lim n sin(2pi exp(1) n!) ?

[Samuel DEVULDER]

Bon, je forum est un peu endormi aussi je vous propose un petit exercice
qui m'a été inspiré par les vidéos de Michael Penn que je trouve fort
intéressantes (mais trichez pas, hein ;) )

Sauriez vous calculer:

| lim n sin(2pi exp(1) n!)
| n->oo

En déduire que exp(1) est irrationnel.

sam.

[Olivier Miakinen]

Bonjour,

Le 18/08/2021 à 15:24, Samuel DEVULDER a écrit :
>
> Sauriez vous calculer:
>
> | lim n sin(2pi exp(1) n!)
> | n->oo
>
> En déduire que exp(1) est irrationnel.

Yn cerzvèer cnegvr zr frzoyr nffrm qvssvpvyr, nybef wr invf pbzzrapre
cne yn qrhkvèzr.

Fhccbfbaf dhr rkc(1) fbvg engvbaary. Ba crhg nybef y'épever rkc(1)=n/o.
Ba n nybef rkc(1)×o! = n×(o-1)! dhv rfg ha ragvre, rg cbhe gbhg a > o
rkc(1)×a! = n×(o-1)!×(o+1)×...×a dhv rfg nhffv ha ragvre. Cne pbafédhrag
à cnegve qr a=o ba n gbhwbhef a fva(2cv rkc(1) a!) = 0, rg yn yvzvgr
inhg 0.

Ra pbapyhfvba, fv ba cebhir qnaf yn cerzvèer cnegvr dhr prggr yvzvgr rfg
qvsséeragr qr 0, pryn cebhiren dhr rkc(1) rfg veengvbaary.


--
Olivier Miakinen

[Olivier Miakinen]

Le 18/08/2021 à 15:24, Samuel DEVULDER a écrit :

> Bon, je forum est un peu endormi aussi je vous propose un petit exercice
> qui m'a été inspiré par les vidéos de Michael Penn que je trouve fort
> intéressantes (mais trichez pas, hein ;) )
>
> Sauriez vous calculer:
>
> | lim n sin(2pi exp(1) n!)
> | n->oo

Je crois que j'ai trouvé, mais ça va être dur de l'écrire en art ascii.

rkc(k) = Fbzzr(z=0 à bb, k^z/z!)
rkc(1) = Fbzzr(z=0 à bb, 1/z!)
rkc(1)⋅a! = Fbzzr(z=0 à bb, a!/z!)
= Fbzzr(z=0 à a, a!/z!) + Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!)
= (ha ragvre) + Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!)

Fbvg N(a) = Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!)

Chvfdhr rkc(1)⋅a - N(a) rfg ha ragvre, ba n:
fva(2cv⋅rkc(1)⋅a!) = fva(2cv⋅N(a))

Rkcyvpvgbaf N(a).
N(a) = 1/(a+1) + 1/(a+1)(a+2) + 1/(a+1)(a+2)(a+3) + ...

Q'har cneg punpha qr prf grezrf rfg cbfvgvs, qbap N(a) > 1/(a+1).

Q'nhger cneg, punpha qrf (a+x) rfg fhcéevrhe à (a+1) cbhe x>1, qbap
punpha qrf 1/(a+x) rfg vaséevrhe à 1/(a+1), q'bù :
N(a) < 1/(a+1) + 1/(a+1)(a+1) + 1/(a+1)(a+1)(a+1) + ...
P'rfg har féevr tébzégevdhr qbag yn fbzzr rfg 1/a.

Ra eéfhzé, 1/(a+1) < N(a) < 1/a.
Ba cbheenvg y'rkcevzre cyhf evtbherhfrzrag, znvf dhnaq a graq iref
y'vasvav N(a) fr pbzcbegr pbzzr 1/a.

Qh pbhc :
yvz(a->bb) a⋅fva(2cv.N(a))
= yvz(a->bb) a⋅fva(2cv/a)
= yvz(a->bb) 2cv⋅fva(2cv/a)/(2cv/a)
= yvz(k->0) 2cv⋅fva(k)/k
= 2cv⋅yvz(k->0) fva(k)/k
= 2cv

> En déduire que exp(1) est irrationnel.

Pbzzr 2cv ≠ 0, yn qézbafgengvba ceépéqragr cebhir dhr rkc(1) rfg
veengvbaary.

J'ai bon ? ;-)

--
Olivier Miakinen

[Olivier Miakinen]

Salut,

J'ai déjà répondu en ROT-13, et en deux messages, mais ce n'est pas
très pratique à lire. Du coup voici ma réponse en clair et en un seul
message. Attention, ne lisez pas la suite si vous ne voulez pas vous
divulgâcher ma solution.

Le 18/08/2021 à 15:24, Samuel DEVULDER a écrit :

..........

.........

........

.......

......

.....

....

...

..

.

==================================================================
Première partie de la démonstration :

| lim n sin(2pi exp(1) n!)
| n->oo

==================================================================

exp(x) = Somme(m=0 à oo, x^m/m!)
exp(1) = Somme(m=0 à oo, 1/m!)
exp(1)⋅n! = Somme(m=0 à oo, n!/m!)
= Somme(m=0 à n, n!/m!) + Somme(m=n+1 à oo, n!/m!)
= (un entier) + Somme(m=n+1 à oo, n!/m!)

Soit A(n) = Somme(m=n+1 à oo, n!/m!)

Puisque exp(1)⋅n - A(n) est un entier, on a:
sin(2pi⋅exp(1)⋅n!) = sin(2pi⋅A(n))

Explicitons A(n).
A(n) = 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + ...

D'une part chacun de ces termes est positif, donc A(n) > 1/(n+1).

D'autre part, chacun des (n+k) est supérieur à (n+1) pour k>1, donc
chacun des 1/(n+k) est inférieur à 1/(n+1), d'où :
A(n) < 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+1) + 1/(n+1)(n+1)(n+1) + ...
C'est une série géométrique dont la somme est 1/n.

En résumé, 1/(n+1) < A(n) < 1/n.
On pourrait l'exprimer plus rigoureusement, mais quand n tend vers
l'infini A(n) se comporte comme 1/n.

Du coup :
lim(n->oo) n⋅sin(2pi.A(n))
= lim(n->oo) n⋅sin(2pi/n)
= lim(n->oo) 2pi⋅sin(2pi/n)/(2pi/n)
= lim(x->0) 2pi⋅sin(x)/x
= 2pi⋅lim(x->0) sin(x)/x
= 2pi

==================================================================
Deuxième partie de la démonstration :

En déduire que exp(1) est irrationnel.

==================================================================

Supposons que exp(1) soit rationnel. On peut alors l'écrire exp(1)=a/b.
On a alors exp(1)×b! = a×(b-1)! qui est un entier, et pour tout n > b
exp(1)×n! = a×(b-1)!×(b+1)×...×n qui est aussi un entier. Par conséquent
à partir de n=b on a toujours n sin(2pi exp(1) n!) = 0, et la limite
vaut 0.

Or on a vu que cette limite vaut 2pi et non 0. L'hypothèse qui est
contredite est celle selon laquelle exp(1) serait rationnel.

En conclusion, exp(1) est irrationnel. CQFD.


--
Olivier Miakinen

[Michel Talon]

Le 18/08/2021 à 15:58, Olivier Miakinen a écrit :
> Bonjour,
>
> Le 18/08/2021 à 15:24, Samuel DEVULDER a écrit :
>>
>> Sauriez vous calculer:
>>
>> | lim n sin(2pi exp(1) n!)
>> | n->oo
>>
>> En déduire que exp(1) est irrationnel.
>

exp(1)n! = entier + 1/(n+1)(1+1/(n+2)+1/(n+2)(n+3) + ....)


Mais 1+... converge et tend vers 1 quand n -> infini . Comme
sin(x) ~ x pour x petit et sin est périodique, on a la limite 1.

Si exp(1) était rationnel on aurait sin(...) = 0 pour n assez grand
et donc limite 0.


--
Michel Talon

[Samuel DEVULDER]

Le 18/08/2021 à 18:31, Olivier Miakinen a écrit :
> J'ai bon ?;-)

Ouaip, cf
https://www.youtube.com/watch?v=mOBv_t4GuxI

Rigolo non ?

sam.

[Samuel DEVULDER]

Bon caz a été plus vite que je ne le pensais.

Le truc était de voir que

| exp(1) * n! ~~ (gros entier qui disparait à cause du 2pi) +
| (truc en 1/n),

ce qui revient à calculer lim_x->0 sin(a*x)/x qu'on connait ou qu'on
fait avec le développement limité.

Je n'avais personnellement pas réalisé que exp(1)*n! était "de plus en
plus entier" avec n (ma calculette ne dépasse pas 69!), mais tout
découle de là. Du coup on a aussi (je pense):

lim sqrt(2pi n) exp(1-n) n^n ∈ ℕ
n->oo

sam (ca fait peur, mais c'est facile quand on voit le truc)

[Samuel DEVULDER]

Le 19/08/2021 à 09:10, Samuel DEVULDER a écrit :
>
>     lim  sqrt(2pi n) exp(1-n) n^n ∈ ℕ
>        n->oo

Hmm ceci est un abus de notation étant donné que la quantité n'a pas de
limite.

Il serait plus rigoureux que dire que la distance entre ℕ et l'ensemble
{sqrt(2pi n) exp(1-n) n^n} est nulle ou encore si frac(x) = x - int(x)
(partie fractionnaire)

lim frac( sqrt(2pi n) exp(1-n) n^n ) = 0
n->oo

sam.

[Olivier Miakinen]

Le 19/08/2021 à 08:53, Samuel DEVULDER a écrit :
>
>> J'ai bon ?;-)
>
> Ouaip, cf
> https://www.youtube.com/watch?v=mOBv_t4GuxI

Vu. Sa démarche est légèrement différente de la mienne, mais l'idée
de base est la même... et le résultat aussi bien sûr.

> Rigolo non ?

Oui ! J'ai trouvé très drôle d'obtenir deux résultats si différents
(2pi et 0) pour la même expression.

--
Olivier Miakinen