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demonstration de E(X+Y)=E(X)+E(Y)
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olivier heulin
May 14, 1999, 3:00:00 AM5/14/99
to
Je recherche une demonstration en probabilite de la formule E(X+Y)=E(X)+E(Y)
dans le cas oùles variables X et Y sont discrets
A tous merci...
dans le cas oùles variables X et Y sont discrets
A tous merci...
Laurent Demonet
May 14, 1999, 3:00:00 AM5/14/99
to
si X et Y sont discrets, c'est un simple développement :
si m et n sont les nombres de valeurs qu'ils peuvent prendre et xi yi ces
valeurs :
E(X+Y)=somme(i=1..m et j=1 .. n) p(X=xi et Y=yj) (xi+yj)
=somme(i=1..m et j=1 .. n) p(X=xi et Y=yj) xi
+ somme(i=1..m et j=1 .. n) p(X=xi et Y=yj) yj
=somme (i=1..m) (xi.somme (j=1..n) p(X=xi et Y=yj))
+ somme (j=1..n) (yj.somme (i=1..m) p(X=xi et Y=yj))
(comme yi recouvre toutes les valeurs de Y et xi toutes les valeurs de X,
somme (i=1..m) p(X=xi et Y=yi) = p(Y=yi) et
somme (j=1..n) p(X=xi et Y=yi) = p(X=xi) )
=somme (i=1..m) xi.p(X=xi)
+ somme (j=1..n) yj.p(Y=yj) = E(X)+E(Y)
Laurent
si m et n sont les nombres de valeurs qu'ils peuvent prendre et xi yi ces
valeurs :
E(X+Y)=somme(i=1..m et j=1 .. n) p(X=xi et Y=yj) (xi+yj)
=somme(i=1..m et j=1 .. n) p(X=xi et Y=yj) xi
+ somme(i=1..m et j=1 .. n) p(X=xi et Y=yj) yj
=somme (i=1..m) (xi.somme (j=1..n) p(X=xi et Y=yj))
+ somme (j=1..n) (yj.somme (i=1..m) p(X=xi et Y=yj))
(comme yi recouvre toutes les valeurs de Y et xi toutes les valeurs de X,
somme (i=1..m) p(X=xi et Y=yi) = p(Y=yi) et
somme (j=1..n) p(X=xi et Y=yi) = p(X=xi) )
=somme (i=1..m) xi.p(X=xi)
+ somme (j=1..n) yj.p(Y=yj) = E(X)+E(Y)
Laurent
olivier heulin a écrit :
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