Valeur moyenne d'un produit de cos et complexe conjugué
StefJM
Je n'arrive plus à voir le lien théorique entre la valeur moyenne sur
une période du produit
cos(wt) cos(wt+Y)
et la partie réelle de
e^(j(wt+Y)) e^(-jwt)
Il y a égalité entre les deux, c'est facile à montrer.
Je n'arrive plus à me souvenir de la théorie qui montre que c'est vrai
de façon générale. Je vois bien que dans le calcul, cela conduit à un
jwt-jwt qui se simplifie mais je n'arrive pas à faire le lien avec la
valeur moyenne.
Question subsidiaire :
Que peut bien représenter la partie réelle de l'expression vis-à-vis du
produit de cos initial?
PS : Voici le contexte:
1) en grandeurs temporelles
u(t) = U sqrt(2) cos(wt+Y)
i(t) = I sqrt(2) cos(wt)
p(t) = u(t).i(t)
P=moy(p(t)) = U.I.cos(Y)
2) en grandeurs temporelles complexes
u(t) = U e^(j(wt+Y))
i(t) = I e^(jwt)
Puissance complexe = u(t) i*(t) avec "*" l'opérateur conjugué.
Puissance complexe = U.I.e^(jY)
Puissance complexe = U.I.(cosY + j.sinY)
Puissance complexe = P + jQ
C'est le calcul de la valeur moyenne par ce produit complexe u i* qui
m'intrigue.
--
StefJM
Olivier
> Bonjour,
> Je n'arrive plus à voir le lien théorique entre la valeur moyenne sur
> une période du produit
> cos(wt) cos(wt+Y)
>
> et la partie réelle de
> e^(j(wt+Y)) e^(-jwt)
>
> Il y a égalité entre les deux, c'est facile à montrer.
>
> Je n'arrive plus à me souvenir de la théorie qui montre que c'est vrai
> de façon générale. Je vois bien que dans le calcul, cela conduit à un
> jwt-jwt qui se simplifie mais je n'arrive pas à faire le lien avec la
> valeur moyenne.
Si ma mémoire est bonne, chez vous, j^2=-1, et je crois que ce qui
manque est simplement :
cos x = (e^(jx) + e^(-jx))/2
A appliquer avec x = wt, x = wt+Y et faire le produit.
JQCA,
A.O.
irsute
> Bonjour,
> Je n'arrive plus à voir le lien théorique entre la valeur moyenne sur
>
>
> P=moy(p(t)) = U.I.cos(Y)
>
> 2) en grandeurs temporelles complexes
> u(t) = U e^(j(wt+Y))
> i(t) = I e^(jwt)
> Puissance complexe = u(t) i*(t) avec "*" l'opérateur conjugué.
Non le def de la puissance complexe est : u(t) i*(t)/2
StefJM
Ce n'est qu'un détail de conventions.
C'est un fait assez connu que les physiciens préfèrent travailler avec
les amplitudes maxima alors que les électrotechniciens préfèrent les
valeurs efficaces.
--
StefJM
StefJM
Bonjour,
Ce n'est pas le calcul qui me pose soucis.
Je me demande simplement si le calcul de la valeur moyenne d'un produit
réel en utilisant un produit complexe conjugué est classique, habituel,
évident, faux dans le cas général. (rayer les mentions inutiles...)
En gros, remplacer l'opérateur valeur moyenne sur une période par
conjugué. (sic)
--
StefJM
A.J.
"StefJM" <ste...@caramail.com.invalid> a écrit dans le message de news:
471b5308$0$23332$426a...@news.free.fr...
> Bonjour,
> Je n'arrive plus à voir le lien théorique entre la valeur moyenne sur une
> période du produit
> cos(wt) cos(wt+Y)
>
> et la partie réelle de
> e^(j(wt+Y)) e^(-jwt)
>
> Il y a égalité entre les deux, c'est facile à montrer.
>
> Je n'arrive plus à me souvenir de la théorie qui montre que c'est vrai de
> façon générale. Je vois bien que dans le calcul, cela conduit à un jwt-jwt
> qui se simplifie mais je n'arrive pas à faire le lien avec la valeur
> moyenne.
La valeur moyenne, c'est l'intégrale de l'expression sur la période T,
divisée par T.
Appliqué au produit des exponentielles, on trouve e^jY, d'où cos(jY) pour la
partie réelle.
Olivier
[...]
> Ce n'est pas le calcul qui me pose soucis.
>
> Je me demande simplement si le calcul de la valeur moyenne d'un produit
> réel en utilisant un produit complexe conjugué est classique, habituel,
> évident, faux dans le cas général. (rayer les mentions inutiles...)
Ok, ce qui se passe, c'est qu'il y a de la linearite.
On veut int (f(x) + j g(x)) dx
et c'est, par définition,
int f(x) dx + j int g(x) dx
Ceci est cohérent avec l'intégrale reélle : si
g(x)=0, on retombe bien sur nos pattes.
De plus l'intégrale d'un conjugué est le conjugué de l'intégrale.
(Il suffit simplement de le vérifier sur la définition ci-dessus).
Avec cette définition, on montre que
int e^(jx) dx = e^(jx)/j.
Pour calculer la valeur moyenne d'un produit de sinus/cosinus,
c'est de loin la méthode la plus simple pour qui sait
l'appréhender.
J'espère être moins à côté de la plaque :-p
Amitiés,
Olivier
StefJM
Merci pour ta réponse.
Je dois être à l'ouest.
Je comprends bien tout cela. (Linéarité, exp complexe, intégration)
Ce qui m'étonne (mais cela ne devrais sans doute pas), c'est le fait
qu'on puisse calculer une valeur moyenne de produit de cos * cos déphasé
en passant en produit d'exp et exp conjugué, mais sans calculer
explicitement la valeur moyenne de ce produit d'exp. (Et si on le fait,
on trouve le résultat bien sûr.)
exp (jwt)* . exp(jwt+Y) = exp -jwt . exp(jwt+Y) = exp(Y)
Elimination du temps soit par calcul de l'intégrale (pour obtenir la
valeur moyenne) soit par l'utilisation du produit conjugué.
Je me demande si c'est un classique?
--
StefJM
StefJM
>
> "StefJM" <ste...@caramail.com.invalid> a écrit dans le message de news:
> 471b5308$0$23332$426a...@news.free.fr...
>
>> Bonjour,
>> Je n'arrive plus à voir le lien théorique entre la valeur moyenne sur
>> une période du produit
>> cos(wt) cos(wt+Y)
>>
>> et la partie réelle de
>> e^(j(wt+Y)) e^(-jwt)
>>
>> Il y a égalité entre les deux, c'est facile à montrer.
>>
>> Je n'arrive plus à me souvenir de la théorie qui montre que c'est vrai
>> de façon générale. Je vois bien que dans le calcul, cela conduit à un
>> jwt-jwt qui se simplifie mais je n'arrive pas à faire le lien avec la
>> valeur moyenne.
>
> La valeur moyenne, c'est l'intégrale de l'expression sur la période T,
> divisée par T.
> Appliqué au produit des exponentielles, on trouve e^jY, d'où cos(jY)
> pour la partie réelle.
Cos(Y)
D'accord.
C'est le lien théorique entre valeur moyenne du produit de cos et le
produit des exp conjuguées qui m'échappe.
--
StefJM
A.J.
"StefJM" <ste...@caramail.com.invalid> a écrit dans le message de news:
Tout ce que je vois à dire, c'est que d'une part :
le produit cos(wt)cos(wt+Y) est égal à la somme :
(cos(2wt+Y) + cos(Y))/2
que la valeur moyenne du premier est nulle, celle
du second :
cos(Y)/2
c.à.d. non pas la partie réelle du produit des exponentielles mais la moitié
de ce produit...!
et que l'utilisation du produit de l'exponentielle par une conjuguée fait
disparaitre le terme en t
A.J.