Que vaut la somme de tous les arrangements ?

[Jack]

Bonjour,

Je sais que la somme de toutes les combinaisons possibles de n éléments,
cad la somme de tous les coefficients binomiaux jusqu'au niveau n, est
égale à 2^n

binomial(n,0)+binomial(n,1)+...+binomial(n,n)=2^n

Par contre, je ne sais pas ce que vaut la somme de tous les arrangements
possibles de n éléments, cad la somme

A(n,1)+A(n,2)+...+A(n,p)

avec A(n,i)=n!/(n-i)!

Pouvez-vous me renseigner ?

Merci d'avance.

[Jack]

> A(n,1)+A(n,2)+...+A(n,p)

Je voulais surtout dire : je cherche ce que vaut la somme

A(n,1)+A(n,2)+...+A(n,n)

[Philippe Gaucher]

Jack <ja...@yopmail.com> writes:

<http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=1%2C2%2C5%2C16%2C65%2C326%2C1957%2C13700%2C109601%2C986410%2C9864101&language=english&go=Search>

[Philippe Gaucher]

Philippe Gaucher <p...@crepe.flambee> writes:

URL plus court :

<http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000522>

[Drenwal ArFurr]

Soit s(n)=\sum_{k=0}^nA(n,k).

Il est assez simple de calculer la série génératrice de s(n)/n! :
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{s(n)}{n!}x^n : en permutant les sommes en n et
k on trouve exp(x)/(1-x).

Sinon, en remarquant s(n)=ns(n-1)+1, on trouve une équation
différentielle pour la série génératrice F(x)\sum_{n=0}^{+\infty}s(n)x^n
qui doit être du genre F'(x)=((1-x)/x^2)F(x)-1/((1-x)x^2). Il reste à la
résoudre... cela fait intervenir des fonctions spéciales et on n'est pas
très avancé !

Il me semble qu'on trouve dans le livre A=B les éléments permettant de
dire qu'il n'y a pas de forme fermée simple (à vérifier) :

A=B by Marko Petkovsek, Herbert Wilf, and Doron Zeilberger
http://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html

Drenwal

[Denis Feldmann]

Drenwal ArFurr a écrit :

Pourtant, j'aurais juré que s=n!/(n-1)!+n!/(n-2)!+...+n!/0!=
n!(1+1+1/2+1/6+...+1/(n-1)!)= n!(1+1+1/2+1/6+...)-
n!/n!-1/(n+1)-1/(n+1)(n+2)-..., donc que e*n!-1-2/(n+1) <s<e*n!-1, donc
s= partie entière (e*n!-1)...

[Drenwal ArFurr]

Certes, je ne pense pas qu'aller chercher la milliardième décimale de e
soit considérée comme "forme fermée simple" par A=B. Bon, on entre dans
les considérations à la noix sur ce que signifie le mot simple : dans
mon message, ça voulait dire "combinaison linéaire d'un nombre fini
indépendant des variables (donc ici de n) de termes hypergéométriques"
et des termes hypergéométriques, c'est en gros des fractions
rationnelles en factorielles des variables.

[Philippe Gaucher]

Denis Feldmann <feldmann.den...@neuf.fr> writes:

> Pourtant, j'aurais juré que s=n!/(n-1)!+n!/(n-2)!+...+n!/0!=
> n!(1+1+1/2+1/6+...+1/(n-1)!)= n!(1+1+1/2+1/6+...)-
> n!/n!-1/(n+1)-1/(n+1)(n+2)-..., donc que e*n!-1-2/(n+1) <s<e*n!-1,
> donc s= partie entière (e*n!-1)...

Petite correction : s= partie entière (e*n!) pour n>0. Formule donnée
dans l'URL que j'ai indiqué.

s(10)=9864101
e*10!=9864101.0991121...

pg.

[Valeri Astanoff]

On 14 jan, 20:09, Philippe Gaucher <p...@crepe.flambee> wrote:

Confirmation:

In[1]:= s[n_]=Sum[n!/(n-i)!,{i,0,n}]//FullSimplify
Out[1]= E*Gamma[1+n,1]

In[2]:= s[10]
Out[2]= E*Gamma[11,1]

In[3]:= %//FunctionExpand
Out[3]= 9864101

[Denis Feldmann]

Valeri Astanoff a écrit :

> On 14 jan, 20:09, Philippe Gaucher <p...@crepe.flambee> wrote:
>> Denis Feldmann <feldmann.denis.asuppri...@neuf.fr> writes:
>>> Pourtant, j'aurais juré que s=n!/(n-1)!+n!/(n-2)!+...+n!/0!=
>>> n!(1+1+1/2+1/6+...+1/(n-1)!)= n!(1+1+1/2+1/6+...)-
>>> n!/n!-1/(n+1)-1/(n+1)(n+2)-..., donc que e*n!-1-2/(n+1) <s<e*n!-1,
>>> donc s= partie entière (e*n!-1)...
>> Petite correction : s= partie entière (e*n!) pour n>0. Formule donnée
>> dans l'URL que j'ai indiqué.

Oui, mais ce n'est pas la formule demandée, où, je ne sais trop
pourquoi, le premier terme manquait...