de la forme x = a*(a+1) avec -1 ≤
Re(a) ≤ 1
Comment veux tu que x soit négatif ?

[Julien Arlandis]

Le 24/12/2021 à 15:22, Samuel DEVULDER a écrit :

> Le 24/12/2021 à 15:03, Julien Arlandis a écrit :
>
>>> Pourquoi -2 ne serait pas possible ?
>>
>> (1)^(1/2) + (1)^(1/4) = (1)^(1/4) * (1^(1/4) + 1)
>
> Tu factorises (1)^(1/4), admettons.
>
>> ne peut pas être un réel négatif.

x = (1)^(1/4) * (1^(1/4) + 1) est de la forme x = a*(a+1) avec -1 ≤
Re(a) ≤ 1

Comment veux tu que x ≤ -1 ?

[Julien Arlandis]

Le 24/12/2021 à 15:22, Samuel DEVULDER a écrit :

> Le 24/12/2021 à 15:03, Julien Arlandis a écrit :
>
>>> Pourquoi -2 ne serait pas possible ?
>>
>> (1)^(1/2) + (1)^(1/4) = (1)^(1/4) * (1^(1/4) + 1)
>
> Tu factorises (1)^(1/4), admettons.
>
>> ne peut pas être un réel négatif.

x = (1)^(1/4) * (1^(1/4) + 1) est de la forme x = a*(a+1) avec -1 ≤
Re(a) ≤ 1

Comment veux tu que x ≤ -1 et encore plus que x = -2 ?

[Samuel DEVULDER]

Le 24/12/2021 à 15:36, Julien Arlandis a écrit :
>
> x = (1)^(1/4) * (1^(1/4) + 1) est de la forme x = a*(a+1) avec -1 ≤
> Re(a) ≤ 1
> Comment veux tu que x ≤ -1 et encore plus que x = -2 ?

Attention tu corèlles le 1er 1^(1/4) au second. De *deux expressions*
indépendantes de 1^(quelque chose), tu les unifie à *un seul paramètre*
a. Je ne sais pas si c'est très légitime.

sam (intrigué)

[Julien Arlandis]

Autre façon de voir les choses, c'est d'évaluer l'expression pour toutes
les valeurs entières de k modulo 8, c'est ce que j'ai fait et il n'y a
que 4 valeurs différentes.

[Samuel DEVULDER]

Le 24/12/2021 à 15:58, Julien Arlandis a écrit :
> Autre façon de voir les choses, c'est d'évaluer l'expression pour toutes
> les valeurs entières de k modulo 8, c'est ce que j'ai fait et il n'y a
> que 4 valeurs différentes.

S'il n'y a qu'un seul "k" c'est pareil. Tu lie arbitrairement les deux
termes de 1^(1/2) + 1^(1/4). Je ne sais toujours pas si c'est légitime.

Je pense que le problème est mal posé en parlant de valeur de
l'expression numérique 1^(1/2) + 1^(1/4) "sans contexte". Les surfaces
de Riemann interviennent sur les fonctions à valeur complexe. or ici ca
n'est pas une fonction mais une expression numérique.

L'interprétation par surface de Riemann s'applique si au lieu de
considérer les expressions avec deux "1" indépendants (l'un est
exp(2pi*k1*i), l'autre exp(2pi*k2*i)), on, peut considérer la *fonction"

f(z) = z^(1/2) + z^(1/4) [1]

et voir les valeurs que prends cette fonction dans le plan complexe si
on impose une sorte de continuité de f(z), c'est à dire en restant sur
le même feuillet.

Et là on retrouve le lien entre les deux termes: la variable z qui bouge
de la même façon dans chacun des termes. Je comprends alors la
factorisation, et donc le fait que c'est impossible d'avoir -2.

C'est du coup totalement différent de g(x,y) défini par x^(1/2) +
y^(1/2) avec x et y sur le plan complexe car là les deux termes sont
totalement différents.

Bref: truc était de ne pas parler des valeurs de 1^(1/2) + 1^(1/4) en
tant que lim (x,y)->(1,1) g(x,y) = g(1,1), mais en tant que lim z->1
f(z) = f(1) si on se place dans le cadre de la continuité de f, c'est à
dire sur un feuillet de Riemann.

Ok ca fait du sens à présent. Merci.

Cependant je me demande si on obtiendrait le même résultat avec la fonction

h(z) = [cos(z-1)]^(1/2) + z^(1/4)

qui vérifie aussi h(1) = 1^(1/2) + 1^(1/4). Je ne pense pas que lim z->1
h(z) = lim z->1 f(z), car f et h sont localement différentes au
voisinage de 1. Ceci explique que la valeur f(1) ne peut pas être
retenue comme unique valeur pour 1^(1/2)+1^(1/4). Tout est dépendant du
contexte, en particulier de la fonction.

sam.

[Julien Arlandis]

Le 24/12/2021 à 21:48, Samuel DEVULDER a écrit :

> Le 24/12/2021 à 15:58, Julien Arlandis a écrit :
>> Autre façon de voir les choses, c'est d'évaluer l'expression pour toutes
>> les valeurs entières de k modulo 8, c'est ce que j'ai fait et il n'y a
>> que 4 valeurs différentes.
>
> S'il n'y a qu'un seul "k" c'est pareil. Tu lie arbitrairement les deux
> termes de 1^(1/2) + 1^(1/4). Je ne sais toujours pas si c'est légitime.
>
> Je pense que le problème est mal posé en parlant de valeur de
> l'expression numérique 1^(1/2) + 1^(1/4) "sans contexte".

On se retrouve devant une expression mal définie, comme lorsqu'on veut
évaluer l'expression 1/2*2, en l'absence de parenthèses pour définir
les priorités, seule une convention peut permettre de décider entre les
valeurs 1 et 1/4.
Quand on écrit 1^(1/2) et qu'on attend une valeur dans C, l'information
est incomplète car la fonction racine est sensible à la phase de
l'argument.
L'expression exp(2iπ)^(1/2) ne souffre d'aucune ambiguïté et le
résultat est incontestablement exp(iπ)=-1. Il faut alors considérer que
les nombres exp(2iπ) et exp(4iπ) sont des nombres qui ne sont pas
équivalents pour certaines applications et que le nombre 1 est une
notation ambigüe qui désigne n'importe quel nombre parmi exp(2ikπ).
Dans ce cas 1^(1/2) est une expression mal définie, on pourrait
compléter la notation en notifiant la phase entre crochets (forcément un
multiple de 2π) pour lever l'indétermination :
(1[0])^(1/2) = 1 mais (1[2π])^(1/2) = -1.

1^(1/2) + 1^(1/4) pourrait très bien désigner (1[2π])^(1/2) +
(1[4π])^(1/4) = -2 mais cette expression souffre d'un défaut d'accord de
phase (*) entre les expressions. Cela pourrait faire l'objet d'une
convention qui ferait le choix de conserver l'accord de phase, ce qui
semble assez raisonnable. Cela présente l'avantage comme on l'a vu de
conserver les propriétés de factorisation. Sous cette convention, on
voit que les expressions 1^(1/2) et 1^(1/4) ne désignent jamais la valeur
-1 lorsqu'ils sont en phase et par conséquent leur somme ne peut pas
valoir -2.

Pour finir, je ne suis pas certain que les surfaces de Riemann nous soient
d'un grand secours dans la manière d'évaluer des expressions comme
1^(1/2) + 1^(1/4), il s'agit juste de se mettre d'accord sur les
conventions à définir pour lever les ambiguïtés.

(*) Attention je fais une différence entre phase et argument, par exemple
-1[0] désigne exp(iπ)
et i[2π] désigne exp(5iπ/2).

[Michel Talon]

Le 24/12/2021 à 14:56, Samuel DEVULDER a écrit :
>

> Très bien, mais quel est donc ce polynôme en z que l'on dériverait à
> partir des polynômes définissants x et y qui définirait les z=x+y ?

En général si x est solution de P(x)=0 et y de Q(y)=0 alors tu peux
trouver un polynôme R(z) tel que z soir racine de R, par le procédé
d'élimination, éliminer x entre les deux équations P(x)=0 et Q(z-x)=0.
En pratique pour éliminer on calcule le résultant. Après il faut
regarder si dès fois R est factorisable, etc.

Exemple, avec 5^1/2 et 2^1/3:

(%i1) P:x^2-5$

(%i2) Q:expand((z-x)^3 -2)$

(%i3) R:eliminate([P,Q],[x]);
6 4 3 2
(%o3) [z - 15 z - 4 z + 75 z - 60 z - 121]
(%i4) factor(%[1]);
6 4 3 2
(%o4) z - 15 z - 4 z + 75 z - 60 z - 121

On a bien trouvé R qui est irréductible et est assez naturellement de
degré 6. 5^1/2+2^1/3 est une racine de ce polynome.


--
Michel Talon

[Samuel DEVULDER]

Le 25/12/2021 à 18:27, Michel Talon a écrit :

> En général si x est solution de P(x)=0 et y de Q(y)=0 alors tu peux
> trouver un polynôme R(z) tel que z soir racine de R, par le procédé
> d'élimination, éliminer x entre les deux équations P(x)=0 et Q(z-x)=0.

ah oui du coup z = y+x..

> En pratique pour éliminer on calcule le résultant. Après il faut
> regarder si dès fois R est factorisable, etc.

(..)

> Exemple, avec 5^1/2 et 2^1/3:
>

(..)

>                      6       4      3       2
> (%o4)               z  - 15 z  - 4 z  + 75 z  - 60 z - 121
>
> On a bien trouvé R qui est irréductible et est assez naturellement de
> degré 6.  5^1/2+2^1/3 est une racine de ce polynome.

Intéressant !

Et la répartition sur le plan complexe des racines montre ce qu'il se passe:
https://tinyurl.com/mwu4xh5x


* on a les racines cubiques de 2 formant un triangle équilatéral

! Re=-0.630
! / |
! Im=1.09~~(*) +i
! : ` .| 1.260
! : | . /
! : | ` . /
! --+-------+-------+-:----(o)------+(*)----+-------+-------+---->
! -3 -2 -1 : | . ' +2 +3 +4
! : |. ' +1
! : , ' |
! (*) -i
! |

* auquel on ajoute les racines de 5 (+/-2.236), c'est à dire qu'on
dédouble ce triangle de sorte à avoir l'un centré en +2.236 (sqrt(5)),
et l'autre en -2.236. Ainsi les deux racines avec Re(z)=-0.630 (-1/2
2^(1/3) se retrouvent décalées en -0.630 - 2.236 = -2.866 et -0.630 +
2.36 = 1.606. On envoie aussi le +1.260 (2^(1/3)) en 1.260 - 2.236 =
-0.976 et 1.260 + 2.236 = 3.496.

! Re=-2.866 Re=1.606
! / | /
! (*)~ ~ ~ ~ Im=+1.09 ~ ~ +i ~ ~ ~ ~ ~(*) 2.236
! : ` . -2.236 | : ` . /
! : /. -0.976 | : ` / 3.496
! : / ` . / | : / ` . /
! -+:----(o)+------(*)------0-------+---:---+-(o)---+--(*)--+---->
! : . ' | : . '
! : . ' | : . '
! : , ' | : , '
! (*)~ ~ ~ ~ Im=-1.09 ~ ~ -i ~ ~ ~ ~ ~(*)
! |

Ce sont précisément les valeurs trouvée numériquement comme racine du
polynôme par wolfram alpha,

https://tinyurl.com/y9eat7mh

sauf que géométriquement on peut avoir l'expression exacte de toutes les
racines :)

* 2^(1/3) +/- sqrt(5)
(-0.976 ou 3.496)

* [+/-sqrt(5) - 1/2 2^(1/3)] +/- [ 1/2 * 2^(1/3) * 3^(1/2) ]i
(1.606 +/- 1.09i ou -2.866 +/- 1.09i)

sam (cool l'ascii art.. j'espère qu'il passera bien)

[Samuel DEVULDER]

Le 25/12/2021 à 17:46, Julien Arlandis a écrit :
> exp(2iπ) et exp(4iπ) sont des nombres qui ne sont pas équivalents pour
> certaines applications

C'est justement le cas des spineurs tels que la paume de la main ou la
ceinture de Dirac que j'ai déjà mentionnée. Pour ces objets on ne peut
plus concrets, faire un tour de 360° n'est pas équivalent du tout à
faire un tour de 720°.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Spineur#Analogies_courantes

Je ne sais pas si cela est lié au feuillets de Riemann, mais je ne crois
pas trop au hasard dans les coïncidences exactes en mathématique.

sam.

[Julien Arlandis]

Effectivement. Il fallait voir que (-1)^2 n'est pas équivalent à (+1)^2
si on veut que la fonction racine carrée soit rigoureusement la fonction
réciproque de la fonction carrée. Je serai très étonné, mais alors
très très étonné que ceci puisse avoir des conséquences mesurables en
physique.

[Samuel DEVULDER]

Le 26/12/2021 à 13:21, Julien Arlandis a écrit :
> Effectivement. Il fallait voir que (-1)^2 n'est pas équivalent à (+1)^2
> si on veut que la fonction racine carrée soit rigoureusement la fonction
> réciproque de la fonction carrée. Je serai très étonné, mais alors très
> très étonné que ceci puisse avoir des conséquences mesurables en physique.

Mécanique quantique, Équation de Schrödinger et opérateur de spin
peut-être ?

Je cite
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement/meca_q/cours_chap4.pdf

<<Une interprétation géométrique est de dire que l'espace de
spin est un *double recouvrement* de l'espace des directions
de l'espace ordinaire.>>

Ca me fait furieusement penser aux feuillets de Riemann cette histoire.
Et puis il y a un moment où la physique quantique est indiscernables des
maths sur les fonctions complexes de Riemann (même la somme divergente 1
+ 2 + 3 + ... = -1/12 qui dérive la la fonction Zêta trouve son utilité
en physique quantique dans la démonstration de l'effet _Casimir_ ).

sam (Désolé si tout cela ressemble à du _gloubi-boulga_ , c'est pas mon
domaine)

[MAIxxxx]

Le 20/12/2021 à 23:01, Julien Arlandis a écrit :
> Le 20/12/2021 à 21:36, Samuel DEVULDER a écrit :
>> Le 20/12/2021 à 21:07, Julien Arlandis a écrit :
>>>
>>> J'ai pas vraiment compris ni creusé les raisons profondes pour
>>> lesquelles le logarithme était multivalué.
>>
>> Ben c'est tout con: il y a plusieurs valeurs de x qui satisfassent y =
>> exp(x).
>>
>>> Est ce une convention
>>
>> non
>>
>>> ou y a t-il une raison plus profonde ?
>>
>> heu, oui.. mais c'est tout con: l'argument d'un complexe n'est défini
>> qu'à 2pi-près.
>>
>> https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe
>>
>> En outre la fonction ln() n'est pas continue sur l'ensemble du plan
>> complexe. En fait je crois qu'elle n'est pas méromorphe.
>>
>> https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_m%C3%A9romorphe
>>
>> La présence des 2pi.i apparait quand tu fais des intégrales suivant une
>> courbe sur le plan complexe. Les pôles d'ordre 1 (les trucs en 1/x sous
>> l'intégrale) apportent 2pi.i à chaque tour dans le sens (anti?)horaire
>> de l'intégrale autour de ce pole il me semble. C'est un grand classique
>> du filtrage continu cette histoire là si j'ai bonne mémoire.
>>
>>> Et pourquoi la fonction racine carrée n'est elle pas multivaluée
>>
>> Ben si elle l'est: il y a plusieurs valeurs de x qui satisfassent y=x²
>> dans R: +/- sqrt(x).
>>
>> https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_multivalu%C3%A9e#La_racine_carr%C3%A9e
>> ;)
>>
>> Tiens d'ailleurs est-ce que i c'est sqrt(-1) ou -sqrt(-1) ? ;)
>>
>> sam.
>
> sqrt(-1) = exp(i*(k+1/2)*pi) = {i, -i} [1]
> -sqrt(-1) = -exp(i*(k+1/2)*pi) = {-i, i} [2]
>
> Et donc doit on en conclure que sqrt(-1) = -sqrt(-1) ?

Je me suis posé un jour la question de la définition de de i et de -i .
Conceptuellement, sans la représentation graphique dans le plan complexe, on ne
peut pas distinguer i et -i ce sont "deux racines carrées de -1" . Cela peut
avoir des conséquences pour ceux qui utilisent les variables complexes en
physique théorique quand "i.ct" est la coordonnée de temps, d'où les problèmes
posés par la "flèche du temps". Mais cela peut mener trop loin pour moi.
--

[Python]

i est la classe d'équivalence de X dans R[X]/(X^2+1), -i est celle de
-X. On les distingue fort bien.

[Michel Talon]

Le 26/12/2021 à 15:30, Samuel DEVULDER a écrit :
>
> Mécanique quantique, Équation de Schrödinger et opérateur de spin
> peut-être ?
>
> Je cite
> https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement/meca_q/cours_chap4.pdf
>
>
>     <<Une interprétation géométrique est de dire que l'espace de
>     spin est un *double recouvrement* de l'espace des directions
>     de l'espace ordinaire.>>
>
> Ca me fait furieusement penser aux feuillets de Riemann cette histoire.

Tout à fait à juste titre, il se trouve que le groupe des rotations de
l'espace SO(3) n'est pas simplement connexe et qu'il a un revêtement
simplement connexe à 2 feuillets SU(2) (appelé revêtement universel) et
c'est lui qui a une représentation en mécanique quantique sur le spin
1/2. J'ai trouvé sur le web un problème qui explicite ces notions:

http://www.normalesup.org/~tly/631Revetements.pdf

Le point est que Wigner a expliqué que les symétries comme la symétrie
de rotation se traduisent en mécanique quantique par des représentations
du groupe de symétrie sur l'espace des états mais qui peuvent en fait
être des représentations du revêtement universel du groupe de symétrie.
Le spin 1/2 peut avoir deux états, "up" et "down" et donc la
représentation d'une rotation doit se faire par des matrices 2x2 ce qui
n'est possible qu'avec SU(2). Ce qui est amusant c'est que SU(2) est
plongé dans Sl(2,C) les matrices 2x2 complexes de déterminant 1, et ce
groupe représente le groupe de Lorentz tout entier. Il existe aussi la
représentation complexe conjuguée de la précédente, il faut considérer
les deux ensembles si on veut pouvoir représenter la conjugaison de
charge, il faut donc un couple de spineurs, appelé bispineur, ou spineur
et spineur ponctué par exemple dans le cours de Landau et Lifchitz. On a
là les 4 composantes du "spineur de Dirac" introduites naturellement.



--
Michel Talon

[MAIxxxx]

Le 19/12/2021 à 02:47, Julien Arlandis a écrit :
> Peut on écrire :
> 1^x = (e^(2*i*pi))^x
> = e^(2*i*pi*x)
> = cos(2*pi*x) + i*sin(2*pi*x)
> Pour x réel ?
> Je suppose que non car 1^x est supposé réel quand x est réel...

On parlait parfois de "racines de l'unité" c'est à dire puissance
fractionnaires, qui toutes sont représentées sur le cercle trigonométrique. Bien
évidemment une puissance algébrique ou transcendante (réelle) va avoir des
propriétés similaires.
Noter donc que toutes les puissances réelles de l'unité ont comme module "1" et
inversement

En calcul formel :
1= exp(2*k*i*<pi>) k entier relatif

avec z= a+i*b a et b réels
1^z = exp[2*i*k*<pi>*(a+i*b)]
= exp[2*i*k*<pi>*a -2*k*<pi>*b)
={exp(-2*k*<pi>*b) } *[cos(2*k*pi*a)+i*sin(2*k*pi*a)]
c'est une expression multivaluée dénombrable.

Si a et b sont rationnels on peut à peu près intuiter où se trouvent ces valeurs
dans le plan complexe, sur des cercles de rayons exp(-2*k*<pi>*b) répartis sur
des directions en nombre fini, cercles de rayons en progression géométrique.

Par contre pour des valeurs de a et b algébriques ou transcendantes on aura
aussi un ensemble de valeurs infini sur des cercles mais dense en ce qui
concerne la direction.
"Formellement" le k entier relatif de la partie réelle et celui de la partie
imaginaire sont identiques (est-ce vrai???) Validité de ce qui est écrit plus
haut ??? On est dans C.

"Trois p'its tours et puis s'en vont"

--
Vous pouvez dire n'importe quoi, et moi aussi d'ailleurs, mais je m'en f..s
complètement.

[Samuel DEVULDER]

Pour ceux qui se posent (encore) la question des racines carrées de
nombres complexes, voici une petite vidéo (en anglais) très
intéressante qui vient de sortir
https://youtu.be/WfKR_MYu_UA