Nombres premiers
corvin
Bonjour,
j'ai trouvé dans un livre le théorème suivant :
"Si p est premier, alors p divise [(p-1)! +1]"
J'aimerais savoir s'il existe une démonstration simple de ce théorème et si
oui si je pourrai en obtenir un exemple ici ou à cor...@infonie.fr.
Christia...@skynet.be
In article <894391528.692244@si1-paris>#1/1,
On peut le démontrer très rapidement si l'on sait ce qu'est un inverse
modulo p (si ce n'est pas le cas, se reporter à l'exemple *).
- Chaque élément de {1, 2, ...., p - 1} admet un et un seul inverse modulo p
- Or, les seuls éléments qui sont (toujours) leur propre inverse sont 1 et -1
(puisque les rechercher revient à résoudre sur le corps F l'équation
- 1 p
x = x , c-à-d x² = 1)
- Donc, dans le produit 1 . 2 . 3 . ... . (p-1), tous les facteurs "se
neutralisent deux à deux", à l'exception du premier et du dernier.
Ceci donne (p - 1)! = 1 * (p - 1) = -1 modulo p
* Exemple : p = 13
----------------
L'inverse de 1 modulo 13 est 1
2 7 : 2 * 7 = 1 modulo 13
3 9 : 3 * 9 = 1 modulo 13
4 10 : 4 * 10 = 1 modulo 13
5 8 : 5 * 8 = 1 modulo 13
6 11 : 6 * 11 = 1 modulo 13
12 12
Ainsi, modulo 13,
12! = 1 * (2 * 7 ) * (3 * 9) * (4 * 10) * (5 * 8) * (6 * 11) * 12
= 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 12
= 12
= -1,
ou encore 1 + 12! = 0 modulo 13
Signalons encore que cette propriété est une condition nécessaire ET
suffisante de primalité, mais que d'un strict point de vue algorithmique
(pour un programmeur, par exemple) cela n'est guère utile pour tester
de "gros" p. C'est l'intérêt théorique de la formule qui prévaut, sans
parler de sa beauté. A ma connaissance c'est Lagrange qui, le premier, a
pris la peine d'en écrire une démonstration rigoureuse, même si elle était
connue et utilisée bien auparavant.
Cordialement !
e-mail : Christia...@skynet.be
URL : http://users.skynet.be/radoux
(quand mon */!#§| de "provider" veut bien travailler...)
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Éric DÉTREZ
In article <894391528.692244@si1-paris>, "corvin" <cor...@infonie.fr> wrote:
> Bonjour,
> j'ai trouvé dans un livre le théorème suivant :
> "Si p est premier, alors p divise [(p-1)! +1]"
>
> J'aimerais savoir s'il existe une démonstration simple de ce théorème et si
> oui si je pourrai en obtenir un exemple ici ou à cor...@infonie.fr.
C'est le théorème de Wilson.
La réciproque est vraie aussi et simple à démontrer :
si p divise (p-1)!+1 (1+(p-1)!=k.p) alors tout diviseur de p inférieur
strictement à p divise p et (p-1)! donc divise k.p-(p-1)!=1
il est égal à 1
les seuls diviseurs de p sont 1 et p donc p est premier.
Le sens direct peut se prouver en travaillant sur l'anneau Z/pZ
qui est un corps si p est premier.
On regroupe les termes non nuls 2 à 2 en couplant x et x^(-1) qui sont
distincts si x n'est ni 1 ni -1 etc ...
Mais ce n'est surement une démonstration élémentaire.
--
---/ ---\ \ --------- | ----\ /-------/
/ __\ \ | | __/ /__ /
/ / / | | \ \ /
/-------/ \---- | -------- \ \--- /---
Gilles Robert
Christia...@skynet.be wrote:
>
> In article <894391528.692244@si1-paris>#1/1,
> "corvin" <cor...@infonie.fr> wrote:
> >
> > Bonjour,
> > j'ai trouvé dans un livre le théorème suivant :
> > "Si p est premier, alors p divise [(p-1)! +1]"
> C'est le théorème dit "de Wilson".
> On peut le démontrer très rapidement si l'on sait ce qu'est un inverse
> modulo p (si ce n'est pas le cas, se reporter à l'exemple *).
Quitte à travailler dans Fp, n'est-il pas plus simple de déduire
ce théorème de la nullité du polynome Prod_{k=0}^{p-1}(X-k) et
du petit théorème de Fermat X^p=X mod p ?
Ou alors j'ai loupé quelque chose.
Gilles.
Christia...@skynet.be
In article <35502BA6...@math.u-bordeaux.fr>#1/1,
Bien sûr c'est, stricto sensu, tout à fait juste, et je ne traite pas la
remarque de façon désinvolte.
Mais je maintiens mon "réflexe de prof." : je crois, peut-être à tort, avoir
saisi la demande d'un nouveau venu dans une matière, et qui en est au stade
le plus émouvant (désolé du pathos dû à mon incompétence littéraire, mais je
crois que le mot est juste), celui de la découverte. Ma réaction est alors
de toujours donner un texte aussi élémentaire que possible, mais laissant
deviner les portes à ouvrir. Je pense aussi les exemples nécessaires. D'où ce
exposé volontairement un peu hybride. Je concède que ce point de vue est très
subjectif et critiquable. Mais c'est le produit d'une expérience vécue
intensément avec mes étudiants et pas mal d'autres personnes. Une autre
remarque tout aussi discutable : je crois que les exposés "latins", de langue
française en particulier, sont souvent trop puristes, voire rigoristes. Je
vais encore sans doute me faire honnir par certains; mais l'approche anglo-
saxonne, souvent plus pragmatique, me semble plus efficace et, pout tout
dire, plus humaine. C'est aussi l'expérience d'un homme vivant dans un pays à
la croisée d'au moins trois cultures et qui les vénère toutes. C'est, à
nouveau, ce qui me rend incompréhensible l'esprit de chapelle de certains...
En tout cas, merci de la remarque.
Cordialement,
Christian
Johann Wattiez
Bonjour a tous,
Je serais interesse par une demonstration de
l'irreductibilite de X^n - X - 1 sur Q pour n entier quelconque ;
c'est bien connu pour n = p premier.
(Il parait que c'est vrai.)
--
-------------------------------------
Johann Wattiez <jwat...@ens-lyon.fr>
http://www.ens-lyon.fr/~jwattiez/
-------------------------------------
Olivier Miakinen
> In article <35502BA6...@math.u-bordeaux.fr>#1/1,
> Gilles Robert <rob...@math.u-bordeaux.fr> wrote:
> >
> > Quitte à travailler dans Fp, n'est-il pas plus simple de déduire
> > ce théorème de la nullité du polynome Prod_{k=0}^{p-1}(X-k) et
> > du petit théorème de Fermat X^p=X mod p ?
Christia...@skynet.be wrote:
>
> Bien sûr c'est, stricto sensu, tout à fait juste, et je ne traite pas la
> remarque de façon désinvolte.
> Mais je maintiens mon "réflexe de prof." : je crois, peut-être à tort, avoir
> saisi la demande d'un nouveau venu dans une matière, et qui en est au stade
> le plus émouvant (désolé du pathos dû à mon incompétence littéraire, mais je
> crois que le mot est juste), celui de la découverte. Ma réaction est alors
> de toujours donner un texte aussi élémentaire que possible, mais laissant
> deviner les portes à ouvrir. Je pense aussi les exemples nécessaires.
> (...)
Christian,
Je ne peux que t'approuver, moi qui lis le plus souvent ce forum avec
l'oeil du neophyte, au stade de la decouverte ! Je ne suis plus etudiant,
et je ne suis pas non plus prof de maths, mais j'aime bien les recreations
mathematiques.
Au fait, toi qui as la gentillesse de te mettre au niveau des amateurs,
pourrais-tu aussi nous parler du petit theoreme de Fermat que cite Gilles ?
--
o ATTENTION, notez ma nouvelle adresse : Olivier....@bull.net
o Vous pouvez m'ecrire avec des accents, mais j'ai du mal a en faire
autant avec mon clavier QWERTY. Pardon aux lecteurs francophones.
o Le meilleur produit du monde : http://www.openmaster.com
Christia...@skynet.be
In article <6iq8vl$j...@cri.ens-lyon.fr>,
vient est tout simplement que l'irréductibilité sur Q est équivalente à
l'irréductibilité sur Z.
Je suppose que ce qui est vraiment demandé à plutôt un rapport avec une
généralisation souhaitée du théorème d'Artin-Schreier, alors en
caractéristique p, effectivement...
(Voir par exemple le classique Serge Lang, "Algebra", éd. Addison-Wesley,
p. 215).
Cordialement !
e-mail : Christia...@skynet.be
URL : http://users.skynet.be/radoux
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Christia...@skynet.be
In article <3551DFE4...@bull.net>,
Bonjour, Olivier !
Ou plutôt re-bonjour : je t'ai répondu hier, mais rien n'est apparu. Ou bien
j'ai fait une fausse manoeuvre (pas impossible, mais peu probable ...), ou
bien les c... de Belgacom qui ont acheté Skynet (et ses abonnés; c'est ça le
"libéralisme" et sa "saine concurrence" !)ont, une fois de plus, tout
cochonné.
Je recommence donc.
Tout d'abord, merci pour ce gentil message; c'est très encourageant.
Le théorème cité par Gilles est une des merveilles de la théorie élémentaire
des nombres. J'en profite pour rappeler que si nous divergeons sans doute,
quant au mode d'exposé à un débutant, je suis par contre entièrement d'accord
avec Gilles sur le plan scientifique et trouve, là, sa remarque très
pertinente.
Voici l'énoncé.
Soient p un nombre premier et a un entier non multiple de p.
Alors
a^(p-1) = 1 modulo p
Je pourrais évidemment le démontrer en quelques mots : on regarde le groupe
*
multiplicatif cyclique engendré par a comme sous-groupe de F , puis on
p
invoque le théorème de Lagrange disant que le cardinal d'un sous-groupe d'un
groupe fini (abélien ou non) divise celui de ce groupe.
Pour un "pro", c'est évident. Pour un débutant qui cherche à pénétrer des
concepts nouveaux, je doute que ce soit éclairant.
Fidèle à mon point de vue, je vais donc tenter une approche plus intuitive,
mais qui fait réfléchir aux portes à ouvrir.
Regardons la table de multiplication modulo 7.
| 1 2 3 4 5 6
---------------
1| 1 2 3 4 5 6
2| 2 4 6 1 3 5
3| 3 6 2 5 1 4
4| 4 1 5 2 6 3
5| 5 3 1 6 4 2
6| 6 5 4 3 2 1
Comme dans tout groupe qui se respecte, chaque ligne est une permutation de
la première.
Le fait que 7 soit premier est ici capital (nouvelles portes à ouvrir : que
se passe-t-il si l'on travaille modulo 6 ou 10, par exemple; et que peut-on
alors sauver ?)
Choisissons donc par exemple la troisième ligne. Cela n'est pas grave : la
généralité du raisonnement transparaît toujours dans ce cas particulier.
On a donc, modulo 7
3 * 6 * 2 * 5 * 1 * 4 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 6!
En se rappelant l'origine de cette troisième ligne, cela s'écrit
3*1 * 3*2 * 3*3 * 3*4 * 3*5 * 3*6 = 6 !
Utilisons ici le caractère commutatif du produit modulo 7, pour regrouper les
facteurs 3 :
3^6 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 6!
3^6 * 6! = 6!
Mais 7, étant premier est sans aucun facteur commun avec 6!
Cela permet de simplifier par 6!, c-à-d en fait de multiplier par son inverse
modulo 7. Ainsi, finalement
3^6 = 1 (modulo 7, rappelons-le)
Le passage à a^(p-1) = 1 n'est maintenant plus qu'un exercice de style.
Notons encore qu'il existe d'autres démonstrations élémentaires, comme celle
basée sur le fait que les coefficients binomiaux de la ligne p (p premier)
sont tous divisibles par p, sauf bien sûr ses termes extrêmes, qui sont des
"1".
Avantage : on voit poindre le "calcul en caractéristique p".
Inconvénient : la structure de groupe est un peu occultée.
J'espère que ceci peut aider.
Désolé pour ce retard bien involontaire, et très cordialement,
Christian
e-mail : Christia...@skynet.be
URL : http://users.skynet.be/radoux
(quand ça marche; je ne rechante pas ma rengaine)
P.S. Fermat, bien que qualifié en substance par Pascal de meilleur
mathématicien de son temps, était aussi un "amateur". Quel beau mot : celui
qui aime...
Dominique Bernardi
In article (Dans l'article) <6itkfr$efj$1...@nnrp1.dejanews.com>,
Christia...@skynet.be wrote (écrivait) :
>Quelque chose m'échappe sans doute dans l'énoncé, car la première idée qui me
>vient est tout simplement que l'irréductibilité sur Q est équivalente à
>l'irréductibilité sur Z.
Oui, et l'irréductibilité sur Z, tu la démontres comment ?
--
Dominique Bernardi, Théorie des Nombres
Université Pierre & Marie Curie
4 place Jussieu - F75005 Paris Tél (33/0) 144275441
bern...@math.jussieu.fr
Nardelli Nicolas
bern...@math.jussieu.fr a écrit, le Sat, 09 May 1998 11:39:31 +0200 :
> Oui, et l'irréductibilité sur Z, tu la démontres comment ?
>
Vue la tête du polynôme, les candidats sont pas très nombreux : au pire,
0, 1, 2, 3 et leurs opposés. En traçant le graphe de la fonction (maximas,
minimas et points d'inflexion), ça doit se faire facile, mais j'ai pas le
temps.
Nico.
Antoine Chambert-Loir
In article <bernardi-090...@ext1.math.jussieu.fr>,
Dominique Bernardi <bern...@math.jussieu.fr> wrote:
>
>Oui, et l'irréductibilité sur Z, tu la démontres comment ?
>
L'article suivant peut aider.
95d:11146 11R09 12E05 12E10
Schinzel, Andrzej(PL-PAN)
On reducible trinomials. (English)
Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.) 329 (1993), 83 pp.
Ci-dessous, le review (en anglais, désolé...)
Let $K$ be a field. It is well known that a binomial $x\sp n+a\in K[x]$
is reducible iff it has the form $x\sp {pk}-b\sp p$ ($p$ prime) or
$x\sp {4k}+4b\sp 4$. In this treatise the reducibility of trinomials
$x\sp n+ax\sp m+b$ $(a,b\neq 0)$ is investigated. It turns out that
the situation is very complicated. A satisfactory answer is obtained
if $K$ is a rational function field. For algebraic function fields in
one variable and for algebraic number fields, less complete results are
proved. It is assumed throughout that the characteristic of $K$ does
not divide $mn(n-m)$.
It is easy to find trinomials with linear or quadratic factors. Table
1 of this paper provides additional families of reducible trinomials
if $(n,m)$ belongs to a list of 12 pairs, the largest being $(15,5)$.
Perhaps the simplest example is $$x\sp 6+4(v+1)x\sp 2-v\sp 2=(x\sp
3+2x\sp 2+2x-v)(x\sp 3-2x\sp 2+2x+v).$$ Every reducible trinomial
$f(x)=x\sp n+ax\sp m+b$ gives rise to additional examples by considering
$u\sp nf(x\sp l/u)$ (with $u\in K\sp \times$ and $l\geq 1$) or $x\sp
nf(1/x)/b$. Theorem 1 essentially states that every reducible trinomial
arises in this manner from the examples indicated before if $K$ is a
rational function field. (More precisely, it is assumed that $a\sp
{-n}b\sp {n-m}$ is not a constant.) Table 2 lists $7$ families of
reducible trinomials $x\sp n+A(v,w)x\sp m+B(v,w)$ with $(v,w)\in E(K)$,
where $A$, $B$ are polynomials over $\bold Z$ and $E$ is an elliptic curve
defined by an equation $z\sp 2=C(w)$, where $C$ is a monic polynomial over
$\bold Z$. The polynomials $A,B$ and the corresponding factorizations of
the trinomials are too complicated to be included in this review. (For
the largest pair $(n,m)=(21,7)$ the corresponding $A$ fills 10 lines in
the paper.) In Theorem 2 it is assumed that $K$ is a finite extension of
a rational function field $F(t)$ such that $\overline FK$ has genus $g>0$
and $a\sp {-n}b\sp {n-m}\notin \overline{F}$. If $g=1$ then there are no
additional examples of reducible trinomials. If $g>1$ then essentially
new examples with $n<24g$ may exist. Theorem 3 reduces the case
where $K$ is a finite separable extension of $F(t)$ and $a\sp {-n}b\sp
{n-m}\in\overline F$ to studying reducibility over $K\cap\overline F$. If
$K$ is an algebraic number field then for fixed $n$, $m$ a finite number
of essentially new examples of reducible trinomials $x\sp n+ax\sp m+b$
may exist (Theorem 6). The author conjectures that for every $K$ there
is only a finite number of these "sporadic trinomials". If the conjecture
holds then there exists a constant $c(K)$ such that every trinomial over
$K$ has an irreducible factor with at most $c(K)$ nonzero coefficients
(Consequence 2). Table 5 contains all 52 sporadic trinomials over
$\bold Q$ known to the author. Their degrees lie in the range from $8$
to $52$. The rest of the paper is devoted to studying the reducibility
of $ax\sp n+bx\sp m+c\in\bold Z[x]$. Theorem 9 (refining a result of
Nagell) derives necessary conditions, which in the case $(m,n)=1$ yield
an explicit bound for $b$ in terms of $a,c,m,n$. For every positive
integer $d$ there exist only finitely many $n,m,b$ with $n/(m,n)>d$
and $\vert b\vert >2$ such that $x\sp n+bx\sp m± 1$ has a factor of
degree $d$; and these can be effectively computed. Theorem 10 derives
necessary conditions from the existence of a factor (of $ax\sp n+bx\sp
m+c)$ of given degree $d$. These imply that there exists $n\sb 0(d)$ such
that $x\sp n+bx\sp m+1$ is irreducible if $n\geq n\sb 0(d)$, $n\neq 2m$,
$\vert b\vert >2$. By Theorem 8, for every $n$ there exist only finitely
many reducible trinomials $x\sp n+bx\sp m+1$ with $n\neq 2m$.
The proof of Theorem 10 does not depend on the other results of the paper.
The same applies to Theorem 9. All other theorems except for Theorem 3 are
based on lower estimates for the genus of certain function fields. These
estimates show that the existence of a factor of degree $k$ of $x\sp
n+ax\sp m+b\in K[x]$ imposes severe restrictions on $k,m,n,a,b$ provided
$K$ is a function field. The remaining cases are treated in a long series
of lemmas applying to every field $K$ whose characteristic does not divide
$mn(n-m)$. In several cases the proofs require extensive manipulations
(with polynomials in several variables) which were performed by means
of computer algebra systems. Faltings' theorem (solving Mordell's
conjecture) is invoked in the proof of Theorem 6 (dealing with number
fields). Theorems 7 and 8 (concerning $ax\sp n+bx\sp m+c\in\bold Z[x])$
are proved by using the corresponding theorems for rational function
fields together with a lemma which may be viewed as a refinement of
Hilbert's irreducibility theorem. The proof of this lemma is based on
Siegel's theorem (on integral points of curves of positive genus) and on
a result of Maillet (1919) dealing with rational functions over $\bold
Q$ taking infinitely many integral values at rational points.
\{Reviewer's remarks: In Theorem 2 the term $u\sp {\nu-µ}$ in the
expression for $B$ has to be replaced by $u\sp \nu$. The proof of Lemma
26 employs Lemma 2(c) although this lemma only applies to separable
extensions. In order to prove Lemma 49 one has to know that every finite
separable extension $L$ of $K(t)$ with $L\subseteq \overline K(t)$ is
contained in $K'(t)$ for some separable extension $K'$ of $K$. (One can
in fact prove that $L=K'(t)$ for suitable $K'$. This need not be true
for inseparable $L$.) The proof of Theorem 6 is apparently based on the
incorrect assumption that a divisor $P$ of a function field $L=K(t,y)$
has degree $1$ or is ramified with respect to $K(t)$ if $t$ and $y$
are congruent to elements of $K\bmod P$. In the proof of Theorem 10 it
is erroneously stated that for every $l\geq 1$ there exists $c>1$ such
that every algebraic number of degree $l$ has Mahler measure $>c$ unless
it is a root of unity. It is clear that this holds if one restricts to
algebraic integers. Unfortunately, the statement is applied to a number
which is not an algebraic integer.\}
Reviewed by G. Turnwald
--
Antoine
Christia...@skynet.be
In article <6j1dpj$s3m$1...@smilodon.ecp.fr>,
Nardelli Nicolas <nard...@puma.cti.ecp.fr> wrote:
>
> bern...@math.jussieu.fr a écrit, le Sat, 09 May 1998 11:39:31 +0200 :
> >
>
> 0, 1, 2, 3 et leurs opposés. En traçant le graphe de la fonction (maximas,
> minimas et points d'inflexion), ça doit se faire facile, mais j'ai pas le
> temps.
>
> Nico.
>
Mais je ne suis toujours pas sûr d'avoir bien compris l'énoncé initial.
Christian
Vincent Lefevre
In article <6j2it8$r10$1...@nnrp1.dejanews.com>,
<Christia...@skynet.be> wrote:
> C'était, très exactement, ce que je m'étais dit...
> Mais je ne suis toujours pas sûr d'avoir bien compris l'énoncé initial.
Un polynôme (non nul et non inversible) est irréductible lorsqu'il ne
peut pas se décomposer en un produit de deux polynômes non inversibles.
C'est différent de dire que le polynôme n'a pas de racine.
--
Vincent Lefevre <vlef...@ens-lyon.fr> | Acorn Risc PC, StrongARM @ 202MHz
WWW: http://www.ens-lyon.fr/~vlefevre/ | 20+2MB RAM, Eagle M2, TV + Teletext
PhD st. in Computer Science, 2nd year | Apple CD-300, SyQuest 270MB (SCSI)
-----------------------------------------------------------------------------
Christia...@skynet.be
In article <4843be4d9...@pm-vlefevre.ens-lyon.fr>,
référence au polynôme x^p - x - 1, pour lequel on a des résultats très
particuliers (théorème d'Artin-Schreier). Je me demandais et me demande
toujours s'il n'envisageait pas une généralisation (alors à préciser) du
théorème en question.
Christia...@skynet.be
Christia...@skynet.be
In article <4843be4d9...@pm-vlefevre.ens-lyon.fr>,
Vincent Lefevre <vlef...@ens-lyon.fr> wrote:
>
> In article <6j2it8$r10$1...@nnrp1.dejanews.com>,
> <Christia...@skynet.be> wrote:
>
> > C'était, très exactement, ce que je m'étais dit...
> > Mais je ne suis toujours pas sûr d'avoir bien compris l'énoncé initial.
>
> Un polynôme (non nul et non inversible) est irréductible lorsqu'il ne
> peut pas se décomposer en un produit de deux polynômes non inversibles.
> C'est différent de dire que le polynôme n'a pas de racine.
>
> --
> Vincent Lefevre <vlef...@ens-lyon.fr> | Acorn Risc PC, StrongARM @ 202MHz
> WWW: http://www.ens-lyon.fr/~vlefevre/ | 20+2MB RAM, Eagle M2, TV + Teletext
> PhD st. in Computer Science, 2nd year | Apple CD-300, SyQuest 270MB (SCSI)
>
-----------------------------------------------------------------------------
>
racines dans Z, la question serait carrémént triviale. Ce que je voulais
dire est tout autre chose, que voici. L'auteur de la question se réfère au
polynôme x^p-x-1 (p premier) qui possède d'autres propriétés bien plus
particulières, comme celles données par le théorème d'Artin-Schreier.
Je me demandais donc ce qu'il désire vraiment avant de me lancer
éventuellement dans les calculs .
Cordialement !
Vincent Lefevre
In article <6j3nec$u30$1...@nnrp1.dejanews.com>,
<Christia...@skynet.be> wrote:
> Ce que je voulais dire est tout autre chose : l'auteur de la question faisait
> référence au polynôme x^p - x - 1, pour lequel on a des résultats très
> particuliers (théorème d'Artin-Schreier). Je me demandais et me demande
> toujours s'il n'envisageait pas une généralisation (alors à préciser) du
> théorème en question.
Il dit quoi ce théorème?
Dominique Bernardi
In article (Dans l'article) <6j3nec$u30$1...@nnrp1.dejanews.com>,
Christia...@skynet.be wrote (écrivait) :
>In article <4843be4d9...@pm-vlefevre.ens-lyon.fr>,
> Vincent Lefevre <vlef...@ens-lyon.fr> wrote:
>>
>> In article <6j2it8$r10$1...@nnrp1.dejanews.com>,
>> <Christia...@skynet.be> wrote:
>>
>> > C'était, très exactement, ce que je m'étais dit...
>> > Mais je ne suis toujours pas sûr d'avoir bien compris l'énoncé initial.
>>
>> Un polynôme (non nul et non inversible) est irréductible lorsqu'il ne
>> peut pas se décomposer en un produit de deux polynômes non inversibles.
>> C'est différent de dire que le polynôme n'a pas de racine.
>>
>> --
>> Vincent Lefevre <vlef...@ens-lyon.fr> | Acorn Risc PC, StrongARM @ 202MHz
>> WWW: http://www.ens-lyon.fr/~vlefevre/ | 20+2MB RAM, Eagle M2, TV + Teletext
>> PhD st. in Computer Science, 2nd year | Apple CD-300, SyQuest 270MB (SCSI)
>>
>-----------------------------------------------------------------------------
>Ce que je voulais dire est tout autre chose : l'auteur de la question faisait
>référence au polynôme x^p - x - 1, pour lequel on a des résultats très
>particuliers (théorème d'Artin-Schreier). Je me demandais et me demande
>toujours s'il n'envisageait pas une généralisation (alors à préciser) du
>théorème en question.
La question initiale était parfaitement précise et claire: Le polynôme
x^n - x - 1 est-il irréductible sur Q, pour tout n dans N. Il indiquait
savoir que c'était vrai dans le cas où n était premier, et croire que ça
l'était dans le cas général, sans connaître de démonstration.
Christia...@skynet.be
In article <4843f8ded...@pm-vlefevre.ens-lyon.fr>,
Vincent Lefevre <vlef...@ens-lyon.fr> wrote:
>
> In article <6j3nec$u30$1...@nnrp1.dejanews.com>,
> <Christia...@skynet.be> wrote:
> > Ce que je voulais dire est tout autre chose : l'auteur de la question
faisait
> > référence au polynôme x^p - x - 1, pour lequel on a des résultats très
> > particuliers (théorème d'Artin-Schreier). Je me demandais et me demande
> > toujours s'il n'envisageait pas une généralisation (alors à préciser) du
> > théorème en question.
>
>
> Vincent Lefevre <vlef...@ens-lyon.fr> | Acorn Risc PC, StrongARM @ 202MHz
> WWW: http://www.ens-lyon.fr/~vlefevre/ | 20+2MB RAM, Eagle M2, TV + Teletext
> PhD st. in Computer Science, 2nd year | Apple CD-300, SyQuest 270MB (SCSI)
>
-----------------------------------------------------------------------------
>
Voici l'énoncé en question (traduit littéralement de, par exemple, Serge
Lang).
Soit k un champ de caractéristique p.
Soit K une extension cyclique, de degré p, de k.
- Alors, il existe alpha dans K tel que K = k(alpha),
vérifiant l'équation X^p -X - a = 0 pour un certain a dans k.
- Réciproquement, soit a dans k.
Le polynôme X^p - X - a
- ou bien possède une racine dans k (auquel cas il les a toutes)
- ou bien est irréductible (auquel cas, si alpha en est racine, alors
k(alpha) est cyclique de degré p sur k).
La démonstration utilise (habilement) les techniques habituelles de la
théorie de Galois pour l'extension K/k.
Ce que je n'ai pas compris dans l'énoncé originel de la question est ceci :
- Ou bien il s'agit vraiment de l'irréductibilité sur Q. Mais alors autant
parler tout de suite de l'irréductibilité SUR Z. Dans ce cas, je devrais,
avec beaucoup de persévérance, retrouver dans mon foutoir, un vieil exposé du
séminaire Delange-Pisot-Poitou qui répondait à la question (avec des
théorèmes de Schinzel comme celui qui a déjà été cité). Il faudrait que j'en
sois certain pour passer des heures à fouiller dans ledit foutoir.
- Ou bien, comme je le soupçonne, ce qui est désiré est une généralisation,
en une direction que par contre je vois mal, du théorème que je viens de
rappeler.
Je ne suis toujours pas sûr de la question. Dans les deux cas, elle est bien
sûr non triviale...
Cordialement !
Christian
P.S. 1 J'ai utilisé, il y a environ vingt ans, ce théorème d'Artin-Schreier,
dans deux notes aux C.R.A.S. de Paris pour donner une vision algébrique
directe de certaines congruences relatives aux nombres de Bell.
P.S. 2 Désolé pour les trois messages précédents "en rafale". Belgacom a
encore merdé, mais je ne veux pas bassiner le monde davantage avec ces
problèmes.
Nardelli Nicolas
Christia...@skynet.be a écrit, le Sun, 10 May 1998 17:27:13 GMT :
> Bonjour, Vincent !
>
> Voici l'énoncé en question (traduit littéralement de, par exemple, Serge
> Lang).
>
> Soit k un champ de caractéristique p.
Bon, tout le monde aura lu "corps" à la place de "champ". Est-ce que le
traducteur a déjà fait des maths ?
> Soit K une extension cyclique, de degré p, de k.
> - Alors, il existe alpha dans K tel que K = k(alpha),
> vérifiant l'équation X^p -X - a = 0 pour un certain a dans k.
> - Réciproquement, soit a dans k.
> Le polynôme X^p - X - a
> - ou bien possède une racine dans k (auquel cas il les a toutes)
> - ou bien est irréductible (auquel cas, si alpha en est racine, alors
> k(alpha) est cyclique de degré p sur k).
>
> La démonstration utilise (habilement) les techniques habituelles de la
> théorie de Galois pour l'extension K/k.
>
> Ce que je n'ai pas compris dans l'énoncé originel de la question est ceci :
>
> - Ou bien il s'agit vraiment de l'irréductibilité sur Q. Mais alors autant
> parler tout de suite de l'irréductibilité SUR Z. Dans ce cas, je devrais,
Je pense que la source de tes difficultés vient de la confusion suivante:
Il n'y pas d'équivalence entre "etre irréductible sur Z" et "n'avoir
aucune racine dans Z".
En effet, prenons l'exemple du polynome : T^4 + 2*T^2 + 1.
Il n'a pas de racines sur Z, ni Q, ni R d'ailleurs (toujours strictement
positif). En revanche, il se factorise aisément :
T^4 + 2*T^2 + 1 = ( T^2 + 1 )^2 : donc il n'est pas irréductible.
[ Mais comme je n'ai pas compris où était la question dans le lot, je peux
me tromper ]
N'empeche, le résultat est rigolo (me plait bien, du moins). Il prouve
tout simplement que dans le corps de cardinal p^p (assimilable à
K=k\(p-1)[X]), il y a X (dans K) et a (dans k) tels que X^p + X + a = 0.
Bon, comme je bosse sur Z/2Z, c'est pas trop intéressant ( X^2=X+1 :
bof!), mais j'apprécie)
Nico.
Christia...@skynet.be
In article <4843f8ded...@pm-vlefevre.ens-lyon.fr>,
Vincent Lefevre <vlef...@ens-lyon.fr> wrote:
>
> In article <6j3nec$u30$1...@nnrp1.dejanews.com>,
> <Christia...@skynet.be> wrote:
> > Ce que je voulais dire est tout autre chose : l'auteur de la question
faisait
> > référence au polynôme x^p - x - 1, pour lequel on a des résultats très
> > particuliers (théorème d'Artin-Schreier). Je me demandais et me demande
> > toujours s'il n'envisageait pas une généralisation (alors à préciser) du
> > théorème en question.
>
> Il dit quoi ce théorème?
>
> --
> Vincent Lefevre <vlef...@ens-lyon.fr> | Acorn Risc PC, StrongARM @ 202MHz
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> PhD st. in Computer Science, 2nd year | Apple CD-300, SyQuest 270MB (SCSI)
>
-----------------------------------------------------------------------------
>
Soit k un champ de caractéristique p.
- Soit K une extension cyclique de k de degré p. Alors, il existe alpha dans
K tel que K = k(alpha), alpha vérifiant l'équation X^p - X - a, pour un
certain a dans k.
- Réciproquement, soit a dans k. Alors, ou bien le polynôme X^p - X - a
possède une racine dans k (auquel cas il les y a toutes), ou bien il est
irréductible sur k (auquel cas, si alpha est racine, k(alpha) est cyclique de
degré p sur k).
P.S. 1. J'ai utilisé, il y a plus de vingt ans, ce théorème dans deux notes
aux C.R.A.S. de Paris pour donner une vision algébrique directe de
congruences vérifiées par les nombres de Bell.
P.S. 2. Ce que je comprends pas bien dans la question initiale est ceci :
- ou bien il s'agit vraiment de l'irréductibilité sur Z (mais alors le détour
par Q est inutile)
- ou bien, vu la parenté entre X^n - X - 1 et X^p - X - 1, et compte tenu
justement des allusions au cas p, c'est une généralisation (alors à préciser)
du théorème d'Artin-Schreier qui est demandée.
Quoi qu'il en soit, la question n'est pas triviale.
Cordialement !
Langevin Philippe
Et donc ? Qu'en est-il ? Pour l'instant, au travers des
differentes reponses, personne n'a confirme cet enonce !
--
Philippe Langevin,
http://www.univ-tln.fr/~langevin/