e^(iX) = cos X + isinX ?????
Nicolas Martinelli
--------------------------------------
Comment le prouve t-on?
fabien
et sin X 1/2i*(e^(iX)+e^(-iX))
En simplifiant on obtient le résultat
fabien
rectif: sin X =1/2i*(e^(iX)-e^(-iX))
fabien
Cyril
ouais enfin on tourne un peu en rond parce que les formules
dont tu parles se déduisent de e^ix = cos x + i sin x ...
En fait il suffit de partir de l'expression de exp, cos et sin
en séries entières et la formule se voit tout de suite
(exp x = somme (n=0,+inf, x^n / n!) , etc.... )
Et pour démontrer l'écriture en séries entières de ces
fonctions, ça se fait facilement à l'aide de l'inégalité de
Taylor-Lagrange
Mohamed Mekoui
Nicolas Martinelli a écrit:
> e^(iX) = cos X + i.sin X
> --------------------------------------
> Comment le prouve t-on?
On considère la fonction f: f(X) = cos X + i.sinX (définie du IR)
On dérive f (dérivable sur IR):
f'(x)= - sinX + i.cosX
= i ( i.sin X+cos X) , car i^2= -1
= i.f(X)
donc f'(X) - i.f(X)=0
<=> y' - a.y =0, avec a = i
On résoud l'équation différentielle:
Les solutions sont les fonctions de la forme f(X)=k*e(aX) c'est-à-dire
f(X)=e(iX) (avec k=1)
d'où cos X + i.sin X = e^(iX)
Pascal Cabaud
>
> e^(iX) = cos X + i.sin X
> --------------------------------------
> Comment le prouve t-on?
avec des series entieres. developpe le membre de gauche, prend les
parties Re et Im... c'ets magique, ca tombe tout seul !
pc
Marc Pichereau
<nicolas.m...@wanadoo.fr> wrote:
>e^(iX) = cos X + i.sin X
>--------------------------------------
>Comment le prouve t-on?
>
un cheminement ...théorique :
on définit e^z comme la somme de la série entière z^n/n!
absolument convergente pour tout z dans C
e^(z1+z2)=e^z1*e^z2 (produit de 2 séries absolument convergentes )
on pose alors pour tout x réel cosx=partie réelle de e^(ix)
sinx=partie imaginaire de e^(ix)
(ce qui correspond aux formules que tu cites)
mais tout le pb est alors de prouver que ces fonctions cos et sin
ainsi définies sont bien celles définies par exemple en seconde puis
approndies en première
par exemple :
on a tout de suite les développements en série entière des fonctions
cos et sin ainsi définies
ce qui donne la parité de ces fonctions
et aussi la continuité et la dérivabilité sur R (avec les formules
habituelles)
on peut vérifier que e^(-ix) est le conjugué de e^(ix)
(on connaît les parités)
et donc le module carré de e^(ix)est e^(ix)*e^(-ix)=e^0=1
et (cosx)^2+(sinx)^2=1
donc cos et sin sont entre -1 et 1 et cos0=1 et sin0=0
les formules cos(a+b) et sin(a+b) se déduisent de
e^(i(a+b))=e^(ia)*e^(ib)
le plus délicat est de justifier qu'elles sont de périodes 2pi
mais ca se fait :
on justifie par exemple qu'il existe t dans ]0;2[ tel que cost=0
(car cos continue sur cet intervalle et cos0>0 et cos2<0 )
puis on considère le plus petit u dans ]0;2[ tel que cosu=0
on aura donc sinu=0
et avec les formules cos(a+b) et sin(a+b) on obient la période 4*u
et il reste, à vrai dire, à justifier que 2*u est bien le rapport
entre le périmètre d'un cercle et son diamètre pour pouvoir poser
pi=2*u
*****************
Pichereau Alain
adresse mail antispam : ôter antispam et les 3 lettres devant wana
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
*****************
Goofy
Sinon en passant par les dévelopements en série entière de sin et cos et exp
Sinon une autre démo du niveau de TS :
ca revient à prouver ix = ln( cosx + i sinx)
on dérive les deux côtés sans trop faire gaffe aux cplx (bon la rigeur...)
i = (i*cosx - sinx)/(cosx + i sinx)
i = (i*cos x - sinx)(cosx - i sinx) / (cos²x+sin²x)
(multipli le dénom par le conjugué)
i = i(cos²x + sin²x) , CQFD
Nicolas Martinelli <nicolas.m...@wanadoo.fr> a écrit dans le message :
8ja897$27u$1...@wanadoo.fr...
Mehdi TIBOUCHI
> Et pour démontrer l'écriture en séries entières de ces
> fonctions, ça se fait facilement à l'aide de l'inégalité de
> Taylor-Lagrange
Ah non, c'est là que l'on va tourner en rond. Le développement en série
de exp, sin ou cos sont leur _définition_.
--
M. TIBOUCHI <med...@club-internet.fr>
"Is the dark side stronger?"
"No Luke, quicker, easier, more seductive."
Cyril
Je suis d'accord, mais si on part des définitions connues en terminale
on peut retrouver les développements en série à partir des dérivées
de exp, sin et cos, dérivées que l'on sait calculer en Term S
(en principe....). Bon c'est vrai on ne connait pas la formule de
Taylor en terminale mais il ne faut pas faire beaucoup d'efforts pour
la démontrer ...
Clement dSP
> on peut retrouver les développements en série à partir des dérivées
> de exp, sin et cos, dérivées que l'on sait calculer en Term S
> (en principe....).
Bah non, justement. Toutes les formules de dérivées
que l'on sait calculer en Terminale nécessitent
d'admettre au préalable (c'est fait en 1ère)
que sin(x) ~ x en 0 et (ou ?) 1-cos(x) ~ 1/2 x^2 en 0.
On tourne en rond, quoi...
--
Clement.
Cyril
Pas vraiment puisqu'on peut démontrer ces équivalences
à partir des définitions géométriques de sin et cos.
Je n'invente rien : ma prof nous l'a fait quand j'étais en
première .... ( on peut faire des encadrements de sin
et cos en regardant sur le cercle trigo)
C'est vrai que c'est joli de définir le sin à partir des séries
entières, de démontrer alors qu'il est 2-pi périodique, etc...
(même si je ne vois absolument pas comment on peut faire
ça...) mais je trouve que c'est quand même un peu artificiel
Cyril
Clement dSP
> à partir des définitions géométriques de sin et cos.
Et elles te paraissent rigoureuses, ces définitions ?
> C'est vrai que c'est joli de définir le sin à partir des séries
> entières, de démontrer alors qu'il est 2-pi périodique, etc...
> (même si je ne vois absolument pas comment on peut faire
> ça...) mais je trouve que c'est quand même un peu artificiel
Tu préfère pipoter des longueurs d'arcs ?
--
Clement.
Lavau
>En Terminale on l'admet !!!
Oui, mais on peut quand même en donner une explication.
Si f(x) = cos(x) + i sin(x), alors les formules de trigo permettent de
remarquer que f(x) f(y) = f(x+y). Autrement dit, f se comporte comme
une exponentielle et il est naturel de chercher un nombre k tel que
f(x) = exp(kx).
La question est alors : quelle valeur attribuer à k ? Il peut y avoir
plusieurs arguments, mais tous sont basés sur l'extension des
propriétés de l'exponentielle réelle au domaine complexe :
Ex : la dérivée de exp(kx) est k exp(kx).
Or la dérivée de f(x) est - sin(x) + i cos(x) = i f(x),
donc k= i
Voici, petits veinards ;-), une des démonstrations d'Euler :
Euler prend un nombre n infiniment grand et écrit que
exp(z) = (1 + z/n)^n
Euler considère alors la formule de Moivre avec
cos(z) + i sin(z) = cos(nw) + i sin(nw) = (cosw + i sinw)^n
où w est égal à z/n
w étant infiniment petit, Euler pose cosw = 1 et sinw = w ce qui lui
donne :
cos(z) + i sin(z) = (1 + iw)^n = (1 + iz/n)^n = exp(iz)
CQFD (sic !)
Joli, non ? ;-)
Lavau
http://perso.wanadoo.fr/lavau/homepage.htm
Julien Mary
>
>
>
> Je suis d'accord, mais si on part des définitions connues en terminale
> on peut retrouver les développements en série à partir des dérivées
> de exp, sin et cos, dérivées que l'on sait calculer en Term S
> Taylor en terminale mais il ne faut pas faire beaucoup d'efforts pour
> la démontrer ...
Y'a-t-il vraiment des choses qui soient définies correctement en
terminale ?
Regis Decamps
|C'est vrai que c'est joli de définir le sin à partir des séries
|entières, de démontrer alors qu'il est 2-pi périodique, etc...
|(même si je ne vois absolument pas comment on peut faire
|ça...)
C'est la définition de Pi... (à peu de choses près)
Régis
Cordialement,
Régis Décamps
Regis Decamps
a écrit :
Désolé, j'ai dit n'importe quoi.
La définition de Pi proposée par ARNAUDIES et FRAYSSE et à laquelle je
pensais pose pi le double de l'unique racine w de l'équation cos(w)=0
comprise entre 0 et 2. (l'existence et l'unicité d'une telle racine
n'est pas triviale)
Quant à la 2pi-périodicté de x->exp(ix), elle est loin d'être
évidente.
Cordialement,
Régis Décamps
benoit.dissert
Julien Mary <julie...@free.fr> a écrit :
> Y'a-t-il vraiment des choses qui soient définies correctement en
> terminale ?
C'est quoi une définition correcte ? On peut à la limite dire qu'une
définition est plus correcte qu'une autre, mais dans l'absolue une
définition correcte ça ne me semble pas exister (toutes se mordent la
queue).
Benoît
benoit.dissert
Regis Decamps <Re...@mail.dotcom.fr> a écrit :
> La définition de Pi proposée par ARNAUDIES et FRAYSSE et à laquelle
je
> pensais pose pi le double de l'unique racine w de l'équation
cos(w)=0
> comprise entre 0 et 2. (l'existence et l'unicité d'une telle racine
> n'est pas triviale)
>
> Quant à la 2pi-périodicté de x->exp(ix), elle est loin d'être
> évidente.
Mais si elle est évidente : exp(i(x+2pi))=exp(ix)exp(i2pi) d'après le
produit de Cauchy appliqué à la série entière définissant
l'exponentielle.
Et exp(2i.pi) =exp(i.pi/2)^4.
Mais comme cos(pi/2)=0, sin(pi/2)=1 ou -1. Donc exp(2i.pi)=i^4 ou
(-i)^4. C'est-à-dire 1 dans les deux cas.
Benoît
Wiliam WU
| Mais comme cos(pi/2)=0, sin(pi/2)=1 ou -1. Donc exp(2i.pi)=i^4 ou
| (-i)^4. C'est-à-dire 1 dans les deux cas.
sin(pi/2) peut être égal à -1 ?
--
Amicalement,
William.
Regis Decamps
En particulier pour pi/2, comme par définition cos(pi/2)=0, on en déduit que
nécessairement sin(pi/2) est égal à 1 ou à -1.
Cela permet de démontrer que x->exp(ix) est 2pi-périodique.
Benoît n'a jamais écrit que sin(pi/2) pouvait être égal à -1 ; il a écrit
que sin(pi/2) était nécessairement dans l'ensemble {-1;1}.
Quand j'écris "Pi est nécessairement un réel", cela ne veut pas dire que Pi
peut être égal à n'importe quel réel...
--
Cordialement,
Régis Décamps
- - - - -
Le meilleur moteur de recherche s'appelle www.google.com
benoit.dissert
> benoit....@wanadoo.fr a pianoté...
> | Mais comme cos(pi/2)=0, sin(pi/2)=1 ou -1. Donc exp(2i.pi)=i^4 ou
> | (-i)^4. C'est-à-dire 1 dans les deux cas.
>
> sin(pi/2) peut être égal à -1 ?
Régis Decamps a répondu très justement avant moi, je vais tout de même
préciser.
On supposait que pi etait le plus petit réel strictement positif tel
que cos(pi/2)=0.
Mais on sait aussi que cos(x)^2+sin(x)^2=1 pour tout x réel, car c'est
le carré de |exp(ix)|. Donc le premier terme du premier membre est nul
pour x=pi/2, donc sin(pi/2)^2=1, donc sin(pi/2)=1 ou -1. Pour
l'instant je n'en sais pas plus.
Evidement par la suite, on se rend compte que sin est croissante sur
[-pi/2;pi/2], donc il n'y a plus de confusion possible, mais à ce
niveau de la démonstration c'est prématuré.
Voilà voilà.
Benoît