Fonctions periodiques peu ordinaires
Olivier Miakinen
Je suis en train de lire un livre que je trouve passionnant (du moins
tant qu'il s'agit de sujets que je peux comprendre) : ￜ les contre-
exemples en mathￜmatiques ￜ, de Bertrand Hauchecorne.
Dans le sous-chapitre traitant des fonctions pï¿œriodiques, il donne
l'exemple d'une fonction pï¿œriodique non constante n'admettant pas de
plus petite pï¿œriode strictement positive, puis l'exemple d'une autre
fonction pï¿œriodique, laquelle n'est pas bornï¿œe. Ce que j'aimerais
savoir, c'est si on peut trouver un exemple de fonction pï¿œriodique
regroupant les deux caractï¿œristiques (non bornï¿œe *et* pas de plus
petite pï¿œriode strictement positive) ou bien si on peut prouver que
c'est impossible.
Pour info, voici les deux fonctions donnï¿œes par B. Hauchecorne.
1) Fonction pï¿œriodique non constante n'admettant pas de plus petite
pï¿œriode strictement positive
L'exemple donnￜ est la fonction de Dirichlet, dￜfinie sur IR par :
f(x) = 1 si x est rationnel ;
f(x) = 0 si x est irrationnel.
On peut montrer que toute pï¿œriode de la fonction est un rationnel et
que tout rationnel est une pï¿œriode de la fonction.
2) Fonction pï¿œriodique non bornï¿œe
L'exemple donnￜ est l'application dￜfinie de IR dans IR par :
f(x) = 1 si x = 0 ;
f(x) = 0 si x est rationnel ;
f(x) = q si x est un rationnel non nul, dont (p,q) est le reprï¿œsentant
irrï¿œductible tel que q est positif.
Ses pï¿œriodes sont les entiers relatifs, et elle n'est pas bornï¿œe car
pour tout entier n >= 1 on a f(1/n) = n.
Que pensez-vous de la possibilitￜ de trouver un exemple combinant les
deux caractï¿œristiques ?
Cordialement,
--
Olivier Miakinen
serge bouc
> Bonjour,
>
>
>
> Pour info, voici les deux fonctions donnï¿œes par B. Hauchecorne.
>
> 1) Fonction pï¿œriodique non constante n'admettant pas de plus petite
> pï¿œriode strictement positive
>
> L'exemple donnￜ est la fonction de Dirichlet, dￜfinie sur IR par :
> f(x) = 1 si x est rationnel ;
> f(x) = 0 si x est irrationnel.
> On peut montrer que toute pï¿œriode de la fonction est un rationnel et
> que tout rationnel est une pï¿œriode de la fonction.
>
> 2) Fonction pï¿œriodique non bornï¿œe
>
> L'exemple donnￜ est l'application dￜfinie de IR dans IR par :
> f(x) = 1 si x = 0 ;
> f(x) = 0 si x est rationnel ;
> f(x) = q si x est un rationnel non nul, dont (p,q) est le reprï¿œsentant
> irrï¿œductible tel que q est positif.
> Ses pï¿œriodes sont les entiers relatifs, et elle n'est pas bornï¿œe car
> pour tout entier n >= 1 on a f(1/n) = n.
>
>
> Que pensez-vous de la possibilitￜ de trouver un exemple combinant les
> deux caractï¿œristiques ?
>
> Cordialement,
Bonjour,
Voici peut ï¿œtre un tel exemple :
Soit t un irrationnel fixￜ. On dￜfinit f: R --> R ainsi :
1) f(x) = 0 si x n'est pas dans Q + Qt.
2) f(0) = 0.
3) f(p/q + u/v t) = q si p, q, u, v sont entiers, p/q irrï¿œductible,
et q>0.
Les pï¿œriodes de f devraient ï¿œtre les a + b t, pour a entier
et b rationnel, mais f n'est pas bornï¿œe, puisque f(1/n)=n.
Nicolas Richard
>
> L'exemple donnￜ est l'application dￜfinie de IR dans IR par :
> f(x) = 1 si x = 0 ;
> f(x) = 0 si x est rationnel ;
il faut lire "irrationnel", j'imagine
> f(x) = q si x est un rationnel non nul, dont (p,q) est le reprï¿œsentant
> irrï¿œductible tel que q est positif.
> Ses pï¿œriodes sont les entiers relatifs, et elle n'est pas bornï¿œe car
> pour tout entier n >= 1 on a f(1/n) = n.
Je trouve cet exemple compliquￜ pour ce ￜ quoi il sert. Un simple tan(x)
(ï¿œtendu par 0) me semble convenir (de pï¿œriode \pi).
> Que pensez-vous de la possibilitￜ de trouver un exemple combinant les
> deux caractï¿œristiques ?
Idï¿œe : tentons de faire en sorte que chaque rationnel soit une pï¿œriode.
* Considï¿œrer le quotient (en tant que groupes additifs) R/Q. Plus
prï¿œcisï¿œment, c'est l'ensemble des classes d'ï¿œquivalence de rï¿œels pour la
relation ~ dï¿œfinie par : r ~ s <=> r-s \in Q.
On a alors une application pi : R -> R/Q qui envoie un rï¿œel sur sa
classe d'ï¿œquivalence.
* Choisir F : R/Q -> R, non bornￜe (R/Q contient une infinitￜ
d'ï¿œlï¿œments, donc c'est faisable).
* Dï¿œfinir f(x) = F(\pi(x)).
Exemple, en pratique :
Soit f(x) dï¿œfini par
n si x s'ï¿œcrit n*\pi + q pour un entier n et un rationnel q,
0 sinon.
f est bien dï¿œfinie car :
n pi + q = m pi + r <=> (n-m) pi = r - q <=> n = m et r = q.
(pour tous n,m,r,q rationnels, en particulier aussi si n et m sont entiers)
Il me semble donc que ï¿œa marche.
--
Nico.
Olivier Miakinen
>
> Voici peut ï¿œtre un tel exemple :
>
> Soit t un irrationnel fixￜ. On dￜfinit f: R --> R ainsi :
> 1) f(x) = 0 si x n'est pas dans Q + Qt.
> 2) f(0) = 0.
> 3) f(p/q + u/v t) = q si p, q, u, v sont entiers, p/q irrï¿œductible,
> et q>0.
>
> Les pï¿œriodes de f devraient ï¿œtre les a + b t, pour a entier
> et b rationnel, mais f n'est pas bornï¿œe, puisque f(1/n)=n.
En remplaￜant (2) par ￜ f(0) = 1 ￜ, ou plutￜt par ￜ f(b.t) = 1 pour tout
b rationnel ￜ, ￜa me semble parfait, oui. Merci pour cet exemple, je
n'avais pas du tout pensￜ ￜ chercher ailleurs que dans Q lui-mￜme les
valeurs oￜ la fonction ne s'annule pas.
--
Olivier Miakinen
Olivier Miakinen
>
>> 2) Fonction pï¿œriodique non bornï¿œe
>>
>> L'exemple donnￜ est l'application dￜfinie de IR dans IR par :
>> f(x) = 1 si x = 0 ;
>> f(x) = 0 si x est rationnel ;
>
> il faut lire "irrationnel", j'imagine
Tu imagines fort bien, et l'erreur est de moi et pas de l'auteur du
livre. Dￜsolￜ, je croyais pourtant m'ￜtre relu.
>> f(x) = q si x est un rationnel non nul, dont (p,q) est le reprï¿œsentant
>> irrï¿œductible tel que q est positif.
>> Ses pï¿œriodes sont les entiers relatifs, et elle n'est pas bornï¿œe car
>> pour tout entier n >= 1 on a f(1/n) = n.
>
> Je trouve cet exemple compliquￜ pour ce ￜ quoi il sert. Un simple tan(x)
> (ï¿œtendu par 0) me semble convenir (de pï¿œriode \pi).
Oui, c'est vrai.
>> Que pensez-vous de la possibilitￜ de trouver un exemple combinant les
>> deux caractï¿œristiques ?
>
> Idï¿œe : tentons de faire en sorte que chaque rationnel soit une pï¿œriode.
>
> [...]
>
> Exemple, en pratique :
> Soit f(x) dï¿œfini par
> n si x s'ï¿œcrit n*\pi + q pour un entier n et un rationnel q,
> 0 sinon.
>
> [...]
ï¿œa me semble parfait aussi. Merci !
--
Olivier Miakinen
Olivier Miakinen
>>>
>>> L'exemple donnￜ est l'application dￜfinie de IR dans IR par :
>>> f(x) = 1 si x = 0 ;
>>> f(x) = q si x est un rationnel non nul, dont (p,q) est le reprï¿œsentant
>>> irrï¿œductible tel que q est positif.
>>
>> (ï¿œtendu par 0) me semble convenir (de pï¿œriode \pi).
>
> Oui, c'est vrai.
Aprï¿œs rï¿œflexion, je ne suis plus forcï¿œment d'accord. En effet,
l'ensemble IQ est plus facile ￜ dￜfinir que la fonction tan, et
je trouve beaucoup moins compliquￜ de calculer f(3/7) ou f(piￜ)
que tan(3/7) ou tan(piￜ).
--
Olivier Miakinen
Mehdi Tibouchi
>
> Apr�s r�flexion, je ne suis plus forc�ment d'accord. En effet,
> l'ensemble IQ est plus facile � d�finir que la fonction tan, et
> je trouve beaucoup moins compliqu� de calculer f(3/7) ou f(pi�)
> que tan(3/7) ou tan(pi�).
Et qu'en est-il au point e+pi�?
Eul_Bofo
> Olivier Miakinen wrote in message <4a4a8b0a$1...@meta.neottia.net>:
>>
>> Après réflexion, je ne suis plus forcément d'accord. En effet,
>> l'ensemble IQ est plus facile à définir que la fonction tan, et je
>> trouve beaucoup moins compliqué de calculer f(3/7) ou f(pi²) que
>> tan(3/7) ou tan(pi²).
>
> Et qu'en est-il au point e+pi ?
Tu connais tan(e), toi ?
Le contre-exemple du bouquin me semble intéressant parce qu'il montre
quelque chose de moins usuel que la fonction tangente à laquelle tout le
monde pense. Il doit pouvoir resservir ailleurs, ce qui est un des usages
de ce livre que je trouve aussi très intéressant.
Cela étant dit, je suis aussi d'accord avec le fait qu'on doit d'abord
chercher des (cotnre-)exemples simples avant de se ruer sur le
transcendant (zut, j'ai prononcé un déclencheur pour ce timbré de Mohwali
Awamar, il va falloir que je quitte temporairement la France pour éviter
le flood qui va suivre !!!).
\bye
--
Nicolas FRANCOIS | /\
http://nicolas.francois.free.fr | |__|
X--/\\
We are the Micro$oft. _\_V
Resistance is futile.
You will be assimilated. darthvader penguin
Olivier Miakinen
>>>
>>> Après réflexion, je ne suis plus forcément d'accord. En effet,
>>> l'ensemble IQ est plus facile à définir que la fonction tan, et je
>>> trouve beaucoup moins compliqué de calculer f(3/7) ou f(pi²) que
>>> tan(3/7) ou tan(pi²).
>>
>> Et qu'en est-il au point e+pi ?
>
> Tu connais tan(e), toi ?
Pas mieux. Je connais beaucoup plus de valeurs f(x) que tan(x). Je me
demande même s'il existe un seul réel x pour lequel je puisse donner
tan(x) mais pas f(x).
> Le contre-exemple du bouquin me semble intéressant parce qu'il montre
> quelque chose de moins usuel que la fonction tangente à laquelle tout le
> monde pense. Il doit pouvoir resservir ailleurs, ce qui est un des usages
> de ce livre que je trouve aussi très intéressant.
La meilleure preuve de ça, c'est justement que l'exemple proposé par
Serge Bouc est vraiment *très* proche de celui du bouquin, et que
l'exemple de Nicolas Richard n'en est pas très éloigné non plus.
> Cela étant dit, je suis aussi d'accord avec le fait qu'on doit d'abord
> chercher des (contre-)exemples simples avant de se ruer sur le
> transcendant
Oui.
> (zut, j'ai prononcé un déclencheur pour ce timbré de Mohwali
> Awamar, il va falloir que je quitte temporairement la France pour éviter
> le flood qui va suivre !!!).
Il n'y a pas de killfile dans Pan ???
--
Olivier Miakinen
Mehdi Tibouchi
>>
>> Tu connais tan(e), toi ?
>
> Pas mieux. Je connais beaucoup plus de valeurs f(x) que tan(x).
Je ne sais pas ce que vous appelez ��conna�tre��, l'un et l'autre, mais
je pense conna�tre tan(e), oui. Par exemple, je sais le calculer avec une
pr�cision aussi grande que je veux. Alors que f(e+pi), eh bien, je n'ai
aucun moyen algorithmique de savoir ne serait-ce que s'il est impair, ou
quoi que ce soit de ce genre (on ne peut obtenir que des informations
tr�s faibles, du type ��il ne vaut ni 1, ni 2, ni 3��).
Je ne dis pas n�cessairement que le contre-exemple cit� est inint�ressant
(il est m�me int�ressant pour d'autres raisons; par exemple l'ensemble de
continuit� de 1/f prolong�e par 0 o� il faut est remarquable). Mais la
question de savoir si un nombre est irrationnel est quand m�me tr�s
compliqu�e en g�n�ral.
Nicolas Richard
> (il est m�me int�ressant pour d'autres raisons; par exemple l'ensemble de
> continuit� de 1/f prolong�e par 0 o� il faut est remarquable).
On s'�carte un peu du sujet, mais qu'a-t-il de remarquable cet ensemble
de continuit� ? N'est-ce pas juste l'ensemble des irrationnels ?
(Il s'agit bien de la fonction f d�finie par
f(x) = 1 si x = 0
0 si x irrationnel
1/q si x=p/q irr�d, p,q entiers, q > 0
?)
--
Nico.
ast
"Nicolas Richard" <theonewith...@yahoo.fr> a �crit dans le message
de news:h2i5h7$224$1...@snic.vub.ac.be...
> Mehdi Tibouchi a �crit :
>> (il est m�me int�ressant pour d'autres raisons; par exemple l'ensemble de
>> continuit� de 1/f prolong�e par 0 o� il faut est remarquable).
>
> On s'�carte un peu du sujet, mais qu'a-t-il de remarquable cet ensemble de
> continuit� ? N'est-ce pas juste l'ensemble des irrationnels ?
Remarquable parce que pas �vident au premier coup d'oeil.
Mohwali Awamar
> Le Wed, 01 Jul 2009 00:18:39 +0200, Mehdi Tibouchi a écrit :
>
>
> Cela étant dit, je suis aussi d'accord avec le fait qu'on doit d'abord
> chercher des (cotnre-)exemples simples avant de se ruer sur le
> transcendant (zut, j'ai prononcé un déclencheur pour ce timbré de Mohwali
> Awamar, il va falloir que je quitte temporairement la France pour éviter
> le flood qui va suivre !!!).
Non , rassurez-vous.Je me contenterai de ce soupcon de question:"Qu
est ce qui impose l attribution de la valeur numérique 2Pi à l angle
plein."
Mohwali Awamar