cos(pi/9) cos(2pi/9) cos(4pi/9) = 1/8
Valeri Astanoff
Je sèche avec mon neveu sur la démonstration de cette identité.
Quelqu'un pourrait-il nous mettre sur la voie?...
Merci d'avance
v.a.
Immae
x r�el, �a fait quelques calculs mais �a marche.
Sinon, tu peux utiliser cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2, mais �a demandera
peut-�tre de calculer cos(pi/9) (� v�rifier, je n'ai pas essay�)
Cenekemoi
> Bonjour � tous,
>
> Je s�che avec mon neveu sur la d�monstration de cette identit�.
> Quelqu'un pourrait-il nous mettre sur la voie?...
par exemple : http://www.ilemaths.net/forum-sujet-120445.html
--
Cordialement, Thierry ;-)
Michaël Grünewald
> Bonjour � tous,
>
> Je s�che avec mon neveu sur la d�monstration de cette identit�.
Variante:
cos(2pi/9) cos(4pi/9) cos(8pi/9) = - 1/8
--
Amusez-vous bien,
Micha�l
Valeri Astanoff
> Bonjour à Valeri Astanoff <astan...@gmail.com> qui nous a écrit :
>
> > Bonjour à tous,
>
> > Je sèche avec mon neveu sur la démonstration de cette identité.
> > Quelqu'un pourrait-il nous mettre sur la voie?...
>
> par exemple :http://www.ilemaths.net/forum-sujet-120445.html
Merci pour le lien.
(le "membre geo3" est manifestement assez dégourdi en trigo!)
v.a.
Jules
peu artificielle,mais seulement en connaissant la formule
cos a cos b = 1/2 (cos(a+b) + cos(a-b))
cos Pi/9 cos 2Pi/9 cos 4Pi/9
= 1/2 (cos 5Pi/9 + cos Pi/3)* cos 2Pi/9
= 1/2 cos 5Pi/9 cos 2Pi/9 + 1/4 cos 2Pi/9
= 1/4 (cos 7Pi/9 + cos Pi/3) + 1/4 cos 2Pi/9
= 1/8 + 1/4 (cos 7Pi/9 + cos 2Pi/9)
= 1/8 puisque 7Pi/9 + 2Pi/9 = Pi.
Jules
Valeri Astanoff a �crit :
> Bonjour � tous,
>
> Je s�che avec mon neveu sur la d�monstration de cette identit�.
Denis Feldmann
polyn�me de Chebyshev qui va bien ( cos(9 Arc cos X) ici, si je ne
m'abuse), dont les racines sont les cos cherch�s, et se rappeler de la
formule donnant le produit des racines...
Michaël Grünewald
Ce genre d'explication est plus satisfaisante que les manipulations
trigonom�triques.
--
Micha�l
Cenekemoi
�crit :
> Quelque chose de plus abstrait, donc de plus g�n�ral : utiliser le
Encore faut-il le conna�tre et comme notre ami Valeri ne nous a pas
indiqu� le niveau d'�tudes de son neveu...
--
Cordialement, Thierry ;-)
Olivier
[...]
> Ce genre d'explication est plus satisfaisante que les manipulations
> trigonom�triques.
Sauf que la formeule de r�currence qui donne ces polyn�mes
est bas�e sur la formule d'addition -- C'est comme de d�montrer
le lemme de Rolle en utilisant les accroissements finis, ce truc --
A.O.
Michaël Grünewald
Ah, merci, je n'avais pas r�alis�. Mes derni�res rencontres avec les
polyn�mes de Cebycev sont assez lointaines, maintenant.
--
Micha�l
Denis Feldmann
> Micha�l Gr�newald a �crit :
> [...]
>> Ce genre d'explication est plus satisfaisante que les manipulations
>> trigonom�triques.
>
> Sauf que la formeule de r�currence qui donne ces polyn�mes
> est bas�e sur la formule d'addition --
en rempla�ant Y par sqrt(1-X^2)
C'est comme de d�montrer
> le lemme de Rolle en utilisant les accroissements finis, ce truc --
2) Euh, non, 2) parce qu'on n'explicite pas la factorisation du polyn�me
> A.O.
AP
"Michaël Grünewald" <michaelg...@yahoo.fr> a écrit dans le message de
news: 48da11e4$0$11224$426a...@news.free.fr...
> Valeri Astanoff wrote:
>> Bonjour à tous,
>>
>> Quelqu'un pourrait-il nous mettre sur la voie?...
>
> Variante:
>
> cos(2pi/9) cos(4pi/9) cos(8pi/9) = - 1/8
> --
> Amusez-vous bien,
on a aussi cos(2pi/7)cos(4pi/7)cos(6pi/7)=1/8 :
Soit T_n le poly de Tcheby ( cos(nArccos(x)) pour x dans [-1;1] ; ses
racines sont cos((2k-1)pi/(2n)) pour k=1, 2, n)
on considère T_4(cos(u)) - T_3(cos(u))=cos(4u)-cos(3u)
c'est facile de trouver les valeurs de u annulant cette expression
et on en déduit que 1, cos(2pi/7), cos(4pi/7), cos(6pi/7) sont
racines distinctes de T_4(X)-T_3(X)
or T_4-T_3=8X^4-4X^3-8X^2+3+1 est de degré 4
(note : en divisant par X-1 et en normalisant, on obtient le poly minimal
des trois nombres
cos(2pi/7), cos(4pi/7), cos(6pi/7))
on en déduit (produit des racines) que cos(2pi/7)cos(4pi/7)cos(6pi/7)=1/8
pour cos(2pi/9) cos(4pi/9) cos(8pi/9) = - 1/8
idem en considérant T_5-T_4 qui lui est de degré 5
Michaël Grünewald
> "Micha�l Gr�newald" <michaelg...@yahoo.fr> a �crit dans le message de
>>
>> cos(2pi/9) cos(4pi/9) cos(8pi/9) = - 1/8
Autrement, je suis tomb� sur cette relation en d�veloppant les cosinus
de Valeri en exponentielles complexes. On trouve 1/8 fois la somme des
racines 9�mes de l'unit� hormis 1.
--
Micha�l
Olivier
> Olivier a �crit :
>> Micha�l Gr�newald a �crit :
>> [...]
>>> Ce genre d'explication est plus satisfaisante que les manipulations
>>> trigonom�triques.
>>
>> Sauf que la formeule de r�currence qui donne ces polyn�mes
>> est bas�e sur la formule d'addition --
> Pas du tout, 1) on les calcule directement en d�veloppant (X+iY)^n, puis
> en rempla�ant Y par sqrt(1-X^2)
On peut gloser jusqu'� �coeurement sur quoi yen a �tre plus simple
que quoi. Je dis que conna�tre le coefficient constant du 9 i�me
polyn�me de Tchebyschev est plus compliqu� que les transformations
trigo �nonc�es, et que la formulation des formules d'addition en faisant
le produit de (X+iY)(X'+iY') est �quivalente en plus conceptuelle
et en plus compliqu�e � la formulation �l�mentaire.
C'est mon avis, donc on s'en fout, point.
O.
Denis Feldmann
> Denis Feldmann a écrit :
>> Olivier a écrit :
>>> Michaël Grünewald a écrit :
>>> [...]
>>>> Ce genre d'explication est plus satisfaisante que les manipulations
>>>
>>> Sauf que la formeule de récurrence qui donne ces polynômes
>>> est basée sur la formule d'addition --
>> Pas du tout, 1) on les calcule directement en développant (X+iY)^n,
>> puis en remplaçant Y par sqrt(1-X^2)
>
> On peut gloser jusqu'à écoeurement sur quoi yen a être plus simple
> que quoi. Je dis que connaître le coefficient constant du 9 ième
> polynôme de Tchebyschev est plus compliqué que les transformations
> trigo énoncées,
Non, ce coeff est cos(nArccos 0)=cos(n Pi/2). Si n =41, c'est donc -1 ;
je crains bien que la méthode que tu proposes soit nettement plus longue...
et que la formulation des formules d'addition en faisant
> le produit de (X+iY)(X'+iY') est équivalente en plus conceptuelle
> et en plus compliquée à la formulation élémentaire.
Mouais . Et que Euler, en posant exp(it)=cos t + i sint, disait qq chose
de plus conceptuel et de plus compliqué que la formulation élémentaire
> C'est mon avis, donc on s'en fout, point.
Ah, d'accord :-)...
> O.
