détermination de(s) rotation(s) axiale(s) 3D

[marioski]

bonjour,

Bien que j'ai en tête les formules de changement de base,je n'arrive pas à résoudre ce petit problème peut-être complexe:
Je dispose dans l'espace de 2 repères orthonormés.
le premier repère R1 est (0,i,j,k) :celui de la base de l'espace où i,j,k sont des vecteurs unitaires et O le point origine du repère.
le second R2 est un autre repère orthonormé(0,a,b,c) où a,b,c sont d'autres vecteurs unitaires

Comment déterminer la rotation (angle+axe) permettant de transformer R1 en R2?


merci de votre aide

[robby]

il suffit d'exprimer les vecteurs a,b,c dans le système de coordonnées
de la base i,j,k.
Tu met alors ces 3 vecteurs cote a cote et tu a la matrice ( je sais
jamais si c'est en ligne ou en colonne: essaie, et au besoin inverse :-) )

--
Fabrice

[Michel Talon]

Le 19/11/2021 à 03:52, marioski a écrit :

Si r(i)=a, etc. alors trouver l'axe de la rotation r, c'est trouver un
vecteur x tel que r(x)=x . C'est donc simple en fonction de la matrice
de r. Ensuite trouver l'angle est simple, car on doit avoir
r(y) = t x wedge y où t est lié à l'angle.

--
Michel Talon

[robby]

> Le 19/11/2021 à 03:52, marioski a écrit :
>> Comment déterminer la rotation (angle+axe) permettant de transformer
>> R1 en R2?

oops pardon, j'avais pa lu l'énoncé jusqu'au bout. :-/

--
Fabrice

[JRV]

A mon avis ça n'existe pas. Si l'un des repères est direct et l'autre indirect, on ne peut pas passer de l'un à l'autre par une rotation.

[marioski]

je précise ma question :
au lieu de déterminer un axe quelconque de rotation,je détermine 3 rotations successives
-une d'axe i
-l'autre d'axe j
-la 3ème d'axe k

[HB]

Le 19/11/2021 à 03:52, marioski a écrit :

Bonsoir,

A.M.H.A. :

1°) On doit supposer que ces deux bases sont
soit directes, soient indirectes
sinon c'est impossible.
De plus O doit avoir O pour image.
Il s'agit donc d'une rotation d'axe (O,u).

2°) Si les deux bases orthonormées sont "de même orientation",
la rotation d'axe (O,u) qui envoi i sur a
enverra aussi j et k resp. sur b et c.

3°) Si une rotation "d'axe" (O,u) envoi i sur a
cet axe est normal au plan (O,i,a).
Ainsi u est colinéaire à v= i^a et ... avec sin(i,a) ...


4°) Bref :
Les formules concernant le produit vectoriel et le sinus
devraient permettre de conclure.

amicalement,

HB

[robby]

Le 19/11/2021 à 22:54, HB a écrit :
>
> 2°) Si les deux bases orthonormées sont "de même orientation",
>     la rotation d'axe (O,u) qui envoi i sur a
>     enverra aussi j et k resp. sur b et c.

euh non, en 3D ( et + ) il y a une infinité de rotations qui envoyent i
sur a, puisque justement ça laisserait libre le repère <b,c> du plan
orthogonal.  il y a besoin d'une seconde contrainte.
le 3eme vecteur, lui, n'a plus le choix.

--
Fabrice

[Olivier Miakinen]

Le 20/11/2021 09:12, robby répondait à HB :

>>
>> 2°) Si les deux bases orthonormées sont "de même orientation",
>>     la rotation d'axe (O,u) qui envoi i sur a
>>     enverra aussi j et k resp. sur b et c.
>
> euh non, en 3D ( et + ) il y a une infinité de rotations qui envoyent i

> sur a, [...]

... mais il y en a une seule « d'axe (0,u) » comme le disait HB.


--
Olivier Miakinen

[Olivier Miakinen]

[Supersedes]

Le 20/11/2021 09:12, robby répondait à HB :
>>

>> 2°) Si les deux bases orthonormées sont "de même orientation",
>>     la rotation d'axe (O,u) qui envoi i sur a
>>     enverra aussi j et k resp. sur b et c.
>
> euh non, en 3D ( et + ) il y a une infinité de rotations qui envoyent i

> sur a, [...]

... mais il y en a une seule « d'axe (O,u) » comme le disait HB.


--
Olivier Miakinen

[Michel Talon]

Ce qui suppose de déterminer u, un vecteur laissé invariant par la
rotation, comme je disais. En terme de matrice c'est un système linéaire
évident. On choisit u unitaire bien sûr, et on détermine l'angle en
comparant la rotation à y -> u x y qui est une rotation de 90°.

--
Michel Talon

[robby]

Le 20/11/2021 à 09:35, Olivier Miakinen a écrit :

> ... mais il y en a une seule « d'axe (O,u) » comme le disait HB.

u est l'inconnue à trouver, ok ?

il existe des tas de cones d'axe (0,u)  tels que (O,i) et (O,a) fassent
parti du meme cone.

--
Fabrice

[Michel Talon]

Géométriquement, le plan Oij est envoyé par la rotation sur le plan Oab,
donc la rotation est le produit d'une rotation autour de k qui laisse
Oij invariant et d'une rotation autour de l'intersection des deux plans
qui envoie l'un sur l'autre.
On n'est pas loin des angles d'Euler. Ce qui est moins évident est le
fait que le produit de deux rotations d'axes différents est encore une
rotation autour d'un axe. Voir:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_vectorielle
section:
Composition de deux rotations vectorielles
l'argument le plus expéditif utilisant les quaternions.
Dans le cours de géométrie qu'on avait en Terminale C il y avait un
argument géométrique pour cela mais je ne m'en souviens pas. Il y
a longtemps que la géométrie a disparu de l'enseignement.


--
Michel Talon

[Michel Talon]

Le 20/11/2021 à 11:15, Michel Talon a écrit :
> Dans le cours de géométrie qu'on avait en Terminale C il y avait un
> argument géométrique pour cela mais je ne m'en souviens pas. Il y
> a longtemps que la géométrie a disparu de l'enseignement.

En fait je m'en souviens. L'astuce est qu'une rotation autour d'un axe
est le produit de deux symétries planes autour de deux plans passant par
cet axe. Pour deux rotations on peut prendre un plan commun (*) pour ces
deux symétries, si bien que le produit de 4 symétries devient en fait
celui de deux symétries, donc une rotation.
(*) le plan défini par les deux axes de rotation.

--
Michel Talon

[robby]

Le 20/11/2021 à 11:15, Michel Talon a écrit :

> Géométriquement, le plan Oij est envoyé par la rotation sur le plan Oab,
> donc la rotation est le produit d'une rotation autour de k qui laisse
> Oij invariant et d'une rotation autour de l'intersection des deux plans
> qui envoie l'un sur l'autre.

je le sais bien. une fois qu'on a la rotation.

ce que je dis juste c'est que la claim     "une rotation d'axe [à
trouver] (O,u) qui envoi i sur a
    enverra forcément aussi j et k resp. sur b et c "    est fausse.

contre exemple: n'importe quel cone (sauf 1) issu de O comprenant a la
fois les droites (O,i) et (O,a).
Leurs axe de rotation transforme bien i en a, mais n'a pas de raison en
général de faire coincider les autres.

--
Fabrice