Théorème de Fermat
Jean_Pierre_Gallien
a^n+b^n=c^n ? et quelle est elle ?
On sait que c'est vrai pour n=2 dans un triangle rectangle.
(a²+b²=c²).
Thomas Baruchel
c = racine n-ième de (a^n + b^n) ...
avec c entier, c'est autre chose...
--
Deux choses remplissent le coeur d'une admiration et d'une vénération
toujours nouvelles et toujours croissantes, à mesure que la réflexion
s'y attache et s'y applique : le ciel étoilé au-dessus de moi et la loi
morale en moi. (Emmanuel Kant)
Arthur B.
"Jean_Pierre_Gallien" <jp.ga...@wanadoo.fr> a écrit dans le message de
news: b5b8or$rg7$1...@news-reader11.wanadoo.fr...
> Qui sait démontrer que quelques soient a,b,n, il existe un c unique tel
que
> a^n+b^n=c^n ? et quelle est elle ?
C'est faux.
3^2 + 4^2 = 5^2 = (-5)^2
Joseph Ribeau
Arthur B. <voyezmesanciensposts@googlegroups> a écrit dans le message :
3e795922$0$28771$626a...@news.free.fr...
>
> "Jean_Pierre_Gallien" <jp.ga...@wanadoo.fr> a écrit dans le message de
> news: b5b8or$rg7$1...@news-reader11.wanadoo.fr...
> > Qui sait démontrer que quelques soient a,b,n, il existe un c unique tel
> que
> > a^n+b^n=c^n ? et quelle est elle ?
>
Enoncé de la conjecture de Fermat :
pour tout entier n > 2, il n'existe pas d'entiers non nuls a, b et c tels
que a^n+b^n=c^n.
ci-après un extrait de la page suivante:
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/viemaths/mthacc/fermat.htm
"On sait que Pierre de Fermat écrivit, sans doute vers 1630, dans la marge
de l'Arithmétique de Diophante que l'équation x^n + y^n = z^n n'avait pas de
quadruplé d'entiers solution vérifiant x,y,z>0, et n>2, (ceci dans son
propre langage, bien sûr), et qu'il en avait découvert une preuve vraiment
remarquable, mais que la marge était trop petite pour la contenir. Fermat
meurt en 1665 et c'est son fils Samuel qui publie ses papiers, y compris
cette fameuse note marginale dont l'énoncé est appelé Grand Théorème de
Fermat, et qui va constituer un véritable casse-tête pour les plus grands
mathématiciens, jusqu'à sa démonstration, par Andrew Wiles, en 1994."
Mathieu
Il y a même un livre qui est sorti, narrant l'histoire de la
demonstration du théorème de Fermat. Je ne me rappelle plus le titre
exact (je crois que c'est le theoreme de fermat), mais c'est un tres bon
livre. J'ajoute tout le monde peut lire ce livre, car il n'y a pas de
mathematiques dutout, non disons le strict minimum.
Donc bonne lecture a tous ceux qui s'intéressent un peu à la theorie des
nombres tout en étant pas mathématicien.
Joseph Ribeau a écrit:
Francois Meyer
> Bonjour
>
> Il y a même un livre qui est sorti, narrant l'histoire de la
> demonstration du théorème de Fermat.
Et le documentaire TV idoine (de la BBC je crois) est également
captivant.
-- Francois Meyer
Julien Santini
maths parce qu'un jour en kholle le prof m'a demandé de résoudre un
casse-tête du type celui de Sam Lloyd décrit dans ledit bouquin; bon j'ai
quand même mis plus d'une bonne demi-heure avant de comprendre qu'il fallait
utiliser les signatures des permutations pour conclure ... et tout ça parce
que j'avais eu la flemme de lire la démo jusqu'au bout dans le bouquin (qui
n'utilise pas la notion de signature mais un procédé équivalent si je me
souviens bien).
--
Julien Santini,
Université de Provence,
France
"Mathieu" <mphy...@free.fr> a écrit dans le message de news:
3E79C7D0...@free.fr...
Jean Nougayrède
cépamoi
a écrit dans le message de news: b5dgs5$u7m$1...@news.polytechnique.fr...
> c'etait quoi comme exo (ca m'intéresse)
>
jm14d
Oui, c'est le même journaliste Simon SINGH qui a fait ce reportage et
écrit le bouquin :
ça se lit vraiment comme un roman !
Julien Santini
Prendre une triangle équilatéral et placer quatre pièces notées 1,2,3,4 sur
ses sommets et en son centre de gravité.
1
2
3 4
Je note cette position [1,2,3,4]. Ensuite on a le droit, pour trois pièces
fixées, d'échanger leurs places en les faisant "tourner". Par exemple, 3
remplace 1, 1 remplace 4, 4 remplace 3.
3
2
4 1
La question est, à partir de [1,2,3,4] et suivant cette règle, d'obtenir la
position [1,2,4,3].
Evidemment on peut poser le problème avec n'importe quelle figure (le
khôlleur se débrouille pour en choisir une suffisamment compexe pour qu'un
raisonnement de logique "brute" soit trop complexe) et il est toujours
impossible d'arriver à la "position finale" si cette dernière, vue comme une
permutation, est de signature différente de celle de la position initiale
(notons qu'échanger trois pièces "circulairement" se traduit par deux
transpositions; donc on opère toujours un nombre pair de transpositions sur
[1,2,3,4], donc la signature de la position obtenue est constante...)
Alors bien sûr que vu comme ça ça paraît tout con, mais quand on a ça en
khôlle, que le prof ne présente pas les positions sous la forme de
permutations comme je l'ai fait, et qu'il vous laisse moisir sans vous
donner la moindre indication... ben on perd une demi-heure pour avoir
l'idée...et encore faut l'avoir...
Comme je le disais cette idée reprend celle évoquée dans le book de Singh
(passage sur le casse-tête de Sam Lloyd) mais je crois que dans le bouquin
on parle de "déplacements" et c'est nettement plus complexe (une sorte de
taquin) ou je sais plus trop quoi (peux pas vérifier j'ai perdu le livre).
En fait c'est toujours le même principe: trouver l'invariant du problème.
--
Julien Santini,
Université de Provence,
France
"cépamoi" <pour...@netcourrier.com> a écrit dans le message de news:
3e7a42e5$0$26350$626a...@news.free.fr...
thomas
> le book de Singh
> (passage sur le casse-tête de Sam Lloyd) mais je crois que
> dans le bouquin
> on parle de "déplacements" et c'est nettement plus
> complexe (une sorte de
> taquin) ou je sais plus trop quoi (peux pas vérifier j'ai
> perdu le livre).
Sam Loyd avait proposé dans un concours ( avec une prime a gagner) le
problème du 14-15 qui n' a en fait pas de solution (et donc personne n'
a remporté la prime...)
Le problème est basé sur un taquin: un jeu avec 15 pieces carrées
disposées dans un quadrillage 4x4 où on peut déplacer les pieces
seulement vers l' emplacement vide)
Dans le problème de Sam Loyd, les pieces sont numérotées de 1 à 15 de
gauche à droite et de haut en bas, le 14 et le 15 etant inversé. La
question est bien sur peut on les mettre dans l' ordre
--
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Joseph
de solutions entières non nulles au probleme de fermat pour n >= 3 ?
ne pensez vous pas qu'un jour il serait très possible qu'un intuitionniste génial,
genre ramanujan ou erdös ne trouve une solution inattendue, purement algébrique,
ou relativement élémentaire (disons 10 pages de démo au lieu de 1000) et ne
faisant pas appel à la théorie compliquée que wiles utilise (fonctions elliptiques,
c'est ça ?) ? ou a t on démontré que c'était impossible par des moyens élémentaires ?
2) de même pour le thm des nombres premiers, y a t il une manière simple de palper
ce résultat ?
du genre : "s'il n'y avait pas environ x/ln(x) nombres premiers entre 1 et x, on
arriverait pas à recréer tous les entiers jusqu'à x".
en quelque sorte une "construction de l'ensemble N à partir de l'ensemble P des nombres
premiers" : au lieu de construire N comme la réunion de "ens. vide, ens. vide union {ens. vide}"
ou je ne sais pas trop quoi (je n'ai jamais compris la raison d'être de cette construction),
on postule l'existence d'un ensemble P, et on montre que l'on peut, à partir de cet ensemble,
construire un ens. N, ayant tel prop., etc. .... est-ce envisageable ?
joseph
Denis Feldmann
> 1) y a t il une interprétation philosophique, qui permet de "palper"
> le fait qu'il n'y a pas de solutions entières non nulles au probleme
> de fermat pour n >= 3 ?
Non, juste des arguments "heuristiques" montrant que c'est peu probable a
priori, mais ce genre d'argument montre de même que x^n+y^n=Az^n est
impossible, ce qui est faux...
>
> ne pensez vous pas qu'un jour il serait très possible qu'un
> intuitionniste génial, genre ramanujan ou erdös ne trouve une
> solution inattendue, purement algébrique, ou relativement
> élémentaire (disons 10 pages de démo au lieu de 1000) et ne faisant
> pas appel à la théorie compliquée que wiles utilise (fonctions
> elliptiques, c'est ça ?) ?
Très possible, sûrement pas. Possible, pourquoi pas, mais il faudrait qu'il
soit encore bien plus génial que tous ceux cités. Wiles est assez génial
lui-même.
ou a t on démontré que c'était impossible
> par des moyens élémentaires ?
Certains moyens élémentaires sont exclus. Ainsi, l'équation possède des
solutions modulo p^k pour tous p et k, ce qui interdit d'utiliser de simples
arguments de congruence. Bien d'autres approches "élémentaires" peuvent
ainsi être "réfutées" (par exemple, tout argument purement algébrique va
s'écrouler devant le fait que l'équation a des solutions dans certains
entiers algébriques)
>
> 2) de même pour le thm des nombres premiers, y a t il une manière
> simple de palper ce résultat ?
Qu'appelle-tu 'simple'? et quel degré de rigueur demandes-tu?
Personnellment, j'aime bien l'identité d'Euler (produit
(1-1/p^s)=somme(1/n^s) =zeta(s), "donc", pour s=1, produit des (1-1/p)=somme
des 1/n=log n donc somme 1/p =log log n donc p=n log n. Evidemment, s'il y
avait moyen de passer de là à une preuve rigoureuse, ça se saurait :-)
> du genre : "s'il n'y avait pas environ x/ln(x) nombres premiers entre
> 1 et x, on arriverait pas à recréer tous les entiers jusqu'à x".
>
> en quelque sorte une "construction de l'ensemble N à partir de
> l'ensemble P des nombres premiers" : au lieu de construire N comme la
> réunion de "ens. vide, ens. vide union {ens. vide}" ou je ne sais pas
> trop quoi (je n'ai jamais compris la raison d'être de cette
> construction),
Euh, y en a d'autres. Les axiomes de Peano, par exemple.
on postule l'existence d'un ensemble P, et on montre
> que l'on peut, à partir de cet ensemble, construire un ens. N, ayant
> tel prop., etc. .... est-ce envisageable ?
Un peu simpliste. Il faut mettre tellement de structure sur P que N va
apparaitre aussitôt. Mais une conjecture célèbre d'Erdös est très vaguement
de ce modèle: la suite u_n contient des progressions arithmétiques de
longueur arbitraire si et seulement si (?)somme (1/u_n) diverge.
>
> joseph
Joseph
> Qu'appelle-tu 'simple'? et quel degré de rigueur demandes-tu?
> Personnellment, j'aime bien l'identité d'Euler (produit
> (1-1/p^s)=somme(1/n^s) =zeta(s), "donc", pour s=1, produit des (1-1/p)=somme
> des 1/n=log n donc somme 1/p =log log n
jusque là ça se démontre rigoureusement (non ?) que :
somme(1/(p_n), n=1..N) ~ log log N ?
c'est essentiellement le passage de ça à ça qui pose probleme ou je me trompe ? :
> donc p=n log n.
> Evidemment, s'il y avait moyen de passer de là à une preuve rigoureuse, ça se saurait :-)
c'est dingue quand même que c'est pas posible d'y arriver, ça a l'air à portée de main...
(tout comme les thm de tchebycheff qui laissait croire que par sa méthode (encadrement par des
constantes * x / ln x) il était près du but)
int ( 1 / x * ln x) = ln ln x et les considérations sur la suite (p_n) tq croissance, etc. ne servent à rien ?
évidemment, comme tu dis, ça se saurait...
> Mais une conjecture célèbre d'Erdös est très vaguement
> de ce modèle: la suite u_n contient des progressions arithmétiques de
> longueur arbitraire si et seulement si (?)somme (1/u_n) diverge.
par là faut-il comprendre "des progressions arithmétiques de nombres premiers"
et "de longueur arbitrairement grande" ?
c'est pas en gros ce qui est utilisé pour démontrer le thm de dirichlet ?
jo
Denis Feldmann
> bonsoir,
>
>> Qu'appelle-tu 'simple'? et quel degré de rigueur demandes-tu?
>> Personnellment, j'aime bien l'identité d'Euler (produit
>> (1-1/p^s)=somme(1/n^s) =zeta(s), "donc", pour s=1, produit des (1-
>
> jusque là ça se démontre rigoureusement (non ?) que :
> somme(1/(p_n), n=1..N) ~ log log N ?
Non :-) (sinon, ensuite, c'est "trivial", par les méthodes classiques de
comparaison série/intégrale)
>
> c'est essentiellement le passage de ça à ça qui pose probleme ou je
> me trompe ? :
>
>> donc p=n log n.
>> Evidemment, s'il y avait moyen de passer de là à une preuve
>> rigoureuse, ça se saurait :-)
>
> c'est dingue quand même que c'est pas posible d'y arriver, ça a l'air
> à portée de main... (tout comme les thm de tchebycheff qui laissait
> croire que par sa méthode (encadrement par des constantes * x / ln x)
> il était près du but)
Oui :-) Mais si ils ont mis si longtemps, y'a une raison ;-) D'ailleurs, la
démonstration "soidisant" élémentaire de Selberg est horriblement
alambiquée; la seule chose qu'elle a d'élémentaire, c'est qu'elle n'utilise
pas l'anlyse complexe.
>
> int ( 1 / x * ln x) = ln ln x et les considérations sur la
> suite (p_n) tq croissance, etc. ne servent à rien ?
Si, c'est ce que je disais plus haut. Non, ce qui est plus que difficile,
c'est de passer de l'identité d'Euler, valable quand il y a convergence, à
un résultat de divergence "comparée" qui , en fait, n'a pas grand chose à
voir, malgré les apparences.
>
> évidemment, comme tu dis, ça se saurait...
>
>
>> Mais une conjecture célèbre d'Erdös est très vaguement
>> de ce modèle: la suite u_n contient des progressions arithmétiques
>> de longueur arbitraire si et seulement si (?)somme (1/u_n) diverge.
>
> par là faut-il comprendre "des progressions arithmétiques de nombres
> premiers" et "de longueur arbitrairement grande" ?
> c'est pas en gros ce qui est utilisé pour démontrer le thm de
> dirichlet ?
Non, ça, c'est un peu l'inverse. Ce que dit Dirichlet, c'est que dans la
progression 47n+11, mettons, il y a une infinité de nombres premiers, et
plus précisément qu'il y en a 1/47 en moyenne. Ce que dit Erdös (et qui
n'est toujours pas démontré), c'est que , par exemple, il existe a et b tels
que les nombres a+kb, avec k allant de 0 à 100 000, soient tous premiers)
>
> jo
Joseph
> > jusque là ça se démontre rigoureusement (non ?) que :
> > somme(1/(p_n), n=1..N) ~ log log N ?
>
> Non :-) (sinon, ensuite, c'est "trivial", par les méthodes classiques de
> comparaison série/intégrale)
???
je ne comprends pas mon erreur :
on a bien :
log product (1/(1 - 1/p_n), n=1..N) = - somme (log (1- 1/p_n)) ~ somme (1/p_n)
car - log (1 - x) ~ x et comme la série diverge, il y a par thm ~ des sommmes partielles.
or on montre (dans le sujet 2 MP 2002 mines ponts par ex)
log product (...) >= ln somme (1/n,n=1..N) ~ ln ln N
on doit bien pouvoir majorer le log du product de la meme manière non ?
ou est l'erreur ?
jo
Denis Feldmann
> bonsoir,
>
>>> jusque là ça se démontre rigoureusement (non ?) que :
>>> somme(1/(p_n), n=1..N) ~ log log N ?
>>
>> Non :-) (sinon, ensuite, c'est "trivial", par les méthodes
>> classiques de comparaison série/intégrale)
>
> ???
> je ne comprends pas mon erreur :
> on a bien :
> log product (1/(1 - 1/p_n), n=1..N) = - somme (log (1- 1/p_n)) ~
> somme (1/p_n) car - log (1 - x) ~ x et comme la série diverge, il
> y a par thm ~ des sommmes partielles.
Ca, oui, sans problème
>
> or on montre (dans le sujet 2 MP 2002 mines ponts par ex)
> log product (...) >= ln somme (1/n,n=1..N) ~ ln ln N
>
> on doit bien pouvoir majorer le log du product de la meme manière non
Non :-(
Essentiellement, le problème vient de ce qu'une raréfaction un peu trop
faible des nombres premiers ne se voit pas par cette méthode. Suppose par
exemple que p_n~n ln(n)*0,9 (les inégalités de Tchebyshev n'excluent pas
cette possibilité). Tu te convaincras aisément qu'on aurait encore "à peu
près" la même égalité entre les deux logarithmes
> ?
>
> ou est l'erreur ?
J'ai ben l'impression que c'est (à l'envers) de même nature que l'erreur du
type ln(n!)~n ln n ,"donc" n! ~ n^n