phi^n

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Thomas Baruchel

non lue,
22 oct. 2002, 08:40:5722/10/2002
à
Brest, le mardi 22 octobre

Bonjour,

je viens de remarquer que pour n suffisamment grand (mais cela
est "perceptible" dès n >= 5 environ), phi^n est presque entier.

Voici par exemple phi^50

scale=24
((1+sqrt(5))/2)^50
28143753122.999999999963673747308570

Pourriez-vous m'en dire plus sur ce sujet ?

--
" Là-dessus il vide sa tasse.
Bérurier profite du silence pour poser cette admirable question :
- Le pôle Sud, c'est où, au juste ? " (San-Antonio)

Merlin

non lue,
22 oct. 2002, 08:53:1622/10/2002
à

"Thomas Baruchel" a écrit

> je viens de remarquer que pour n suffisamment grand (mais cela
> est "perceptible" dès n >= 5 environ), phi^n est presque entier.

Si on pose L(n) = ( (1+sqrt(5))/2 )^n + ( (1-sqrt(5))/2)^n, on peut
remarquer que
1) tous les L(n) sont entiers
2) La valeur absolue de (1-sqrt(5))/2) est inférieure à un.

--
Amicalement
J. Merlin


Mot

non lue,
22 oct. 2002, 09:07:0322/10/2002
à
Et dans le même genre, on peut dire que la suite :
phi^n / sqrt(5)
est presqu'entière...

--

Mot

PS : you have to remove "ANTISPAM" in my e-mail address

Jean-Louis

non lue,
22 oct. 2002, 09:34:1122/10/2002
à
En fait

si on regarde la suite de fibonacci .

f(n+2)=f(n+1)+f(n)

On aussi f(n)= 1 / sqrt(5) * ( ( ( 1+sqrt(5) ) / 2 )^n - ( ( sqrt(5) - 1 )
/ 2 )^n )

Quand n est trés grand ( ( sqrt(5) - 1 ) / 2 )^n tend vers 0

donc f(n) tend vers 1 / sqrt(5) * ( ( 1+sqrt(5) ) / 2 )^n

d'où limite( f(n+1) / f(n) , n -> infini ) = ( 1 + sqrt( 5 ) ) / 2

Thomas Baruchel a écrit dans le message
<3db54759$0$1395$626a...@news.free.fr>...

DjFm

non lue,
23 oct. 2002, 11:22:3423/10/2002
à
on peut aussi remarquer que L(n) = L(n-2)+L(n-1) , pareil pour F(n)


Olivier Miakinen

non lue,
29 oct. 2002, 07:45:3329/10/2002
à
Mot wrote:
>
> Et dans le même genre, on peut dire que la suite :
> phi^n / sqrt(5)
> est presqu'entière...

Si phi^n est presque entier, je ne vois pas comment phi^n / sqrt(5)
peut l'être aussi.

> PS : you have to remove "ANTISPAM" in my e-mail address

Ton adresse étant invalide, tu devrais ajouter « .invalid » au nom de domaine :
ANTISPAMpolytechnique.org.invalid

Par ailleurs, tu pourrais mettre un « Reply-To: » valide pour ne pas gêner
tes interlocuteurs, ceci sans faciliter le spam, et sans devoir ajouter une
« règle anti-antispam » dans tes articles.

--
Email, les erreurs à éviter : <http://www.cict.fr/net/ErreursMel.html>
L'art de la citation : <http://www.giromini.org/usenet-fr/repondre.html>
Au fait, merci de ne pas doubler par mail une réponse faite dans les
news, et evitez de m'envoyer des fichiers en formats propriétaires.

Mot

non lue,
29 oct. 2002, 12:36:1729/10/2002
à
>> Mot wrote:
>>
>> Et dans le même genre, on peut dire que la suite :
>> phi^n / sqrt(5)
>> est presqu'entière...
>
> Si phi^n est presque entier, je ne vois pas comment phi^n / sqrt(5)
> peut l'être aussi.

En fait, ce n'est pas incompatible...

phi^n est presque entier, phi^n / sqrt(5) est presque entier, ca veut juste
dire qu'on construit 2 suites d'entiers dont le quotient constitue une
approximation rationnelle de sqrt(5)...

Voici les suites d'entiers en question à partir de l'indice 5 :
11 ; 18 ; 29 ; 47 ; 76 ; 123 ; 199 ; 322...
5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144...

Les approximations successives de sqrt(5) sont obtenues en considérant le
quotient, de ces 2 suites...
76/34 = sqrt(5) à 10^-3 près... C'est quand même pas mal...

Voilà, pour le coup des adresses mail, désolé si tu as voulu me mailer sans
y parvenir. J'ai décidé de ne plus laisser d'adresse mail en clair sur les
news publiques, vu le Spam que je prends en ce moment. Je pense que
l'adresse mail destinatrice et la signature suffisent...

--

Mot

Mot

non lue,
29 oct. 2002, 12:38:4529/10/2002
à
A noter que la génération des suites se fait à partir des premiers termes en
utilisant : u(n+2) = u(n+1) + u(n)
ceci pour les deux suites... (et ca vient des démonstrations qui ont été
données de la propriété de "presque-entier" de phi^n et de phi^n / sqrt(5))

Olivier Miakinen

non lue,
30 oct. 2002, 10:04:3730/10/2002
à
Mot a écrit:

>>Si phi^n est presque entier, je ne vois pas comment phi^n / sqrt(5)
>>peut l'être aussi.
>
> En fait, ce n'est pas incompatible...
>
> phi^n est presque entier, phi^n / sqrt(5) est presque entier, ca veut juste
> dire qu'on construit 2 suites d'entiers dont le quotient constitue une
> approximation rationnelle de sqrt(5)...
>
> Voici les suites d'entiers en question à partir de l'indice 5 :
> 11 ; 18 ; 29 ; 47 ; 76 ; 123 ; 199 ; 322...
> 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144...

C'est amusant, comme tout ce qui est contre-intuitif !

> Voilà, pour le coup des adresses mail, désolé si tu as voulu me mailer sans
> y parvenir. J'ai décidé de ne plus laisser d'adresse mail en clair sur les
> news publiques, vu le Spam que je prends en ce moment. Je pense que
> l'adresse mail destinatrice et la signature suffisent...

Non, je n'ai pas essayé de t'écrire en privé. Il y a une FAQ sur les
adresses antispam expliquant ce que je voulais dire, mais je ne sais
plus où elle est. Si je la retrouve, je te l'enverrai par mail (en
supprimant ANTISPAM, donc).

Thomas Baruchel

non lue,
5 nov. 2002, 08:04:3805/11/2002
à
Le 22 Oct 2002 12:40:57 GMT, Thomas Baruchel a écrit :
>je viens de remarquer que pour n suffisamment grand (mais cela
>est "perceptible" dès n >= 5 environ), phi^n est presque entier.

Y a-t-il d'autres nombres réels x tels que
x^n soit à chaque fois (et de plus en plus)
très proche d'un entier (différent à chaque fois, sinon
n'importe quel réel strictement inférieur à 1 fait
l'affaire) ?

Mot

non lue,
5 nov. 2002, 08:30:4005/11/2002
à
> Y a-t-il d'autres nombres réels x tels que
> x^n soit à chaque fois (et de plus en plus)
> très proche d'un entier (différent à chaque fois, sinon
> n'importe quel réel strictement inférieur à 1 fait
> l'affaire) ?

Je dirais qu'il y en a un bon paquet. En utilisant la méthode de
"construction" de la suite avec les phi, on peut montrer que tout nombre
réel racine d'un trinome unitaire sur les entiers dont la racine conjuguée
est de valeur absolue inférieure à 1 et dont la propre valeur absolue est
supérieure à 1 doit convenir.

s et p entiers
x et x' les 2 racines du trinome x² - s x + p avec :
|x| > 1 ; |x'| < 1

la suite :
u_n = (x)^n + (x')^n
vérifie :
u_0 = 2
u_1 = s
u_(n+2) = p * u_(n) - s * u_(n+1)

La suite u_n est entière et (u_n - x^n) tend rapidement vers 0...

Maintenant, pour expliciter l'ensemble que je viens de construire, c'est pas
gagné, et il doit y en avoir d'autres qui sont pas dans cet ensemble...

Denis Feldmann

non lue,
5 nov. 2002, 13:16:1305/11/2002
à

par exemple les nombres de Pisot-Vijayaraghavan (voir
http://mathworld.wolfram.com/Pisot-VijayaraghavanConstant.html) sont de ce
type, puisque x^n+x'^n+...+x''''''''^n est un entier si x est un entier
algébrique et que x',x''... sont ses conjugués. Et bien sûr, il y a aussi
plein de nombres transcendants :-)

Mot

non lue,
5 nov. 2002, 14:00:2005/11/2002
à
> par exemple les nombres de Pisot-Vijayaraghavan (voir
> http://mathworld.wolfram.com/Pisot-VijayaraghavanConstant.html)
> sont de ce type, puisque x^n+x'^n+...+x''''''''^n est un entier si x est
> un entier algébrique et que x',x''... sont ses conjugués. Et bien sûr,
> il y a aussi plein de nombres transcendants :-)

C'est bien ces Urls, ca permet de comprendre ce que ca veut dire "entier
algébrique"... :-)

Une petite question :
Comment réaliser l'initialisation de la suite ? C'est-à-dire comment montrer
que la suite x^n+x'^n+...+x''''''''^n a ses premiers termes entiers ?

Dans le cas où on n'a que 2 racines, la somme des deux est l'opposé du
coefficient de premier degré. A partir des expressions des coefficients en
fonction des racines du polynome, ca m'a l'air de marcher, pour des
polynomes de degré 3 par exemple, mais je vois mal comment démontrer ca sans
me noyer sous les signes "somme" et "produit". Ca se fait ?

--

Mot

non lue,
5 nov. 2002, 14:02:3305/11/2002
à
> Non, je n'ai pas essayé de t'écrire en privé. Il y a une FAQ sur les
> adresses antispam expliquant ce que je voulais dire, mais je ne sais
> plus où elle est. Si je la retrouve, je te l'enverrai par mail (en
> supprimant ANTISPAM, donc).

Si tu la retrouves, je la veux bien...

Mehdi Tibouchi

non lue,
5 nov. 2002, 15:19:5405/11/2002
à
Mot <thomas.si...@ANTISPAMpolytechnique.org> wrote:

> A partir des expressions des coefficients en
> fonction des racines du polynome, ca m'a l'air de marcher, pour des
> polynomes de degré 3 par exemple, mais je vois mal comment démontrer ca sans
> me noyer sous les signes "somme" et "produit". Ca se fait ?

Oui, ce sont les relations de Newton. On ne fait pas le calcul
explicite. Ce qui importe est bien d'obtenir un polynôme entier des
fonctions symétriques des racines, et ça se fait bien par récurrence :

<http://mathworld.wolfram.com/Newton-GirardFormulas.html>

--
M. Tibouchi <med...@alussinan.org>
int a=10000,b,c=8400,d,e,f[8401],g;main(){for(;b-c;)
f[b++]=a/5;for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),
e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}

Mot

non lue,
5 nov. 2002, 15:20:2605/11/2002
à
Oh ! Encore une belle Url !

Merci beaucoup...!

Olivier Miakinen

non lue,
6 nov. 2002, 19:11:4206/11/2002
à
Le 05/11/2002 20:02, Mot a écrit :

>> Non, je n'ai pas essayé de t'écrire en privé. Il y a une FAQ sur
>> les adresses antispam expliquant ce que je voulais dire, mais je ne
>> sais plus où elle est. Si je la retrouve, je te l'enverrai par mail
>> (en supprimant ANTISPAM, donc).
>
> Si tu la retrouves, je la veux bien...

Ce coup-ci, j'ai essayé de t'écrire en privé en retirant ANTISPAM mais
cela n'a pas fonctionné. Alors je recommence dans le groupe. Je disais :

J'ai trouvé :
<news:adresses-antisp...@asynchrone.net>

Ou encore :
http://groups.google.com/groups?as_umsgid=adresses-antispam-1-1036142012%40asynchrone.net

Mot

non lue,
7 nov. 2002, 12:51:2107/11/2002
à
> Ce coup-ci, j'ai essayé de t'écrire en privé en retirant ANTISPAM
> mais cela n'a pas fonctionné. Alors je recommence dans le groupe.
> Je disais :

Argh !!
Bon, mon adresse, c'est :
thomas [Point] sirvent [Plus] news [@] polytechnique [Point] org

Si celle-là marche pas, y'a plus d'espoir !

Merci beaucoup pour les messages !

Mot

non lue,
7 nov. 2002, 13:05:2507/11/2002
à
Et voilà, une adresse mail invalide dans les règles de l'art...
Désolé, je reste un peu parano avec ces "censuré" de spammeurs...

--

Mot

PS : you have to remove "_ANTISPAM_" and ".invalid" in my e-mail address

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