R comme espace vectoriel sur Q
JAM
être très beau, non ? A quoi ressemble une base ? Est-elle dénombrable ?
Etienne Rousee
Comme Q est dénombrable,et que R ne l'est pas, R est
forcément de dimension non dénombrable sur Q.
De là à en exhiber un base, je ne vois pas du
tout comment on pourrait faire. Je me demande
même si c'est possible...
D'ailleurs, ça permet de voir que, quand on
cherche les solutions de l'équation fonctionnelle
f(x+y)=f(x)*f(y) avec f(0)=1, si on supprime
l'hypothèse de continuité on a une infinité non
dénombrable de solutions en composant avec un
automorphisme de R en tant qu'EV sur Q!.
A moins que je ne dise une bêtise, là ? Je ne
suis pas sûr.
Amicalement.
Etienne
jean delcourt
JAM wrote:
> A quoi ressemble R considéré comme espace vectoriel sur Q ? Ca ne doit pas
> être très beau, non ? A quoi ressemble une base ? Est-elle dénombrable ?
Je ne sais pas s'il est très beau, mais il contient de très jolis
sous-espaces,
comme Q(racine(2))={a+b*racine(2), (a,b)dans Q}, qui sont des corps,
et sont utiles dans la théorie de la résolution des équation.
Les bases existent, mais pas facile d'en exhiber une.. En tout cas, pas
dénombrable
sinon R le serait.
cordialement, jean d.
Shiva
forcément de dimension non dénombrable sur Q est totalement faux :)
En effet {0,1}^N est isomorphe à R.
Soit alors B une Q-base de R.
Alors R est isomorphe à B^Q, donc puisque manifestement B contient plus de 2
éléments et que Q est plus "gros" que N, nécessairement, Q est de cardinal
AU PLUS dénombrable (et en fait dénombrable car on se convainc "rapidement"
que toute famille finie de réels n'engendre pas R par combinaisons à
coefficients rationnels.
Grâce à l'axiome du choix, tu peux assurer l'existence de Q-bases de R, mais
je doute qu'on puisse en exhiber une "explicitement". Avec l'hypothèse du
continu, toute famille non dénombrable de réels sera génératrice mais de là
à en extraire une sous famille minimale ...
Shiva
Shiva
Joel Riou
> Non dire que puisque Q est dénombrable et que R ne l'est pas, alors R est
> forcément de dimension non dénombrable sur Q est totalement faux :)
J'espère que ce n'était pas un troll, mais il me semble que ce que vous
dites est faux. En effet, si on a un Q-espace vectoriel E avec une base
dénombrable (strictement), du point de vue du cardinal, E correspond aux
suites FINIES de rationnels, donc E est dénombrable. Comme R n'est pas
dénombrable, il est de dimension non dénombrable sur Q.
> En effet {0,1}^N est isomorphe à R.
> Soit alors B une Q-base de R.
> Alors R est isomorphe à B^Q, donc puisque manifestement B contient plus de 2
> éléments et que Q est plus "gros" que N, nécessairement, Q est de cardinal
> AU PLUS dénombrable (et en fait dénombrable car on se convainc "rapidement"
> que toute famille finie de réels n'engendre pas R par combinaisons à
> coefficients rationnels.
Précisons un peu les choses. Si B est une Q-base de R, il n'est pas vrai
du tout que R est isomorphe à Q^B, puisque Q^B désigne l'ensemble des
fonctions de B vers Q, mais en revanche R est isomorphe à Q^(B) qui de
façon standard désigne l'ensemble des fonctions de B vers Q qui sont
nulles sauf sur un nombre FINI d'éléments de B. (De façon plus prosaïque,
il ne faut pas confondre produit et somme directe d'espaces vectoriels.)
> Grâce à l'axiome du choix, tu peux assurer l'existence de Q-bases de R, mais
> je doute qu'on puisse en exhiber une "explicitement". Avec l'hypothèse du
> continu, toute famille non dénombrable de réels sera génératrice mais de là
> à en extraire une sous famille minimale ...
La encore, on ne peux être d'accord. Il est vrai que le "théorème" de
Hamel (forme équivalente de l'axiome du choix) permet d'assurer
l'existence de bases, mais il est totalement faux que toute famille non
dénombrable de réels soit génératrice de R en tant que Q espace vectoriel.
(Si on a une base et qu'on lui enlève un vecteur, c'est toujours
indénombrable mais pas générateur...)
--
Joël Riou - Joel...@ens.fr
Shiva
personnes moins compétentes :-)
Et si, c'était un troll (surtout la dernière perle d'ailleurs)
Jeremie Bouttier
> Autrement dit, par base d'un espace vectoriel, on entend que tout élément de
> l'espace est combinaison linéaire d'un nombre FINI d'éléments de la base ?
> Je croyais qu'on avait droit à des combinaisons infinies... il me semble
> qu'on en utilise dans les espaces de fonctions par exemple, non ?
Dans ce cas on prefere ne plus trop employer le terme de base mais plutot
de systeme orthonormal maximal dans le cas d'un Hilbert (equivalent de la
base orthonormale en dimension infinie, et l'on s'autorise des sommes
infinies a coefficients de carres sommables).
De telles sommes infinies ne sont concevables que lorsqu'on peut leur
donner un sens, ce qui est assez restrictif...
a+
Jeremie
JAM
Joel Riou <jr...@tremble.ens.fr> a écrit dans le message :
89r83s$ko7$1...@nef.ens.fr...
(...)
> Précisons un peu les choses. Si B est une Q-base de R, il n'est pas vrai
> du tout que R est isomorphe à Q^B, puisque Q^B désigne l'ensemble des
> fonctions de B vers Q, mais en revanche R est isomorphe à Q^(B) qui de
> façon standard désigne l'ensemble des fonctions de B vers Q qui sont
> nulles sauf sur un nombre FINI d'éléments de B. (De façon plus prosaïque,
> il ne faut pas confondre produit et somme directe d'espaces vectoriels.)
Autrement dit, par base d'un espace vectoriel, on entend que tout élément de
Etienne Rousee
>Autrement dit, par base d'un espace vectoriel, on entend que tout
élément de
>l'espace est combinaison linéaire d'un nombre FINI d'éléments de la
base ?
>Je croyais qu'on avait droit à des combinaisons infinies... il me
semble
>qu'on en utilise dans les espaces de fonctions par exemple, non ?
Non.
Ne pas confondre espace vectoriel et complété de cet espace.
Par exemple, toute fonction f continue sur [0;1] est limite
de la suite de polynômes Sigma(f(k/n)*x^k*(1-x)^(n-k))
où la somme est étendue de k=0 à k=n (norme de la Cve uniforme)
Mais cette fonction f n'a aucune raison d'être un polynôme.
Amicalement.
Etienne
Etienne Rousee
>Bouh tu as répondu trop vite, j'espérais avoir quelques réponses
étonnées de
>personnes moins compétentes :-)
Ça me paraissait bien un peu louche....
J'aimerais quand même un avis sur "les" fonctions exp.
Amicalement.
Etienne
Joel Riou
> J'aimerais quand même un avis sur "les" fonctions exp.
C'était tout-à-fait vrai, puisque trouver les morphismes de groupes de R,+
vers R+*,x revient à trouver les endomorphismes de R,+, en composant à
gauche par le logarithme.
Les endomorphismes de R,+ en tant que groupe abélien coïncident avec ses
endomorphismes en tant que Q-espace vectoriel. Donc, si on a une Q-base de
R, on peut trouver *beaucoup* d'endomorphismes du Q-ev R qui agissent non
diagonalement (les fonctions exponentielles se transforment en
homothéties).
Etienne Rousee
>C'était tout-à-fait vrai, puisque trouver les morphismes de groupes
de R,+
>vers R+*,x revient à trouver les endomorphismes de R,+, en composant
à
>gauche par le logarithme.
>Les endomorphismes de R,+ en tant que groupe abélien coïncident avec
ses
>endomorphismes en tant que Q-espace vectoriel. Donc, si on a une
Q-base de
>R, on peut trouver *beaucoup* d'endomorphismes du Q-ev R qui agissent
non
>diagonalement (les fonctions exponentielles se transforment en
>homothéties).
Merci.
Mais, peut on démontrer qu'il n'est pas possible
d'exhiber une base de R sur Q ?
Avec ou non axiome du choix.
Amicalement.
Etienne
Joel Riou
> Mais, peut on démontrer qu'il n'est pas possible
> d'exhiber une base de R sur Q ?
> Avec ou non axiome du choix.
Avec l'axiome du choix, on peut trouver une base à n'importe quel espace
vectoriel, il suffit d'appliquer le lemme de Zorn pour trouver une famille
libre maximale.
Maintenant, est-ce qu'il est consistant dans ZF qu'il n'existe pas de
Q-base de R, je ne sais pas.
Horst Kraemer
wrote:
>
> Joel Riou <jr...@tremble.ens.fr> a écrit dans le message :
> 89r83s$ko7$1...@nef.ens.fr...
> (...)
> > Précisons un peu les choses. Si B est une Q-base de R, il n'est pas vrai
> > du tout que R est isomorphe à Q^B, puisque Q^B désigne l'ensemble des
> > fonctions de B vers Q, mais en revanche R est isomorphe à Q^(B) qui de
> > façon standard désigne l'ensemble des fonctions de B vers Q qui sont
> > nulles sauf sur un nombre FINI d'éléments de B. (De façon plus prosaïque,
> > il ne faut pas confondre produit et somme directe d'espaces vectoriels.)
> Autrement dit, par base d'un espace vectoriel, on entend que tout élément de
> l'espace est combinaison linéaire d'un nombre FINI d'éléments de la base ?
Oui. Dans un espace vectoriel général il n'existe pas de définition de
"somme infinie" d'éléments non-nuls. Donc la seule définition
applicable à tout espace vectoriel est la base "algébrique". Dans des
cas où la dimension de l'espace n'est pas finie, le fait qu'une base
existe a une valeur plus au mois thérorique parce qu'on ne sait pas
comment "construire" des bases de cardinalité non-dénombrable.
L'espace des polynômes réels peut être vu comme espace vectoriel avec
la base dénombrable
(1,X,X^2,X^3,......)
Mais c'est un cas plus au moins exceptionnel. Cet espace ressemble aux
nombres rationnels dans un certain sens. Il y a des séries qui
"convergent dans l'air". La suite des polynômes
1
1 + X
1 + X + X^2/2!
1 + X + X^2/2!+ X^3/3!
"converge" dans le sens qu'elle s'approche de quelque chose. Mais ce
quelque chose n'est pas un élément de l'espace (voire la fonction
e^x). Tous les espaces de dimension infinie et dénombrale ont la
propriétée lamentable qu'ils ne sont pas "complets", c.a.d. qu'il y a
des séquences qui convergent vers un "trou".
--
Horst
Hubert Bayet
JAM <jamo...@club-internet.fr> a écrit dans le message :
89phn1$l8a$1...@front2.grolier.fr...
| A quoi ressemble R considéré comme espace vectoriel sur Q
? Ca ne doit pas
| être très beau, non ? A quoi ressemble une base ? Est-elle
dénombrable ?
|
...
Il faut se méfier un peu...
Pour parler d'E.V. avec une base infinie {u_i ; i dans I}
il faut que pour un X de R qq
la décomposition
sum(a_i.u_i ; i dans I)
soit unique
et les coefs a_i "presque tous nuls" (sauf un nb fini).
Même si l'on manipule rapidement les sommes infinies
dans les espaces de Hilbert (séries de Fourier par ex.)
il faut se garder de prolonger ces mécanismes à tout e.v.
A la réflexion, je ne trouve pas "évident"
qu'une structure de Q.e.v
puisse s'appliquer simplement à R ...
et je ne crois pas que le "modèle" des extensions de Q
étudiées en algèbre (extension algébriques ou
transcendantes)
soient d'un grand secours...
Mais je vais y songer...
Cordialement,
Hubert B.
Serge Belhassen
(Joel Riou) wrote (écrivait) :
> Avec l'axiome du choix, on peut trouver une base à n'importe quel espace
> vectoriel, il suffit d'appliquer le lemme de Zorn pour trouver une famille
> libre maximale.
>
> Maintenant, est-ce qu'il est consistant dans ZF qu'il n'existe pas de
> Q-base de R, je ne sais pas.
Oui c'est consistant et, la cerise sur la gâteau, on a même comme résultat
que ZF + "pas de Q-base de R" reste consistant en y rajoutant une version
affaiblie
de l'axiome du choix appelée "axiome du choix dépendant"
Comme référence, il y a JL Krivine Théorie des ensembles chez Cassini (p.182)
Amicalement.