Fonction polynomiale ne produisant que des nombres premiers

ast

unread,

Sep 14, 2021, 11:01:01 AM9/14/21

to

Bonjour,

Selon cette page wikipédia

https://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_pour_les_nombres_premiers#Formules_exactes_simples

il est facile de montrer qu'il n'existe aucune fonction polynomiale non
constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs premières pour tous les
entiers n, ou même pour presque tous les n

une idée de la démo ?

Olivier Miakinen

unread,

Sep 14, 2021, 12:11:30 PM9/14/21

to

Une preuve donnée il y a quatre jours par Michael Penn :
<https://www.youtube.com/watch?v=SyrJD1zZwmQ&t=709s>.

En résumé, soit p = P(1) le nombre premier obtenu en calculant P(n) pour n = 1,
alors il prouve que quel que soit m entier la valeur P(1 + m.p) est un multiple
de p, nombre qui doit donc être égal à p si on suppose que tout P(n) est un
nombre premier.

Ce polynôme donne une infinité de valeurs égales à p, par conséquent ça ne peut
être qu'un polynôme constant.

--
Olivier Miakinen

HB

unread,

Sep 14, 2021, 1:01:26 PM9/14/21

to

Bonjour,

Je ne comprend pas pourquoi il limite son polynôme à F(X)
sum{k=1..n;a_k.X^k}

Rien n'interdit dans l'hypothèse de départ,
de commencer à k = 0...

L(hypothèse est aussi "F(X) est premier pour tout entier X".
(0 est compris)

Et donc ... on peut faire plus simple :

posons F(0) = p (qui est donc premier)

F(X) = p + a_1.X + .... + a_n.X^n

soit m un entier

F(m.p) = p + a_1.m.p + .... + a_n.(m.p)^n

F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m.
donc F(m.p) = p pour tout entier m
(puisqu'il doit aussi être premier)

La conclusion est immédiate :
l'équation F(X) = p ayant une infinité de solutions,
F est constant.

Amicalement,

HB

HB

unread,

Sep 14, 2021, 1:05:14 PM9/14/21

to

P.S. :
Pour remplacer "F(X) est premier pour tout entier X"
par "F(X) est premier pour presque tout entier X"
cela risque d'être plus lourd à mettre en forme...

HB

Olivier Miakinen

unread,

Sep 14, 2021, 2:07:12 PM9/14/21

to

Le 14/09/2021 19:01, HB a écrit :
>>
>> Une preuve donnée il y a quatre jours par Michael Penn :
>> <https://www.youtube.com/watch?v=SyrJD1zZwmQ&t=709s>.
>

> Je ne comprend pas pourquoi il limite son polynôme à F(X)
> sum{k=1..n;a_k.X^k}
>
> Rien n'interdit dans l'hypothèse de départ,
> de commencer à k = 0...

Je m'étais fait la même réflexion. Il en parle rapidement un peu plus
tard, en disant que ce terme disparait quand on fait la différence
P(n) - P(1) quel que soit n.

> L(hypothèse est aussi "F(X) est premier pour tout entier X".
> (0 est compris)

C'est un anglophone pour qui le terme « entier naturel » exclut 0.
Quand il veut parler des entiers positifs y compris 0, il n'écrit pas
« N » mais un truc du genre « Z≥0 ». Ça m'a longtemps surpris mais
maintenant je m'y suis habitué.

--
Olivier Miakinen

ast

unread,

Sep 15, 2021, 5:00:33 AM9/15/21

to

Effectivement, cette démonstration me parait à la fois
correcte et simple

HB

unread,

Sep 15, 2021, 6:07:38 AM9/15/21

to

Le 15/09/2021 à 11:00, ast a écrit :
(...)

>>
>> L(hypothèse est aussi "F(X) est premier pour tout entier X".
>> (0 est compris)
>>
>> Et donc ... on peut faire plus simple :
>>
>> posons F(0) = p (qui est donc premier)
>>
>> F(X) = p + a_1.X + .... + a_n.X^n
>>
>> soit m un entier
>>
>> F(m.p) = p + a_1.m.p + .... + a_n.(m.p)^n
>>
>> F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m.
>> donc F(m.p) = p pour tout entier m
>> (puisqu'il doit aussi être premier)
>>
>> La conclusion est immédiate :
>> l'équation F(X) = p ayant une infinité de solutions,
>> F est constant.
>>

>

> Effectivement, cette démonstration me parait à la fois
> correcte et simple
>

bonjour,

En fait, prouver que c'est valable avec

"F(X) est premier pour presque tout entier X"

n'est guère moins simple.

La "Presque" signifie que seul un nombre fini de valeurs X
telles que F(X) est non premier.
(notons A l'ensemble fini de ces X malchançeux)

il suffit lorsque que l'on arrive à

"F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m"

d'ôter les éléments de A à la suite des m.p

Il reste donc un ensemble infini de m.p avec
F(m.p) premier donc égaux à p.
Ce qui suffit.

cordialement,

HB

ast

unread,

Sep 15, 2021, 7:09:21 AM9/15/21

to

Je ne suis pas sur de ça.

"presque tous" veut dire tous sauf un ensemble de mesure nulle.
Mais sur les entiers je ne voyais pas trop ce que ça voulait dire.

Après quelques recherches, j'ai trouvé ceci:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_n%C3%A9gligeable#En_arithm%C3%A9tique

La notion de sous ensemble de N asymptotiquement dense est définie.
Un tel sous ensemble contient "presque tous" les entiers.

Un exemple: Presque tous les entiers naturels sont non premiers
bien que les nombres premiers soient en nombre infini.

HB

unread,

Sep 15, 2021, 12:41:53 PM9/15/21

to

Le 15/09/2021 à 13:09, ast a écrit :

>
> > La "Presque" signifie que seul un nombre fini de valeurs X
> > telles que F(X) est non premier.
>
> Je ne suis pas sur de ça.
>
> "presque tous" veut dire tous sauf un ensemble de mesure nulle.
> Mais sur les entiers je ne voyais pas trop ce que ça voulait dire.
>
> Après quelques recherches, j'ai trouvé ceci:
>
> https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_n%C3%A9gligeable#En_arithm%C3%A9tique
>
>
> La notion de sous ensemble de N asymptotiquement dense est définie.
> Un tel sous ensemble contient "presque tous" les entiers.
>
> Un exemple: Presque tous les entiers naturels sont non premiers
> bien que les nombres premiers soient en nombre infini.
>

Je me suis aussi posé la question mais finalement pour un ensemble
discret lui-même de mesure nulle (N) je ne voyais pas quel sens exact
donné à ça.

Il eut été plus simple et plus clair de dire, par exemple,
"sur une partie non bornée de N"
plutôt que "pour presque tout les entiers".

Si, en revanche, il faut l'interpréter par
"Sur une partie 'asymptotiquement dense' de N"
la démonstration va devenir nettement plus complexe ...

Si j'ai le temps, je tenterais d'y réfléchir.

Amicalement,

HB

unread,

Sep 16, 2021, 3:06:09 PM9/16/21

to

Si toutefois c'est encore valable...
Mais Cela semble probable puisque
l'ensemble des non-premiers est 'asymptotiquement dense'.

Quoi qu'il en soit, dans l'article de Wikipédia
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_pour_les_nombres_premiers

dans la partie "Formules exactes simples"

"presque tous" est interprété (y'a un lien) comme
sauf pour un nombre fini
(sur une partie cofinie de N)

dans la phrase
"... ainsi, il est facile de montrer qu'il n'existe aucune fonction

polynomiale non constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs

premières pour tous les entiers n, ou même pour _presque tous_ les n"

Le lien de "presque tous" arrive sur

"un sous-ensemble cofini X d'un ensemble Y est un sous-ensemble de Y
dont le complémentaire est fini"

Ce qui semble clore temporairement cette affaire.

Cordialement,

HB

HB

unread,

Sep 18, 2021, 6:00:32 AM9/18/21

to

Bonjour,

Je reviens à cette affaire de polynômes...
(histoire de proposer des questions plus en rapport avec les maths)

1°) Les preuves déjà évoquées (celle de M. Penn sur Youtube ou ma
version allégée) supposent que le polynôme est à coefs entiers
mais dans l'affirmation citée, ce n'est pas le cas.
D'ailleurs, un peu plus bas dans le même article de wikipédia,
un exemple est fourni avec un polynôme à coef rationnels
qui fournit 58 nombres premiers...

(On peut probablement exclure les coefs irrationnels mais je n'en suis
pas totalement certain.)

Mézalor, ces preuves ne marchent plus car pour dire que F(m.p) est un
multiple de p, on utilise (sans le dire) le fait que les coefs de F sont
entiers.
Il faut donc envisager quelque-chose de plus "fin" pour prouver cette
propriété...

2°) Peut-on aborder le cas où "presque tous" signifierait
"sur une partie asymptotiquement dense de ℕ" ?
(ce qui n'est visiblement pas le cas pour l'article cité en référence)

Si on a
une partie A de ℕ telle que :
card{k∈A : k ≤ n}/n → 1 (quand n → inf)

Et
un polynôme F (à coefs rationnels)
tel que , pour tout a de A, F(a) est un nb premier.

F est-il forcément constant ?

Amicalement,

HB

Samuel DEVULDER

unread,

Sep 18, 2021, 6:12:44 AM9/18/21

to

Le 18/09/2021 à 12:00, HB a écrit :
>
> Je reviens à cette affaire de polynômes...
> (histoire de proposer des questions plus en rapport avec les maths)

On peut aller plus loin que les polynômes avec les fractions continues
et la constante: 2.3130367364335829063839516 (https://oeis.org/A064442),
mais c'est de la triche car cela dit juste qu'un réel peut encoder
n’importe quelle suite d'entiers.

sam.

Olivier Miakinen

unread,

Sep 18, 2021, 7:12:40 AM9/18/21

to

Le 18/09/2021 12:00, HB a écrit :
>
> 1°) Les preuves déjà évoquées (celle de M. Penn sur Youtube ou ma
> version allégée) supposent que le polynôme est à coefs entiers
> mais dans l'affirmation citée, ce n'est pas le cas.
> D'ailleurs, un peu plus bas dans le même article de wikipédia,
> un exemple est fourni avec un polynôme à coef rationnels
> qui fournit 58 nombres premiers...

Il devrait être assez facile de montrer qu'un polynôme dont au moins
un coefficient est non entier donne une infinité de fois un résultat
non entier lorsque son paramètre parcourt les entiers, non ?

--
Olivier Miakinen

MAIxxxx

unread,

Sep 18, 2021, 11:10:16 AM9/18/21

to

Je me pose une question un peu différente. Pour une fonction polynomiale à
coefficients entiers combien de fois prend-elle une valeurs première quand la
variable décrit N ?
Y=x une infinité, y=x² aucune
y=x²+1 : x=2 x=4 x=6 x=10 x=14 x=16 x=20 x=24 x=26 ...x=110 x=116 x=120
x=124..x=126 x=130 etc.
à part 2 seuls les nombres x terminant par 0 4 et 6 sont possibles

--
Quand on veut tuer son chien ces temps-ci, on dit qu'il est antisémite.

serge bouc

unread,

Sep 19, 2021, 12:48:08 PM9/19/21

to

Le 18/09/2021 à 13:12, Olivier Miakinen a écrit :
>

> Il devrait être assez facile de montrer qu'un polynôme dont au moins
> un coefficient est non entier donne une infinité de fois un résultat
> non entier lorsque son paramètre parcourt les entiers, non ?
>

Bonjour,

Non : par exemple, le polynôme x(x-1)/2 ne prend que des valeurs
entières
pour x entier. Il y a d'ailleurs une théorie très riche des polynômes à
valeurs entières,
dont on trouvera une présentation succincte ici :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_%C3%A0_valeurs_enti%C3%A8res

Bien cordialement,
Serge.

Olivier Miakinen

unread,

Sep 19, 2021, 4:11:32 PM9/19/21

to

Le 19/09/2021 18:48, serge bouc a écrit :
>>
>> Il devrait être assez facile de montrer qu'un polynôme dont au moins
>> un coefficient est non entier donne une infinité de fois un résultat
>> non entier lorsque son paramètre parcourt les entiers, non ?
>

> Non : par exemple, le polynôme x(x-1)/2 ne prend que des valeurs
> entières pour x entier.

Exact. Merci pour cet exemple.

> Il y a d'ailleurs une théorie très riche des polynômes à
> valeurs entières,
> dont on trouvera une présentation succincte ici :
>
> https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_%C3%A0_valeurs_enti%C3%A8res

Super intéressant ! Du coup je suis bien content de ma question (dont la
réponse était non) grâce à ta réponse documentée.

--
Olivier Miakinen