TS : complexes : sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=0

[mason]

Salut a tous,

voici une equation que je ne sais pas par quel bout prendre :
sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=0

J'ai essaye les formules d'euler pour avoir une forme exponentielle mais ca
ne me donne rien...

Quelle est la methode ??

Merci de m'aider

Mason

[Luc Corbeil]

mason (ma...@mygale.org) pretendait sur fr.sci.maths que:
: Salut a tous,

: voici une equation que je ne sais pas par quel bout prendre :
: sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=0

: J'ai essaye les formules d'euler pour avoir une forme exponentielle mais ca
: ne me donne rien...

Il faut se rappeler que sin(2x) = 2 sni(x) cos(x) et que sin(a+b)=...

Luc.

--
| Luc Corbeil (M.Sc. maths) |
| cor...@dms.umontreal.ca |

[Julien CASSAIGNE]

mason <ma...@mygale.org> écrit :

>voici une equation que je ne sais pas par quel bout prendre :
> sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=0
>
>J'ai essaye les formules d'euler pour avoir une forme exponentielle mais ca
>ne me donne rien...

Pourtant, ça marche. Tu poses y = exp(I*x), tu développes le tout,
tu te débarrasses du dénominateur et tu obtiens une équation polynômiale
de degré 6 en y qui se résout très bien (chercher des racines évidentes
sur le cercle unité, ou adapter la technique des polynômes réciproques).

>Quelle est la methode ??

Tu peux aussi essayer de tout exprimer en fonction de sin(x)
et de cos(x), grâce à des formules de trigo bien connues, puis de
factoriser le résultat.

Enfin, on peut aussi procéder géométriquement. Tu cherches trois
points A, B, C sur le cercle unité tels que les angles orientés
IOA, AOB et BOC sont égaux, et dont le barycentre se trouve sur
l'axe des x. Or le barycentre est clairement sur la droite OB,
donc soit le barycentre est O (ABC est alors un triangle équilatéral),
soit B est sur l'axe des x.

Julien.

[Hubert BAYET]

1. La quantité qui doit être nulle est la partie imaginaire de ....
(somme de trois termes d'une suite g...)

2. A quelle condition sur Z a-t-on imaginaire(Z)= 0 ?

3. Conclure

[YTTRIUM371]

Il faut linéariser sin(2x) et sin (3x) - c'est à dire exprimer sin (2x) & sin
(3x) en fonction de sin (x).

sin ² (x) = ( [(exp(ix)) - (exp(-ix))] / 2i ) ²
Il suffit de développer cette formule - on obtient à droite quelque chose dont
sin (2x)
Aboutir alors à l'égalité sin (2x) = f(sin²(x))

idem pour sin(3x)

Puis on fait un changement de variable
X=sin(x)
=> équation de degré 3 facilement résolvable

[Eric.Sc...@wanadoo.fr]

sinx+sin3x=2.cos((3x-x)/2).sin ((3x+x)/2)=2sin2x . cosx
on a donc sin2x.(1+2cosx)=0
à résoudre comme d'habitude
sinp+sinq=2 sin(p+q)/2 . cos(p-q)/2
sin -sin = 2 cos . sin
cos +cos = 2 cos . cos
cos -cos = - 2 sin . sin
moyen mnémotechnique
six cocos six cocos moins zizi
se souvenir qu'on privilégie le + (à droite toujours en premier, à gauche
aussi) et que la 1ère ligne commece comme la formule, par si pour sinus
au revoir
mason <ma...@mygale.org> a écrit dans l'article
<72uume$jf$1...@front5.grolier.fr>...
> Salut a tous,

>
> voici une equation que je ne sais pas par quel bout prendre :
> sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=0
>
> J'ai essaye les formules d'euler pour avoir une forme exponentielle mais
ca
> ne me donne rien...
>

> Quelle est la methode ??
>

[Koen Pollentier]

>voici une equation que je ne sais pas par quel bout prendre :
> sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=0

il faut utiliser :
* sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
* sin(x + y) = 2 sin ( (x+y)/2 ) cos ( (x-y) / 2 )

donc :
sin(x) + sin(2x) + sin(3x)
= 2sin(x)cos(x) + [ sin(x) + sin(3x) ]
= 2sin(x)cos(x) + [ 2sin(2x)cos(-x) ]
(rappelez que cos(-x) = cos(x) )
= 2cos(x) [ sin(x) + sin(2x) ]
= 2cos(x) [ sin(x) + 2sin(x)cos(x) ]
= 2cos(x)sin(x) [ 1 + 2cos(x)] = 0
alors, il faut donc résoudre :
* cos(x) = 0
* sin(x) = 0
* 1+2cos(x) = 0 où cos(x) = -1/2