Matrice de passage d'un repère sphérique vers repère cartésien
david7.p...@gmail.com
Je suis informaticien, et dans le cadre de mon travail de
développement logiciel, je dois aborder un problème spécifique de
changement de repère.
J'ai bien compris les concepts de base des repères cartésien et
sphériques, ainsi que les formules permettant de convertir les
coordonnées d'un point d'un repère vers l'autre:
1/ Cartésien vers Sphérique: (x, y, z) >> (r, theta, phi)
r = sqrt(x*x + y*y + z*z);
theta = Atan(sqrt(x*x + y*y) / z);
phi = Atan(y/x);
2/ Sphérique vers Cartésien: (r, theta, phi) >> (x, y, z)
x = r*sin(theta)*cos(phi);
y = r*sin(theta)*sin(phi);
z = r*cos(theta);
avec r >= 0; 0 <= theta <=PI; et 0<= phi <= PI/2
Dans le cadre de mon travail, je préférerais travailler avec une
Matrice 3x3 (ouais bon, elle est pas jolie ma matrice, mais je fais
avec les moyens du bord !) :
(x) ( A B C ) ( r )
(y) = ( D E F ) ( theta )
(z) ( G H L ) ( phi )
D'ailleurs, ces opérations de changement de repère, je suppose que ce
sont des applications linéaires, donc on doit bien pouvoir les
exprimer sous la forme d'une matrice (si je me souviens bien de mes
cours...).
Le problème, c'est pour déterminer les coefficients de la matrice de
transformation... Je cale !!
Normalement, on a les 3 vecteurs de base du repère cartésien: Ex, Ey
et Ez; ainsi que les 3 vecteurs de base du repère sphérique: Er,
Etheta, et Ephi. Et théoriquement, on dois exprimer chacun des
vecteurs de base du repère cartésien comme une combinaison linéaire
des vecteurs de base du repère sphérique, ce qui donne les
coefficients de la matrice de conversion.
Après quelques recherches sur Internet, j'ai bien trouvé ma matrice de
transformation, mais je ne comprends pas comment sont calculés ses
coefficients...
Avec 1/ http://webhost.sipr.ucl.ac.be/perso/brieux.delsaute/meca1901/documents/form_sept2008.pdf
(page 8) :
C'est déjà plus clair avec ce pdf, et voici ma question :
Page 8 du pdf, D'où vient la formule: Er = (dV / dr) / || (dV / dr) ||
et pourquoi celle-ci ??
(Je pourrai très bien me contenter d'utiliser la matrice sans me poser
de questions, mais je tiens à savoir d'où viennent les choses !)
Merci pour votre aide.
David
AP
wrote:
non,
si on multiplie (r,theta,phi) par 2 , (x,y,z) n'est pas multiplié par
2
et réciproquement d'ailleurs : si on multipllie (x,y;z) par 2, phi et
theta sont inchnagés
>Le problème, c'est pour déterminer les coefficients de la matrice de
>transformation... Je cale !!
>
>Normalement, on a les 3 vecteurs de base du repère cartésien: Ex, Ey
>et Ez; ainsi que les 3 vecteurs de base du repère sphérique: Er,
>Etheta, et Ephi. Et théoriquement, on dois exprimer chacun des
>vecteurs de base du repère cartésien comme une combinaison linéaire
>des vecteurs de base du repère sphérique, ce qui donne les
>coefficients de la matrice de conversion.
>
>Après quelques recherches sur Internet, j'ai bien trouvé ma matrice de
>transformation, mais je ne comprends pas comment sont calculés ses
>coefficients...
il ne s'agit du pb que tu as évoqué pls haut : passage entre
coordonnées cartésiennes (x,y,z) de M et coordonnées sphériques (r,
theta, phi) de M
dans le papier que tu évoques il s'agit du passage entre deux repères
cartésiens : celui de départ et le repère cartésien d'origine M et
dont un 1er vecteur de base est (1/r) vec(OM) , repère dit "sphérique"
ce repère "bouge" avec M
dans le repère de départ M a pour coordonnées (x,y,z) et dans le
reprère d'origine M il a évidemment pour coordonnées (0,0,0)
mais maintenant si tu prends un point qq autre que M il aura des
coordonnées dans le repère cartésine de départ et dans le repère
cartésien d'origine M et là le passage entre les 2 types de
coordonnées de se fait par la matrice de passage donnée dans le papier
Sethy
Reprenons la matrice que tu mentionnes :
(x) ( A B C ) ( r )
(y) = ( D E F ) ( theta )
(z) ( G H L ) ( phi )
et détaillons-en la première ligne :
x = A.r + B .theta +C . phi
Comparons maintenant avec les formules dont tu disposes (et qui sont
correctes) :
x = r*sin(theta)*cos(phi);
Il n'est pas possible de passer d'une équation à l'autre. Cela montre
simplement que l'approche matricielle ne convient pas au problème et qu'il
faut vraiment calculer les sinus et cosinus des 2 angles.
Sethy
kamdba...@gmail.com
Eα=sinα ex +cosα ey
Ez=ez
MAIxxxx
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